4.5 矩、协方差矩阵
协方差矩阵计算方法
协方差矩阵计算方法1.确定随机变量集和样本数据集：首先需要确定分析的随机变量集和相应的样本数据集。
假设我们有n个随机变量和m个样本数据。
2.计算随机变量的均值向量：对于每个随机变量，计算所有样本数据的平均值，得到一个n维的均值向量。
例如，第i个随机变量的均值表示为X_i的均值。
3. 计算每个随机变量的方差：对于每个随机变量，计算其方差。
方差表示了数据集中各个样本数据与均值之间的离散程度。
第i个随机变量的方差表示为Var(X_i)。
4. 计算随机变量之间的协方差：对于每对不同的随机变量X_i和X_j，计算它们之间的协方差。
协方差表示了两个随机变量之间的线性相关程度。
第i个和第j个随机变量之间的协方差表示为Cov(X_i, X_j)。
5.构建协方差矩阵：通过上述计算得到的方差和协方差，构建一个n×n维的协方差矩阵。
矩阵的对角线上的元素是各个随机变量的方差，其他位置上的元素是相应随机变量之间的协方差。
[Cov(X_2, X_1) Var(X_2) ... Cov(X_2, X_n)][...............][Cov(X_n, X_1) Cov(X_n, X_2) ... Var(X_n)]其中，Var(X_i)表示第i个随机变量的方差，Cov(X_i, X_j)表示第i个随机变量和第j个随机变量之间的协方差。
在计算协方差矩阵时，需要注意以下几点：-样本数据的数量要足够大：为了确保协方差矩阵的准确性和可靠性，样本数据的数量应该足够大。
一般来说，至少需要有10倍于变量数量的样本数据。
-样本数据应该来自同一总体：如果样本数据来自不同的总体或者不满足相互独立的条件，协方差矩阵的计算结果可能是不准确的。
-方差和协方差的计算方法：方差的计算可以使用标准的方差公式，而协方差的计算可以使用样本协方差的公式。
样本协方差表示为两个随机变量样本数据的协方差之和除以样本数量减1-矩阵的对称性：由于协方差矩阵是对称矩阵，所以计算协方差矩阵时只需要计算上三角或下三角部分即可，然后将其对称复制到另一部分。
协方差矩阵的矩阵公式
协方差矩阵的矩阵公式协方差矩阵是统计学中常用的概念，用于衡量两个随机变量之间的线性关系。
它可以通过矩阵的形式来表示，这样更加直观和简洁。
本文将介绍协方差矩阵的矩阵公式，并解释其含义和应用。
协方差矩阵的矩阵公式可以用以下方式表示：C = [Cov(X1,X1) Cov(X1,X2) ... Cov(X1,Xn)][Cov(X2,X1) Cov(X2,X2) ... Cov(X2,Xn)][ ... ... ... ][Cov(Xn,X1) Cov(Xn,X2) ... Cov(Xn,Xn)]其中，C是一个n×n的矩阵，表示n个随机变量之间的协方差。
每个元素Cov(Xi,Xj)表示随机变量Xi和Xj之间的协方差。
协方差的定义是两个随机变量之间的期望值的乘积与各自的期望值的乘积之差。
协方差可以衡量两个随机变量的变化趋势是否一致。
如果协方差为正，则说明两个变量之间存在正相关关系；如果协方差为负，则说明两个变量之间存在负相关关系；如果协方差为零，则说明两个变量之间不存在线性关系。
协方差矩阵的对角线元素是各个随机变量的方差，表示自身的变化程度。
非对角线元素表示两个随机变量之间的协方差，衡量它们之间的相关性。
因此，协方差矩阵除了可以用来衡量随机变量之间的相关性，还可以用来分析随机变量的方差。
协方差矩阵在统计学和机器学习领域中有广泛的应用。
在统计学中，协方差矩阵可以用于计算两个或多个随机变量之间的相关性，从而推断它们之间的关系。
在机器学习中，协方差矩阵可以用于降维、特征选择和分类等任务。
例如，主成分分析（PCA）就是通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量来实现数据降维。
除了协方差矩阵的计算公式外，还有一些相关的概念需要了解。
例如，相关系数是协方差除以两个随机变量的标准差的乘积，用于衡量两个变量之间的线性关系强度。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越大表示相关性越强。
总结起来，协方差矩阵的矩阵公式是一种直观和简洁的表示方式，可以用于衡量随机变量之间的线性关系和方差。
矩与协方差矩阵
