矩协方差矩阵简介
矩阵的方差 协方差
矩阵的方差协方差矩阵方差与协方差是统计学中常用的两个概念，用于衡量变量之间的相关性以及数据的离散程度。
在数据分析和机器学习等领域中，矩阵方差与协方差的概念被广泛运用，成为了测量和建模数据之间关系的重要工具。
一、方差(Variance)方差是用来度量随机变量离其期望值的平均距离，衡量数据的离散程度和分布的散布程度。
对于一个样本集合X={X1,X2,...,Xn}，其方差定义为：Var(X) = E（(X-EX)²）其中，E表示期望值运算符，EX表示X的期望值。
方差越大，数据的分散程度越大。
对于一个n×d的矩阵X，如果将其看作是包含n个样本的d维向量，我们可以通过求解X在每个维度上的方差来得到矩阵的方差。
即，对于每个维度i，我们可以计算矩阵X在该维度上的样本方差：Var(X[:,i]) = Var([X₁,i; X₂,i; ...; Xn,i])其中，Var表示方差运算符，X[:,i]表示X矩阵中的第i列。
将每个维度上的样本方差组成一个向量Var(X)=[Var(X[:,1]),Var(X[:,2]),...,Var(X[:,d])]，即可得到矩阵X的方差。
二、协方差(Covariance)协方差用于度量两个变量之间的线性关系。
对于两个随机变量X和Y，其协方差定义为：Cov(X,Y) = E（(X-EX)*(Y-EY)）其中，EX和EY分别表示X和Y的期望值。
协方差可正可负，正值表示两个变量正相关，负值表示两个变量负相关，数值的绝对值表示相关程度的强弱。
对于一个n×d的矩阵X，我们可以通过协方差矩阵来度量各个维度之间的相关性。
协方差矩阵的定义如下：Cov(X) = E（(X-EX)(X-EX)ᵀ）其中，(X-EX)(X-EX)ᵀ是一个n×n的矩阵，表示X中每个样本向量与其均值向量之间的差值，ᵀ表示转置运算符。
协方差矩阵的对角线元素为各个维度上的方差，非对角线元素为不同维度之间的协方差。
概率论-4.4 矩和协方差矩阵
3
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对n维随机变量来说，可作类似推广：
其中
c11 c12 L c1n
C
c21
c22
L
c2n
M M
M
Байду номын сангаас
cn1 cn2 L cnn
cij Cov(Xi , X j ) E Xi E(Xi ) X j E(X j ) ,i, j 1, 2,L , n
称C为n维随机变量 (X1, X 2,L , X n ) 的协方差矩阵。
2020年4月26日星期日
2
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令
X1 X2
它的转置为
E( )
X1, X2 这时ξ的数学期望为
E(X1)
E
(
X
2
)
类似于一维随机变量，可以对ξ定义二阶中心矩：
E[
E(
)][
E(
)]
E
X1 X2
E(X1) E(X2)
(
X1
E(
X1),
X
2
E(
X
2
))
E
X
2020年4月26日星期日
1
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注意到
D(X ) E X E(X )2
自然地推广到
E X E(X )k
称上式为X的k阶中心矩。
E(X kY l ), E X E(X )k Y E(Y )l
分别称为X的k+l阶混合矩和k+l阶混合中心矩。 特别地，当k=1，l=1时，二阶混合中心矩就是协方差。
第四节 矩和协方差矩阵
由于
矩与协方差矩阵
4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差与相关系数 4.4 矩与协方差矩阵
§4.3 矩与协方差矩阵
4.4.1 矩
设X和Y(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(X) 是 X 的一阶原点矩， Var(X) 是 X 的二阶中心矩。
E(XkYm) 为X与Y的 k+m 阶混合原点矩； E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]m} 为X与Y的 k+m 阶混合中心矩。
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 为X与Y的 2阶混合中心矩。
小结
本讲首先介绍二维随机向量 (X,Y) 的分量X与Y 的协方差及相关系数的概念、性质和计算；然后介 绍随机变量的各种矩(k 阶原点矩、 k 阶中心矩、 k+m 阶混合原点矩、k+m 阶混合中心矩)，n 维随机 向量的协方差阵的概念、性质和计算；最后简单介 绍了n 元正态分布的概念和三条重要性质。
《概率论》第4章矩、协方差矩阵
为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}
