矩与协方差矩阵
矩与协方差矩阵
4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差与相关系数 4.4 矩与协方差矩阵
§4.3 矩与协方差矩阵
4.4.1 矩
设X和Y(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(X) 是 X 的一阶原点矩， Var(X) 是 X 的二阶中心矩。
E(XkYm) 为X与Y的 k+m 阶混合原点矩； E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]m} 为X与Y的 k+m 阶混合中心矩。
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 为X与Y的 2阶混合中心矩。
小结
本讲首先介绍二维随机向量 (X,Y) 的分量X与Y 的协方差及相关系数的概念、性质和计算；然后介 绍随机变量的各种矩(k 阶原点矩、 k 阶中心矩、 k+m 阶混合原点矩、k+m 阶混合中心矩)，n 维随机 向量的协方差阵的概念、性质和计算；最后简单介 绍了n 元正态分布的概念和三条重要性质。
统计学中的协方差矩阵
统计学中的协方差矩阵统计学是研究收集、整理、分析和解释数据的科学领域。
协方差矩阵是统计学中一种重要的工具，用于研究多个变量之间的关系和相关性。
本文将介绍协方差矩阵的定义、性质、计算方法以及在实际应用中的意义。
一、协方差矩阵的定义协方差矩阵是指一个矩阵，其中的元素表示了变量之间的协方差。
假设有n个变量，那么协方差矩阵将是一个n×n的矩阵。
协方差矩阵的第(i,j)个元素表示了第i个变量和第j个变量的协方差。
如果两个变量之间的协方差为正值，表示它们之间存在正相关的关系；如果协方差为负值，表示它们之间存在负相关的关系；如果协方差为零，则表示它们之间不存在线性相关关系。
二、协方差矩阵的性质1. 对称性：协方差矩阵是一个对称矩阵，即第(i,j)个元素等于第(j,i)个元素。
这是因为协方差是一个对称的概念，不依赖于变量的顺序。
2. 非负定性：协方差矩阵是一个非负定矩阵，即对于任意非零的列向量x，有x^TΣx≥0，其中Σ表示协方差矩阵。
这个性质保证了协方差矩阵的主对角线上的元素都是非负的。
三、协方差矩阵的计算方法协方差矩阵的计算涉及到变量之间的协方差。
对于两个变量X和Y，它们的协方差可以用下式表示：Cov(X,Y) = E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)]，其中μ_X和μ_Y分别表示X和Y的均值。
协方差矩阵的元素由各个变量之间的协方差计算得到。
协方差矩阵Σ的元素可以表示为：Σ_ij = Cov(X_i, X_j)，其中X_i和X_j是第i和第j个变量。
根据协方差的计算公式，我们可以通过样本数据的均值和方差来估计协方差矩阵的元素。
四、协方差矩阵在实际应用中的意义协方差矩阵在统计学和金融学等领域中具有广泛的应用价值。
1. 多变量分析：协方差矩阵可以用于多变量分析，帮助研究人员了解多个变量之间的关系和相关性。
通过分析协方差矩阵，可以发现变量之间的线性依赖关系，从而更好地理解数据的结构和特征。
2. 风险管理：在金融学中，协方差矩阵被广泛用于风险管理。
矩阵的协方差矩阵
矩阵的协方差矩阵协方差矩阵（Covariance Matrix）是一种用来表示两个或多个随机变量之间关系的统计量。
它具有一个非常重要的特性，即两个变量之间的协方差可以用来确定他们之间的关联程度。
换句话说，它代表的是变量的之间的关联程度。
它是一个由变量的偏相关系数构成的对称方阵，它的每一项都代表着变量之间的协方差，它们的值可以为正、负、零，或者其他的任意值。
一、协方差矩阵的定义协方差矩阵是一种用来表示两个或多个随机变量之间关系的统计量，它是一个由变量的偏相关系数构成的对称方阵，它的每一项都代表着变量之间的协方差，它们的值可以为正、负、零，或者其他的任意值。
二、协方差矩阵的计算协方差矩阵由变量之间的偏相关（partial correlation）系数组成，可以用下面的公式来计算得到：$$ Cov(X_i; X_j) = \frac{\sum_{k=1}^n (X_{ik} - \bar{X_i})(X_{jk} -\bar{X_j})}{n-1} $$这里X为一个随机向量，$X_i$和$X_j$分别表示该随机向量中的两个变量，$\bar{X_i}$和$\bar{X_j}$分别为两个变量的均值，$k~(k=1,2,...n)$表示样本数量，n表示样本的总数。
三、协方差矩阵的应用协方差矩阵最常用的应用是用来衡量一组变量之间的关系，通过它可以理解数据之间相关性的大小。
它在贝叶斯模型、潜变量模型、半监督学习等统计分析中也都有重要的应用。
另外，协方差矩阵还可以用来计算均值向量、协方差矩阵的行列式以及协方差的特征向量。
它还被用来计算协方差分析，使用它可以确定两个变量之间是否存在因果关系。
《概率论》第4章矩、协方差矩阵
为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}
矩协方差矩阵
26 12
设(X1, X2,…, Xn) 是n 维随机变量, Xi与Xj的相关系数 ρij ( i , j =1,2,…,n )存在,
11 12 1n
则称矩阵
R
...2.1........2.2...............2
n
n1 n2 nn
为该随机变量的相关矩阵.
