2014-2015学年四川省成都市都江堰中学高一(上)期末数学模拟试卷含参考答案

2014-2015学年四川省成都市都江堰中学高一（上）期末数学模拟试卷（1）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（）A．{0}B．{2}C．{0，1，2}D．∅2．（5.00分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．[﹣1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，3]D．[﹣1，3]3．（5.00分）已知向量，，若，则实数x的值为（）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣14．（5.00分）当时，幂函数y=xα的图象不可能经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5.00分）如图所示，角θ的终边与单位圆交于点，则cos（π﹣θ）的值为（）A．B．C．D．6．（5.00分）函数y=sin2x的图象经过变换得到y=sin（2x+）的图象，则该变换可以是（）A．所有点向右平移个单位B．所有点向左平移个单位C．所有点向左平移个单位D．所有点向右平移个单位7．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，则（）A．f（3）＜f（﹣4）＜f（﹣π）B．f（﹣π）＜f（﹣4）＜f（3）C．f（3）＜f（﹣π）＜f（﹣4）D．f（﹣4）＜f（﹣π）＜f（3）8．（5.00分）在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，=，=，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5.00分）若奇函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是增函数，那么的g（x）=log a（x+k）大致图象是（）A．B．C．D．10．（5.00分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5.00分）计算：=．12．（5.00分）已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为．13．（5.00分）函数f（x）=|x2﹣1|的单调递减区间为．14．（5.00分）在边长为3的等边三角形ABC中，=2，则•等于．15．（5.00分）若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续不断，给定下列的命题：①若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间[a，b]上恰有1个零点；②若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间[a，b]上至少有1个零点；③若f（a）•f（b）＞0，则f（x）在区间[a，b]上没有零点；④若f（a）•f（b）＞0，则f（x）在区间[a，b]上可能有零点．其中正确的命题有（填写正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12.00分）已知向量和满足=（2，0），||=1，与的夹角为120°，求|+2|．17．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，其图象上一个最高点为M（，2）．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求其单调减区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的最值及相应的x的取值，并求出函数f（x）的值域．18．（12.00分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性并用定义证明．19．（12.00分）医学上为研究某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．（Ⅰ）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）（Ⅱ）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）20．（13.00分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．21．（14.00分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D 内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）若函数f（x）=k•2x+b属于集合M，试求实数k和b满足的条件；（3）设函数f（x）=lg属于集合M，求实数a的取值范围．2014-2015学年四川省成都市都江堰中学高一（上）期末数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（）A．{0}B．{2}C．{0，1，2}D．∅【解答】解：∵集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，∴A∩B={2}．故选：B．2．（5.00分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．[﹣1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，3]D．[﹣1，3]【解答】解：根据题意，得；，解得﹣1＜x≤3；∴f（x）的定义域为（﹣1，3]．故选：C．3．（5.00分）已知向量，，若，则实数x的值为（）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1【解答】解：∵∴=1×3+3x=0∴x=﹣1故选：D．4．（5.00分）当时，幂函数y=xα的图象不可能经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：当α=、1、2、3 时，y=xα是定义域内的增函数，图象过原点，当α=﹣1 时，幂函数即y=，图象在第一、第三象限，故图象一定不在第四象限．∴答案选D．5．（5.00分）如图所示，角θ的终边与单位圆交于点，则cos（π﹣θ）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|OP|==1（O为单位圆的圆心），∴cosθ==﹣，∴cos（π﹣θ）=﹣cosθ=．故选：C．6．（5.00分）函数y=sin2x的图象经过变换得到y=sin（2x+）的图象，则该变换可以是（）A．所有点向右平移个单位B．所有点向左平移个单位C．所有点向左平移个单位D．所有点向右平移个单位【解答】解：∵y=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴函数y=sin2x的图象经过所有点向左平移个单位．故选：C．7．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，则（）A．f（3）＜f（﹣4）＜f（﹣π）B．f（﹣π）＜f（﹣4）＜f（3）C．f（3）＜f（﹣π）＜f（﹣4）D．f（﹣4）＜f（﹣π）＜f（3）【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，且3＜π＜4，∴f（3）＜f（π）＜f（4）即：f（3）＜f（﹣π）＜f（﹣4）．故选：C．8．（5.00分）在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，=，=，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由题意可得，=++=﹣++=﹣，故选：B．9．（5.00分）若奇函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是增函数，那么的g（x）=log a（x+k）大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0．即（k﹣1）a x+（k﹣1）a﹣x=0，解之得k=1．又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴a＞1，可得g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）．