4-4协方差矩阵
n
y= 2 t
=2
−1Leabharlann 1 n2 E( X t ) = 22
2σ = 2π
n +∞
∫y
0
y2 − n 2
e
dy
−
1 2 dt
1 1 − 2 t 2 dt
n 1 − 2 2
2σ E( X ) = 2π
=
n 22
n +∞
∫2
0
t
n 1 − 2 2
e dt
=
n 22
−t
n +∞ n+1 −1 σ t 2 e − t dt
矩与协方差矩阵
设有随机变量X 相互独立， 例3 设有随机变量 ，Y相互独立，X~N(1,4),Y~N(2,9) 相互独立 的分布. 求2X-Y的分布 的分布 随机变量X 服从正态分布,且 解 随机变量 ，Y服从正态分布 且相互独立,则 服从正态分布 相互独立, 2X-Y也服从正态分布 也服从正态分布
c12 称此矩阵为(X,Y)的 的 称此矩阵为 c 22
矩与协方差矩阵
将(X,Y)的协方差矩阵予以 推广，设有 维随机变量 的协方差矩阵予以 推广，设有n维随机变量 X1, X2,‥‥, n , 若记 ‥‥,X ‥‥,
c ij = COV ( X i , X j ) = E {[ X i − E ( X i )][ X j − E X j ]}
( )
(
)
ρσ 1σ 2 2 σ2
利用线性代数知识有
(c )
ij
−1
=
2 σ2 1 det( c ij ) − ρσ 1σ 2
− ρσ 1σ 2 σ 12
矩协方差矩阵
26 12
设(X1, X2,…, Xn) 是n 维随机变量, Xi与Xj的相关系数 ρij ( i , j =1,2,…,n )存在,
11 12 1n
则称矩阵
R
...2.1........2.2...............2
n
n1 n2 nn
为该随机变量的相关矩阵.
X+Y 与3X –Y 的相关系数为
Cov( X Y ,3X Y ) 2 1
D( X Y ) D(3X Y ) 4 16 4
(X+Y ,3X –Y)的协方差矩阵
C
4 2
2 16
(X+Y ,3X –Y)的相关矩阵
R
1 0.25
C C11 C21
C12 C22
2 1
1
2
1
2 2
2
例1 若 D( X ) 1, D(Y ) 4, XY 1 4,
求(X+Y ,3X –Y)的协方差矩阵和相关矩阵.
解:
Cov(X ,Y ) XY
D( X )
D(Y )
思考题答案：
协方差矩阵的主对角线上的元素Cii是相应的第i个 随机变量的方差;
相关矩阵的主对角线上的元素ρii都为1.
练习题：
1.已知随机变量X,Y 的联合分布为
XY 2 0 1 1 0.30 0.12 0.18
1 0.10 0.18分布随机变量 (X,Y) 的期望向量μ和协 方差矩阵V,分别是
C22 E{[X2 E( X2 )]2} D( X2 )
概率论课件矩、协方差矩阵
中心矩是相对于均值（期望值）的矩，用于描述随机变量分布的形状和离散程 度。
标准化矩
标准化矩是对中心矩进行标准化处理后的矩，用于比较不同随机变量的分布特 性。
样本矩与总体矩
பைடு நூலகம்样本矩
样本矩是从总体中抽取样本后计算得到的矩，用于估计总体矩。
总体矩
总体矩是描述总体分布特性的矩，是样本矩的极限值。
03 协方差矩阵
详细描述
分析矩和协方差矩阵需要使用相关的统计方 法和技巧，如主成分分析、因子分析、聚类 分析等。通过对矩和协方差矩阵的分析，可 以提取数据集中的主要特征、发现变量之间 的潜在关系、对数据进行分类或聚类等。
实例三：数据集的矩和协方差矩阵应用
总结词
数据集的矩和协方差矩阵在概率论中有着广泛的应用 ，如统计推断、假设检验、回归分析等。
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VS
第二阶原点矩（即方差）
协方差矩阵的对角线元素是各个随机变量 的方差，非对角线元素是各个随机变量的 协方差。
协方差矩阵与方差-协方差矩阵的关系
方差-协方差矩阵是一个包含各个随机 变量的方差和协方差信息的矩阵，而 协方差矩阵只包含各个随机变量的协 方差信息。
方差-协方差矩阵是协方差矩阵的一个 扩展，它同时包含了随机变量的方差 信息，而协方差矩阵只包含随机变量 的协方差信息。
详细描述
在统计推断中，矩和协方差矩阵可用于估计总体参数和 进行假设检验。例如，利用样本矩估计总体矩，然后使 用这些估计值进行假设检验或置信区间的计算。在回归 分析中，矩和协方差矩阵可用于估计回归系数和进行模 型诊断。通过分析回归模型的矩和协方差矩阵，可以检 验模型的假设是否成立、诊断模型的问题等。此外，在 时间序列分析和金融数据分析等领域，矩和协方差矩阵 也具有重要的应用价值。
协方差矩阵特点
协方差矩阵特点一、引言协方差矩阵是一种重要的统计学工具，用于描述一组随机变量的协方差关系。
在数据分析、统计推断、机器学习等领域中，协方差矩阵的应用十分广泛。
