矩和协方差矩阵
矩与协方差矩阵
4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差与相关系数 4.4 矩与协方差矩阵
§4.3 矩与协方差矩阵
4.4.1 矩
设X和Y(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(X) 是 X 的一阶原点矩， Var(X) 是 X 的二阶中心矩。
E(XkYm) 为X与Y的 k+m 阶混合原点矩； E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]m} 为X与Y的 k+m 阶混合中心矩。
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 为X与Y的 2阶混合中心矩。
小结
本讲首先介绍二维随机向量 (X,Y) 的分量X与Y 的协方差及相关系数的概念、性质和计算；然后介 绍随机变量的各种矩(k 阶原点矩、 k 阶中心矩、 k+m 阶混合原点矩、k+m 阶混合中心矩)，n 维随机 向量的协方差阵的概念、性质和计算；最后简单介 绍了n 元正态分布的概念和三条重要性质。
协方差矩阵的形式
协方差矩阵的形式协方差矩阵（covariance matrix）是一种用于衡量多变量之间关系的矩阵。
它是由方差和协方差组成的，并告诉我们变量之间的相关性以及每个变量自身的方差。
协方差矩阵在多元统计分析和数据处理领域中被广泛应用，为我们提供了关键的信息来理解变量之间的关系。
协方差矩阵是一个对称阵，其中的对角线元素表示对应变量的方差，非对角线元素表示不同变量之间的协方差。
具体而言，如果有d个变量，协方差矩阵C的元素C_ij表示第i个变量和第j个变量之间的协方差。
若i=j，则该元素表示第i个变量的方差；若i≠j，则该元素表示第i个变量和第j个变量的协方差。
协方差矩阵的大小为d×d。
协方差的计算公式为：cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，其中E 表示期望，X和Y分别为两个变量。
对于协方差矩阵C，其元素C_ij为变量i和j之间的协方差，可以通过以下公式计算：C_ij =cov(X_i, X_j) = E[(X_i-E(X_i))(X_j-E(X_j))]。
其中，X_i和X_j分别表示第i个变量和第j个变量。
协方差矩阵的重要性在于它提供了关于变量之间关系的全面信息，包括线性相关性和非线性相关性。
协方差矩阵的主对角线上的元素提供了每个变量的方差，反映了每个变量自身的差异程度。
如果一个变量的方差很大，意味着该变量的取值范围较广，相对其他变量有更大的波动性。
协方差矩阵的非对角线元素反映了不同变量之间的相关性。
当C_ij为正数时，表示变量i和变量j呈正相关关系；当C_ij为负数时，表示变量i和变量j呈负相关关系；当C_ij为0时，表示变量i和变量j之间没有线性相关关系。
通过观察协方差矩阵的非对角线元素，我们可以判断变量之间的相关程度。
协方差矩阵也可以用于研究变量之间的共线性问题。
共线性指的是两个或多个变量之间存在较高的线性相关性，可能会导致模型的多重共线性问题，降低预测的准确性。
《概率论》第4章矩、协方差矩阵
为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}
矩协方差矩阵
26 12
设(X1, X2,…, Xn) 是n 维随机变量, Xi与Xj的相关系数 ρij ( i , j =1,2,…,n )存在,
11 12 1n
则称矩阵
R
...2.1........2.2...............2
n
n1 n2 nn
为该随机变量的相关矩阵.
X+Y 与3X –Y 的相关系数为
Cov( X Y ,3X Y ) 2 1
D( X Y ) D(3X Y ) 4 16 4
(X+Y ,3X –Y)的协方差矩阵
C
4 2
2 16
(X+Y ,3X –Y)的相关矩阵
R
1 0.25
C C11 C21
C12 C22
2 1
1
2
1
2 2
2
例1 若 D( X ) 1, D(Y ) 4, XY 1 4,
求(X+Y ,3X –Y)的协方差矩阵和相关矩阵.
解:
Cov(X ,Y ) XY
D( X )
D(Y )
思考题答案：
协方差矩阵的主对角线上的元素Cii是相应的第i个 随机变量的方差;
相关矩阵的主对角线上的元素ρii都为1.
