优质金卷：浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真模拟考试数学试题(解析版)
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷2(答案+解析)
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷2参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B =锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为其中S 表示锥体的底面积h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－ 球的表面积公式台体的体积公式24S R =π121()3V S S h =球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，343V R =πh 表示为台体的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U =R ，集合{}|11A x x =-<<，则U C A =（） A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞2．复数34ii +(i 是虚数单位)的模是（） A ．4B ．5C ．7D ．253．若实数,x y 满足约束条件0,30,20,y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩+--≥≤≥则2z x y =+的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．[0,6]C ．[0,4]D ．[6,)+∞4．已知互相垂直的平面,αβ交于直线l ．若直线,m n 满足//m α，n β⊥，则（） A ．//l mB ．//m nC ．n l ⊥D ．m n ⊥5．函数cos sin 2xxy =的大致图像为（） A ．B ．C ．D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（） A ．186盏B ．189盏C ．192盏D ．96盏7．安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．1440种B ．720种C ．480种D ．240种8．已知向量,a b 满足||4a b +=，||3a b -=，则||||a b +的范围是（） A ．[3,5]B ．[4,5]C ．[3,4]D ．[4,7]9．设{}1,2,3,,100U =，f 是U U →的映射，则“{}()U f x x U =∈”是“当12x x ≠时，12()()f x f x ≠”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知函数2()f x x ax b =++的两个零点12,x x ，满足1202x x <<<，则(0)(2)f f 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(1,4)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．抛物线2x y =的焦点坐标是，离心率是． 12．已知随机变量的分布列是：X则m =，()E X =．13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是，最长棱的长度（单位：cm ）是．14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，4B π=，tan 7C =，则s i n A =，ABC S =△．15．若二项式6((0)ax a >的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若4A B =，则B =． 16．已知向量,,a b c 满足||1a =，||b k =，||2c k =-且0a b c ++=，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是．17．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是．三、解答题: 本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）已知向量(sin ,sin )ax x ωω=，(sin ,cos )(0)b x x ωωω=>．函数()f x a b=⋅的图像相邻两条对称轴的距离为4π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域．19．（本题满分15分）如图，已知三棱锥D ABC -，2DC DA AB BC ===，AC BC ⊥，ABD CBD ⊥平面平面，M 是BD 中点．（Ⅰ）证明：BC MAC ⊥平面；（Ⅱ）求直线BD 与平面ABC 所成的角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数()e (1)x f x a x =++．A（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最小值且最小值大于2a a +时，求a 的取值范围．21．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记斜率为k 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，椭圆C 上存在点p 满足OP OA OB =+，求四边形OAPB 的面积．22．（本题满分15分）数列{}n a 满足11a =，121(1)(*)nn a a n n n +=+∈+N ．证明：当*n ∈N（Ⅰ）1n n a a +>； （Ⅱ）2e 11n n na n n ++≤≤．【参考答案】一、选择题【解析】(][),11,U C A =-∞-+∞.2．B【解析】3+4i43i 5i=-==. 3. B 4．C【解析】因为l αβ=，所以l β⊂，又因为n β⊥，所以n l ⊥.5. A 【解析】cos sin 2x x y =是奇函数，π(0,)2x ∈时，0y >，故选A. 6. C.【解析】设塔的底层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为12的等比数列. 71(1())2381112x -=-，解得192x =. 7. D【解析】完成一件事情：一人完成两项工作，其余三人每人完成一项工作2353C A 240=. 8. B【解析】{}max ,4a b a b a b +≥+-=，222()25a b a b a b +≤++-=，所以5a b +≤.9. C ．【解析】“{}()U f x x U =∈”等价于“()y f x =是一一映射”，故选C ． 10. A.【解析】设函数212()()()f x x ax b x x x x =++=--，则12(0)f x x =，12(2)(2)(2)f x x =--. 一方面：(0)(2)0f f >，x x另一方面：2211221212112222(0)(2)(2)(2)(2)(2)()122x x x x f f x x x x x x x x +-+-⎛⎫⋅=--=--≤= ⎪⎝⎭“”的条件是121x x ==，但1202x x <<<，所以“”取不到. 所以(0)(2)f f ⋅的取值范围是()0,1. 二、填空题11. 1(0,)4，1.12.1243【解析】1111632，，m m ++=∴=1114()0126323E x =⨯+⨯+⨯=.13.83，【解析】该几何体是四棱锥，体积为83，最长棱的长度为方体的对角线14.45，74【解析】π4sin sin()45A B =+=，由正弦定理知：sin sin a b A B=，所以b =117sin 22244ab C =⨯⨯=. 15. 60【解析】36662166(1)C ()(1)C r rrrr r r rr T ax a x ---+=-=-， 令3632r -=得2r =，则4246C 15A a a ==， 令3602r -=得4r =，则42426(1)C 15B a a =-=，==又由4A B =得4215415a a =⨯，则2a =,60B =. 16. 1[1,]2--【解析】法一：设b c 与的夹角为θ，由题b c a +=-，2221b c b c ∴++⋅=，即2222433cos 1242(1)2k k k k k θ-+==+---，||||||a b c b c =+≥-，|22|1k ∴-≤，1322k ∴≤≤，11cos 2θ∴-≤≤-.法二：设,,a AB b BC c CA ===，|||2CA CB +=，点C 的轨迹为以A B 、为焦点的椭圆.根据椭圆的对称性，当点在椭圆的顶点处取得最值.（注意向量夹角的定义）17．11(,)33-【解析】当点P 从A 运动到B ，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋近于二面角D AC B --的平面角，最大趋近于二面角D BC A --的平面角的补角，故余弦值的取值范围是11(,)33-．三、解答题18. 解：（Ⅰ）2111()sin sin cos sin 2cos 2222f x x x x x x ωωωωω=+⋅=-+，由题知π24T =，π2π,222T ωω∴==∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1π()),02424f x x x =-+≤≤， 因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,ππ3π4,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,πsin()442x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1()2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19. 解：（Ⅰ）由AD AB =得AM BD ⊥，由ABD CBD ⊥平面平面得AM CBD ⊥平面，所以AM BC ⊥，∴C又因为AC BC ⊥，所以BC MAC ⊥平面．（Ⅱ）过M 作ME AC ⊥且ME AC E =，连结EB ．由BC MAC ⊥平面得MAC ABC ⊥平面平面，所以ME ABC ⊥平面，故MBE ∠为直线BD 与平面ABC 所成的角． 不妨设22DC DA AB BC ====． 由AC BC ⊥得AC =．由222AM MC AC +=，222AM MB AB +=， 22222()MC MB CD CB +=+得32AM =，MC =MB =所以34ME =，sin MBE ∠=，故直线BD 与平面ABC20. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，()e xf x a '=+， 若0a ≥，则()0f x '>，在R 上是单调递增的；若0a <，则当(,ln())x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在(,ln())a -∞-上是单调递减； 当(ln(),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln(),)a -+∞上是单调递增； （Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≥时()f x 在R 无最小值, 当0a <时()f x 在ln()x a =-取得最小值,最大值为()()ln()ln()1ln()f a a a a a a -=-+-+=-，因此()2ln()ln()10f a a a a a ->+⇔---<.令()ln()1g a a a =---,则()g a 在(),0-∞是减函数(1)0g -=,于是,当10a -<<时,A)(x f()0g a <,当1a <-时()0g a >,因此的取值范围是()1,0-.21.解：（Ⅰ）1,2,c a b ===的方程是：22143x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，直线:AB y kx m =+， 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立，消去y ，可得222(34)84120k x kmx m +++-=， 故2248(43)0k m ∆=+->且122212283441234km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 由OP OA OB =+，可得012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，且点P 在椭圆C 上.所以221212()()143x x y y +++=， 其中122834km x x k -+=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+ 代入221212()()143x x y y +++=可得22434m k =+.12AB x =-=,o l d -=. 所以四边形AOBP的面积221234o l m S AB d m -====. 22. 解：（Ⅰ）用数学归纳法证明0n a >．（1）当1n =时，110a =>；（2）假设当n k =时，0k a >，则1n k =+时，121(1)0k k a a k k+=+>+． 由（1）（2）得，当*n ∈N 时，0n a >．a C所以121(1)(*)n n n a a a n n n+=+>∈+N . （Ⅱ）用数学归纳法证明21n n a n +≥． （1）当1n =时，12111a =+≥； （2）假设当n k =时，21k k a k +≥， 则1n k =+时，212212(1)2(1)(1)(1)2k k k k k a a k k k k ++++=++++≥≥． 由（1）（2）得，当*n ∈N 时，21n n a n +≥． 由121(1)n n a a n n +=++得1221111ln ln ln(1)1n n a a n n n n n n +-=+=-+++≤， 所以11e ln 11ln(1)ln 1n n a n n n --+=+≤≤，所以e 1n n a n +≤． 综上，当时，． *n ∈N 2e 11n n n a n n ++≤≤。