4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差与相关系数 4.4 矩与协方差矩阵
§4.3 矩与协方差矩阵
4.4.1 矩
设X和Y(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(X) 是 X 的一阶原点矩， Var(X) 是 X 的二阶中心矩。
E(XkYm) 为X与Y的 k+m 阶混合原点矩； E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]m} 为X与Y的 k+m 阶混合中心矩。
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 为X与Y的 2阶混合中心矩。
小结
本讲首先介绍二维随机向量 (X,Y) 的分量X与Y 的协方差及相关系数的概念、性质和计算；然后介 绍随机变量的各种矩(k 阶原点矩、 k 阶中心矩、 k+m 阶混合原点矩、k+m 阶混合中心矩)，n 维随机 向量的协方差阵的概念、性质和计算；最后简单介 绍了n 元正态分布的概念和三条重要性质。
协方差矩阵的数学理论和实际应用案例
协方差矩阵的数学理论和实际应用案例协方差矩阵是统计学中常用的一种矩阵，它可以描述随机变量之间的相关性。
在实际应用中，协方差矩阵广泛应用于金融领域、机器学习、图像处理等领域。
本文将从数学理论和实际应用两个方面来探讨协方差矩阵。
一、协方差矩阵的数学理论在介绍协方差矩阵之前，我们先介绍方差和协方差的概念。
方差是一个随机变量与其数学期望之差的平方的期望，即$Var(X)=E[(X-E[X])^2]$。
协方差是两个随机变量之间的关联程度，定义为$Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$。
其中，$E[X]$表示该随机变量的均值。
协方差矩阵是一个$n \times n$的矩阵，其中第$i$行第$j$列的元素是$Cov(X_i,X_j)$，即第$i$个和第$j$个随机变量之间的协方差。
协方差矩阵的对角线上的元素是方差，即$Var(X_i)$。
协方差矩阵可以表示为$C=\begin{bmatrix} Cov(X_1,X_1) & Cov(X_1,X_2) & \cdots & Cov(X_1,X_n) \\ Cov(X_2,X_1) & Cov(X_2,X_2) & \cdots & Cov(X_2,X_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Cov(X_n,X_1) & Cov(X_n,X_2) & \cdots & Cov(X_n,X_n) \end{bmatrix}$。
协方差矩阵的性质包括：1. 协方差矩阵是对称矩阵，即$C_{ij}=C_{ji}$。
2. 协方差矩阵是半正定矩阵，即对于任意$n \times 1$的向量$x$，都有$x^TCx \ge 0$。
这个性质表明协方差矩阵的所有特征值都非负。
3. 当协方差矩阵是对角矩阵时，表示的是各个随机变量的方差，且各个变量之间没有关联性。
协方差矩阵的计算
协方差矩阵的计算假设有n个观测值和m个变量的数据集。
首先，我们需要将数据集表示为一个m×n的矩阵X，其中每一行表示一个变量，每一列表示一个观测值。
然后，计算出每个变量的均值向量μ，其中μ=1/n∑Xi。
计算协方差矩阵的方法有两种：样本协方差矩阵和总体协方差矩阵。
样本协方差矩阵用于从样本数据中推断总体的协方差矩阵，而总体协方差矩阵用于已知总体的情况。
1.样本协方差矩阵：样本协方差矩阵表示样本数据中变量之间的关系。
它通过计算每个变量与其他变量之间的协方差来构建。
样本协方差矩阵的计算公式如下：Cov(X) = (X - μ)(X - μ)'/(n - 1)其中Cov(X)是协方差矩阵，X是数据矩阵，μ是均值向量，n是样本大小，'表示转置操作。
2.总体协方差矩阵：总体协方差矩阵是已知总体分布情况下的协方差矩阵。
它通过计算每个变量与其他变量之间的协方差来构建。
总体协方差矩阵的计算公式如下：Cov(X) = (X - μ)(X - μ)'/(n)其中Cov(X)是协方差矩阵，X是数据矩阵，μ是均值向量，n是样本大小，'表示转置操作。
下面以样本协方差矩阵来进行详细说明。
