1-3 圆周运动
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物理1-3圆周运动
o
x
设质点在oxy平面内绕 点、沿半径为 的轨道作 平面内绕o点 沿半径为R的轨道作 设质点在 平面内绕 圆周运动，如图。 轴为参考方向， 圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的 轴为参考方向 角位置为 角位移为 平均角速度为
ω = θ t
θ θ
规定反时针为正
1 - 3
圆周运动及其描述
角速度为 角加速度为
1 - 3
圆周运动及其描述
1
第一章 质点运动学
已知： 已知： v A = 1940km h
vB = 2192km h 1
v 所转过的角度θ 为 （2）在时间 t 内矢径 r ）
A
t = 3s
AB = 3.5km
v vA
B
β
1 2 θ = ω At + αt 2
飞机经过的路程为
v r a n θ
v at
dθ d 由加速度定义， 由加速度定义，有 ω = = ( 2 + 4t 3 ) = 12t 2 dt dt v v v v 法向加速度 a = ω 2 Re = 14.4t 4 e = 230.4e m / s 2 n n n n
dt dt
v v an a
v v v v 切向加速度 a = dv e = d ( ωR ) e = 2.4te = 4.8m / s 2 t t t t
r r v dv = dv e a= dt t dt
r det +v dt
1 - 3
圆周运动及其描述
第一章 质点运动学
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义： 以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义： 如图，质点在dt 时间内经历弧长ds， 如图，质点在 时间内经历弧长 ，对应于角 位移d 切线的方向改变d 角度。 位移 θ ，切线的方向改变 θ角度。 作出dt始末时刻的切向单位矢， 作出 始末时刻的切向单位矢， 始末时刻的切向单位矢 由矢量三角形法则可求出极限 情况下切向单位矢的增量为
普通物理学第七版 第一章 运动和力
包括速度方向的变化和速度量值的变化。 平均加速度（average acceleration）：
v a t
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瞬时加速度（instantaneous acceleration）：
加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量v的
极限方向。加速度与速度的方向一般不同。 加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。 加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。
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三、空间和时间
空间（ space ）反映了物质的广延性，与物体 的体积和位置的变化联系在一起。 时间（time）反映物理事件的顺序性和持续性。 目前的时空范围：宇宙的尺度1026 m(~150亿光年)
到微观粒子尺度10-15 m，从宇宙的年龄1018 s(~150亿 年)到微观粒子的最短寿命10-24 s。 物理理论指出，空间和时间都有下限：分别为 普朗克长度10-35 m和普朗克时间10-43 s 。
2 2 2 2 2 （ 4） r r x y ( 2 t ) ( 6 2 t )
dr 0 dt
4t ( 2t 2 5) ( 2t ) 2 ( 6 2t ) 2
0
5 t s 时 r =3.0m，离原点最近。 2
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例1-2 曲柄 OA长为r，连杆AB长为l。当曲柄以均匀 角速度 绕轴 O 旋转时，通过连杆将带动 B 处的活塞 在气缸内往复运动，试求活塞的运动学方程、速度v 和加速度a与t的关系式。
Δr AB
s =AB
rB 同方向时，取等号。 只有当 rA 、
r rB rA rB rA
则 r r