练习题：
1.已知随机变量X,Y 的联合分布为
XY 2 0 1 1 0.30 0.12 0.18
1 0.10 0.18分布随机变量 (X,Y) 的期望向量μ和协 方差矩阵V,分别是
C22 E{[X2 E( X2 )]2} D( X2 )
协方差矩阵通俗理解
协方差矩阵通俗理解
协方差矩阵是用于衡量多个随机变量之间关系的矩阵。
协方差指的是两个随机变量之间的关系，可以是正相关、负相关或者没有关系。
协方差矩阵将所有随机变量两两之间的协方差组成一个矩阵。
可以将协方差矩阵看作是一个表格，表格中每个元素代表了两个随机变量之间的关系强度。
矩阵的对角线上的元素是各个随机变量的方差，它们表示了每个变量自身的变化程度。
矩阵的其他元素是不同随机变量之间的协方差，它们表示了不同变量之间的共变关系。
协方差矩阵可以帮助我们分析不同变量之间的相关性。
如果两个变量之间的协方差为正数，则它们是正相关的；如果协方差为负数，则它们是负相关的；如果协方差为0，则它们是独立的变量，即彼此没有关系。
通过计算协方差矩阵，我们可以了解多个随机变量之间的关系强度和方向，从而帮助我们进行数据分析和模型建立。
概率论课件矩、协方差矩阵
中心矩是相对于均值（期望值）的矩，用于描述随机变量分布的形状和离散程 度。
标准化矩
标准化矩是对中心矩进行标准化处理后的矩，用于比较不同随机变量的分布特 性。
样本矩与总体矩
பைடு நூலகம்样本矩
样本矩是从总体中抽取样本后计算得到的矩，用于估计总体矩。
总体矩
总体矩是描述总体分布特性的矩，是样本矩的极限值。
03 协方差矩阵
详细描述
分析矩和协方差矩阵需要使用相关的统计方 法和技巧，如主成分分析、因子分析、聚类 分析等。通过对矩和协方差矩阵的分析，可 以提取数据集中的主要特征、发现变量之间 的潜在关系、对数据进行分类或聚类等。
实例三：数据集的矩和协方差矩阵应用
总结词
数据集的矩和协方差矩阵在概率论中有着广泛的应用 ，如统计推断、假设检验、回归分析等。
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VS
第二阶原点矩（即方差）
协方差矩阵的对角线元素是各个随机变量 的方差，非对角线元素是各个随机变量的 协方差。
协方差矩阵与方差-协方差矩阵的关系
方差-协方差矩阵是一个包含各个随机 变量的方差和协方差信息的矩阵，而 协方差矩阵只包含各个随机变量的协 方差信息。
方差-协方差矩阵是协方差矩阵的一个 扩展，它同时包含了随机变量的方差 信息，而协方差矩阵只包含随机变量 的协方差信息。
详细描述
在统计推断中，矩和协方差矩阵可用于估计总体参数和 进行假设检验。例如，利用样本矩估计总体矩，然后使 用这些估计值进行假设检验或置信区间的计算。在回归 分析中，矩和协方差矩阵可用于估计回归系数和进行模 型诊断。通过分析回归模型的矩和协方差矩阵，可以检 验模型的假设是否成立、诊断模型的问题等。此外，在 时间序列分析和金融数据分析等领域，矩和协方差矩阵 也具有重要的应用价值。
协方差矩阵
2
排成矩阵的形式:
c11 c12 c c 21 22
这是一个 对称矩阵
称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.
