矩阵资料
第四章 矩阵·行列式·线性方程组
1, 2, , n 的一切排列求和，那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和，而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ，即该项前端的符号应为 (1)3 。
（6）
2.1.5. 拉普拉斯恒等式
（7）
显然（2） ， （3）分别是（6） ， （7）的特例。
n 设 A (aij )mn ， B (bij ) mn （ m n ） ，又设 l Cm ，A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ，B 的相应的 n
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第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外， 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零。 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零。
7°若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
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第四章
华南理工大学研究生矩阵分析复习资料1
）
1 1 (10) 设方阵 A ，则有 A 2 A F 。( ) 0 1
二、 填空（30 分）
a b 0 (2) 线性子空间 W { A | A b a b , a, b, c R} 的维数为___________. 0 b c
1 0.5 0.6 1 1.1 0 0.6 0.8 (10) 若 A ,则矩阵 A 盖尔圆为_______________. 0.2 0 2 1 0.3 0.3 2.0 3
(11)若矩阵 A 的初级因子为 ( 1),( 1),( 1)2 ,则 A 的约当标准形为________
1 1 0 五、 （20 分）设 A 0 1 0 ,求： 0 0 2
(1) A 的特征值和特征向量； (2) det(sinAt)； (3)
e At 。
自测题二
一、 判断正误（对正确的打“√” ，对错误的打“×” ）(20 分) (1) 设 V1 V2 为直和，则 V1 V2 一定含有非零元素。 （ ）
a 2 2 a 2
a 3 2 a 3
a 4 a 4
, 3 a 5
0} 2 a 5 0}
的交 V W 一个基，并求相应的标准正交基。
4 6 0 四、 （15 分）已知矩阵 A 3 5 0 ，求： 3 6 1
(1)所用的矩阵 P 及 P1 ，将 A 化为约当标准形 J； (2)矩阵 A 的最小多项式。
1 0 2 (6) 若矩阵 A 0 1 1 ，则矩阵 B A3 2 A 2E _______________ 0 1 0
1 1 0 1 (7) 若 A 1 2 0 ,则 det( A ) _______________. 0 0 3
矩阵培训资料
矩 阵 前 面 板 ＋ 电 源 箱
矩 阵 后 面 板
PE60/NT－－典型应用
红苹果矩阵－－PE50S/PE60S
• 板类型：CPU、视频输入、视频输出、输出缓冲、D型/BNC型多种对接板 • 文字全屏显示384个汉字或768个ASCII字符：15行，24个汉字或48个ASCII 字符（暂定）可选2倍、4倍字符显示 • 单系统最小4096路输入×512路输出，可配置最大65535路输入4096路输出 • 256级操作优先级 • 2048个轮巡序列 • 报警最多65535个输入×65535个继电器输出 • 每个节点256只键盘（或其它控制平台，比如图形客户端） • 级数无限制（只跟视频指标有关，通常能达到8级），单级之间256个系统 联网 • 128个时间启动事件，4096个可编辑宏 • 系统运行日志 • 视频丢失、幅度检测 • 同步切换，无视频抖动（视频需同步） • 可选无视频则黑场或跳过 • CPU热备份/电源热备份 • PE50S单机箱256输入32路输出 • PE60S单机箱512输入64路输出*
HDMI
视频格式种类和转换特性
视频的不同格式决定了信号在亮度、色度、对比度、锐度、清晰度、最 高分辨率等各个方面的表现。从上述对各种视频格式的分析可以知道， 视频高清晰度质量的级别大致可以进行如右的排序(由高往低)： 其中，目前最高级别的当选DVI数字视频信号，但存在只能短距离传输 的缺点(有效距离约5米)，SDI数字视频具备可以编辑和更长距离传输的 优点，RGBHV与VGA其实属于统一档次的信号，只是由于信号的组成 分量不同而有两种称呼，S-Video比起Video(复合视频的简称)在亮度利 用率上有明显的提升，并有效消除了色彩蠕动现象，射频格式是最低级 的信号，仅在监控和公共电视的范围应用。 工程应用中经常会面临很多信号格式的转换过程，这些不同格式的信号 转换需要遵循那些规则？最终会产生什么效果的影响？一般认为： 低级别格式向高级别格式转换有比较明显的质量提升，比如早期的倍频 扫描器或四倍频扫描器，还有目前流行的智能视频调节器，都是VideoRGBHV(复合视频-分量视频)的转换处理，对于提高信号的质量有很明 显的改善。因为这些产品均使用了多比特数字技术，确保信号质量(清 晰度、亮度、信噪比)可以进行高度还原。 DVI数字视频通常会转换成SDI或RGBHV，转换后原始信号的清晰度有 所损失，但使DVI信号实现了长距离传输；VGA信号转换成RGBHV实 际效果并没有得到提升，因为二者同等级别，但解决了VGA信号的同 步通用匹配问题，而且能够进行更长距离的传输。