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七、速度
大学物理第一章
r g
r v
r g
近日点
r g r v
r v
注意： 直线运动中“位移、速度、加速度”的矢量性。 注意： 直线运动中“位移、速度、加速度”的矢量性。
当质点作直线运动时 当质点作直线运动时 直线 矢量的方向性体现在指向上，用正、负号表示 矢量的方向性体现在指向上，
x = x(t )
dx v= dt
注意
r v r a
r v r a
r a
r v
速率增大，加速度与速度的夹角小于90° 速率增大，加速度与速度的夹角小于 °。 速率减小，加速度与速度的夹角大于90° 速率减小，加速度与速度的夹角大于 °。
r g
r v r v r g
r g r v
r v
r 远日点 g r v
r v r g r v r r g g
第一篇
力 学
力学
——研究机械运动的规律 研究机械运动的规律 研究机械运动
物体位置随时间的变化
(mechanics)
力学
研究随时间的推移，物体空间位置的变动。 运动学 —研究随时间的推移，物体空间位置的变动。
动力学 —研究物体间相互作用与运动的关系。 研究物体间相互作用与运动的关系。 研究物体间相互作用与运动的关系
∆S
是矢量
S
r r( t )
r ∆r
r r ( t + ∆t )
o
路程 ∆S 平均速率＝ ＝ >0 时间 ∆t 是标量
( 2 ) 瞬时速度
质点在t时刻的瞬时速度等于t至t + ∆t时间内 的平均速度当∆t → 0时的极限。
r r r ∆r dr v = lim = ∆t → 0 ∆t dt
即：质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的 变化率或一阶导数。
r v
r g
近日点
r g r v
r v
注意： 直线运动中“位移、速度、加速度”的矢量性。 注意： 直线运动中“位移、速度、加速度”的矢量性。
当质点作直线运动时 当质点作直线运动时 直线 矢量的方向性体现在指向上，用正、负号表示 矢量的方向性体现在指向上，
x = x(t )
dx v= dt
注意
r v r a
r v r a
r a
r v
速率增大，加速度与速度的夹角小于90° 速率增大，加速度与速度的夹角小于 °。 速率减小，加速度与速度的夹角大于90° 速率减小，加速度与速度的夹角大于 °。
r g
r v r v r g
r g r v
r v
r 远日点 g r v
r v r g r v r r g g
第一篇
力 学
力学
——研究机械运动的规律 研究机械运动的规律 研究机械运动
物体位置随时间的变化
(mechanics)
力学
研究随时间的推移，物体空间位置的变动。 运动学 —研究随时间的推移，物体空间位置的变动。
动力学 —研究物体间相互作用与运动的关系。 研究物体间相互作用与运动的关系。 研究物体间相互作用与运动的关系
∆S
是矢量
S
r r( t )
r ∆r
r r ( t + ∆t )
o
路程 ∆S 平均速率＝ ＝ >0 时间 ∆t 是标量
( 2 ) 瞬时速度
质点在t时刻的瞬时速度等于t至t + ∆t时间内 的平均速度当∆t → 0时的极限。
r r r ∆r dr v = lim = ∆t → 0 ∆t dt
即：质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的 变化率或一阶导数。
2024年高考物理一轮复习(新人教版) 第4章 第3讲 圆周运动
g lcos
θ＝
gh，所以小球 A、B 的角速度相等，
线速度大小不相等，故 A 正确，B 错误；
对题图乙中 C、D 分析，设绳与竖直方向的夹角为 θ，小球的质量为 m，绳上拉力为 FT，则有 mgtan θ＝man，FTcos θ＝mg，得 an＝gtan θ，FT ＝cmosgθ，所以小球 C、D 所需的向心加速度大小相等，小球 C、D 受 到绳的拉力大小也相等，故 C、D 正确.
当转速较大，FN指向转轴时， 则FTcos θ＋FN′＝mω′2r 即FN′＝mω′2r－FTcos θ 因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力 不一定变大，C错误； 根据F合＝mω2r可知，因角速度变大，则小球所受合外力变大，D正确.