函数图象必过原点，且为增函数．故选：C．10．（5.00分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得S=f （x ）=x﹣f′（x）=≥0当x=0和x=2π时，f′（x）=0，取得极值．则函数S=f （x ）在[0，2π]上为增函数，当x=0和x=2π时，取得极值．结合选项，A正确．故选：A．二、填空题：本大共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5.00分）计算：=3．【解答】解：=1+4﹣4+2（lg5+lg2）=3．故答案为：3．12．（5.00分）已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为﹣．【解答】解：∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣．故答案为：﹣13．（5.00分）函数f（x）=|x2﹣1|的单调递减区间为（﹣∞﹣1）和（0，1）．【解答】解：函数f（x）=|x2﹣1|=，如图所示：故函数f（x）的减区间为（﹣∞﹣1）和（0，1），故答案为（﹣∞﹣1）和（0，1）．14．（5.00分）在边长为3的等边三角形ABC中，=2，则•等于3．【解答】解：由题意可得，||=3，|=2，∴=|=3×2×=3，故选C．15．（5.00分）若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续不断，给定下列的命题：①若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间[a，b]上恰有1个零点；②若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间[a，b]上至少有1个零点；③若f（a）•f（b）＞0，则f（x）在区间[a，b]上没有零点；④若f（a）•f（b）＞0，则f（x）在区间[a，b]上可能有零点．其中正确的命题有②④（填写正确命题的序号）．【解答】解：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续不断，①若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间[a，b]上至少有1个零点，故不正确；②若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间[a，b]上至少有1个零点，正确；③若f（a）•f（b）＞0，则f（x）在区间[a，b]上没有零点，不正确，可以二次函数为反例；④若f（a）•f（b）＞0，则f（x）在区间[a，b]上可能有零点，正确．故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12.00分）已知向量和满足=（2，0），||=1，与的夹角为120°，求|+2|．【解答】解：由于=（2，0），则||=2，又||=1，与的夹角为120°，则=||•||•cos120°=2×=﹣1，则有|+2|===2．17．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，其图象上一个最高点为M（，2）．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求其单调减区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的最值及相应的x的取值，并求出函数f（x）的值域．【解答】（Ⅰ）解：由题意可得A=2，T==π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x+φ）．由题意当x=时，2×+φ=，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得[kπ+，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最小值为1，当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2．故f（x）值域为[1，2]．18．（12.00分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性并用定义证明．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得≠0，解得x≠0，故函数f（x）的定义域为{x|x ≠0}关于原点对称．由，可得，若f（x）=f（﹣x），则，无解，故f（x）不是偶函数．若f（﹣x）=﹣f（x），则a=0，显然a=0时，f（x）为奇函数．综上，当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）不具备奇偶性（Ⅱ）函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；证明：设x1＜x2＜0，则，由x1＜x2＜0，可得x1x2＞0，x2 ﹣x1＞0，从而，故f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．19．（12.00分）医学上为研究某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．（Ⅰ）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）（Ⅱ）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【解答】解：（Ⅰ）由题意病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y=2x﹣1（其中x∈N*），（3分）则由2x﹣1≤108，两边取常用对数得（x﹣1）lg2≤8，从而（6分）即第一次最迟应在第27天注射该种药物．（7分）（Ⅱ）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226×2%，（8分）再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为226×2%×2x，（10分）由题意226×2%×2x≤108，（11分）两边取常用对数得26lg2+lg2﹣2+xlg2≤8，解得x≤6.2（13分）故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．（14分）20．（13.00分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．【解答】解：（Ⅰ）依题意得c=1，，b2﹣4ac=0解得a=1，b=2，c=1，从而f（x）=x2+2x+1；…（3分）（Ⅱ）F（x）=x2+（2﹣k）x+1，对称轴为，图象开口向上当即k≤﹣2时，F（x）在[﹣2，2]上单调递增，此时函数F（x）的最小值g（k）=F（﹣2）=k+3；…（5分）当即﹣2＜k≤6时，F（x）在上递减，在上递增，此时函数F（x）的最小值；…（7分）当即k＞6时，F（x）在[﹣2，2]上单调递减，此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9﹣2k；…（9分）综上，函数F（x）的最小值；…（10分）21．（14.00分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D 内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）若函数f（x）=k•2x+b属于集合M，试求实数k和b满足的条件；（3）设函数f（x）=lg属于集合M，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），若f（x）=∈M，则存在非零实数x0，使得=+1，即x02+x0+1=0，因为此方程无实数解，所以函数（x）=∉M．（2）D=R，由f（x）=k•2x+b∈M，存在实数x0，使得k•2x0+1+b=k•2x0+b+2k+b，k•2x0=2k+b，若k=0，则b=0，k≠0有＞0，所以，k和b满足的条件是k=0，b=0或＞0．（3）由题意，a＞0，D=R．由f（x）=lg∈M，存在实数x0，使得lg=lg+lg，所以，=•，化简得（a﹣3）x02+2ax0+3a﹣6=0，当a=3时，x0=﹣，符合题意．当a＞0且a≠3时，由△≥0得4a2﹣18（a﹣3）（a﹣2）≥0，化简得2a2﹣15a+18≤0解得a≤6且a≠3综上，实数a的取值范围是a≤6．。