矩阵性质资料
矩阵的减法运算
矩阵减法示例
• 二阶矩阵减法：[[1, 2], [3, 4]] - [[5, 6], [7, 8]] = [[-4, -4], [-4, -4]] • 三阶矩阵减法：[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] - [[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]] = [[-8, -6, -4], [-2, 0, 2], [4, 6, 8]]
矩阵的Cholesky分解
Cholesky分解定义
• 将对称正定矩阵A分解为下三角矩阵L的转置与L的乘积 • L为下三角矩阵
Cholesky分解的应用
• 求解线性方程组Ax = b时，可以先对对称正定矩阵A进 行Cholesky分解，然后通过前向消元法求解 • Cholesky分解可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式
CREATE TOGETHER
DOCS
DOCS SMART CREATE
矩阵性质与应用
01
矩阵的基本概念与性质
矩阵的定义与表示
矩阵的定义
• 由一组数组成的矩形阵列 • 每个元素都有一个确定的位置 • 矩阵的行数和列数相等称为方阵
矩阵的表示
• 用方括号包围的元素列表 • 元素之间用逗号分隔 • 矩阵的大小用行数和列数表示
矩阵的乘法运算
矩阵乘法定义
• 矩阵A乘以矩阵B的每个元素是矩阵A的行与矩阵B的列对应元素相乘的和 • 结果矩阵的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数
矩阵乘法示例
• 二阶矩阵乘法：[[1, 2], [3, 4]] * [[5, 6], [7, 8]] = [[19, 22], [43, 50]] • 三阶矩阵乘法：[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] * [[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]] = [[30, 24, 18], [84, 69, 54], [138, 114, 90]]
矩阵知识知识点总结手写
矩阵知识知识点总结手写一、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按矩形排列所得到的数表。
一般用大写字母A、B、C...表示矩阵，元素用小写字母aij，bij，cij...表示。
2. 矩阵的阶：矩阵A中有m行n列，就称A是一个m×n（读作“m行n列”）的矩阵，m、n分别称为矩阵的行数和列数，记作A[m×n]。
3. 矩阵的元素：A[m×n]＝[aij]，其中i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n，称aij为矩阵A的第i行第j 列元素。
4. 矩阵的相等：两个矩阵A，B的阶都相同时，如果相应元素都相等，则称矩阵A，B相等，记作A＝B。
5. 矩阵的转置：将矩阵A的行、列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。
6. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
7. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作O。
8. 单位矩阵：主对角线上元素全为1，其它元素均为0的矩阵称为单位矩阵，记作E或In。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：设A[m×n]＝[aij]，B[m×n]＝[bij]，则矩阵C=A＋B的第i行第j列元素为：cij=aij+bij，即C[m×n]＝[aij+bij]。
2. 矩阵的数乘：数k与矩阵A[m×n]相乘的结果记作kA，即kA[m×n]＝[kaij]。
3. 矩阵的乘法：设A[m×n]，B[n×p]，那么它们的乘积C=A×B[m×p]的第i行第j列元素为：C[i][j]=a[i][1]×b[1][j]+a[i][2]×b[2][j]+…+a[i][n]×b[n][j]。
4. 矩阵的转置：若A[m×n]，则A的转置矩阵是AT[n×m]，其中a[i][j]=a[j][i]。
5. 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为零，那么A存在逆矩阵A-1，使得A×A-1=A-1×A=I。
矩阵论学习复习资料
x V = X = 1 x 3
x 2 x1 − x 4 = 0 x − x = 0, x4 2 3
5. 设 V1, V2 分别是