例5 (2022·全国甲卷·14)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图
例7 如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做 水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方.则 A.球甲的角速度一定大于球乙的角速度
√B.球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C.球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期 D.甲对内壁的压力一定大于乙对内壁的压力
对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，
√B.弹簧弹力的大小一定不变
C.小球对杆压力的大小一定变大
√D.小球所受合外力的大小一定变大
对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向 的夹角为θ， 则对小球竖直方向有 FTsin θ＝mg，而 FT＝kcMosPθ－l0 可知θ为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度 不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确； 水平方向当转速较小，杆对小球的弹力FN背离转轴时，则FTcos θ－ FN＝mω2r 即FN＝FTcos θ－mω2r
1-3几种典型的运动形式
a a an
13
(2) 质点作匀变速圆周运动时的角速度、角位移 与角加速度的关系式为
t t t / 2 2 ( )
0 2 0 0 2 2 0 0
与匀变速直线运动的几个关系式
v v0 at
1 2 而： r (v0 cos 0 i v0 sin 0 j )t gt j 2
1 2 v0t gt j 2
运动的分解可有多种形式。抛体运动也可以分解为 沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体 运动的叠加
10
1 2 r v0t gt j 2
v v0 cos0i (v0 sin 0 gt) j
1 2 r v0 cos 0ti (v0 sin 0t gt ) j 2
抛体运动轨道方程
y ( tan 0 ) x
g 2(v0 cos 0 )
2
x
2
6
v v0 cos0i (v0 sin 0 gt) j
S R
v R a R
t
v ΔS 0
R Δθ θ
v an R 2 R
2
ω , x
15
例题 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。 解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为： 2 2 5 1 7.27 10 s 24 60 60 T
如图，地面上纬度为的P点， 在与赤道平行的平面内作圆周 运动, 其轨道的半径为 赤道 r R
p
r R cos
16
v r R cos
5
P点速度的大小为:
r
6
第六章圆周运动第1节圆周运动
弧长 l
=
=
半径 r
3.转速n (r/s):单位时间内转过的圈数 转速越大物体运动得越快
4.周期T (s):转过一周所用的时间 周期越大运动得越慢,周期越小运动得越快
描述圆周运动快慢的物理量:线速度v、角速度w、转速n
匀速圆周运动
物体沿着圆周运动,并且线速度的大小
处处相等.
注意:匀速圆周运动是一种变
题6 ［2019·广东广雅中学高一检测］如图所示，A、
B两轮属于摩擦传动，两轮半径RA=2RB，P、Q为两 【点拨】
轮边缘上的点，当主动轮A匀速转动时，P、Q两点 （1）摩擦传动时，两
角速度大小之比为（ B ）
轮边缘的线速度大小相
A.2∶1 C.1∶1
B.1∶2 D.1∶4
等。 （2）两轮的转动方向 相反。
1 2
gt12
，
所以t1=
2R 。
g
A物体做匀速圆周运动，从a点运动到d点转过的角度应满足θ=2πn+ 3 （n=0，1，2，…）
2
所用时间为t2=
=
2
n
3 2
（n=0，1，2，…）
t1=t2，得
2R g
=
2
n
3 2
（n=0，1，…）。
2
2R
已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是
（ BC）
A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动
C.从动轮的转速为 r1 n D.从动轮的转速为 r2 n
r2
r1
【解析】 A错，B对：由于皮带是交叉传动，所以主动轮做顺时针转动时，从动轮做逆时针转动。 C对，D错：皮带轮边缘上各点的线速度大小相等，又v1=ω1r1=2nπr1，v2=ω2r2=2n′πr2，由v1=v2 得n′= r1 n 。
第3课时 圆周运动(一)
3.对向心力的进一步理解 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是各力的合力或某力的 分力,总之,只要能达到维持物体做圆周运动效果的力,就是向心力.如水平 圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体[图(甲)]和水平地面上匀速转弯的汽 车,所受摩擦力提供向心力;圆锥摆[图(乙)]和以规定速率转弯的火车,向心 力是重力与弹力的合力.
