工程矩阵论课后习题答案(张明淳)
《矩阵论》习题答案,清华大学出版社,研究生教材习题 2.2
= k1 1 ( 1 , ) k 2 2 ( 2 , ) = k1 H 1 k 2 H 2 故 是线性变换.又因为
( H , H ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , ) ( , ) 2 ( 2 2 )
, (i 1, , n 2) .如此
又因为各行与第 n 1 行正交，故 ai ,n1 0 由下往上逐行递推，即得结果.
8
17. 证：因为
( A S )( A S ) ( A S ) ( A S ) ( A S )
1 T 1 T T
5. 证：由 ( ( ( 得
cos , ( , )
( ), ( ), (β),
(β))= ( , β) ( ))=( , ) (β))= (β, β)
. ( ), (β))／｜ ( ), (β)＞ ( ) ｜｜ (β)) ｜
= (
= cos＜
1
1
，使
1
( 1 ) 1 . 令
1
( j ) j ( j 2,3, , n) ，如果 j j , j 2,3, , n ，则
2
=
，结论
成立.否则可设 2 2 ，再作镜面反射
2
：
2 2 2 2
( ) 2( , ) ,
于是
2
( 2 ) 2 ，且可验算有
2
(1 ) 1 .
如此继续下去，设经 s 次正交变换
1 , 2 , n , 1 , 2 , , n
1 , 2 , 3, , n 1 , 2 , , n
矩阵论课后题答案(研究生用书)改
⎞ ⎠
⎠
A
P
⎞ ⎠
⎠ ⎞
P
⎠
− 1
A
⎠
A
J
P
P
A P
J
A f f A f E E A A A A
⎞ ⎠
A
A
A
A
E
A
E
⎞
A
A A E
A
⎠
f A
A
A
A
A
A
E
A
E
E
A A
⎠
⎞
A A A
A
A
E
2
f
E
A
f A
⎞ ⎠
A
A A A E A
A
E
A
A
⎠ ⎞
E
A
E
⎠
⎞
⎞ ⎠
f A E
E
⎞
A
A
E
⎞ ⎠
f A E E E
0 0
x
x
x
A A
E
E E A A A A A E
⎞ ⎠
j
E
E A A A A
A
E E
A E
E A
A
A
E A
A
A
F
j
F
j
j
A
E
A
A
A A E A g A E A E A E A g A A E A E E A A A E
A
A
A
F
A
A
H
A
A A A A
F
A
H
A
A
A
A
A
A
F
研究生 矩阵论 课后答案
|
xk
|2
)
1 2
是范数.
k =1
(2)证明函数 || x ||∞ = max{| x1 |,| x2 |,...,| xn |}是范数.
2.设
x∈R2,
A=
⎛4 ⎜⎝1
1⎞ 4⎟⎠
,请画出由不等式||
x
||
A
≤
1决定的x的全
体所对应的几何图形.
3.在平面 R2中将一个棍子的一端放在原点,另一端放
生成子空间V,求V的正交补空间V ⊥.
15.(MATLAB)将以下向量组正交化.
(1) x1 = (1,1,1)T , x2 = (1,1, 0)T , x3 = (1, −1, 2);T
(2) f (t) = 1, g(t) = t, h(t) = t2是[0,1]上的多项式空间
的基,并且定义(
f
9.把下面矩阵A对应的λ -矩阵化为Smith标准形,并且写
出与A相似的Jordan标准形.
⎛1 −1 2 ⎞
(1)
⎜ ⎜
3
−3
6
⎟ ⎟
⎜⎝ 2 − 2 4⎟⎠
⎛ −4 2 10⎞
(2)
⎜ ⎜⎜⎝
−4 −3
3 1
7 7
⎟ ⎟⎟⎠
⎧ dx1
⎪ ⎪
dt
=
3x1
+ 8x3
10.(MATLAB)求解微分方程:
α3 = (0,1,1)T 的矩阵为: ⎡ 1
A=⎢ 1 ⎢⎣−1
0 1⎤ 1 0⎥ 2 1⎥⎦
求在基e1 = (1,0,0)T ,e2 = (0,1,0)T ,e3 = (0,0,1)T下的矩阵.