X+Y 与3X –Y 的相关系数为
Cov( X Y ,3X Y ) 2 1
D( X Y ) D(3X Y ) 4 16 4
(X+Y ,3X –Y)的协方差矩阵
C
4 2
2 16
(X+Y ,3X –Y)的相关矩阵
R
1 0.25
C C11 C21
C12 C22
2 1
1
2
1
2 2
2
例1 若 D( X ) 1, D(Y ) 4, XY 1 4,
求(X+Y ,3X –Y)的协方差矩阵和相关矩阵.
解:
Cov(X ,Y ) XY
D( X )
D(Y )
思考题答案：
协方差矩阵的主对角线上的元素Cii是相应的第i个 随机变量的方差;
相关矩阵的主对角线上的元素ρii都为1.
练习题：
1.已知随机变量X,Y 的联合分布为
XY 2 0 1 1 0.30 0.12 0.18
1 0.10 0.18分布随机变量 (X,Y) 的期望向量μ和协 方差矩阵V,分别是
C22 E{[X2 E( X2 )]2} D( X2 )
概率论课件矩、协方差矩阵
中心矩是相对于均值（期望值）的矩，用于描述随机变量分布的形状和离散程 度。
标准化矩
标准化矩是对中心矩进行标准化处理后的矩，用于比较不同随机变量的分布特 性。
样本矩与总体矩
பைடு நூலகம்样本矩
样本矩是从总体中抽取样本后计算得到的矩，用于估计总体矩。
总体矩
总体矩是描述总体分布特性的矩，是样本矩的极限值。
03 协方差矩阵
详细描述
分析矩和协方差矩阵需要使用相关的统计方 法和技巧，如主成分分析、因子分析、聚类 分析等。通过对矩和协方差矩阵的分析，可 以提取数据集中的主要特征、发现变量之间 的潜在关系、对数据进行分类或聚类等。
实例三：数据集的矩和协方差矩阵应用
总结词
数据集的矩和协方差矩阵在概率论中有着广泛的应用 ，如统计推断、假设检验、回归分析等。
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VS
第二阶原点矩（即方差）
协方差矩阵的对角线元素是各个随机变量 的方差，非对角线元素是各个随机变量的 协方差。
协方差矩阵与方差-协方差矩阵的关系
方差-协方差矩阵是一个包含各个随机 变量的方差和协方差信息的矩阵，而 协方差矩阵只包含各个随机变量的协 方差信息。
方差-协方差矩阵是协方差矩阵的一个 扩展，它同时包含了随机变量的方差 信息，而协方差矩阵只包含随机变量 的协方差信息。
详细描述
在统计推断中，矩和协方差矩阵可用于估计总体参数和 进行假设检验。例如，利用样本矩估计总体矩，然后使 用这些估计值进行假设检验或置信区间的计算。在回归 分析中，矩和协方差矩阵可用于估计回归系数和进行模 型诊断。通过分析回归模型的矩和协方差矩阵，可以检 验模型的假设是否成立、诊断模型的问题等。此外，在 时间序列分析和金融数据分析等领域，矩和协方差矩阵 也具有重要的应用价值。
协方差矩阵的概念
协方差矩阵的概念协方差矩阵是概率论和统计学中一个重要的概念，用于描述多维随机变量之间的关联程度。
它是一个对称的矩阵，其中包含了各个随机变量之间的协方差以及它们的方差。
协方差是一种描述两个随机变量之间关系的统计量，它衡量了两个随机变量的变化趋势是否一致。
具体而言，对于随机变量X和Y，它们的协方差定义为E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，其中E[·]表示期望值操作符。
如果协方差大于0，则表明X和Y 之间存在正相关关系；如果协方差小于0，则表明X和Y之间存在负相关关系；如果协方差等于0，则表明X和Y之间没有线性关系。