A.Q受到桌面的支持力变大 B.Q受到桌面的静摩擦力变大 C.小球P运动的线速度变小 D.小球P运动的角速度变大
解析:金属块 Q 保持在桌面上静止,对于金属块 Q 和小球 P 整体竖直方向上没有加速度,根据平
衡条件知,Q 受到桌面的支持力等于两物体的重力保持不变,选项 A 错误;设细线与竖直方向的
夹角为θ,细线的拉力大小为 FT,细线的长度为 L,小球 P 做匀速圆周运动时,由重力和细线的拉
力的合力提供向心力,如图所示,则有 FT= mg ,Fn=mgtan θ=mω2Lsin θ= mv2 ,解得ω
cos
L sin
= g ,v= gLsin tan ,使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时,θ增 L cos
4.圆周运动中向心力的分析 (1)匀速圆周运动:物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力,向 心力大小不变,方向始终与速度方向垂直且指向圆心,这是物体做匀速圆周 运动的条件. (2)变速圆周运动:在变速圆周运动中,合外力不仅大小随时间改变,其方向 也不一定沿半径指向圆心.合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方 向的分力的矢量和)提供向心力,使物体产生向心加速度,改变速度的方向. 合外力沿轨道切线方向的分力,使物体产生切向加速度,改变速度的大小.
R ab Ra 2
ac Rc
3 .故 aa∶ab∶ac=9∶6∶4,故选项 D 正确. 2
大学物理1-3 曲线运动
第1章 质点运动学
返回
12
南通大学
Nantong University
1-3 曲线运动
四
抛体运动
v
g
x
以抛射点为坐标原点。设t=0时，物体速度为 v0 y 任意时刻质点的加速度为： a g j v0 v v0 cos0 i (v0 sin 0 gt) j 速度：
o
v2 an n 法向加速度（由速度方向变化引起） R
dv at dt
v
切向加速度（由速度大小变化引起）
第1章 质点运动学
返回
v'
v n
v
v t
2
南通大学
Nantong University
1-3 曲线运动
变速圆周运动的加速度在“自然坐标系”中表示为：
即： v x v0 cos0
v y v0 sin0 gt
θ0 o
t 1 2 位矢： r r0 v dt v0 t cos 0 i ( v0 t sin 0 gt ) j 0 2
即： x v0 cos 0 t
y v0 sin 0 t
y p dy h ds
即： vdv g cos ds gdy 两边积分：
θ
v
v0
vdv g dy
y h
g
at
O
S
x
1 2 2 ( v v0 ) g ( h y ) 得： 2
2 v 2 v0 2 g ( h y )
与自由落体速度 公式相同！
A(t)
v
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at
an 0 0 π
切向加速度 at d v r dt 0 , 0 π , v 增大 2 0 , π , v 常量 at 2
y
a
v
en
et
o a a
x
π π , v 减小 0, 2
第一章 质点运动学
v ds dt
v (t ) r (t )
d dt
角加速度
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 二 匀速率圆周运动 ds v et vet r et dt
vB
r
o
v v
r t 2 v v 加速度大小 a lim t 0 t r t 0, 0, v v r
a
an at
a 与 a t的夹角 tan an at
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
d dt
at d v r dt 若 = 常量，t = 0 时， ＝ 0， ＝ 0 ,可求
匀变角加速圆周运动公式.
＝ 0＋ t
0 0t
1 2
t
2
2
2 0
2 ( 0 )
注意：仅 适用于角加速 度为恒量情况.