数学-浙江省杭州市2018届高考模拟试卷6(解析版)
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷6参考公式： 球的表面积公式锥体的体积公式24S R =π13V Sh=球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径1()3a b V h S S =柱体的体积公式 其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设U ＝R ，A ＝}02|{2<-x x x ，B ＝}1|{≤x x ，则)(B C A u ⋂＝ （ ）A ．01{|}xx <≤ B ．12{|}x x ≤< C ．02{|}x x << D ．12{|}x x << 2．设11i z =+，21i z =-（i 是虚数单位），则2111z z +＝（ ） A ．1B ．－1C ．iD ．－i3．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．“a ＝1”是“函数||)(x a x f -=在区间[1，＋∞)内为增函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α//m ，α//n ，则n m // B ．若γα⊥，γβ⊥，则βα// C ．若α//m ，β//m ，则βα//D ．若α⊥m ，α⊥n ，则n m //6．已知向量a ，b ，c 满足||||||c b a==＝1，且a ＋b ＝c ，则 （ ）A ．（a ＋c）∥bB ．（a ＋c）⊥bC ．a ·c ＞b ·cD ．a ·c ＜b ·c7．已知,,a b c 成等比数列，,,a x b 和,,b y c 都成等差数列，且0xy ≠，那么ycx a +的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数满足：①定义域为R ；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（ ）A ．15B ．10C ．9D ．89．在如图所示的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．73B ．74C ．141 D ．1413 10．如图，在三棱锥P -ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 的中点，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =90°，AB ≠AC ，AC ＞AD ，PC 与DE 所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面角P －BC()f x x R ∀∈(2)2()f x f x +=[0,2]x ∈()2|22|f x x =--()()([8,8])ϕx f x x =∈-()ϕx－A 的平面角为γ ，则,,αβγ的大小关系是（ ）A ．αβγ<<B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．γβα<<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 抛物线2(0)y ax a =>上的点03,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为2，则a =_____；POF ∆的面积为__________；12. 若不等式组240,340,0,x y ax y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a 的值为 ．若z =x +y ，求z 的最大值_______13.直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于),(11y x A 和),(22y x B 两点，则12x x =________，若过该抛物线的焦点的最短弦长为4，则该抛物线的焦点坐标是______. 14．已知函数()ϕω+=x y cos [)(002π),,ωϕ>∈的部分图象如图所示，则ϕ的值为________，该函数与函数|lg |y x =的交点的个数有_____个.15．已知两点，为坐标原点，若则实数t 的值为 . 16．有3辆不同的公交车，3名司机，6名售票员，每辆车配备一名司机，2名售票员，则所有的安排方法数有____________种.17．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列(2,2),(2,1)A B O 25OA tOB -≤n )1(x x y n -=2x =y n a的前项和的公式是__________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题14分）在中,内角对边的边长分别是.已知.（Ⅰ）若求；（Ⅱ）若,求的面积.19．（本题14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值； （3）求CD 与平面AOB 所成的角中最大角的正切值．1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n ABC △,,A B C ,,a b c 2,3c C π==ABC △,a b sin sin()2sin 2C B A A +-=ABC △20．（本题15分）已知函数()()222ln f x x x a x a =-++∈R ．（1）若1a =，求函数在()1,1A 处的切线方程；（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：()252ln24f x ->.21．（本题15分）已知椭圆1C ：22221x y a b += (0a b >>)，直线:2L y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1L 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2L 垂直1L 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2L 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）若AC 、BD 为椭圆1C 的过右焦点2F 的两条相互垂直的弦，求四边形ABCD 面积的最小值．22．（本题15分）已知数列{}n a 满足：1121,1(1)n n n a a a a n +==++，（其中*n ∈N ） （1）证明：12(1)nn n a a a n +≥++；（2）证明：12131n a n n +<<++.【参考答案】一、选择题 1．D【解析】A ={x |0<x <2},C u B ={x |x >1},∴)(B C A u ⋂=12{|}xx <<. 2．A 【解析】2111z z +=111i 1+i 11+i 1-i22-+=+=. 3．B【解析】本题考查的是几何体的三视图所以应选B 4．A【解析】“a ＝1”能推出“函数||)(x a x f -=在区间[1，＋∞)内为增函数”,反之不行,所以应选A 5．D 6．B【解析】∵||||||c b a==＝1，且a ＋b ＝c ，∴a ,b ,c 的关系如图所示,观察可得B.7．B【解析】由已知可得()()()212223b ac x a b y b c ⎧=⎪=+⎨⎪=+⎩ .注意到a c ay cx x y xy ++=，可从已知中整理出： ()222b b a c ay cx +++=，()224b b ac xy ++=，代入上式即可得到.选B 8．B ．【解析】当42≤<x 时，220≤-<x ，由x ∀∈R ，有)(2)2(x f x f =+；及当]2,0[∈x 时，()2|22|f x x =--，得|3|44)2(2)(--=-=x x f x f ，同理64≤<x时，|5|88)2(2)(--=-=x x f x f ，当86≤<x 时，|7|1616)2(2)(--=-=x x f x f ，当02<≤-x 时，|1|1)(+-=x x f ，当24-<≤-x 时，|3|2121)(+-=x x f ，当46-<≤-x 时，|5|4141)(+-=x x f ，当68-<≤-x 时，|7|8181)(+-=x x f ，由||)(x x f =]8,8[-∈x ，利用函数图象可知共有10个零点.故选B.9．D【解析】考虑其对立事件，至少有两个数位于同行或同列的对立事件为这三个数位于不同行也不同列，所以其概率为11132139C C C 131C 14⋅⋅-=，故选D. 10．A【解析】如图所示：∵D 、E 分别是BC 、AB 的中点，∴DE //AC ，∴PC 与DE 所成角为α，即∠PCA ，∵P A ⊥平面ABC ，∴PD 与平面ABC 所成角为β，即∠PDA ，过点A 作AQ ⊥BC ，垂足为Q ，连接PQ ，∵P A ⊥平面ABC ，∴二面角P -BC -A 的平面角为γ，即∠PQA ，则AC >AD >AQ ，在Rt △P AC ，Rt △P AD ，Rt △P AQ 中：tan ∠PCA < tan ∠PDA < tan ∠PQA ,即 tan α< tan β< tan γ，又∵α，β，γ∈（0，π2），∴α<β<γ.二、填空题 11． 2【解析】准线方程为4a x =-，所以32224a a +=∴=.抛物线方程变为22y x =，焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，点P坐标代入方程的0y =，所以POF ∆的面积为1122⨯=. 12．4,413．2124p x x = ， （1，0）【解析】易求得抛物线的焦点,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭. 若l ⊥x 轴，则l 的方程为212,24P P x x x ==显然.若l 不垂直于x 轴，可设()2P y k x =-,代入抛物线方程整理得04)21(222=++-p x kp p x ，则4221P x x =，综上可知2214p x x =.最短弦长为2p ＝4，所以p =2,焦点坐标为（1，0）.14．7π4，6 【解析】），，图像过（，又08322,2)8387(πππωπππ ==∴=⨯-=T [)3π7πc o s (2)002π84,,.ϕϕϕ∴⨯+=∈∴=且∴函数解析式为7πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，补全图象并画出函数|lg |y x =的图象，两个函数图象的交点的个数有6个.15．56 【解析】∵)2,2(=OA ，),2(t t OB t =,∴552)2()22(||22≤-+-=-t t t ，解得0)65(2≤-t ，∴56=t . 16．540【解析】第一步，将3名司机与6名售票员平均分成三组，有222642C C C 种不同的分法，第二步将这三组平均分给三辆车，有33A 种不同的分法，由分步计数原理得共有方法数为22236423C C C A ＝540种.17． 221-+n【解析】∵)1(x x y n -=，∴nn n n x n nx x x nx y )1()1(11+-=--='--，三、解答题18．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为． 联立方程组解得，．（Ⅱ）由题意得， 即， 当时，，，， 当时，得，由正弦定理得联立方程组解得．所以的面积19解：（1）∵a 3，a 5是方程x 2-14x +45=0的两根，且数列{a n }的公差d ＞0，∴a 3=5，a 5=9，公差d =5353a a -- =2.∴a n =a 5+(n -5)d =2n -1. 又当n =1时，有b 1=S 1=112b -, ∴b 1=13, 224a b ab +-=ABC △1sin 2ab C =4ab =2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，2a =2b =sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=sin cos 2sin cos B A A A =cos 0A =2A π=6B π=3a =3b =cos 0A ≠sin 2sin B A =2b a =2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，a =b =ABC △1sin 2S ab C ==当n ≥2时，有b n =S n -S n -1=12(b n -1-b n ), ∴ 1n n bb - =13(n ≥2). ∴数列{b n }是首项b 1=13，公比q =13的等比数列，∴b n =b 1q n -1=13n . （2）由（1）知 c n =a n b n =213nn -, ∴T n =113+233+353+…+213n n -,① 13T n =213+333+453+…+233n n -+1213n n +-,② ①-②得23T n =13+223+323+…+23n -1213n n +-=13+2(213+313+…+13n )-1213n n +-, 整理得 T n =113nn +-. 