对于多个随机变量的情况，我们将它们的协方差组成一个矩阵，即协方差矩阵。
设有n个随机变量X1，X2，...，Xn，它们的协方差矩阵记为Σ，其中Σ(i, j)表示随机变量Xi和Xj之间的协方差。
协方差矩阵是一个对称矩阵，满足以下性质：1. 对角线上的元素是随机变量的方差，即Σ(i, i) = Var(Xi)；2. 非对角线上的元素是对应两个随机变量的协方差，即Σ(i, j) = Σ(j, i)。
协方差矩阵的作用主要体现在以下几个方面：1. 描述随机变量之间的关联性：协方差矩阵可以直观地展示多个随机变量之间的相关性。
通过对协方差矩阵进行分析，可以了解随机变量之间的关系强度和方向。
2. 变量选择与降维：通过协方差矩阵，可以判断不同随机变量之间的相关性。
在建模分析中，我们可以通过分析协方差矩阵来选择与目标变量相关性最强的变量，去除冗余的变量，从而实现降低维度的目的。
3. 风险度量：在金融领域，协方差矩阵可用于衡量资产之间的风险关系。
通过计算资产收益率之间的协方差矩阵，可以估计投资组合的风险水平，为资产配置、风险控制提供依据。
4. 生成随机样本：协方差矩阵可用于生成符合特定相关性要求的随机样本。
通过给定均值向量和协方差矩阵，可以使用相关多元正态分布的特性生成具有一定相关性的随机样本。
自相关矩阵和协方差矩阵
自相关矩阵和协方差矩阵
自相关矩阵和协方差矩阵是用于描述数据序列中各个元素之间的相关性。
自相关函数指的是列向量的相关系数构成的函数，对于离散序列，自相关函数的变量就是序列的时间差。
而自协方差矩阵主要用于描述数据序列中各个元素与其自身滞后版本之间的关系。
另一方面，协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差。
在统计学与概率论中，自相关矩阵与自协方差矩阵，互相关矩阵与互协方差矩阵可以通过计算随机向量（ 自相关或自协方差时为x，互相关或互协方差时为x,y）其第（i（个与第（j（个随机向量 即随机变量构成的向量）之间的自、互关系数来得到。
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1 2
1
1 2
(
x1
1)2 12
2
( x1
1 )( x2 1 2
2 )
( x2
2 )2
2 2
,
其中 (X ) '是 (X ) 的转置.
于是,二维正态随机变量 (X1, X2) 的概率密度可用矩阵
表示为
f
( x1 ,
x2 )
(2π)2
1 2|
C
|1
2
exp
1 2
(
X
)
'C
1( X
C 是 ( X1, X 2,, X n ) 的协
方差矩阵.
n 维正态随机变量 ( X1, X 2,, X n ) 具有如下重要性质： (1) n 维正态随机变量 ( X1, X 2,, X n ) 的每一个分量 Xi (i 1, 2,, n) 都是正态随机变量；反之,若 X1, X 2,, X n 都是正 态随机变量,且相互独立,则 (X1, X 2,, X n ) 是 n 维正态随机变 量.
)
.
类似地， n 维正态随机向量 (X1, X 2,, X n ) 的概率密度 可用矩阵表示为
f
( x1 ,
x2 , ,
xn )
1 (2π)n 2
C
1
2
exp
1 (X 2
) 'C 1( X
) ,
x1
其中
X
x2
,
xn
1 E( X1)
2
E(X2
)
,
n E(Xn )
注：性质中若不具有相互独立性，则反之不一定成立.
