北师大版21数学学案8下2.4.1
北师大版21数学学案8下4.1
★ 2.983-98能被100整除吗?能被99整除吗?能被98整除吗? 解:983-98=98(982-1)=98×(98+1)(98-1)=98×99×97,故能被98,99整除,不能 被100整除.
★★ 3.若x2+x+m=(x+n)2,求m,n的值.
解:∵(x+n)2=x2+2nx+n2=x2+x+m,
第四章 因 式 分 解 1 因式分解
自主学习识新知 要点探究固新知 素养培优拓新知 课时提升作业
自主学习识新知
【知识再现】 1.整式乘法类型 (1)单项式乘以单项式:3a·4ab=___1_2_a_2b___. (2)单项式乘以多项式:a(m+n)=___a_m_+_a_n___. (3)多项式乘以多项式:(a+b)(m+n)=___a_m_+_a_n_+_b_m_+_b_n___.
2.特殊的整式乘法公式 (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=___a_2_-_b_2 __. (2)完全平方公式:(a±b)2=___a_2_±_2__a_b_+_b_2 __.
【新知预习】 阅读教材P92—93,完成下列问题: 填写下表,观察两组等式之间的特点,它们的联系和区别:
a(a+1)=___a_2+_a___ (a+1)2=___a_2+_2_a_+_1___
【素养培优】 如果x2+Ax+B=(x-3)(x+5),求3A-B的值. 解:x2+Ax+B=(x-3)(x+5)=x2+2x-15, 得A=2,B=-15. 3A-B=3×2-(-15)=21.
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教案
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教案一. 教材分析北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》这一节主要介绍了因式分解的概念和基本方法。
通过本节课的学习，学生能够理解因式分解的意义，掌握提公因式法、公式法等基本的因式分解方法，并能够运用这些方法解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了整式的乘法，对一些基本的代数运算有一定的了解。
但是，因式分解作为一种独立的数学思想，对学生来说可能还有一些抽象和难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.了解因式分解的概念和意义。
2.掌握提公因式法、公式法等基本的因式分解方法。
3.能够运用因式分解解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和意义。
2.提公因式法和公式法的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从实际问题出发，探索和理解因式分解的概念和方法。
同时，结合案例分析和练习，让学生在实践中掌握因式分解的方法。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的概念，比如：已知二次函数f(x)=x^2+4x+4，求其解析式。
让学生思考如何将这个二次函数表示成两个一次函数的乘积形式。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解的概念，介绍提公因式法和公式法。
通过PPT课件，展示因式分解的步骤和例子，让学生理解和掌握因式分解的方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个题目进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，教师选取一些题目进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将因式分解应用到解决实际问题中，比如：求解一元二次方程、求函数的极值等。
6.小结（5分钟）让学生总结因式分解的概念和方法，以及自己在学习过程中的收获和不足。
7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生巩固所学知识。
八年级数学下册4.1 因式分解导学案北师大版
222()x x x x -=-211()x x x x +=+ 4.1 因式分解本课时学习要点:因式分解的定义本课时学习目标：1、了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。
本课时学习安排： 课前复习：1、计算下列各式：①（m +4）（m －4）=__________ ②（y －3）2=__________; ③3x （x －1）=__________;④m （a +b +c ）=__________; ⑤ a （a +1）（a －1）=__________.课中学习：活动一：因式分解的定义1、讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
2、因式分解的概念：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做因式分解。
因式分解也可称为分解因式。