20．解：解法一：（1）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（2）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴=又12DE AO ==∴在Rt CDE △中，tan 3CE CDE DE ∠===．∴cos CDE ∠=∴异面直线AO 与CD 所成角的余弦值为46．（3）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==． 当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OB OD AB ==，tan 3CDO = CD ∴与平面AOB 所成角中最大角的正切值为332． 解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，D ，(00OA ∴=，，(CD =-，∴,cos CD OA >=<4622326=⋅． ∴异面直线AO 与CD 所成角的余弦值为46． （III ）同解法一20．解：（1）当1a =时， ()222ln f x x x x =-++，()122f x x x-'=+，()11f '=，所以在()1,1A 处的切线方程为()()111y f x '-=-，化简得0x y -=.（2）函数定义域为()0,+∞， ()22222a x x af x x x x='-+=-+则12,x x 是方程2220x x a -+=的两个根，所以121x x +=，又12x x <，所以2112x <<.22222a x x =-，所以()()222222222222ln f x x x x x x =-++-. 令()()2212222ln (1)2g t t t t tt t =-++-<<， 则()()()2224ln 2224ln g t t t t t t t =-+-+-=-'，又1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭所以()0g t '>，则()g t 在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭内为增函数，所以()152ln224g t g -⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以()252ln24f x ->.21.解：（1）∵e =，∴2e ＝22c a ＝222a b a -＝13，∴2223a b =.∵直线:2L y x =+与圆222x y b +=相切，∴b =22b =，∴23a =.∴椭圆1C 的方程是22132x y +=. （2）∵2||||MP MF =，∴动点M 到定直线1:1L x =-的距离等于它到定点2(1,0)F 的距离， ∴动点M 的轨迹2C 是以1L 为准线，2F 为焦点的抛物线． ∴点M 的轨迹2C 的方程为24y x =.（3）当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，A (1x ，1y )，C (2x ，2y )， 则直线AC 的方程为(1)y k x =-．联立22132x y +=及(1)y k x =-得， 2222(23)6360k x k x k +-+-=， 所以12x x +＝22623k k +，21223623k x x k -=+，||AC =.由于直线BD 的斜率为1k -，用1k -代换上式中的k可得||BD =.因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为1||||2S AC BD =＝222224(1)(23)(23)k k k +++， 由于22(23)(23)k k ++≤[2222323()2k k +++＝225(1)[]2k +，所以9625S ≥， 当222323k k +=+，即1k =±时取等号．易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积4S =. 综上可得，四边形ABCD 面积的最小值为9625. 22. （1）证明：由121(1)n nn a a a n +=++得2120(1)n n n a a a n +-=>+， 从而111n n a a a +>≥=， 可得122111(1)(1)n n n a a a n n +=+≥+++ ，即12(1)n n na a a n +≥++. （2）证明：由121(1)n n n a a a n +=++得12111(1)n n n n n n a a a a a n a +++-=⋅+，由第（1）题可知101n n a a +<<， 从而1221111111111(1)(1)(1)1n n n n n n n n a a a a a a a n a n n n n n ++++-=-=<<=-++++， 累加得1111111n a a n +-<-+，即11n a n +<+，于是111n a n +<+， 当2n ≥时，n a n <，又11a =，故n a n ≤， 又12212111(1)(1)11n n n a a n n a n n n n ++=+≤+<+=++++，得11.2n n a n a n +++， 从而221111111111(1)(1)2(1)(2)12n n n n a n a a n a n n n n n n +++-=>==-+++++++， 累加得11111122n a a n +->-+，即12(2)2(1)43n n n a n n +++>>++，于是1213n a n n +>++，故命题12131n a n n +<<++成立.。
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷19(答案+解析)
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷19参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次 的概率()C (1)(0,1,2,...,)kkn kn n P k p p k n -=-=．球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径． 球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径． 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式121()3V h S S =，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集=U R ，集合}0|{≥=x x A ，}032|{2<--=x x x B ，则()U C A B ⋂=（） A ．}03|{<<-x x B ．}01|{<<-x x C ．}10|{<<x xD ．}30|{<<x x2．已知复数i m z 21+=，i z -=22，若21z z 为实数，则实数m 的值为（） A ．1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．已知πcos(-)+sin =6αα354，则7sin(+π)6α的值是（）A ．－532 B ．532 C ．－54D ．544．在52)1(xx +的展开式中x 的系数为（）A ．5B ．10C ．20D ．405．数列}{n a 前n 项和为n S ，则“02>a ”是“数列}{n S 为递增数列”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若21MF F ∠为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（） A ．)2,1(B ．),2(∞+C ．)2,1(D ．),2(∞+8．从集合{}1,2,3,...,10中任取5个数组成集合A ，则A 中任意两个元素之和不等于11的概率为（） A ．9451B ．634 C ．638 D ．6316 9．已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则的取值情况不可能的是（） A ． B ． C ．D ．10.已知A ,D 是平面α外两个定点，B ,C 分别是平面α内的定点与动点，已知AB 与平面α所成的角为π4，若AB 与CD 所成的角为π4，则动点C 的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆二、填空题：本题共7道小题,11题每空3分，其他每题5分，共36分.11．已知)(x f 为奇函数，且当0>x 时x x f 2log )(=，则=)0(f ▲=-)4(f ▲ ．1()1f x x=-x 2()()0f x bf x c ++=,b c 10,0b c -<<=10,0b c c ++>>10,0b c c ++<>10,01b c c ++=<<12．已知直线b x y +=交圆122=+y x 于A 、B 两点，且o 60=∠AOB （O 为原点），则实数b 的值为 ▲ ．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ ．14．若实数x 、y 满足014y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则|42|z x y x y =-++的最小值为▲.15．将3个小球随机地放入3个盒子中，记放有小球的盒子个数为X ，则X 的数学期望=)(X E ▲ ． 16．已知正数满足,则ab b a 4422++的最大值为 ▲ ．17.在1,ABC ACB BC ∆∠==中，为钝角,AC CO xCA yCB =+且1x y +=，函数()f m CA mCB =-的最小值为2，则CO 的最小值为▲. 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数在区间上的最大值为. (Ⅰ)求常数的值; (Ⅱ)在中,角所对的边长分别为,若,,面积为,求边长.19.（本小题满分15分）如图,已知长方形中,,为的中点. 将沿折起,使得平面平面.(1)求证:；(2)点是线段上的一动点,当二面角大小为时,试确定点的位置.20.(本题满分15分)已知 ,0>a ,函数2()=+|ln -|,[1,e ]af x x a x x∈. （1）当3=a 时，求曲线)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程； （2）若23)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围.21．(本题满分15分)（本小题满分15分）椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点2F 与抛物线x y42=的焦点重合，过2F 作与x 轴垂直的直线l 与椭圆交于T S ,两点，与抛物线交于D C ,两点，且22=STCD .（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点)0,2(M 的直线与椭圆E 相交于两点B A ,，设P 为椭圆E 上一点，且满足t =+0(为坐标原点）352<时，求实数t 的取值范围.22. (本题满分15分)已知数列{a n }满足11=a ，na a n n 11=⋅+ (n ∈N *)． 求证： (1)12+=+n an a n n ； (2)n a n a a n n ≤++++≤-++243)1(1...3121)11(2.【参考答案】一、选择题 1．B【解析】(1B =-，)2，(()1U C A B ⋂=-，)0． 2．D 【解析】122i 2(1)(4)i2i 5z m m m z +-++===-实数．所以40m +=，4m =-． 3． C 4．B【解析】2(5)103155C C r r r r r r T x x x ---+==．令3r =得：345C 10T x x ==．5．B 6．D 7．D【解析】由题：易得M （2c ，2bca-）． 当21MF F ∠为锐角时，必有12OM OF OF >=成立． （因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外）．c >，整理得：22214b e a =+>，即：2e >．8．C【解析】分组考虑：（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）． 若A 中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的一个．故所求概率为：551028C 63P ==．9．B 10．C 二、填空题 11．0，-212．【解析】如图易得：d==．所以：b =． 13．14．3 15．919【解析】将3个小球随机地放入3个盒子中，有方法：3111133233A +A A A +A 27=种． X 的取值可能为：1，2，3．