例4.22 设( X 1 , X 2 ) ~ N ( 1 , 2 , 12 , 12 , ), 试求其
协方差矩阵。
2 解 例3.18 （P .98 ）已计算得： c11 12 , c22 2 , c12 c21 1 2 , 于是
12 1 2
T T
1 2 . 2 2
T
记x ( x1 , x2 ) , ( 1 , 2 ) , 则二维随机变量 X ( X 1 , X 2 ) 的联合概率密度可以简 洁地表示为 1 1 T 1 f ( x) exp{ ( x ) ( x )} 1/ 2 2 2
0
1 x 2(1 x )dx , 3
E (Y )
2
1
0
1 E ( XY ) xy 2dxdy ydy 2 xdx , 0 0 4 D 1 1 1 2 2 D( X ) E ( X ) [ E ( X )] , 6 9 18 1 4 1 2 2 D(Y ) E (Y ) [ E (Y )] , 2 9 18
X与Y独立
X与Y不相关
4.5 矩、协方差矩阵 4.5.1 矩、偏态、峰态 定义4.6 设X和Y是随机变量。 若 E ( X k ) 存在， 称它为X的k阶原点矩；
记为Ak 或vk；
若 E{[ X E ( X )]k
存在， 称它为X的k阶中心矩；
记为Bk 或 μk；
若
协方差矩阵的概念
协方差矩阵的概念协方差矩阵是概率论和统计学中一个重要的概念，用于描述多维随机变量之间的关联程度。
它是一个对称的矩阵，其中包含了各个随机变量之间的协方差以及它们的方差。
协方差是一种描述两个随机变量之间关系的统计量，它衡量了两个随机变量的变化趋势是否一致。
具体而言，对于随机变量X和Y，它们的协方差定义为E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，其中E[·]表示期望值操作符。
如果协方差大于0，则表明X和Y 之间存在正相关关系；如果协方差小于0，则表明X和Y之间存在负相关关系；如果协方差等于0，则表明X和Y之间没有线性关系。
对于多个随机变量的情况，我们将它们的协方差组成一个矩阵，即协方差矩阵。
设有n个随机变量X1，X2，...，Xn，它们的协方差矩阵记为Σ，其中Σ(i, j)表示随机变量Xi和Xj之间的协方差。
协方差矩阵是一个对称矩阵，满足以下性质：1. 对角线上的元素是随机变量的方差，即Σ(i, i) = Var(Xi)；2. 非对角线上的元素是对应两个随机变量的协方差，即Σ(i, j) = Σ(j, i)。
协方差矩阵的作用主要体现在以下几个方面：1. 描述随机变量之间的关联性：协方差矩阵可以直观地展示多个随机变量之间的相关性。
通过对协方差矩阵进行分析，可以了解随机变量之间的关系强度和方向。
2. 变量选择与降维：通过协方差矩阵，可以判断不同随机变量之间的相关性。
在建模分析中，我们可以通过分析协方差矩阵来选择与目标变量相关性最强的变量，去除冗余的变量，从而实现降低维度的目的。
3. 风险度量：在金融领域，协方差矩阵可用于衡量资产之间的风险关系。
通过计算资产收益率之间的协方差矩阵，可以估计投资组合的风险水平，为资产配置、风险控制提供依据。
4. 生成随机样本：协方差矩阵可用于生成符合特定相关性要求的随机样本。
通过给定均值向量和协方差矩阵，可以使用相关多元正态分布的特性生成具有一定相关性的随机样本。
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1 ( x1 μ1 )2 ( x1 μ1 )( x2 μ2 ) ( x2 μ2 )2 2ρ . 2 2 2 σ1σ2 1 ρ σ1 σ2
于是 ( X1 , X 2 ) 的概率密度可写成
f ( x1 , x 2 ) 1 1 T 1 exp ( X μ ) C ( X μ ). 22 12 ( 2π) (det C ) 2
2. n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 服从 n 维正 态分布的充要条件是 X 1 , X 2 , , X n 的任意的线 性组合 l1 X 1 l2 X 2 ln X n 服从一维正态分布 (其中 l1 , l2 ,, ln 不全为零) .
3.若( X 1 , X 2 ,, X n )服从n维正态分布, 设Y1 ,, Yk 是 X j ( j 1,2,, n) 的线性函数, 则 (Y1 ,Y2 ,,Yk ) 也服从多维正态分布 . 线性变换不变性
第四节
矩、协方差矩阵
一、基本概念
二、n 维正态变量的性质 三、小结
一、基本概念
1.定义
设 X 和 Y 是随机变量, 若E ( X k ), k 1,2, 存在, 称它为 X 的 k 阶原点矩, 简称 k 阶矩. 若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
存在, 称它为 X 的 k 阶中心矩. k l 若 E ( X Y ), k , l 1,2, 存在, 称它为 X 和 Y 的 k l 阶混合矩. 若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l }, k , l 1,2, 存在, 称它为 X 和 Y 的 k l 阶混合中心矩.