(2) n 维随机变量 ( X1, X 2,, X n ) 服从 n 维正态分布 的充分必要条件是 X1, X 2 ,, X n 的任意线性组合 k1X1 k2 X 2 kn X n 均服从一维正态分布（其中 k1, k2 ,, kn 不全为零）.
例 3.23
设
(
X
,Y
)
服从二维正态分布,且
D(
X
)
2 X
,
D(Y )
2 Y
,求
a
满足什么条件时,W
X
aY
和V
X
aY
相互独立.
解 因为W , V 是二维正态随机变量 (X ,Y ) 的线性组合,
因而W , V 分别服从一维正态分布, (W , V ) 服从二维正态分布.
由 n 维正态分布的性质知,W , V 相互独立的充分必要条件是
若 E{[X E( X )]k [Y E(Y )]l} (k,l 1, 2, ) 存在,称它为 X
和 Y 的 k l 阶混合中心矩.
注:① X 的数学期望 E(X ) 是 X 的一阶原点矩. ② X 的方差 D(X ) 是 X 的二阶中心矩.
③协方差 Cov(X ,Y ) 是 X 和Y 的二阶混合中心矩.
W , V 不相关.
由于
Cov(W,V ) Cov[(X aY ),(X aY )]
Cov( X , X ) aCov( X ,Y ) aCov( X ,Y ) a2Cov(Y ,Y )
D( X ) a 2D(Y )
2 X
a
2
X
2 Y
时,W , V
不相关,此时W , V
矩与协方差矩阵
1.1 矩与协方差矩阵的概念
定义 3.7 设 X 和Y 为随机变量. 若 E(X k ) (k 1, 2, ) 存在,称它为 X 的 k 阶原点矩,简称 k 阶矩. 若 E{[ X E( X )]k} (k 1, 2, ) 存在,称它为 X 的 k 阶中 心矩. 若 E( X kY l ) (k,l 1, 2, ) 存在,称它为 X 和 Y 的 k l 阶混 合矩.
C
c11
c21
c12
c22
2 1
1
2
1
2 2
2
,
它的行列式 逆矩阵
C
12
2 2
1 2
，
C 1
1 C
2 2
1
2
1
2 1
2
.
另记
X
x1 x2
,
1
2
，易验算
( X ) 'C 1( X )
1 C
(x1 1
x2
2
)
2 2
1
2
1 12
2
x1 x2
③ ci2j cii cjj .
1.2 n 维正态分布
二维正态随机变量 ( X1, X 2 ) 的概率密度为
f (x , x ) 2π 1 1 e . 1 2
12
1 2 (1
2
)
(
x1 1 12
)2
2
(
x1
1 )( x2 1 2
2
)
(
x2
2
2 2
)2
2
( X1, X 2 ) 的协方差矩阵为
相互独立.
谢谢聆听
称矩阵
c11 c21
c12 c22
为
(
X
1
,
X
2
)
的协方差矩阵.
类似地，可定义 n 维随机变量 (X1, X2,, Xn) 的协方差矩阵.
若 cij Cov(Xi , X j ) E{[Xi E(Xi )][X j E(X j )]}i, j 1, 2, , n 都
存在,则称矩阵
c11 c12
C
c21
c22
cn1 cn2
c1n
c2
n
cnn
为随机变量 (X1, X2,, Xn) 的协方差矩阵.
注：协方差矩阵中的元素 cij 有如下性质：
① cii D( Xi ), i 1, 2, , n . ② cij c ji , i, j 1, 2, , n ,即 C 为对称矩阵.
定义 3.8 存在,记为
设二维随机变量 (X1, X 2) 的四个二阶中心矩都
c11 E{[ X1 E( X1)]2}, c12 E{[ X1 E( X1)][ X 2 E( X 2 )]}, c21 E{[ X 2 E( X 2 )][ X1 E( X1)]}, c22 E{[ X 2 E( X 2 )]2},
(3)若 ( X1, X 2,, X n ) 服从 n 维正态分布,设 Y1,Y2 ,,Yk 是 X j ( j 1, 2,, n) 的线性函数,则 (Y1,Y2,,Yk ) 服从 k 维正态分布.
注：这一性质称为正态随机变量的线性变换不变性.
(4)设 ( X1, X 2 ,, X n ) 服从 n 维正态分布,则 X1, X 2 ,, X n 相互独立等价于 X1, X 2 ,, X n 两两不相关.