故：()33A 327P X ==；()111323A A A 227P X ==；()13A 127P X ==．所以：=)(X E ()31199i i P x i =⨯==∑． 161217．21 三、解答题 18．解：(1)，因为,所以， 所以当即时,函数在区间上取到最大值，此时,,得. (2)因为,所以,即,解得(舍去)或，因为,,所以.因为面积为, 所以,即.-----②由①和②解得，因为,所以.19.解：取AM的中点O,AB的中点B,则两两垂直,以O为原点建立空间直角坐标系,如图.根据已知条件,得,,,.(1)由于,则,故.(2)设存在满足条件的点E,并设, 则，则点E的坐标为.(其中)易得平面ADM的法向量可以取,设平面AME的法向量为,则,，则，则,取，由于二面角大小为,则,由于,故解得.故当E 位于线段DB 间,且时,二面角大小为.20.解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f ln 33)(-+=，∴x xx f 13)(2'--=，32)3('-=f ，又3ln 4)3(-=f ，∴曲线)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程为：)3(32)3ln 4(--=--x y ，即：3ln 632-+-=x y ．（Ⅱ）由],1[2e x ∈得]2,0[ln ∈x ， ①当2≥a 时，x a x ax f ln )(-+=，01)(2<--='x xa x f ，∴)(x f 在],1[2e 上递减，∴232)1()(max ≤==a f x f ，∴43≤a ，此时a 不存在；②当20<<a 时，若a e x ≤≤1时，x a xax f ln )(-+=由①得)(x f 在],1[a e 上递减，43,232)1()(max ≤∴≤==∴a a f x f ，此时430≤<a ．若2e x e a ≤<时x xa x f a x x a x f 1)(,ln )(2+-='∴-+=．令0)(='x f 得a x =，又x e x g x -=)(在)2,0(递增，故1)0(=>-g x e x ． ∴a e a <，当2e x e a <<时0)(>'x f ，∴)(x f 在(]2,e e a 递增，∴232)()(22max ≤-+==a eae f x f ．)1(222-≥e e a ，2)1(222<-e e ，∴2)1(222<≤-a e e ， 又43)1(2121)1(2222<-+=-e e e ，∴43)1(222≤≤-a e e ． 综上知，实数a 的取值范围⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-43,)1(222e e ． 21.解：（1）设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距为c b a ,,，则1=c ，且ab ST CD 22,4==，2222==∴ba ST CD，又122=-b a ，1,2==∴b a ，1222=+∴y x . （2）由题，直线l 斜率存在，设直线l ：)2(-=x k y ，联立1222=+y x ，消y 得：由①②得：21412<<k ，则AB 的中点)212,214(222k k k k D +-+， t ==+∴2，得))21(4,)21(8(222tk k t k k P +-+代入椭圆方程得： 1)21(16)21(3222222224=+++t k k t k k ，即21162116)21(163222222242+=+=++=kk k k k k t ，21412<<k ，4382<<∴t ，即)362,2()2,362(--⋃∈t . 22．高考模拟数学试题11 由b 1＝a 1＝1，b 2＝2，易得b n >0，由③－④，得1b n＝b n ＋1－b n －1(n ≥2)， ∴b 1<b 3<…<b 2n －1，b 2<b 4<…<b 2n ，得b n ≥1. 根据b n ·b n ＋1＝n ＋1，得b n ＋1≤n ＋1， ∴1≤b n ≤n .∴1a 1＋12a 2＋…＋1na n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝1b 1＋(b 3－b 1)＋(b 4－b 2)＋…＋(b n －b n －2)＋(b n ＋1－b n －1) ＝1b 1＋b n ＋b n ＋1－b 1－b 2 ＝b n ＋b n ＋1－2.∵b n ＋b n ＋1－2≥2b n b n ＋1－2＝2(n ＋1－1)， 且由1≤b n ≤n 可知，b n ＋b n ＋1－2＝b n ＋n ＋1b n －2≤min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋n ＋1－2，n ＋n ＋1n －2≤n ， ∴原不等式成立．。
浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真模拟考试数学试题(解析版)
1．B【解析】分析：解一元二次不等式求得集合B，之后应用交集中元素的特征，求得集合，再根据全集R，求出，从而求得结果.详解：由可得，所以，从而可求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，注意把握交集和补集的概念，即可求得结果，属于基础题目.点睛：该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.3．D【解析】分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.详解：因为函数的最小正周期是，所以，解得，所以，将该函数的图像向右平移个单位后，得到图像所对应的函数解析式为，由此函数图像关于直线对称，得：，即，取，得，满足，所以函数的解析式为，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的图像的性质，涉及到的知识点有函数的周期，函数图像的平移变换，函数图像的对称性等，在解题的过程中，需要注意公式的正确使用，以及左右平移时对应的原则，还有就是图像的对称性的应用，结合题中所给的范围求得结果.4．C【解析】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则，所以平面区域的面积，解得，此时，由图可得当过点时，取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.6．D【解析】分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在中，因为，所以，因为，所以，，点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.7．C【解析】分析：直线恒过点，由此推导出，根据题意，求出点A的坐标，从而能求出k的值.详解：设抛物线C：是准线为，直线恒过点，过分别作于，于，由，所以点为的中点，连结，则，所以，点A的横坐标为，所以点的坐标为，把代入直线，解得，故答案是.点睛：该题考查的是直线与椭圆相交的有关问题，在解题的过程中，需要充分利用题的条件，灵活运用抛物线的定义，能够发现直线所满足的条件，联立求得点的坐标，代入求得k的值，即得结果.8．A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.9．C【解析】分析：首先结合正四面体的特征以及等腰直角三角形在旋转的过程中对应的特点，得到相关的信息，结合题中所给的条件，以及相关的结论，认真分析，逐一对比，得到结果.详解：根据正四面体的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到当直角边绕斜边旋转的过程中，存在着最高点和最低点，并且最低点在底面的上方，所以四面体E BCD的体积有最大值和最小值，故(1)正确；要想使，就要使落在竖直方向的平面内，而转到这个位置的时候，使得满足，但是就不满足是等腰直角三角形了，所以(2)不正确；利用二面角的平面角的定义，找到其平面角，可以判断得出设二面角的平面角为，则，所以(3)是正确的；根据平面截圆锥所得的截面可以断定，AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆，所以(4)正确；故正确的命题的个数是3个，故选C.点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.10．D【解析】分析：根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.点睛：该题考查的是利用指数函数的单调性比较大小的问题，在解题的过程中，要时刻关注指数幂中底数的取值范围和指数的大小关系，从而求得结果.11． 6ab =- 10z =z a i =-且11zbi i=++ ∴()()()()1111122a i i a a ia i bi i ----+-===++ ∴112{ 12a ab -=+-= ∴3{2a b ==-∴6ab =-， ()223110z =+-=故答案为6-，1012． 6 【解析】由题得 所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.13． 720 1【解析】分析：首先根据题中所给的二项展开式的特征，利用其展开式的通项，求得对应项的系数，再者就是分析式子的特点，对x 进行赋值，从而求得结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式的通项，利用通项求特定项的系数，赋值法求值等，在解题的过程中，需要时刻注意所用结果的正确性，不能记混了.14．【解析】分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.详解：根据题意，设，则，根据，得，由勾股定理可得，根据余弦定理可得，化简整理得，即，解得，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.15．【解析】分析：首先根据图形的特征，建立适当的平面直角坐标系，根据正方形的边长，设出点P 的坐标，利用终点坐标减去起点坐标，得到对应向量的坐标利用向量数量积坐标公式求得结果；再者就是利用向量相等得到坐标的关系，将其值转化为对应自变量的函数关系，结合自变量的取值范围，求得最小值.根据，可得，即，从而可以求得，所以，因为，所以，所以当取得最大值1时，同时取得最小值0，这时取得最小值为，所以的最小值是.点睛：该题考查的是有关向量的问题，在解题的过程中，注意建立相应的坐标系，将向量坐标化，从而容易求解，再者就是利用向量相等的条件是坐标相等，得到关于的关系式，利用三角式子的特征求得相应的最值.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果.17．【解析】分析：首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.详解：根据题意可知，可以发现当或时是分界点，结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点，故，解得，故答案是.点睛：该题考查的是有关函数的最值问题，在解题的过程中，需要先将绝对值符号去掉，之后分析函数解析式，判断函数值等于2时对应的自变量的值，再利用其为最小值，得到相应的分段函数的分界点，从而得到结果. 18．（1）（2）【解析】分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.详解：（1），，点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.19．（1）见解析（2）【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BD cos30°，解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.又因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.又因为BD DE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，∴平面ADE⊥平面BDEF，（Ⅱ）方法一：如图，由已知可得，，则，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.则.过点C做，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则，DE⊥平面ABCD，则平面.过G做于点I，则BF平面，即角为二面角C BF D的平面角，则60°.则，，则.（Ⅱ）方法二：可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).，.设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，则所以取x=，所以m＝(，-1，－)，取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，由，解得，则，又,则，设CF与平面ABCD所成角为，则sin=.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.20．（1）（2）【解析】分析：(1)先断定在曲线上，从而需要求，令，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.令，，则在单调递减，因为，所以在上增，在单调递增.,,因为，所以在区间上的值域为.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.21．（1），（2）（Ⅱ）设直线的斜率分别为，则MA：，与椭圆方程联立得：，得，得,，所以同理可得.所以,从而可以求得因为，所以，不妨设，所以当最大时，，此时两直线MA，MB斜率的比值.点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.22．（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；(2)将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；(3)结合题中的条件，应用反证法求得结果.故对任意，都有成立；（Ⅱ）由得，则，由（Ⅰ）知，，即对任意，都有；.（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，由（Ⅰ）知，，∴，∴，即，若，则,取时，有，与矛盾.则. 得证.点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.。