例1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（1）4a （a +2b ）=4a 2+8ab ; （2）6ax －3ax 2=3ax （2－x ）（3）a 2－4=（a +2）（a －2）; （4）x 2－3x +2=x （x －3）+2(5) （6） 8a 2b 3=2a 2·4b 3变式： 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）．A ．a （a －b ）＝a 2－abB ．a 2－2a ＋1＝a （a －2）＋1C ．x 2－x ＝x （x －1）D ．活动二：因式分解与整式乘法的关系计算下列式子：（1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b-1)= ；（3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2= ；根据上面的算式填空：（1）3x 2-3x= ； （2）ma+mb-m= ;（3）m 2-16= ； （4）y 2-6y+9= ．思考：因式分解与整式乘法有什么关系？举例说明分解因式与整式的乘法的关系：分解因式是把一个多项式化成 积的关系，而整式的乘法是把整式相乘的形式化成 和的关系，分解因式是整式乘法的逆变形。
例2、连一连：9x 2－4y 2 a （a ＋1）24a 2－8ab ＋4 b 2 －3a （a ＋2）－3 a 2－6a 4（a －b ）2a 3＋2 a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ）例3、若因式分解215(x 3)(x n)x mx +-=++，则m 的值为（ ）A 、 -5B 、 5C 、-2D 、2 变式1：把多项式25x mx ++因式分解得)(5n x x ++）（，则m= ，n= 例4、用简便方法计算： （1）19.8 3.619.88.119.8 1.7⨯+⨯-⨯ （2）1210.1812.10.917 1.21⨯+⨯-⨯课后巩固：☆1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）(A) (a +3)(a -3)=a 2-9 (B)x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1(C)a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x1) ☆☆2、（－2）2012＋（－2）2013等于（ ）A ．－22012B ．－22013C ．22012D ．－2☆☆3、计算93－92－8×92的结果是__________。
北师大版21数学学案8下单元复习课2
x 4 2x 1,
1.(2020·襄阳中考
x
3
x
1
中两个不等式的解集在数轴上表
2.(2019·南充中考)关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围
为
(C)
A.-5<a<-3 B.-5≤a<-3
C.-5<a≤-3 D.-5≤a≤-3
3.(2019·甘肃中考)不等式组22xx
【典例4】(1)①如果a-b<0,那么a________b; ②如果a-b=0,那么a________b; ③如果a-b>0,那么a________b; (2)由(1)你能归纳出比较a与b大小的方法吗?请用文字语言叙述出来; (3)用(1)的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小?如果能,请写出比较过 程.
A.2x<2y
B.-2x<-2y
C.x-1>y-1 D.x+1>y+1
【答题指导】 1.在应用不等式的基本性质进行判断时,先要关注运算:加、减或是乘、除;当 乘、除运算时再关注正、负. 2.特别地,除了乘除正数、负数外还有一种情况是乘0.
考向二 解一元一次不等式与一元一次不等式组 我们类比解一元一次方程的一般步骤得到解一元一次不等式的一般步骤,由不 等式的基本性质发现“化系数为1”这一步与解方程有极大的不同,需要特别 注意.
解:(1)设购买一根跳绳需要x元,购买一个毽子需要y元,
依解题得意:xy,得 64: .,24xx
5y 3y
32, 36,
答:购买一根跳绳需要6元,购买一个毽子需要4元.
(2)设购买m根跳绳,则购买(54-m)个毽子,
依题意,得:
北师大版21数学学案8下2.3
(D)
3.如果关于x的方程(a+1)x+1=0有负根,则a的取值范围在数轴上表示为( D )
二、填空题(每小题4分,共12分) 4.图中表示的不等式的解集是___x_≥__-_1___.
5.(2020·北京东城区模拟)请写出一个关于x的不等式,使-2,3都是它的解 ___x_≥__-_2_(_答__案__不__唯__一__)__. 6.(2020·滦州市期末)若关于x的不等式2x-m≥1的解集如图所示,则m=__3__.
4
∵不等式4x-3a>-1与不等式2(x-1)+3>5的解集相同, ∴ 3a=12,解得a=3.
4
【母题变式】
【变式一】(变换条件)在函数y= 1 x 中,自变量x的取值范围在数轴上表示
正确的是
(B)
【变式二】(变换条件和问法)关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示,则a的 值是___3___.