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
x r cos y r sin
1 – 3 圆周运动 一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t )
角速度 ( t )
d (t ) dt
y
B
速率 v lim s r lim t 0 t t 0 t
r
o
A
x
r
v2
r
a a t e t a n en
dv v et en dt r 2 a a t2 a n
2
v v n vt v1
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
a a t e t a n en
a 与 e t 夹角 tan 1 a n
dv dt
2 (at
ds dt
d
(
1
bt ) bt
2
dt 2
b
an
2 1 2 an )
v
2
( bt ) r
1)
2
at a
b(
2 4 2
r 2 4 b t
r
2
1 2
1 2
tan
第一章 质点运动学
(
b t r
1)
1 – 3 圆周运动 四 角加速度 匀变角加速圆周运动公式 角加速度 切向加速度
1 – 3 圆周运动 对于一般的曲线运动 ds dv v 2 v et a et en dt dt d s 曲率半径 . 其中 d 利用自然坐标, 一切运动可以 根据切向、法向加速度来分类： an= 0 an= 0 an 0 an 0 at= 0 at 0 at = 0 at 0 匀速直线运动 变速直线运动 匀速曲线运动 变速曲线运动
a
dt
o
vB
分离变量有
v
vB
A
dv
0 a t d t
t
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 已知：v A 1940 km h
1
v B 2192 km h
1
AB 3 . 5 km vB vA vB t 2 at 23 . 3 m s dv atdt v A 0 t 2 vB 2 an 106 m s 在点 B 的法向加速度 r vA A 在点 B 的加速度
dv a a t e t a n en dt
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 切向加速度（速度大小变化引起）
at d v r dt dt2
an v r
2
d 2s
v2
法向加速度（速度方向变化引起）
en
o
et
v1
v
2
圆周运动加速度
t 3s
r an
B
at
a
a
a 与法向之间夹角 为
vB
arctan
at an 12 . 4
2 at
2 an
109 m s
2
o
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
已知： v A 1940 km h
1
v B 2192 km h
1
t 3s
（2）在时间
AB 3 . 5 km
t 内矢径
r
所转过的角度 为
1 2
At
t
2
A
vA
飞机经过的路程为
at
r an
B
s r v At
vB
ห้องสมุดไป่ตู้1 2
a tt
2
a
代入数据得
s 1722 m
o
第一章 质点运动学
2 dv v 2 a en r en dt r
r
v t
v r
vA et
en r
v v A vB
法向单 位矢量
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 三 变速圆周运动 切向加速度和法向加速度 v2 v vt vn et vt vn v1 a lim lim en t 0 t t 0 t 2 o vn v r lim en a n en t 0 t r vt dv v2 v v lim et a tet n t 0 t dt vt v1
1 – 3 圆周运动 平面极坐标 设一质点在 Oxy 平面内
y
A
运动，某时刻它位于点 A .矢
径 r 与 x 轴之间的夹角
置可由 A ( r , ) 来确定 .
r
o
为 . 于是质点在点 A 的位
x
以 ( r , ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 .
它与直角坐标系之间的变换关系为
（E）若物体的加速度 匀变速率运动 .
第一章 质点运动学
a
为恒矢量，它一定作
1 – 3 圆周运动
讨论 例 质点作半径为R的变速圆周运动的加 速度大小为：
（1）
dv dt
v
2
（2）
v
2
R
（3） d v
dt
R
（4）
(
dv dt
) (
2
v
2
R
)
2
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 例1 设有一个质点作半径为 r 的圆周运动. 质点沿 圆周运动所经历的路程与时间的关系为 s = bt2/2, 并设 b 为一常量, 求（1）此质点在某一时刻的速率; （2）法向加速度和切向加速度的大小;（3）总加速度. 解：（1） v （2） a t （3） a
1 – 3 圆周运动 例2 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率 为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率 为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径 约为 3.5km , 且飞机从 A 到 B 的俯冲过程可视为匀变 速率圆周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求 (1) 飞机 在点 B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解（1）因飞机作匀变速率 vA A 运动所以 a t 和 为常量 . B dv r a at at n
an 0 0 π
切向加速度 at d v r dt 0 , 0 π , v 增大 2 0 , π , v 常量 at 2
y
a
v
en
et
o a a
x
π π , v 减小 0, 2
第一章 质点运动学
v ds dt
v (t ) r (t )
d dt
角加速度
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 二 匀速率圆周运动 ds v et vet r et dt
vB
r
o
v v
r t 2 v v 加速度大小 a lim t 0 t r t 0, 0, v v r
a
an at
a 与 a t的夹角 tan an at
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
d dt
at d v r dt 若 = 常量，t = 0 时， ＝ 0， ＝ 0 ,可求
匀变角加速圆周运动公式.
＝ 0＋ t
0 0t
1 2
t
2
2
2 0
2 ( 0 )
注意：仅 适用于角加速 度为恒量情况.