V1 = {(x1, x2 L, x2 ) x1 + x2 +L+ xn = 0, xi ∈K} V2 = {(x1, x2 L, x2 ) xi − xi+1 = 0, xi ∈K}
6. 求下列矩阵的 求下列矩阵的Jordan标准形 标准形
1 0 3 1 −1 1 − 4 −1 0 A = − 3 − 3 3 , B = 7 1 2 − 2 − 2 2 − 7 − 6 −1
7. 求下列矩阵的最小多项式
a O −1 − 2 6 a A = −1 0 3, B = b −1 −1 3 N b
0 0 1 0
b N b a O a
8.设A 是一个 阶方阵，其特征多项式为 设 是一个6阶方阵 阶方阵， 最小多项式为m ƒ(λ)=(λ+2)2(λ-1)4, 最小多项式为 A(λ)=(λ+2)(λ-1)3, λ 求出A的若当标准形 求出 的若当标准形. 的若当标准形 9.对于 阶方阵 ，如果使 m=O成立的最小正整数 对于n 阶方阵A，如果使A 对于 成立的最小正整数 为m，则称 是m次幂零矩阵，证明所有 阶n-1次幂 次幂零矩阵， ，则称A是 次幂零矩阵 证明所有n阶 次幂 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形. 10. 如果λ1,λ2,…, λs是A 的特征值，则Ak的特征值只能 的特征值， …
矩阵论复习 一. 线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐 线性空间的基，维数与坐标（ 标变换） 标变换） 3. 线性子空间的概念与运算 (1)定义 (2) 运算（交与和，直和） 定义 运算（交与和，直和）
矩阵的分类
合同矩阵(等价矩阵、相似矩阵、置换矩阵、若尔当标准型)(2012-04-05 13:58:14)标签：分类：工作篇校园合同矩阵在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。
两个矩阵和是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵，使得对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。
性质合同关系是一个等价关系，也就是说满足：反身性：对称性：合同于，则可以推出合同于。
传递性：合同于，合同于，则可以推出合同于。
由于每个二次型都可以经过线性替换变成若干个平方和的形式，对于矩阵来说，就是每个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，后者称为一个标准形。
根据谱定理，替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵。
如果不考虑替换矩阵的正交性，那么在复数域中，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。
对角线上的1的个数等于原来的矩阵的秩。
因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵。
在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。
如果设1的个数是p，-1的个数是q,那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。
数对(p,q)称为一个对称矩阵(或相应二次型)的惯性指数其中1的个数p 称为正惯性指数，J 的个数q称为负惯性指数，p-q叫做符号差。
据此可以得出：合同关系将所有的对称矩阵分为个等价类。
正定二次型主条目：正定二次型一个二次型被称为半正定的，如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。
如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵，那么称其为正定二次型。
一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩；是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是no正定二次型必然是可逆矩阵，而且它的行列式大于0。
同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。
参看相似矩阵参考资料北京人学数学系几何与代数教研室前代数小组，《高等代数》，高等教育出版社，2003年。
第1讲-矩阵的秩与初等变换资料讲解
因此 D1≠0，从而 R(B) ≥ r = R(A)。 2) 把某行的倍数加到另一行的初等变换。
由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明 把第二行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。
R(AT) = R(BT)， 又 R(A)=R(AT), R(B)=R(BT)，因此 R(A)=R(B)。
总之，若 A 经过有限次初等变换化为 B，则秩不变，即 R(B) = R(A)。
例：求矩阵 A 的秩： A=
R(A) = 4.