课时提升作业
十三 不等式的解集 (30分钟 50分) 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.下列说法,错误的是 ( D ) A.3x<-3的解集是x<-1 B.-10是2x<-10的解 C.x<2的整数解有无数多个 D.x<2的负整数解只有有限多个 2.(2020·思明区月考)下列各数中,是不等式x>1的解的是 A.-2 B.0 C.1 D.3
【学霸提醒】 不等式的解与解集的联系与区别 (1)不等式的解是能使不等式成立的未知数的值,不等式的解集是不等式的所有 解; (2)不等式的任何一个解一定在不等式的解集内;从不等式的解集内任选一个数, 这个数一定是不等式的一个解; (3)不等式的一个解是一个具体的数,而不等式的解集中可能有无数个解.
八年级数学下册 2.4 1元1次不等式 精品导学案1 北师大版
一元一次不等式 学习目标：1.体会一元一次不等式的形成过程；2.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；3.初步感知实际问题对不等式解集的影响,积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。
学习重点：明确什么是一元一次不等式，学习难点：体会建立不等式模型解决实际问题的全过程,体会学习不等式的作用。
预习作业：1、观察下列不等式：（1）155.22≥-x ； （2）75.8≤x （3）x ＜4 （4）x 35+＞240这些不等式有哪些共同特点？2、（1）.不等式的概念：左右两边都是________，只含有__________，并且未知数的最高次数是_____的不等式，叫做一元一次不等式（2）解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）____________（2）____________（3）____________（4）____________（5）___________例1：1、下列不等式中是一元一次不等式的有____________。
(1)3x ＞-9 (2)3(x+2)-4x ＜x-3 (3)1)1(213≥-+x x(4) 2352+≤-x x例2、解下列不等式，并把解集表示在数轴上。
（1）5x ＜200 (2) 21+-x ＜3(3) x-4≥2(x+2) (4)21-x ＜354-x变式训练：解下列不等式，并把解集表示在数轴上。
（1）3722x x -≥- （2）2235-+≥x x（3）)1(2)3(410-≤--x x （4）612131-≥--+y y y能力提高：1、y 取何正整数时，代数式2(y-1)的值不大于10-4（y-3）的值。
2、m 取何值时，关于x 的方程2153166--=--m x m x的解大于1。
3.是否存在整数m ，使关于x 的不等式22931m m x m x+>+与132+<+-x mx 是同解不等式？如果存在，求出整数m 和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。
八年级数学下册 全册学案 北师大版
1.1 不等关系教学目的和要求：理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点：对不等式概念的理解 难点：怎样建立量与量之间的不等关系。
从问题中来，到问题中去。
1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？（4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2)4(l ，圆的面积可以表示为22⎪⎭⎫⎝⎛ππl 。
（1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是25)4(2≤l ，即25162≤l 。
（2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是22⎪⎭⎫⎝⎛ππl ＞100， 即 π42l ＞100（3） 当l =8时，正方形的面积为)(416822cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π， 4＜5.1，此时圆的面积大。
当l =12时，正方形的面积为)(9161222cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。
（4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即π42l ＞162l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地方作为测量部位。
某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式）（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。
北师大版数学八年级下册全册教案（2021年春修订）
北师大版数学八年级下册全册教案（2021年春修订）北师大版数学八年级下册全册教案设计2021-1-24 第一章三角形的证明 1 等腰三角形第1课时全等三角形和等腰三角形的性质【知识与技能】能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理. 【过程与方法】经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力. 【情感态度】启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系. 【教学重点】探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法. 【教学难点】明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等. 一.情景导入，初步认知提前请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 【教学说明】对以前所学知识进行复习巩固，为本节课的学习作准备. 二.思考探究，获取新知 1.你能用所学知识证明吗？已知：△ABC与△DEF，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F（等量代换）.又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）. 【归纳结论】（1）两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；（2）根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等；2.等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察.探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足. 【归纳结论】（1）等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角”）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上的高三条线重合. 三.运用新知，深化理解 1.在△ABC中，AB＝AC，∠A ＝50°，求∠B、∠C的度数分析：根据等腰三角形的性质：两底角相等，结合三角形的内角和等于180°来计算. 解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C.（等边对等角）∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°, ∴∠B＝∠C＝65°. 2.已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC、BD与CD 的关系，并说明你的猜想的理由. 猜想：AE⊥BC，BD＝CD. 证明：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO＝∠CAO. ∴AE为∠BAC的平分线. ∴AE⊥BC，BD=CD.3.