浙江省杭州二中高三高考热身考数学试卷及参考解析2018.6
)
A．19
B．17
C．16
D．14
1
5．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A． 2
B． 2 2
3
3
2
C． 2
D． 2 2
1
1
正视图
1 侧视图
6．若随机变量 满足 E(1 ) 4 ， D(1 ) 4 ，则下列说法正确的是( )
2
2
A． E 4, D 4
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题 一律无效。
参考公式：
球的表面积公式： S 4R2 ，球的体积公式： V 4 R3 （其中 R 表示球的半径） 3
锥体的体积公式：V 1 Sh （其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高） 3
B．若 m //, n , m n,则 //
C．若 m //, n , m // n,则
D．若 m //, n , m // n,则 //
4．已知整．数．x ， y 满足 2xx2yy75>00，，则 3x 4y 的最小值是(
16．已知点 M 为单位圆 x2 y2 1上的动点，点 O 为坐标原点，点 A 在直线 x 2 上，则 AM AO 的最
小值为
．
17．已知函数 f (x) x2 2mx m 2 , g(x) mx m ，若存在实数 x0 R ，使得 f (x0 ) 0 且 g(x0 ) 0
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 P {x 1 x 2 }，集合 Q {x 0 x 5 }，则 P Q ( ) 2
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷6(答案+解析)
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷6参考公式： 球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh=球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径1()3a b V h S S =+柱体的体积公式 其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设U ＝R ，A ＝}02|{2<-x x x ，B ＝}1|{≤x x ，则)(B C A u ⋂＝（）A ．01{|}xx <≤B ．12{|}x x ≤<C ．02{|}x x <<D ．12{|}x x << 2．设11i z =+，21i z =-（i 是虚数单位），则2111z z +＝（） A ．1B ．－1C ．iD ．－i3．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．“a ＝1”是“函数||)(x a x f -=在区间[1，＋∞)内为增函数”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题正确的是（） A ．若α//m ，α//n ，则n m // B ．若γα⊥，γβ⊥，则βα// C ．若α//m ，β//m ，则βα//D ．若α⊥m ，α⊥n ，则n m //6．已知向量a ，b ，c 满足||||||c b a ==＝1，且a ＋b ＝c，则（） A ．（a ＋c）∥bB ．（a ＋c）⊥bC ．a ·c ＞b ·cD ．a ·c ＜b ·c7．已知,,a b c 成等比数列，,,a x b 和,,b y c 都成等差数列，且0xy ≠，那么ycx a +的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数满足：①定义域为R ；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（）A ．15B ．10C ．9D ．89．在如图所示的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A ．73B ．74 C ．141 D ．1413 10．如图，在三棱锥P -ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 的中点，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =90°，AB ≠AC ，AC ＞AD ，PC 与DE 所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面角P －BC()f x x R ∀∈(2)2()f x f x +=[0,2]x ∈()2|22|f x x =--()()([8,8])ϕx f x x =∈-()ϕx－A 的平面角为γ，则,,αβγ的大小关系是（）A ．αβγ<<B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．γβα<<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.抛物线2(0)y ax a =>上的点03,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为2，则a =_____；POF ∆的面积为__________；12. 若不等式组240,340,0,x y ax y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a 的值为．若z =x +y ，求z 的最大值_______13.直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于),(11y x A 和),(22y x B 两点，则12x x =________，若过该抛物线的焦点的最短弦长为4，则该抛物线的焦点坐标是______. 14．已知函数()ϕω+=x y cos [)(002π),,ωϕ>∈的部分图象如图所示，则ϕ的值为________，该函数与函数|lg |y x =的交点的个数有_____个.15．已知两点，为坐标原点，若t 的值为. 16．有3辆不同的公交车，3名司机，6名售票员，每辆车配备一名司机，2名售票员，则所有的安排方法数有____________种.17．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列(2,2),(2,1)A B O 25OA tOB -≤n )1(x x y n -=2x =y n a的前项和的公式是__________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题14分）在中,内角对边的边长分别是.已知.（Ⅰ）若,求；（Ⅱ）若,求的面积.19．（本题14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值； （3）求CD 与平面AOB 所成的角中最大角的正切值．1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n ABC △,,A B C ,,a b c 2,3c C π==ABC △,a b sin sin()2sin 2C B A A +-=ABC △20．（本题15分）已知函数()()222ln f x x x a x a =-++∈R ．（1）若1a =，求函数在()1,1A 处的切线方程；（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：()252ln24f x ->.21．（本题15分）已知椭圆1C ：22221x y a b+= (0a b >>)，直线:2L y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1L 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2L 垂直1L 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2L 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）若AC 、BD 为椭圆1C 的过右焦点2F 的两条相互垂直的弦，求四边形ABCD 面积的最小值．22．（本题15分）已知数列{}n a 满足：1121,1(1)n n n a a a a n +==++，（其中*n ∈N ） （1）证明：12(1)nn n a a a n +≥++；（2）证明：12131n a n n +<<++.【参考答案】一、选择题 1．D【解析】A ={x |0<x <2},C u B ={x |x >1},∴)(B C A u ⋂=12{|}xx <<. 2．A 【解析】2111z z +=111i 1+i11+i 1-i 22-+=+=. 3．B【解析】本题考查的是几何体的三视图所以应选B 4．A【解析】“a ＝1”能推出“函数||)(x a x f -=在区间[1，＋∞)内为增函数”,反之不行,所以应选A 5．D 6．B【解析】∵||||||c b a ==＝1，且a ＋b ＝c ，∴a ,b ,c的关系如图所示,观察可得B.7．B【解析】由已知可得()()()212223b ac x a b y b c ⎧=⎪=+⎨⎪=+⎩ .注意到a c ay cx x y xy ++=，可从已知中整理出： ()222b b a c ay cx +++=，()224b b ac xy ++=，代入上式即可得到.选B8．B ．【解析】当42≤<x 时，220≤-<x ，由x ∀∈R ，有)(2)2(x f x f =+；及当]2,0[∈x 时，()2|22|f x x =--，得|3|44)2(2)(--=-=x x f x f ，同理64≤<x时，|5|88)2(2)(--=-=x x f x f ，当86≤<x 时，|7|1616)2(2)(--=-=x x f x f ，当02<≤-x 时，|1|1)(+-=x x f ，当24-<≤-x 时，|3|2121)(+-=x x f ，当46-<≤-x 时，|5|4141)(+-=x x f ，当68-<≤-x 时，|7|8181)(+-=x x f ，由||)(x x f =]8,8[-∈x ，利用函数图象可知共有10个零点.故选B.9．D【解析】考虑其对立事件，至少有两个数位于同行或同列的对立事件为这三个数位于不同行也不同列，所以其概率为11132139C C C 131C 14⋅⋅-=，故选D. 10．A【解析】如图所示：∵D 、E 分别是BC 、AB 的中点，∴DE //AC ，∴PC 与DE 所成角为α，即∠PCA ，∵P A ⊥平面ABC ，∴PD 与平面ABC 所成角为β，即∠PDA ，过点A 作AQ ⊥BC ，垂足为Q ，连接PQ ，∵P A ⊥平面ABC ，∴二面角P -BC -A 的平面角为γ，即∠PQA ，则AC >AD >AQ ，在Rt △P AC ，Rt △P AD ，Rt △P AQ 中：tan ∠PCA < tan ∠PDA < tan ∠PQA ,即 tan α< tan β< tan γ，又∵α，β，γ∈（0，π2），∴α<β<γ.二、填空题 11．24【解析】准线方程为4a x =-，所以32224a a +=∴=.抛物线方程变为22y x =，焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，点P坐标代入方程的0y =POF ∆的面积为1122⨯=12．4, 413．2124p x x =，（1，0）【解析】易求得抛物线的焦点,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭. 若l ⊥x 轴，则l 的方程为212,24P P x x x ==显然.若l 不垂直于x 轴，可设()2P y k x =-,代入抛物线方程整理得04)21(222=++-p x kp p x ，则4221P x x =，综上可知2214p x x =.最短弦长为2p ＝4，所以p =2,焦点坐标为（1，0）.14．7π4，6 【解析】），，图像过（，又08322,2)8387(πππωπππ ==∴=⨯-=T [)3π7πcos(2)002π84,,.ϕϕϕ∴⨯+=∈∴=且∴函数解析式为7πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，补全图象并画出函数|lg |y x =的图象，两个函数图象的交点的个数有6个. 15．