三 矩阵的标准形 对于m×n 矩阵 A，总可经过初等变换化成如下形式
分两种情形。 (a) A 的 r 阶非零子式 D 不包含 A 的第一行，这时 D 也是 B
的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥r； (b) D 包含 A 的第1行，这时把 B 中与 D 对应的 r 阶子式 D1
记作
从而有 R(B) ≥r = R(A)。 以上证明了矩阵A经一次初等行变换化为B后秩不减，即
B 等价，记作
。
定理：任意一个矩阵可经过一系列初等行变换化为与之行等 价的行阶梯形与行最简形矩阵。 证明：由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非0常 数，即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为 行阶梯形即可。
设
对第一列的元素a11, a21,…, as1，只要其中一个不为零，用交换 两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然 后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数， 于是第一列除去第一个元素外就全是零了。
行阶梯形矩阵特点：若第i行元素全为0，则i+1,…, m行的元 素全为0；否则从左数找到第一个不为0的元素，位于该元 素下及其左下的所有元素全为0。
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矩阵培训资料
一矩阵的功能：控制：高速球、解码器、分割器（加8094画面分割器控制码转器）
调用：调动图像到相应位置
切换：手动、自动、通用、同步、群组、时间
报警：理论最多1024报警输入（联动）但实际应与视频输入路数相同
电视墙：在视频输入较多，监视器较少的情况下可上电视墙切换
字符显示：通道上显示时间，日期，摄像机号码，标题和监视器报警状态
二矩阵的结构：积木式结构（容量），总线性结构（传输）
1、视频信号输入区：板卡式每板卡有32（8200S）、16、8路
2、视频信号输出区：板卡式每板卡有8、16路。
3、报警区：只有8000、8200有。
CPU板：
MENU：编程监视器接口，进入主机菜单设置系统各种参数。
CODE1：RS485 主要接系统键盘，多媒体，音频矩阵，报警接口箱（双向）
CODE2-5：RS485 主要接解码器，控制信号辅助设备（单向、每个端口可设置不同的
控制协议及波特率）
CODE6：RS485 主要用于连接扩展机箱。
CAN1-2：预留
RS232：连接PC机，用于矩阵PC设置软件设置系统各种参数及编程。
RJ45：预留以太网接口。
三矩阵型号分类：
分类
8000 8200 8200S 区别
容量（单机箱）64×16 128×32 256×64
多机箱级连最大容量无1024×32 1024×128 报警（默认）32路32路无
内置球机控制协议Pelco_D、Pelco_P
备注
CPU新版增加的功能:可用软件编程、设置字符。
4个RS485接口可用于连接云台，且每个RS485接口协议可设置。
四矩阵外设和功能
1. 控制码路由器
RS-485控制码路由器可以将二路互相没有协调关系的控制信号合为一路，避免二路控制信号的相互干扰和冲突，端口波特率可设置，可以兼容多种电视监控设备的通讯协议。
通讯接口:
2. 报警接口箱
报警信号接口箱是矩阵主机系统配套使用的报警信息采集和输出设备。
系统用它采集报警系统各种探头的信息进行处理，而后把处理结果的报警信息通过RS-485串行总线，回传给系统主机，且按系统设置的要求启动联动开关、录像机、警号等设备，从而使系统完成一套完整的图像和报警联动控制。
3. 码转器
4. 画面分割器控制码转器
画面分割器控制码转器是配合矩阵切换系统使用的一种通讯代码转换设备，能使矩阵切换控制系统控制4台画面分割器，画面分割器菜单设置不受矩阵切换控制系统控制，仍由画面分割器上的按键设置。
5. 码分配器
控制码分配器是配合矩阵切换系统使用的一种通讯代码分组隔离辅助设备，能提高矩阵切换系统运行可靠性。
6. 连接多媒体设备
多媒体控制码转器是配合矩阵切换系统使用的一种通讯代码转换设备，能使多媒体控制矩阵切换控制系统中的摄像机终端。
7．硬盘录像机控制码转换器
硬盘录像机控制码转器是配合矩阵切换系统使用的一种通讯代码转换设备，能使硬盘录像机控制矩阵切换控制系统中的摄像机终端。
注：硬盘录像机控制码转器和多媒体控制软件及系统集成接口在矩阵切换控制系统中相当于矩阵键盘，每台设备编号不能相同，否则系统不能正常工作。
8. 解码器：多协议解码器。