如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．证明：（1）∵在△ADE与△CBF 中,AD=CB,AE=CF,DE=BF, ∴△ADE≌△CBF（SSS）. ∴∠D=∠B （2）∵△ADE≌△CBF, ∴∠AED=∠CFB, ∴∠AEO=∠CFO. ∵在△AOE与△COF中, ∠AEO=∠CFO, ∴AE∥CF. 4.如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC,∠BAC = 100°.求∠1、∠3、∠B的度数. 解：∵在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD,∴∠1=∠BAC=50°. 又∵AD⊥BC,∴∠3=90°. 在△ABC中,AB = AC,∴∠B=∠C=40°. 【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要在黑板上板书过程. 四.师生互动,课堂小结 1.学习了等腰三角形的性质，较好地运用其性质解决等腰三角形的问题. 2.知道等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边上的高互相重合. 五.教学板书布置作业:教材“习题1.1”中第1、3题. 在本节课的教学中，要采用小组合作的方式教学，在小组合作的基础上教师通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生注意其证明过程的书写是否规范.其后，教师作补充强调. 第2课时等边三角形的性质【知识与技能】进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性【过程与方法】把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处. 【情感态度】体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性【教学重点】等腰三角形、等边三角形的相关性质. 【教学难点】等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用. 一.情景导入，初步认知在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？【教学说明】通过提问的形式，复习上节课学习的内容，提高学生的学习兴趣. 二.思考探究，获取新知探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明. 【归纳结论】等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，的证明方法：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD、CE为∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠3=∠4．在△ABD和△ACE中，∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．你能证明其它两个结论吗？探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 已知：在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A=∠B=∠C＝60° 【归纳结论】等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 【教学说明】通过自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出结论.三.运用新知，深化理解 1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD. 证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形. ∴∠ABE=∠CBD=60°, AB=CB, BE=BD. 在△ABE与△CBD中, AB=CB, ∠ABE=∠CBD, BE=BD. ∴△ABE≌△CBD(SAS). ∴AE=CD. 2.如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，且ED⊥BC于D，求证：AE=AF 证明：∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵ED⊥BC, ∴∠B+∠BFD=90°, ∠C+∠E=90°, ∵∠BFD=∠EFA, ∴∠B+∠EFA=90°, ∵∠C+∠E=90°, ∠B=∠C, ∴∠EFA=∠E,∴AE=AF. 3.如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数. 解：∵AD=DC，∴∠ACD=∠A=20°, ∵∠ACD∶∠BCD=2∶3, ∴∠BCD=30°, ∴∠ACB=50°, ∴∠ABC=110°. 【教学说明】在巩固等边三角形的性质的同时，进一步对等腰三角形的性质进行综合应用，在书写过程中掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式四.师生互动，课堂小结掌握证明的基本步骤和书写格式，经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高），两底角的平分线相等，等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 五.教学板书布置作业:教材“习题1.2”中第2、3 题. 在探究时，对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明. 第3课时等腰三角形的判定及反证法【知识与技能】探索等腰三角形判定定理,掌握反证法. 【过程与方法】理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明. 【情感态度】培养学生的逆向思维能力. 【教学重点】理解等腰三角形的判定定理. 【教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用一.情景导入，初步认知问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？【教学说明】通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进行交流. 二.思考探究，获取新知 1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称：等角对等边）2.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC 你能理解他的推理过程吗? 再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．引导学生思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢? 【归纳结论】都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．【教学说明】总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解. 三.运用新知，深化理解 1.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角对等边)．2.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长. 解：∵BD平分∠CBA，CD 平分∠ACB，∴∠MBD=∠DBC,∠NCD=∠BCD. ∵MN∥BC, ∴∠MDB=∠DBC,∠NDC=∠BCD.∴∠MDB=∠MBD,∠NDC=∠NCD. ∴MB=MD,NC=ND. ∴C△AMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+N C =(AM+MB)+(AN+NC) =AB+AC=30. 3.