56【解析】∵)2,2(=OA ，),2(t t OB t =,∴552)2()22(||22≤-+-=-t t t ，解得0)65(2≤-t ，∴56=t . 16．540【解析】第一步，将3名司机与6名售票员平均分成三组，有222642C C C 种不同的分法，第二步将这三组平均分给三辆车，有33A 种不同的分法，由分步计数原理得共有方法数为22236423C C C A ＝540种.17．221-+n【解析】∵)1(x x y n-=，∴n n n n x n nx x x nx y )1()1(11+-=--='--，∴1122)2(2)1(2|--=⋅+-=⋅+-⋅='n n n x n n n y ，nf 2)2(-=，故所求的切线方程为)2(2)2(21-⋅+-=+-x n y n n ，令0=x ，则nn y 2)1(⋅+=，三、解答题18．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，， 又因为． 联立方程组解得，．（Ⅱ）由题意得， 即， 当时，，，，当时，得，由正弦定理得联立方程组解得所以的面积． 19解：（1）∵a 3，a 5是方程x 2-14x +45=0的两根，且数列{a n }的公差d ＞0， ∴a 3=5，a 5=9，公差d =5353a a -- =2. ∴a n =a 5+(n -5)d =2n -1. 又当n =1时，有b 1=S 1=112b -, ∴b 1=13, 当n ≥2时，有b n =S n -S n -1=12(b n -1-b n ), ∴1n n b b - =13(n ≥2).∴数列{b n }是首项b 1=13，公比q =13的等比数列，∴b n =b 1q n -1=13n . （2）由（1）知c n =a n b n =213nn -,∴T n =113+233+353+…+213nn -,① 224a b ab +-=ABC △1sin 2ab C =4ab =2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，2a =2b =sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=sin cos 2sin cos B A A A =cos 0A =2A π=6B π=3a =3b =cos 0A ≠sin 2sin B A =2b a =2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，a =b =ABC △1sin 2S ab C ==13T n =213+333+453+…+233n n -+1213n n +-,② ①-②得23T n =13+223+323+…+23n -1213n n +-=13+2(213+313+…+13n )-1213n n +-, 整理得T n =113n n +-. 20．解：解法一：（1）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， 又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥， 又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（2）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴又12DE AO ==∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ∠===．∴cos CDE ∠=异面直线AO 与CD 所成角的余弦值为46．（3）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD ==． 当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OB OD AB==，tan CDO =， CD ∴与平面AOB 所成角中最大角的正切值为332．解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，(0D ，(00OA ∴=，，(2CD =-， ∴,cos CD OA >=<4622326=⋅． ∴异面直线AO 与CD 所成角的余弦值为46． （III ）同解法一 20．解：（1）当1a =时，()222ln f x x x x =-++，()122f x x x-'=+，()11f '=，所以在()1,1A 处的切线方程为()()111y f x '-=-，化简得0x y -=.（2）函数定义域为()0,+∞，()22222a x x a f x x x x='-+=-+则12,x x 是方程2220x x a -+=的两个根，所以121x x +=，又12x x <，所以2112x <<.22222a x x =-，所以()()222222222222ln f x x x x x x =-++-. 令()()2212222ln (1)2g t t t t t t t =-++-<<， 则()()()2224ln 2224ln g t t t t t t t =-+-+-=-'，又1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()0g t '>，则()g t 在1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内为增函数，所以()152ln224g t g -⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以()252ln24f x ->.21.解：（1）∵3e =，∴2e ＝22c a ＝222a b a -＝13，∴2223a b =. ∵直线:2L y x =+与圆222x y b +=相切，∴b ，22b =，∴23a =.∴椭圆1C 的方程是22132x y +=. （2）∵2||||MP MF =，∴动点M 到定直线1:1L x =-的距离等于它到定点2(1,0)F 的距离， ∴动点M 的轨迹2C 是以1L 为准线，2F 为焦点的抛物线．∴点M 的轨迹2C 的方程为24y x =.（3）当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，A (1x ，1y )，C (2x ，2y )， 则直线AC 的方程为(1)y k x =-． 联立22132x y +=及(1)y k x =-得，2222(23)6360k x k x k +-+-=， 所以12x x +＝22623k k+，21223623k x x k -=+，||AC =. 由于直线BD 的斜率为1k -，用1k-代换上式中的k 可得||BD . 因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为1||||2S AC BD =＝222224(1)(23)(23)k k k +++， 由于22(23)(23)k k ++≤[2222323()2k k +++＝225(1)[]2k +，所以9625S ≥， 当222323k k +=+，即1k =±时取等号．易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积4S =. 综上可得，四边形ABCD 面积的最小值为9625. 22.（1）证明：由121(1)n n n a a a n +=++得2120(1)n n n a a a n +-=>+， 从而111n n a a a +>≥=，可得122111(1)(1)n n n a a a n n +=+≥+++，即12(1)n n n a a a n +≥++. （2）证明：由121(1)n n n a a a n +=++得12111(1)n n n n n n a a a a a n a +++-=⋅+，由第（1）题可知101n n a a +<<，从而1221111111111(1)(1)(1)1n n n n n n n n a a a a a a a n a n n n n n ++++-=-=<<=-++++， 累加得1111111n a a n +-<-+，即11n a n +<+，于是111n a n +<+， 当2n ≥时，n a n <，又11a =，故n a n ≤， 又12212111(1)(1)11n n n a a n n a n n n n ++=+≤+<+=++++，得11.2n n a n a n +++， 从而221111111111(1)(1)2(1)(2)12n n n n a n a a n a n n n n n n +++-=>==-+++++++， 累加得11111122n a a n +->-+，即12(2)2(1)43n n n a n n +++>>++，于是1213n a n n +>++， 故命题12131n a n n +<<++成立.。
浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题(解析版)
1．A【解析】分析：根据集合交集的定义进行求解即可求出结果.详解：∵，，∴，故选A.点睛：本题主要考查集合的基本运算，根据交集的定义是解决本题的关键，比较基础.2．B【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算展开，根据实数的特征得虚部为0即可求得值.详解:，∵，∴，解得，故选：B点睛：本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题.点睛：本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．4．A【解析】分析：根据圆的方程的特征分别计算出两圆的圆心与半径，计算处圆心距，根据可得两圆位置关系.详解：由题意知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆心距为，又，则，所以两圆的位置关系为相离，故正确答案为A.点睛：此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，以属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；一是几何法，通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系.5．D【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过时，值最小，没有最大值．详解：由题意，先作出约束条件的可行域图，如图所示，将目标函数转化为，作出其平行直线，将其在可行域范围内上下平移，则当平移至顶点时，截距取得最小值，即，故正确答案为D.点睛：本题考查了画不等式组表示的平面区域，利用数形结合求函数最值的应用问题.点睛：本题考查了对数的运算性质，特值法在选择题中的应用，属于基础题7．A【解析】分析：由随机变量的分布列，推导出，从而当增大时，增大；，由，得到当增大时，增大.详解：由随机变量的分布列，得，∴当增大时，增大；，∵，∴当增大时，增大，故选A．点睛：本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8．C【解析】分析：对函数求导，令，得或，根据函数的图象可得方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到函数既有极大值，又有极小值.详解：由题意，，由，得或，由方程，结合函数图象，作出和的图象，结合图象得和的图象有交点，∴方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到：函数既有极大值，又有极小值具有极大值，也有极小值，故选C.点睛：本题考查函数的极大值和极小值的判断，考查导数的几何意义、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.点睛：此题主要考查平面向量的模、数量积的坐标表示及运算，以及坐标法、圆的方程的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，需要根据条件，建立合理的平面直角坐标系，将向量关系转化为点位置关系，通对坐标运算，将其结果翻译为向量结论，从而问题可得解.10．A【解析】分析：设三角形的高分别为，三棱锥的高为，易知，根据正弦函数的定义可得结果．详解：由题意，设三角形的高分别为，三棱锥的高为，易知，根据正弦函数的定义得，，所以，又均为锐角，所以，故正确答案为A.点睛：本题考查二面角的余弦值的求法的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.11．【解析】由可得双曲线的渐近线方程是，且双曲线中，.点睛：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13．【解析】分析：由已知中的三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥，然后求解几何体的体积，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．学科&网详解：由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为，表面积为，故答案为和.点睛：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状及熟记几何体的体积及表面积公式.14．【解析】分析：由正弦定理得，设，利用余弦定理能求出；当时，，根据的面积公式可求出结果．详解：由题意，根据正弦定理得，，设，根据余弦得，；由，则，又，根据三角形面积公式得，故答案为及.