本文将对协方差矩阵的特点进行深入探讨，以期为相关领域的研究和应用提供有益的参考。
二、协方差矩阵的定义与性质1. 定义：设X是一个n×p的矩阵，其中每一行为一个样本，每一列为一个随机变量。
协方差矩阵Σ是一个p×p的矩阵，其元素Σij为随机变量X i和X j的协方差，即Σij=Cov(X i,X j)2. 性质：(1) 对称性：协方差矩阵是对称的，即Σ=ΣT。
(2) 非负定性：协方差矩阵是半正定的，即所有特征值非负。
这是因为协方差描述的是两个随机变量的共同波动性，其值不可能为负。
(3) 单位元：当随机变量之间相互独立时，协方差矩阵为单位矩阵。
三、协方差矩阵的应用1. 降维：通过协方差矩阵的特征值分解（EVD），我们可以将高维数据投影到低维空间，从而实现数据的降维处理。
这种方法在数据可视化、机器学习等领域中具有广泛应用。
2. 模型选择与假设检验：协方差矩阵在多元统计分析中发挥着重要作用。
例如，在多元线性回归和因子分析中，我们需要用到协方差矩阵来估计模型参数并进行假设检验。
3. 机器学习算法优化：许多机器学习算法（如k-均值聚类、kNN等）在处理高维数据时会出现维度诅咒问题。
通过利用协方差矩阵进行特征提取或降维，可以优化算法性能，提高分类或聚类的准确性。
4. 数据可视化：在数据可视化领域，我们经常使用散点图、平行坐标图等手段来展示多个随机变量之间的关系。
这些方法都需要用到协方差矩阵来进行坐标变换或降维处理。
四、协方差矩阵的数值稳定性在实际应用中，由于数据测量误差、样本量不足等原因，计算出的协方差矩阵可能存在数值不稳定性。
为了解决这一问题，可以采用一些数值稳定的方法，如样本协方差矩阵的估计、迭代算法等。
这些方法可以有效降低计算误差，提高协方差矩阵的精度和可靠性。
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E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9
Z~N(5, 32)
Z~N(5, 32) 故Z的概率密度是
这一讲我们介绍了协方差和相关系数
相关系数是刻划两个变量间线性相关程度 的一个重要的数字特征.
注意独立与不相关并不是等价的.
当(X,Y)服从二维正态分布时，有
X与Y独立
X与Y不相关
这一性质称为正态变量的线性变换不变性.
n元正态分布的几条重要性质 3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则
“X1,X2, …,Xn相互独立” 等价于
“X1,X2, …,Xn两两不相关”
例2 设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.
n元正态分布的几条重要性质 1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布
对一切不全为0的实数a1,a2,…,an， a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn均服从正态分布.
n元正态分布的几条重要性质 2. 若 X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，
Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则(Y1,Y2, …，Yk)也服从多元正态分布.
设X和Y是随机变量，若 k,L=1,2,…
存在，
称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.
若
存在，
称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.
可见， 协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩.
协方差矩阵的定义 将二维随机变量（X1,X2）的四个二此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.
类似定义n维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
若
都存在, 称矩阵
i, j=1,2,…,n
为(X1,X2, …,Xn) 的 协方差矩阵
下面给出n元正态分布的概率密度的定义.
设 =(X1,X2, …,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为 f (x1,x2, …,xn)
则称X服从n元正态分布. 其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. |C|是它的行列式， 表示C的逆矩阵， X和 是n维列向量， 表示X的转置.