10.设S = {ε1,ε2 ,ε3,ε4}是四维线性空间V的一个基,已知
矩阵论de 课后答案.pdf
习题 1.11.解：除了由一个零向量构成的集合{θ}可以构成线性空间外，没有两个和有限（m）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（kα 有无限多个，k∈p数域）.2. 解：⑴是；⑵不是，因为没有负向量；⑶不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；⑷是；⑸不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.3. 解：⑴不是，因为当k∈Q 或 R 时，数乘kα不封闭；⑵有理域上是；实数域上不是，因为当k∈R时，数乘kα不封闭.⑶是；⑷是；⑸是；⑹不是，因为加法与数乘均不封闭.4.解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理.5. 解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）.6. 解：（1）设A的实系数多项式f(A)的全体为{f (A)= a0 I + a1 A + a m A m a i∈ R, m正整数}1显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.（2）与（3）也都是线性空间.7. 解：是线性空间.不难验证sin t，sin 2t，…，sin nt是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier）系数知c i= 1 2π t sin itdt .π ⎰08. 解：⑴不是，因为公理 2 ')不成立：设 r=1, s=2, α=(3, 4),则(r+s) (3, 4)= (9, 4),而r (3, 4)⊕s (3, 4)=(3,4)⊕(6, 4)= (9, 8), 所以(r+s)α≠rα⊕sα.⑵ 不是，因为公理1）不成立：设α= (1,2) ,β= (3,4) ,则α⊕β=(1,2)⊕(3,4) = (1,2),β⊕α= (3,4)⊕(1,2) = (3,4) , 所以α⊕β≠β⊕α.⑶ 不是，因为公理2')不成立：设r=1, s=2,α=(3,4) ,则(r+s)α=3 (3, 4)= (27, 36) 而r α⊕ s α=1 (3,4)⊕ 2 (3,4)=(3, 4)⊕ (12, 16)= (15, 20),于是(r+s) α≠ r α⊕ s α.⑷ 是.9.证若α,β∈V，则2(α+β)= 2α+ 2β=(1 + 1)α+(1 + 1)β=(1α+ 1α)+ (1β+ 1β )= (α + α )+ (β + β )= α + (α + β )+ β2另一方面，因此从而有2(α+β)=(1+ 1)(α+β)=(1α+ 1β)+ 1(α+β)= (α + β )+ (α + β ) = α + ( β +α )+ βα+(α+β)+β=α+(β+α)+β，(-α )+α + (α + β )+ β + (- β ) = (-α )+α + (β +α )+ β + (- β )于是得α+β=β+α.10. 解：先求齐次方程组的基础解系ξ1=(3,3,2,0)T,ξ2=(-3,7,0,4)T,即为解空间V的一组基.所以，dim V=2.11. 解：考察齐次式k (x2+ x)+ k (x2-x) +k (x+1) = 01 2 3即(k+k )x2 + (k-k + k )x+k = 0 ,1 2 1 2 3 3得线性方程组k1 + k2 = 0k1 - k2+ k3=0k3 = 0由于系数行列式不等于零，那么只有k1 = k2= k3 = 0 时,上述齐次式才对∀x成立，所以x2+x,x2-x,x+1 线性无关，且任二次多项式ax2+ bx + c 都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一解)，故为基.