点睛：本题考查角余弦值的求法，考查三角形面积的求法等基础知识，考查运用求解能力，是中档题.15．32【解析】分析：根据题意，按6个球取出的数目分6种情况讨论，分析求出每一种情况的取法数目，由加法原理计算可得答案.详解：由题意，一次可以取球的个数为1，2，3，4，5，6个，则若一次取完可由1个6组成，有1种；二次取完可由1与5，2与4，3与3组成共5种；三次取完由1，1，4或1，2，3或2，2，2组成共10种；四次取完有1，1，1，3或1，1，2，2组成共10种；五次取完，由1，1，1，1，2个组成共5种；六次取完由6个1组成共有1种，综上得，共有32种，故答案为32.点睛：此题主要考查数学中计数原理在实际问题中的应用，属于中档题型，也是常考考点.计数原理是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解计数问题最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.点睛：本题考查了绝对值不等式的性质与解法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.17．【解析】分析：由题意知，，所以，由此可知，当时取得最大值．详解：由题意知，，对任意，不等式恒成立恒成立边上的高大于等于恒成立，∵，∴，所以，由此可知，当时取得最大值．点睛：本题考查余弦定理及其应用，解题时要认真审题，不等式恒成立边上的高大于等于恒成立，是解题关键．18．(1)见解析;(2)(＋2kπ，＋2kπ)（k∈Z）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，根据诱导公式，可将函数的解析式进行化简整理，再根据正弦函数周期的计算公式，可求出原函数的最小正周期，根据正弦函数的值域，可求出原函数的最大值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的解析式，根据正弦函数的单调减区间，从而问题可得解.（Ⅱ）因为f (－x)＝2sin(x－)，所以单调递减区间为(＋2kπ，＋2kπ)（k∈Z）．点睛：此题主要考查三角函数中诱导公式的应用，以及三角函数的最小正周期、单调区间、最值等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题过程中，常需要通过诱导公式、三角恒等变换公式将函数解析式进行化归，即含一种三角函数名、一个角的解析式，再进行求解运算.19．(1)见解析;(2).【解析】分析：（Ⅰ）由题意，可根据面面垂直的判定定理进行求解，将问题转化为线面垂直，再转化为线线垂直，即先证，，则平面，从而问题可得解（Ⅱ）由题意，可作出所求线面角，再根据正弦函数值的定义进行求解，从而问题可得解，或可采用向量法进行求解亦可.详解：（Ⅰ）有题意知AM⊥BD，又因为AC′⊥BD，所以BD⊥平面AMC，因为BD平面ABD，所以平面AMC⊥平面ABD．（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接F D．由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面所成的角．解得，x＝2－2，即AF＝2－2．所以C′F＝2．故直线与平面所成的角的正弦值等于＝．点睛：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.20．(1);(2)见解析.【解析】分析：（Ⅰ）由题意，根据函数导数的计算公式、法则进行运算，从而问题可得解；（Ⅱ）由题意，可将不等式的证明转化为求函数的单调性、最值的问题，通过研究函数的单调性，求出函数的最值，再根据最值点的范围，从而问题可得解.详解：（I）．（Ⅱ）设，则函数g(x)在单调递减，且，，所以存在，使g(x0)＝0，即，所以x0＋1－(2x0＋1)ln x0＝0，所以f′(x)＝0，且f (x)在区间(0，x0)单调递增，区间(x0，＋∞)单调递减．所以f (x)≤f (x0)＝＝．点睛：本题考查函数的导数的求法，考查不等式的证明，考查导数的运算法则、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识和应用意识，是中档题21．(1)y＝2x0x－;(2).【解析】分析：（Ⅰ）由题意，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再根据直线的点斜式进行运算求解，从而问题可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可根据切线的方程求线段的中点，联立直线与抛物线方程消去,根据韦达定理，可得点纵坐标的关系式，利用重心坐标性质建立关系式，从而求出点的纵坐标，从而问题可得解.详解：（Ⅰ）因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′＝2x0．所以直线AB的方程y－x0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－．由韦达定理，得y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3．所以，解得mx0＝．所以点D的纵坐标y D＝，故．点睛：本题考查了抛物线的性质，直线方程，联立直线与抛物线的方程，运用韦达定理是解题的关键，属于中档题. 22．(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可采用数学归纳法，以及放缩法对不等式进行证明，从而问题可得解；（Ⅱ）在第（i）中，根据（Ⅰ）的结论，采用放缩法对数列的通项进行放大，再用累加法进行求解即可；在第（ii）中，对参数进行分段讨论，结合（i）中的结论，从而问题可得解.（Ⅱ）（ⅰ）当n≥m时，a n≥a m，＝a n＋≤a n＋，所以a n＋1所以a n－a n≤，累加得a n－a m≤(n－m)，＋1所以．（ⅱ）若，当时，，所以．所以当时，．所以当时，，矛盾．所以．因为，所以．点睛：此题主要考查数列中递推公式的应用，以及数学归纳法在证明有关数列不等式中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.数学归纳法是解决有关数列不等式问题的一种重要方法，只有理解数学归纳法中的递推思想，理解数学归纳法的原理与实质，掌握两个步骤，才能灵活地运用数学归纳法解决有关数列问题.。
浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考数学试题(精编含解析)
杭州二中2018届高三热身考数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接求两个集合的交集即可．详解：，故选B．点睛：一般地，对于较为复杂的集合的交并补的运算，我们可以借助数轴或韦恩图来求两个集合的交集．2. 已知数列是等比数列，其公比为，则“”是“数列为单调递增数列“的”（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：等比数列的通项公式为，故其单调性不仅取决于的符号，还要考虑还是．详解：取，，则，但为减数列；取，，则，为增数列，但，故“”是“等比数列为单调递增数列”的既不充分又不必要条件，故选D．点睛：一般地，等比数列为单调递增数列的充要条件是或．等差数列为单调递增数列的充要条件是公差．3. 设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则【答案】C【解析】试题分析：此题只要举出反例即可，A,B中由可得,则,可以为任意角度的两平面,A,B均错误.C,D中由可得，则有,故C正确，D错误.考点：线，面位置关系.4. 已知整数满足则的最小值是（）A. 19B. 17C. 13D. 14【答案】C【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，通过平移动直线使其与前述区域有公共点来求的最小值．详解：可行域如图所示，当动直线过时，有最大值．又由得，故，故．点睛：二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：从三视图看，原来的几何体是一个四棱锥，它按如图所示的形式放置．详解：几何体如图所示，其中为等腰直角三角形，平面平面，四边形为矩形且面积为，点到平面的距离为，故体积为，故选B．点睛：本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．6. 若随机变量满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果.详解：随机变量满足，，则：，据此可得：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（）A. 是的极大值点B. 是的极小值点C. 不是的极值点D. 是的极值点【答案】B【解析】分析：从图像看，在上，为增函数，在上，是减函数，故可判断为的极小值点．详解：由题设有，故，所以，因为．又当时，有，当时，有，所以是的极小值点，故选B．点睛：函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点．8. 如图，已知椭圆，双曲线，若以为长轴的直径的圆与的一条渐近线交于两点，且与该渐近线的两交点将线段三等分，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则且，根据这个关系我们能得到的坐标，从而得到的大小．详解：设直线与椭圆在第一象限内的交点为且设，其中则，故，所以，也就是，所以，选A．点睛：圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．9. 已知△的顶点平面，点在平面同侧，且，若与所成角分别为，则线段长度的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：过作平面的垂线，垂足分别为，则可根据线面角得到的长，而的长度可以用的长度来表示，依据的范围可得到的范围．详解：如图，过过作平面的垂线，垂足分别为，则四边形为直角梯形．在平面内，过作交于．又，，，所以故．又，也即是，所以即，故选B．点睛：空间中线段长度的计算，应归结平面图形中的线段长度的计算，该平面图形的其他量可通过空间中的边角关系得到．10. 设函数，其中表示中的最小者.下列说法错误的（）A. 函数为偶函数B. 若时，有C. 若时，D. 若时，【答案】D【解析】分析：的图像可由三个函数的图像得到（三图垒起，取最下者），然后依据图像逐个检验即可．详解：在同一坐标系中画出的图像（如图所示），故的图像为图中粗线所示．的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．当时，，；当时，，；当时，，；当时，，此时有，故B成立．从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．取，则，，，故D不成立．综上，选D．点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 若复数满足（为虚数单位），则__________；__________．【答案】(1). . (2). .【解析】分析：原等式可化成，利用复数的除法可及．详解：由题设有，故，填及．点睛：本题考查复数的四则运算和复数的模，属于基础题．12. 已知，则__________；__________．【答案】(1). 或.(2). .【解析】分析：先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程，解出后可求．详解：由可以得到，故，也就是，整理得到，故或．当时，；当时，．故填或，．点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.13. 已知多项式，则__________；__________．【答案】(1). 1.(2). 21.【解析】分析：题设中给出的等式是恒等式，可令得到．另外，我们可利用二项式定理求出的展开式中的系数和常数项，再利用多项式的乘法得到．详解：令，则．又，而的展开式中的系数为，常数项为，故的展开式中的系数为即．综上，填，．点睛：二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．14. 在△中，角所对的边分别为，已知，点满足，则__________；__________．【答案】(1). 8.(2). .【解析】分析：由已知利用余弦定理即可求得的值，进而求得的值，利用余弦定理可求的值.详解：如图，，，.∴根据余弦定理得，即.∴或（舍去）∵点满足∴∴在中，由余弦定理可得.∴故答案为，.点睛：本题主要考查余弦定理解三角形. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15. 有6张卡片分别写有数字1,1,1，2,3,4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是__________．（用数字作答）【答案】34.【解析】分析：三位数的百位、十位和个位上数字可以相同，也可以不同，故分数字彼此相异、有两个相同数字、有三个相同数字三种情况讨论即可．详解：如果三位数的各位数字不同，则有种；如果三位数有两个数字相同，那么有种；如果三位数有三个数字相同，那么有1种（就是111）．综上，共有种，填．点睛：对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．16. 已知点为单位圆上的动点，点为坐标原点，点在直线上，则的最小值为__________．【答案】2.【解析】分析：题设的都是动点，故可设，，从而可表示关于的函数，求出函数的最小值即可．