c11 μ1 E ( X 1 ) μ2 E ( X 2 ) C c21 μ , c μ E( X ) n1 n n c12 c22 cn 2 c1n c2 n . cnn
c11 c12 C c21 c22
其中 c11 E{[ X1 E ( X1 )]2 },
c12 E{[ X 1 E ( X 1 )][ X 2 E ( X 2 )]}, c21 E{[ X 2 E ( X 2 )][ X 1 E ( X 1 )]},
4.设( X 1 ,, X n )服从n维正态分布, 则 “X 1 , X 2 ,, X n 相互独立” 与 “X 1 , X 2 ,, X n 两两 不相关” 是等价的.
三、小结
1. 矩是随机变量的数字特征 .
随机变量 X 的 ; 数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原点矩 ; 方差 D( X ) 是 X 的二阶中心矩 协方差 Cov( X ,Y ) 是 X 与 Y 的二阶混合中心矩 .
机变量的分布是否有偏. 四阶中心矩 E{[ X E ( X )]4 } 主要用来衡量随 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何.
3. 协方差矩阵
设 n 维随机变量( X 1 , X 2 ,, X n )的二阶混合 中心矩 c ij Cov( X i , X j ) E{[ X i E ( X i )][ X j E ( X j )]
x1 引入矩阵 X , x2
2 c11 c12 σ1 C c21 c22 ρσ1σ 2
ρσ1σ 2 , 2 σ2
由此可得
C
1 2 σ 1 2 det C ρσ1σ 2
ρσ1σ 2 2 σ1 ρσ1σ 2 . 2 σ1
2.正态变量是最重要的随机变量，其性质一定 要熟练掌握.
2 σ2 1 2 2 2 σ1 σ 2 (1 ρ ) ρσ1σ 2
由于
( X μ ) T C 1 ( X μ )
2 σ2 1 ( x1 μ1 , x2 μ2 ) ρσ σ det C 1 2
ρσ1σ 2 x1 μ1 2 σ1 x2 μ2
二、n 维正态 X 2 ,, X n )的每一个分 量X i , i 1, 2,, n 都是正态变量 ; 反之, 若 X 1 , X 2 ,, X n 都是正态变量, 且相互 独立 , 则 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是 n 维正态变量.
由于
f ( x1 , x2 ) 1 2πσ1σ 2 1 ρ2
1 ( x1 μ1 )2 ( x1 μ1 )( x2 μ2 ) ( x2 μ2 )2 exp 2ρ . 2 2 2 σ 1σ 2 σ1 σ2 2(1 ρ )
μ1 μ . μ2 c11 c12 , 及 ( X 1 , X 2 ) 的协方差矩阵C c21 c22
c22 E{[ X 2 E ( X 2 )]2 }.
由于 cij c ji ( i , j 1,2,, n) , 所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵 .
协方差矩阵的应用
协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究
以二维随机变量( X 1 , X 2 ) 为例.
2. 说明
(1) 以上数字特征都是随机 变量函数的数学期望 ; ( 2) 随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原
点矩, 方差为二阶中心矩 , 协方差 Cov( X ,Y )是 X 与 Y 的二阶混合中心矩 ; ( 3) 在实际应用中 ,高于 4 阶的矩很少使用 . 3 三阶中心矩E{[ X E ( X )] }主要用来衡量随
n 维随机变量( X 1 , X 2 ,, X n )的概率密度可表 示为 f ( x1 , x 2 ,, x n )
1 1 T 1 exp ( X μ ) C ( X μ ) . n2 12 ( 2π) (det C ) 2
推广
其中X ( x1 , x 2 ,, x n )T ,
i , j 1,2,, n 都存在, 则称矩阵
c11 c 21 C c n1 c12 c1n c 22 c 2 n c n 2 c nn
为 n 维随机变量的协方差矩阵.
例如 二维随机变量( X1 , X 2 ) 的协方差矩阵为