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE.求证：△ABC是等腰三角形. 解：∵S△ABC=(AB·CE)=(AC·BD)且BD = CE，∴AB=AC. ∴△ABC是等腰三角形. 4.如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形. 证明：∵AB = AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠B=∠E，∠D=∠C. ∴∠D=∠E. ∴△ADE是等腰三角形. 5.垂直于同一条直线的两条直线平行. 证明：假设a、b 不平行，那么a、b 相交∵a⊥c，b⊥c ∴∠1=900，∠2=900 ∴ ∠1+∠2=180° 而a、b相交，则∠1+∠2≠180°与∠1+∠2=180°相矛盾. ∴假设不成立. 即：垂直于同一条直线的两条直线平行【教学说明】学生在独立思考的基础上再小组交流,培养学生应用知识解决问题的能力. 四.师生互动，课堂小结结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质的判定的区别和联系．五.教学板书举例谈谈用反证法说理的基本思路.布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、3 题. 通过学生的练习，发现学生对等腰三角形的判定定理掌握的较好，而用反证法证明定理的应用掌握不够好，应在这方面多加练习讲解. 第4课时等边三角形的判定【知识与技能】理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题. 【过程与方法】经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维. 【情感态度】在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 【教学重点】等边三角形判定定理的发现与证明. 【教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用. 一.情景导入，初步认知 1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？ 2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？【教学说明】开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫. 二.思考探究，获取新知 1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流. 【教学说明】学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结. 2.用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗? 在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．【教学说明】学生通过动手操作、观察，找出一些线段存在相等关系.从而得出结论，并加深印象.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【归纳结论】（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形. 三.运用新知，深化理解 1.见教材P11例3 2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30° 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD 是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．3.如图，△ABC是等边三角形，BD = CE，∠1 =∠2.求证：△ADE 是等边三角形证明：∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC. 在△ABD与△ACE中,AB=AC,∠1 =∠2,BD = CE, ∴△ABD≌△ACE （SAS）. ∴∠EAD=∠BAC=60°,EA=DA. ∴△ADE是等边三角形(有一角是60°的等腰三角形是等边三角形). 4.如图，在Rt△ABC 中，∠B = 30°，BD = AD，BD = 12，求DC的长. 解：在Rt△ABC，∠B = 30° ∵BD = AD ∴∠B =∠BAD= 30° ∴∠ADC=60°. ∵∠C=90°, ∴∠DAC=30°. 在Rt△ADC中,∠DAC=30° ∴CD=AD(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∵BD = AD=12, ∴CD=6. 【教学说明】变式训练,巩固新知.注意几何语言.熟练运用直角三角形的有关性质. 四.师生互动，课堂小结掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理. 五.教学板书布置作业:教材“习题1.4”中第3、5题. 通过反复练习，学生对本节课的知识掌握的较好，就是几何过程不够严密，有待加强. 2 直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理【知识与技能】1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能运用定理解决与直角三角形有关的问题.2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立. 【过程与方法】进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维【情感态度】体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣. 【教学重点】掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法. 【教学难点】运用定理解决与直角三角形有关的问题一.情景导入，初步认知我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流. 【教学说明】回顾旧知，也为后续探索提供了铺垫. 二.思考探究，获取新知探究1：直角三角形的性质和判定直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？为什么？【教学说明】让学生在解决问题的同时，总结直角三角形的一般性质. 【归纳结论】①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是直角三角形. 探究2：勾股定理及其逆定理. 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗? 【教学说明】教师引导学生思考，写出证明过程. 【归纳结论】勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．探究3：互逆命题和互逆定理. 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．在前面的学习中还有类似的命题吗? 【教学说明】教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结. 【归纳结论】在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理. 三.运用新知，深化理解 1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假: （1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0. 互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果。
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【一题多变】
不等式 1 (x-m)>3-m的解集为x>1,则m的值为___4___.