令2x2+ 7x+ 3 = (k1+k2 )x2+ (k1-k2+k3 )x+k3得k1=3,k2= -1,k3=3,即坐标为( 3, -1, 3 ) .312. 解：⑴因为 ( β1,β2,β3,β4)=(α1,α2,α3,α4)C,故C=(α1,α2,α3,α4)-1(β1,β2,β3,β4)1 0 0 0 -12 0 5 6 2 0 5 6= 0 1 0 0 1 3 3 6 1 3 3 6 0 0 1 0 -1 1 2 1 = -1 1 2 1.0 0 0 1 1 0 1 3 1 0 1 3⑵ 显然，向量α在基α1,α2,α3,α4下的坐标为X=(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)T, 设α在基β1,β2,β3,β4下的坐标为Y=(η1,η2,η3,η4)T,则ξ1 2 0 5 6 - 1 ξ1Y=C -1ξ2=1 3 3 6 ξ2ξ3 -1 1 2 1 ξ3ξ4 1 0 1 3 ξ44 1 -1 - 119 319ξ11 4 23= - 3 - ξ2 = B X27 9 271 2 ξ33 0 0 - 3 ξ4- 7 - 1 1 2627 3 279⑶ 如果X = Y,则有X= BX,即得齐次方程组(I- B)X=0 ,求其非零解为X = k (－1,－1,－1, 1 )T,k∈R ,即为所求.13. 解：(1)对k=1,2, ,n；l=k,k+1, ,n令F kl=(a ij)n⨯n，其中a kl=1，其余的a ij=0，则{F kl}为上三角矩阵空间的一组基，维数为12 n(n +1).（2）R+中任意非零元素都可作R+的基，dim R+=1.（3）I，A，A2为所述线性空间的一组基，其维数为3.414. 解： （1）由已知关系式求得⎧β1 = 4α1 + 8α2 + α3 - 2α4⎪ = -2α1 - 4α2 +α4⎪β2⎨ = α1 + 2α2⎪β3⎪= α2 + 2α3⎩β4于是，由基（I ）到基（II ）的过渡矩阵为⎡ 4 - 2 1 0⎤ ⎢ - 4 ⎥ C = ⎢ 8 2 1⎥⎢1 0 0⎥⎢ 2⎥⎣- 2 10 0⎦（2）α在基（II ）下的坐标为（2，-1，1，1）T ，再由坐标变换公式计算α在基（I ）下的坐标为C （2，-1，1，1）T =（11，23，4，-5）T .（3）不难计算得 det （1·I —C ）=0，所以 1 是 C 的特征值.不妨取过渡矩阵 C 的对应于特征值 1 的一个特征向量为η，则有 C η=1 ·η，那么α= (β1 , β 2 , β3 , β 4 )η≠0，再由坐标变换公式知，α在基（I ）下的坐标为ξ=C η=η，即存在非零α∈V 4 ，使得α在基（I ）和基（II ）下有相同的坐标.15. 解：不难看出，由简单基 E 11，E 12，E 21，E 22 改变为基（I ）和基（II ）的过渡矩阵分别为⎡2 0 - 2 1⎤⎡ 11 -1 -1⎤⎢ ⎥⎢⎥ C = ⎢1 1 13⎥ ， C = ⎢2-1 2 -1⎥1⎢2 1⎥2⎢1 0 ⎥⎢1⎥⎢-1 1⎥⎣1 22 2⎦⎣ 0 1 1 1 ⎦则有（B 1，B 2，B 3，B 4）=（E 11，E 12，E 21，E 22）C 2=（A1，A2，A3，A4）C1 1C25。
矩阵论课后习题答案
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
研究生矩阵论课后习题答案 全 习题一
2．求下列线性空间的维数与一个基：
（1） Rn×n 中全体对称（反对称、上三角）矩阵构成的实数域 R 上的空间；
（2）第 1 题（4）中的空间；
（3）实数域 R 上由矩阵 A 的全体实系数多项式组成的空间，其中
⎡1 0 0 ⎤
A = ⎢⎢0 ⎢⎣0
ω 0
0 ω2
⎥ ⎥ ⎥⎦
,ω
=
−1 + 2
3i ,ω2 = ω,ω3 = 1
们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭. （3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.