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
x r cos y r sin
1 – 3 圆周运动 一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t )
角速度 ( t )
d (t ) dt
y
B
速率 v lim s r lim t 0 t t 0 t
r
o
A
x
r
v2
r
a a t e t a n en
dv v et en dt r 2 a a t2 a n
2
v v n vt v1
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
a a t e t a n en
a 与 e t 夹角 tan 1 a n
dv dt
2 (at
ds dt
d
(
1
bt ) bt
2
dt 2
b
an
2 1 2 an )
v
2
( bt ) r
1)
2
at a
b(
2 4 2
r 2 4 b t
r
2
1 2
1 2
tan
第一章 质点运动学
(
b t r
1)
1 – 3 圆周运动 四 角加速度 匀变角加速圆周运动公式 角加速度 切向加速度
1 – 3 圆周运动 对于一般的曲线运动 ds dv v 2 v et a et en dt dt d s 曲率半径 . 其中 d 利用自然坐标, 一切运动可以 根据切向、法向加速度来分类： an= 0 an= 0 an 0 an 0 at= 0 at 0 at = 0 at 0 匀速直线运动 变速直线运动 匀速曲线运动 变速曲线运动
a
dt
o
vB
分离变量有
v
vB
A
dv
0 a t d t
t
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 已知：v A 1940 km h
1
v B 2192 km h
1
AB 3 . 5 km vB vA vB t 2 at 23 . 3 m s dv atdt v A 0 t 2 vB 2 an 106 m s 在点 B 的法向加速度 r vA A 在点 B 的加速度
dv a a t e t a n en dt
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 切向加速度（速度大小变化引起）
at d v r dt dt2
an v r
2
d 2s
v2
法向加速度（速度方向变化引起）
en
o
et
v1
v
2
圆周运动加速度
t 3s
r an
B
at
a
a
a 与法向之间夹角 为
vB
arctan
at an 12 . 4
2 at
2 an
109 m s
2
o
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
已知： v A 1940 km h
1
v B 2192 km h
1
t 3s
（2）在时间
AB 3 . 5 km
t 内矢径
r
所转过的角度 为
1 2
At
t
2
A
vA
飞机经过的路程为
at
r an
B
s r v At
vB
ห้องสมุดไป่ตู้1 2
a tt
2
a
代入数据得
s 1722 m
o
第一章 质点运动学
2 dv v 2 a en r en dt r
r
v t
v r
vA et
en r
v v A vB
法向单 位矢量
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 三 变速圆周运动 切向加速度和法向加速度 v2 v vt vn et vt vn v1 a lim lim en t 0 t t 0 t 2 o vn v r lim en a n en t 0 t r vt dv v2 v v lim et a tet n t 0 t dt vt v1
1 – 3 圆周运动 平面极坐标 设一质点在 Oxy 平面内
y
A
运动，某时刻它位于点 A .矢
径 r 与 x 轴之间的夹角
置可由 A ( r , ) 来确定 .
r
o
为 . 于是质点在点 A 的位
x
以 ( r , ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 .
它与直角坐标系之间的变换关系为
（E）若物体的加速度 匀变速率运动 .
第一章 质点运动学
a
为恒矢量，它一定作
1 – 3 圆周运动
讨论 例 质点作半径为R的变速圆周运动的加 速度大小为：
（1）
dv dt
v
2
（2）
v
2
R
（3） d v
dt
R
（4）
(
dv dt
) (
2
v
2
R
)
2
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 例1 设有一个质点作半径为 r 的圆周运动. 质点沿 圆周运动所经历的路程与时间的关系为 s = bt2/2, 并设 b 为一常量, 求（1）此质点在某一时刻的速率; （2）法向加速度和切向加速度的大小;（3）总加速度. 解：（1） v （2） a t （3） a
1 – 3 圆周运动 例2 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率 为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率 为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径 约为 3.5km , 且飞机从 A 到 B 的俯冲过程可视为匀变 速率圆周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求 (1) 飞机 在点 B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解（1）因飞机作匀变速率 vA A 运动所以 a t 和 为常量 . B dv r a at at n