3
【母题变式】
【变式一】(变换条件和问法)不等式ax>b的解集是x< b ,则a的取值范围是
a
___a_<_0___.
【变式二】(变换条件和问法)如果关于x的不等式6x<a+5和不等式2x<4的
解集相同,求a的值.
★★4.(2020·泰安中考)解不等式: x 1 -1< x 1 .
3
4
解:去分母,得:4(x+1)-12<3(x-1),
去括号,得:4x+4-12<3x-3,
移项,得:4x-3x<-3-4+12,
合并同类项,得:x<5.
素养培优拓新知
【火眼金睛】
解不等式 2 x ≥ 2x－1 -2.
2
3
正解:去分母,得3(2+x)≥2(2x-1)-12, 去括号,得6+3x≥4x-2-12, 移项,得3x-4x≥-2-12-6, 合并同类项,得-x≥-20, 系数化为1,得x≤20.
【题组训练】
1.(2020·株洲中考)下列哪个数是不等式2(x-1)+3<0的一个解? ( A )
A.-3 B.- 1 C.1 D.2
2
3
★2.(2020·嘉兴中考)不等式3(1-x)>2-4x的解在数轴上表示正确的是( A )
★3.(2020·临沂中考)不等式2x+1<0的解集是__x_＜____12___.
32 2
解:去分母得4x+3≥3x,
移项、合并得x≥-3,
所以不等式的解集为x≥-3,
在数轴上表示为:
【核心素养题】 9.(10分)已知:关于x,y的方程组 3xxyy53aa79的解为非负数. (1)求a的取值范围;
(2)化简|2a+4|-|a-1|;
(3)在a的取值范围内,a为何整数时,使得2ax+3x<2a+3的解集为x>1
x y
2a 4， 3a 3，
∵方程组 3xxyy5的3aa解7为9 非负数,
∴
2a 4 0， 3a 3 0，
解得-2≤a≤-1.
(2)∵-2≤a≤-1, ∴|2a+4|-|a-1| =2a+4-(1-a) =2a+4-1+a =3a+3. (3)∵2ax+3x<2a+3的解集为x>1, ∴2a+3<0, ∵-2≤a≤-1,∴若a为整数,则a=-2, 即在a的取值范围内,a=-2时,使得2ax+3x<2a+3的解集为x>1.
2
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.不等式 3 x＞x 的解集为( A )
2
A.x<1
B.x<-1
C.x>1
D.x>-1
3.(2020·天水中考)若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解,则a的取值范
围为 ( D )
A.-7<a<-4
B.-7≤a≤-4
C.-7≤a<-4
D.-7<a≤-4
二、填空题(每小题4分,共12分) 4.若(m-2)x|m-1|-3>6是关于x的一元一次不等式,则m=___0___. 5.不等式3x-2≥4的解集为___x_≥__2___. 6.(2020·临泉县期末)不等式2x-7<5-2x的非负整数解是___0_,_1_,_2___.
2.一元一次方程定义:只含有___一__个____未知数,且未知数的次数是___一__次____的 (整式)方程. 3.解一元一次方程的步骤:(1)去分母;(2)___去__括__号____;(3)移项; (4)___合__并__同__类__项____;(5)___系__数__化__为__1___.
解:解2x<4,得x<2; 解不等式6x<a+5,得x<a 5 ,
6
则 a =52,解得:a=7.
6
课时提升作业
十四 一元一次不等式(第1课时) (30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列式子(1)2x-7≥-3,(2) 1 -x>0,(3)7<9,(4)x2+3x>1,
x
(5) a -2(a+1)≤1,(6)m-n>3,其中是一元一次不等式的有 ( B )
x
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
★3.若3m-5x3+m>4是关于x的一元一次不等式,则该不等式的解集是( C )
A.x<- 2
5
C.x<-2
B.x>- 2
5
D.x>-2
★★4.给出下列不等式:① 2 x+1>x-x2;②y-1>3;③x+ 2 ≥2;④x≤0;⑤3x-y<5,
3
x
其中属于一元一次不等式的是___②__④____.(只填序号)
4 一元一次不等式
第1课时
自主学习识新知 要点探究固新知 素养培优拓新知 课时提升作业
自主学习识新知
【知识再现】 1.不等式的三条基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向 ___不__变____;不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等 号的方向___不__变____;不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个 负数,不等号的方向___改__变____.