任取该集合中的三个元素，设为α = (a,b), β = (c, d ),γ = ( f , g) ,以及任意实
数 k, l ,则有 ① α ⊕ β = (a + c, b + d + ac) = β + α ; ② (α ⊕ β ) ⊕ γ = (a + c,b + d + ac) ⊕ γ
其中 k 为实数， f (x), h(x), d (x) 是实系数多项式.V1 中含有 A 的零多项式，为V1 的
零元素. f ( A) 有负元 − f ( A) ∈V1 .由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故V1 关
于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间. （2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它
i=1 j=i
关，故它们是 Rn×n 中全体上三角矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的
维数是 n(n +1) . 2
（2）数 1 是该空间的零元素，于是非零元素 2 是线性无关的，且对于任一正
实数 a ，有 a = 2log2 a = log2 a o 2 ，即 R+中任意元素均可由 2 线性表示，所以 2 是
东南大学工程矩阵理论试题及答案
0 el2
ö ÷ø
,
|eA|
=
|P-1eAP|
=
el1el2
=
e l1 +l2
=
etrA
=
e3.
5. 若a是 n 维单位列向量, A = I + kaaH 是正定的, 则参数 k 满足条件
.
解: 将a扩充成 £n 的一组标准正交基: a, a2, ..., an, 并且令 Q = (a, a2, ..., an),
0ö æ1 1÷ø çè1
2 2
ö ÷ø
=
æ çè
0 1
0 2
ö ÷ø
=
0E11
+
0E12
+
1E21
+
2E22,
æ1 1 0 0ö
由此可见
f
在
£2´2
的基
E11,
E12,
E21,
E22
下的矩阵
A
=
ç ç ç
2 0
2 0
0 1
0÷
1
÷ ÷
.
è0 0 2 2ø
张小向@seu
2
◆ 工程矩阵理论 ◆ 试题一 ◆ 答案仅供参考 ◆
3. 求 f 的特征值及相应的特征子空间的基.
l - 1 -1 0 0
解: |lI - A| =
-2 0
l-2 0 0 l -1
0 -1
= l2(l-3)2. 故 f 的特征值为l1 = l2 = 0, l3 = l4 = 3.
0 0 -2 l - 2
(0I - A)x = 0 的一个基础解系为x1 = (-1, 1, 0, 0)T, x2 = (0, 0, -1, 1)T. 由此可得对应于特征值l1 = l2 = 0 的特征子空间的一组基: -E11 + E12, -E21 + E22. (3I - A)x = 0 的一个基础解系为x3 = (1, 2, 0, 0)T, x4 = (0, 0, 1, 2)T. 由此可得对应于特征值l3 = l4 = 3 的特征子空间的一组基: E11 + 2E12, E21 + 2E22.