详解：设，，则，所以．又，故．令，则，又，当即时等号成立，故，填．17. 已知函数，若存在实数，使得且同时成立，则实数的取值范围是__________．【答案】.【解析】分析：从函数形式上看，中的符号容易判断，当时，，当，，因此当，在有解；当时，在有解，故可求出的取值范围．详解：当时，，所以在有解，则或，也即是或（无解），故）．当，，所以在有解，所以，此不等式组无解．综上，的取值范围为．点睛：含参数的不等式组的有解问题，可借助于函数的图像帮助我们寻找分类讨论的起点．另外，问题解决的过程中要关注函数解析式的特点．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知函数的部分图像如图.（Ⅰ）求函数的解析式.（Ⅱ）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.【答案】(1).(2) 时，，时，.【解析】分析：（Ⅰ）从图像可以得到，故，再利用得出的大小.（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，可先计算当时的取值范围，再利用的性质求在相应范围上的最值.详解：（1）由图像可知，又，故.周期，又，∴.∴..（2），∴.当时，，.当时，，.所以，.点睛：函数在给定范围的值域问题，应先求的范围再利用求原来函数的值域，切记不可代区间的两个端点求函数的值域，除非我们能确定函数在给定的范围上是单调的.19. 如图，在圆锥中，已知，⊙的直径，点在上，且，为的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】分析：（Ⅰ）要证平面，只要证明和，两者都可以通过等腰三角形得到.（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论可以得到平面平面，因此过作，垂足为，可证平面，因此就是所求的线面角，其正弦值为.详解：（Ⅰ）因为，是的中点，所以.又底面⊙底面⊙，所以，是平面内的两条相交直线，所以平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，又平面，所以平面平面，在平面中，过作于，则平面，连结，则是是平面上的射影，所以是直线和平面所成的角.在中，，在中，点睛：线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20. 已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：.【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）先求，再求切线的斜率即可得到曲线在处的切线.（Ⅱ）要证，只要，而，故应考虑在上的零点，又，此方程在仅有一个根且为的最小值点，所以待证成立，可估算，故成立.详解：（Ⅰ）所以，则切线方程为.（Ⅱ）令，则，设的两根为，由于，不妨设，则在是递减的，在是递增的.而，所在上存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增.所以，，因为，,，所以.点睛：解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.函数不等式的证明，可归结为函数的最值来处理，有时最小值点难以计算时，须估算最小值点的范围.21. 如图，已知圆，抛物线的顶点为，准线的方程为，为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若，求△面积的最小值.【答案】(1).(2)32.【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出.（Ⅱ）求出过的圆的切线的方程后可得两点的横坐标，它们可用及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和消元后可用关于的函数表示，求出该函数的最小值即可.详解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，则，∴，所以抛物线的方程是.（Ⅱ）设切线，即，切线与轴交点为，圆心到切线的距离为，化简得设两切线斜率分别为，则=，当且仅当时取等号.所以切线与轴围成的三角形面积的最小值为32.点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.22. 已知正项数列满足.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：.【答案】(1).(2) 证明见解析.(3)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）利用递推关系直接计算.（Ⅱ）因为，结合可以得到，故不等式得证.详解：（Ⅰ）解：，则.（Ⅱ）证明：∵，∴，另一方面，，∴.（Ⅲ），且∴∴时，而∴∵.令，则，故在上为减函数，故当时，恒成立，所以，也就是，故.点睛：与指数、对数有关的数列不等式的证明，往往需要根据数列和的结构特点构建函数不等式，常见的函数不等式有：（1）；（2），这些不等式都可以利用导数去证明.。
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1．B【解析】分析：解一元二次不等式求得集合B
全集R.
B.
点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，注意把握交集和补集的概念，即可求得结果，属于基础题目.
点睛：该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.
3．D【解析】分析：由函数的周期求得
.
详解：因为函数
D.
点睛：该题考查的是有关三角函数的图像的性质，涉及到的知识点有函数的周期，函数图像的平移变换，函数图像的对称性等，在解题的过程中，需要注意公式的正确使用，以及左右平移时对应的原则，还有就是图像的对称性的应用，结合题中所给的范围求得结果.
4．C【解析】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9
平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.
详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
，所以平面区域的面积
9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
6．D【解析】
角形，从而得到充分性不成立，
不满足，从而选出正确的结果.
中，因为
，因为
，
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
7．C【解析】
A的坐标，从而能求出k的值.
详解：设抛物线C
，
点A
代入直线
，故答案是
点睛：该题考查的是直线与椭圆相交的有关问题，在解题的过程中，需要充分利用题的条件，灵活运用抛物线的定义，能够发现直线所满足的条件，联立求得点的坐标，代入求得k的值，即得结果.
8．A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.
点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.
9．C【解析】分析：首先结合正四面体的特征以及等腰直角三角形在旋转的过程中对应的特点，得到相关的信息，结合题中所给的条件，以及相关的结论，认真分析，逐一对比，得到结果.
绕斜边
存在着最高点和最低点，并且最低点在底面的上方，所以四面体的体积有最大值和最小值，故(1)正确；学科&网
满足是等腰直角三角形了，所以(2)不正确；
利用二面角的平面角的定义，找到其平面角，
所以(3)是正确的；
根据平面截圆锥所得的截面可以断定，AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆，所以(4)正确；
故正确的命题的个数是3个，故选C.
点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.
10．D 【解析】分析：根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案
.
点睛：该题考查的是利用指数函数的单调性比较大小的问题，在解题的过程中，要时刻关注指数幂中底数的取值范围和指数的大小关系，从而求得结果.
11． 6ab =-
∵复数z a i =-且
∴3{
2
a b ==-
∴6ab =-，
故答案为6-，12．
故第一个空填6.由题得渐近
13． 720 1【解析】分析：首先根据题中所给的二项展开式的特征，利用其展开式的通项，求得对应项的系数，再者就是分析式子的特点，对x 进行赋值，从而求得结果.
点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式的通项，利用通项求特定项的系数，赋值法求值等，在解题的过程中，需要时刻注意所用结果的正确性，不能记混了.
14【解析】分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.
，由勾股定理可得
，即
，故答案是
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.
15．分析：首先根据图形的特征，建立适当的平面直角坐标系，根据正方形的边长，设出点P的坐标，利用终点坐标减去起点坐标，得到对应向量的坐标利用向量数量积坐标公式求得结果；再者就是利用向量相等得到坐标的关系，将其值转化为对应自变量的函数关系，结合自变量的取值范围，求得最小值.
，
1时，0，
的最小值是
点睛：该题考查的是有关向量的问题，在解题的过程中，注意建立相应的坐标系，将向量坐标化，从而容
易求解，再者就是利用向量相等的条件是坐标相等，利用三角式子的特征求得相
应的最值.
点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果.
17【解析】分析：首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.
时是分界点，
结合函数的解析式，可以判断0
，故答案是
点睛：该题考查的是有关函数的最值问题，在解题的过程中，需要先将绝对值符号去掉，之后分析函数解析式，判断函数值等于2时对应的自变量的值，再利用其为最小值，得到相应的分段函数的分界点，从而得到结果.
18．（12
【解析】分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；
(2)
三角形的面积公式计算即可得到所求的值.
详解：（1
点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
19．（1）见解析（2
【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.
详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BD cos30°，
解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.
又因为DE⊥平面ABCD，ABCD，∴AD⊥DE.
又因为＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，
∴平面ADE⊥平面BDEF，
（Ⅱ）方法一：
BCD为锐角为30°的等腰三角形.
过点C，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则
DE⊥平面ABCD
过G I，则，即角
二面角
（Ⅱ）方法二：
可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).
，.
设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，
x=，所以m＝(，-1，－)，
取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，
又CF与平面ABCD
则sin
故直线CF与平面ABCD
点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.
20．（12
【解析】分析：(1)
合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；
(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.
在上增，在.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.
21．（12
，则MA
，所以
，不妨设
，所以当最大时，MA，MB斜
点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y 轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.
22．（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；
(2)将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；
(3)结合题中的条件，应用反证法求得结果.
得
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
.
得证.
点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.。