假设有一个2×5的数据集：X=[x11,x12,x13,x14,x15;x21,x22,x23,x24,x25]首先，计算每个变量的均值向量μ：μ=[1/n∑x11,1/n∑x12,1/n∑x13,1/n∑x14,1/n∑x15;1/n∑x21,1/n∑x22,1/n∑x23,1/n∑x24,1/n∑x25]然后，计算协方差矩阵Cov(X)：1.将数据矩阵X减去均值向量μ：X-μ=[x11-1/n∑x11,x12-1/n∑x12,x13-1/n∑x13,x14-1/n∑x14,x15-1/n∑x15;x21-1/n∑x21,x22-1/n∑x22,x23-1/n∑x23,x24-1/n∑x24,x25-1/n∑x25]2.计算(X-μ)的转置矩阵：(X-μ)'=[(x11-1/n∑x11)(x21-1/n∑x21);(x12-1/n∑x12)(x22-1/n∑x22);(x13-1/n∑x13)(x23-1/n∑x23);(x14-1/n∑x14)(x24-1/n∑x24);(x15-1/n∑x15)(x25-1/n∑x25)]3.计算(X-μ)(X-μ)'：(X-μ)(X-μ)'=[(x11-1/n∑x11)(x21-1/n∑x21)(x12-1/n∑x12)(x22-1/n∑x22)...(x15-1/n∑x15)(x25-1/n∑x25);(x12-1/n∑x12)(x22-1/n∑x22)(x13-1/n∑x13)(x23-1/n∑x23)...(x14-1/n∑x14)(x24-1/n∑x24);...]4. 计算协方差矩阵Cov(X)：Cov(X) = [(x11 - 1/n ∑x11) (x21 - 1/n ∑x21) (x12 - 1/n∑x12) (x22 - 1/n ∑x22) ... (x15 - 1/n ∑x15) (x25 - 1/n ∑x25);(x12-1/n∑x12)(x22-1/n∑x22)(x13-1/n∑x13)(x23-1/n∑x23)...(x14-1/n∑x14)(x24-1/n∑x24);...]这样就得到了协方差矩阵Cov(X)。
《概率论》第4章矩、协方差矩阵
为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}
概率论课件矩、协方差矩阵
中心矩是相对于均值（期望值）的矩，用于描述随机变量分布的形状和离散程 度。
标准化矩
标准化矩是对中心矩进行标准化处理后的矩，用于比较不同随机变量的分布特 性。
样本矩与总体矩
பைடு நூலகம்样本矩
样本矩是从总体中抽取样本后计算得到的矩，用于估计总体矩。
总体矩
总体矩是描述总体分布特性的矩，是样本矩的极限值。
03 协方差矩阵
详细描述
分析矩和协方差矩阵需要使用相关的统计方 法和技巧，如主成分分析、因子分析、聚类 分析等。通过对矩和协方差矩阵的分析，可 以提取数据集中的主要特征、发现变量之间 的潜在关系、对数据进行分类或聚类等。
实例三：数据集的矩和协方差矩阵应用
总结词
数据集的矩和协方差矩阵在概率论中有着广泛的应用 ，如统计推断、假设检验、回归分析等。
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VS
第二阶原点矩（即方差）
协方差矩阵的对角线元素是各个随机变量 的方差，非对角线元素是各个随机变量的 协方差。
协方差矩阵与方差-协方差矩阵的关系
方差-协方差矩阵是一个包含各个随机 变量的方差和协方差信息的矩阵，而 协方差矩阵只包含各个随机变量的协 方差信息。
方差-协方差矩阵是协方差矩阵的一个 扩展，它同时包含了随机变量的方差 信息，而协方差矩阵只包含随机变量 的协方差信息。
详细描述
在统计推断中，矩和协方差矩阵可用于估计总体参数和 进行假设检验。例如，利用样本矩估计总体矩，然后使 用这些估计值进行假设检验或置信区间的计算。在回归 分析中，矩和协方差矩阵可用于估计回归系数和进行模 型诊断。通过分析回归模型的矩和协方差矩阵，可以检 验模型的假设是否成立、诊断模型的问题等。此外，在 时间序列分析和金融数据分析等领域，矩和协方差矩阵 也具有重要的应用价值。
协方差矩阵
2
排成矩阵的形式:
c11 c12 c c 21 22
这是一个 对称矩阵
称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.