【新知预习】 阅读教材P46想一想上面部分,回答下列问题:
探究1:一元一次不等式的概念
观察下列不等式: (1)6+3x>30.(2)x+17<5x.(3)x>5.(4) x 10 .
0.02 100 4
这些不等式有哪些共同点?
【归纳结论】1.一元一次不等式的定义:左右两边都是__整__式___,只含有__一___ 个未知数,并且未知数的最高次数是___1___的不等式,叫做___一__元__一__次____不等 式. 2.一元一次不等式的判别条件:(1)都是___整__式____;(2)只含一个未知数; (3)未知数的最高次数是___1___;(4)未知数的系数不为___0___.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列不等式是一元一次不等式的是
A.x>3 C.x+y>0
B.x+ 1 <0
x
D.x2+x+9≥0
(A)
2.不等式x-1>0的解在数轴上表示为 ( B ) 3.不等式-2x+3>0的解集是___x___32___.
4.解不等式10-4(x-3)≤2(x-1),并把它的解集在数轴上表示出来. 解:去括号, 得10-4x+12≤2x-2, 移项,得10+2+12≤2x+4x. 合并同类项,得24≤6x, 系数化为1,得4≤x,即x≥4. 在数轴上表示不等式的解集如图:
阅读教材P46例1,回答下列问题: 探究2:解一元一次不等式. 【归纳结论】1.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行:(1)___去__分__母____; (2)去括号;(3)___移__项____;(4)合并同类项;(5)___系__数__化__为__1___. 2.在数轴上表示不等式的解集时,要注意___不__等__号____以及___端__点____的情况.
要点探究固新知
知识点一 识别一元一次不等式(P46一元一次不等式概念拓展) 【典例1】已知 2 (m+4)x|m|-3+6>0是关于x的一元一次不等式,则m的值为
3
(A) A.4 B.±4 C.3 D.±3
【学霸提醒】 一元一次不等式必须同时满足的“四个条件” (1)是用不等号连接的式子; (2)两边都是整式; (3)含有一个未知数; (4)未知数最高次数为1且其系数不为0.
【题组训练】
1.(2020·长沙期中)下列各式中,是一元一次不等式的是 ( D )
A.5-3<8
B.2x-1< 1
x
C. 2 ≥8
D. x +2x≤18
3x
2
★2.下列各式:(1)-x≥5;(2)y-3x<0;(3) x +5<0;(4)x2+x≠3;
(5) 3 +3≤3x;(6)x+2<0是一元一次不等式的有 ( B )
知识点二 解一元一次不等式(P46例1拓展) 【典例2】解不等式:3x-1≥2(x-1),并把它的解集在数轴上表示出来.
【尝试解答】3x-1≥2(x-1),___去__括__号____得3x-1≥2x-2,
___移__项____得3x-2x≥-2+1, ___合__并__同__类__项____得x≥-1,
三、解答题(共26分) 7.(8分)(2020·淮安中考)解不等式2x-1> 3x 1 .
2
解:去分母,得2(2x-1)>3x-1.…
(1)请完成上述解不等式的余下步骤;
(2)解题回顾:本题“去分母”这一步的变形依据是________(填“A”或
“B”).
A.不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
在数轴上表示如图:
.
【学霸提醒】 解一元一次不等式的四点注意 (1)去分母:去分母时要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数.不要漏乘不含 分母的项; (2)去括号:根据乘法的分配律不要漏乘项; (3)移项:移项要注意改变该项的符号,不等号方向不变; (4)系数化为1:两边都除以负数时注意不等号方向要改变.