例4.22 设( X 1 , X 2 ) ~ N ( 1 , 2 , 12 , 12 , ), 试求其
协方差矩阵。
2 解 例3.18 （P .98 ）已计算得： c11 12 , c22 2 , c12 c21 1 2 , 于是
12 1 2
T T
1 2 . 2 2
T
记x ( x1 , x2 ) , ( 1 , 2 ) , 则二维随机变量 X ( X 1 , X 2 ) 的联合概率密度可以简 洁地表示为 1 1 T 1 f ( x) exp{ ( x ) ( x )} 1/ 2 2 2
0
1 x 2(1 x )dx , 3
E (Y )
2
1
0
1 E ( XY ) xy 2dxdy ydy 2 xdx , 0 0 4 D 1 1 1 2 2 D( X ) E ( X ) [ E ( X )] , 6 9 18 1 4 1 2 2 D(Y ) E (Y ) [ E (Y )] , 2 9 18
X与Y独立
X与Y不相关
4.5 矩、协方差矩阵 4.5.1 矩、偏态、峰态 定义4.6 设X和Y是随机变量。 若 E ( X k ) 存在， 称它为X的k阶原点矩；
记为Ak 或vk；
若 E{[ X E ( X )]k
存在， 称它为X的k阶中心矩；
记为Bk 或 μk；
若
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c11 c12 L c1n c21 c22 L c2 n C = M M M c n1 cn 2 L cnn
为 n 维随机变量的 协方差矩阵 .
例如 二维随机变量 ( X 1 , X 2 ) 的协方差矩阵为
由于 c ij = c ji ( i , j = 1,2,L , n ) ,所以协方差矩
阵为对称的非负定矩阵 .
三、小结
1. 矩是随机 变量的数字特征 .
数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原点矩; 方差 D( X ) 是 X 的二阶中心矩; 协方差 Cov( X ,Y ) 是 X 与 Y 的二阶混合中心矩 .
E 三阶中心矩 {[ X − E( X )]3 }主要用来衡量随
机变量的分布是否有偏 .
四阶中心矩E{[X − E( X)] } 主要用来衡量随
4
机变量的分布在均值附 近的陡峭程度如何 .
2. 协方差矩阵
设 n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,L, X n )的二阶混合
中心矩 cij = Cov( X i , X j ) = E {[ X i − E ( X i )][ X j − E ( X j )]
c11 c12 C= c21 c22
其中 c11 = E {[ X 1 − E ( X 1 )]2 },
c12 = E {[ X 1 − E ( X 1 )][ X 2 − E ( X 2 )]}, c 21 = E {[ X 2 − E ( X 2 )][ X 1 − E ( X 1 )]}, c 22 = E {[ X 2 − E ( X 2 )]2 }.
第四节
矩、协方差矩阵
一、基本概念 二、n 维正态变量的性质 三、小结
一、矩、协方差矩阵基本概念
1.矩的概念 矩的概念
设 X 和 Y 是随机变量 ,
若
若ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E ( X k ),
k = 1,2,L 存在,
k
称它为 X 的 k 阶原点矩, 简称 k 阶矩.
E {[ X − E ( X )] }, k = 2,3,L 存在,
说明
(1) 以上数字特征都是随机 变量函数的数学期望； 变量函数的数学期望；
(2) 随机变量 X , 数学期望 E ( X ) : X 的一阶原点矩, 方差D ( X ):X 的二阶中心矩 , 协方差 Cov( X , Y ): X 与 Y 的二阶混合中心矩 ;
( 3) 在实际应用中, 高于 4 阶的矩很少使用 .
称它为 X 的 k 阶中心矩.
k l 若 E ( X Y ),
k , l = 1,2,L 存在,
称它为 X 和 Y 的 k + l 阶混合矩.
若 E {[ X − E ( X )]k [Y − E (Y )]l }, k , l = 1,2,L 存在, 称它为 X 和 Y 的 k + l 阶混合中心矩.