矩阵论简明教程(第二版)习题答案
习 题 一1. 设λ为的任一特征值,则因 λλ22- 为A =-A 22O 的特征值, 故022=-λλ. 即 λ=0或2.2. A ～B , C ～D 时, 分别存在可逆矩阵P 和Q , 使得 P 1-AP =B , Q 1-CQ =D .令T =⎪⎪⎭⎫⎝⎛Q O O P则 T 是可逆矩阵,且 T1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C O O AT =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--Q OO PC OO A Q O O P 11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛D OO B3. 设i x 是对应于特征值i λ的特征向量, 则 A i x =i λi x , 用1-A 左乘得iiix A x 1-λ=.即i i i x x A 11--λ= 故 1-i λ是A 的特征值, i =1,2,, n .4. (1) 可以. A E -λ=)2)(1)(1(-+-λλλ,=P ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--104003214, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111AP P . (2) 不可以. (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110101010P , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1221AP P . 5. (1) A 的特征值是0, 1, 2. 故A =－(b －a )2=0. 从而 b =a .又11111-λ----λ----λ=-λaa aa A I =)223(22+---a λλλ将λ=1, 2 代入上式求得 A =0.(2) P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010101. 6.AI -λ=)1()2(2+-λλ, A 有特征值 2, 2, －1.λ=2所对应的方程组 (2I －A )x =0 有解向量p 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛041,p 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛401 λ=－1所对应的方程组 (I +A )x =0 有解向量p 3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001令P =(p ,1p ,2p 3)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛140004111, 则P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4416414030121. 于是有A 100=P ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛122100100P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-⋅-⋅---12412244023012122431100100100100100100100.7．(1)A I -λ=)1(2+λλ=D 3(λ),λI －A 有2阶子式172111----λ=λ－4λ－4不是D 3(λ)的因子, 所以D 2(λ)=D 1(λ)=1, A 的初等因子为λ－1, 2λ. A 的 Jordan 标准形为J =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000100001 设A 的相似变换矩阵为P =(p 1,p 2,p 3), 则由AP =PJ 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=23211pAp Ap p Ap 0解出P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----241231111; (2) 因为),2()1()(23--=λλλD1)()(12==λλD D ，故A ～J =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010011设变换矩阵为 P =(321,,p p p ), 则⎪⎩⎪⎨⎧=+==33212112pAp p p Ap p Ap⇒P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---502513803(3) ),2()1()(23-+=-=λλλλA I D ,1)(2+=λλD1)(1=λD .A的不变因子是11=d ,12+=λd )2)(1(3-+=λλdA ～J =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--211因为A 可对角化，可分别求出特征值－1，2所对应的三个线性无关的特征向量：当λ=－1时，解方程组 ,0)(=+x A I 求得两个线性无关的特征向量,1011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0122p 当λ=2时，解方程组,0)2(=-x A I 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1123p ,P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101110221(4)因⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=-41131621λλλλA I ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2)1(11λλ, 故A ～J =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10111 设变换矩阵为P =),,(321p p p , 则⎪⎩⎪⎨⎧+===3232211pp Ap p Ap p Ap21,p p 是线性方程组 0=-x A I )(的解向量，此方程仴的一般解形为p =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-t s t s 3取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111p ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1032p 为求滿足方程23)(p p A I -=-的解向量3p , 再取,2p p = 根据⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------t s t s 3113113622～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----t s t s s033000311由此可得 s =t , 从而向量 T3213),,(x x x =p 的坐标应満足方程 s x x x -=-+3213取T3)0,0,1(-=p , 最后得P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--010001131 8. 设 f (λ)=4322458-++-λλλλ. A 的最小多项式为 12)(3+-=λλλA m ,作带余除法得 f(λ)=(149542235-+-+λλλλ),(λA m +1037242+-λλ, 于是f (A )=I A A 1037242+-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----346106195026483. 9. A 的最小多项式为 76)(2+-=λλλA m , 设 f(λ)=372919122234+-+-λλλλ,则f (λ)=)()52(2λλA m ++2+λ. 于是 [f (A )]1-=1)2(-+I A .由此求出[f (A )]1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3217231 10. (1)λI －A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+41131621λλλ标准形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2)1(000101λλ, A 的最小多项式为 2)1(-λ;2) )1)(1(+-λλ; (3) 2λ.11. 将方程组写成矩阵形式:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321188034011d d d d d d x x x tx t x t x , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x x ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tx t x t x td d d d d d d d 321x , A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----188034011则有J =PAP 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010011, .其中P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛124012001.令 x =Py , 将原方程组改写成 :,d d Jy y =t则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+==3321211d d d d d d yty y y ty y t y解此方程组得: y 1=C 1e t +C 2T e t , y 2=C 2e t , y 3=C 3e t -. 于是x =Py =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++-t t t tt tt c )t (c c )t (c c t c c e e 24e 4e 12e 2e e 3212121. 12. (1) A 是实对称矩阵. A I -λ=2)1)(10(--λλ,A 有特征值 10, 2, 2. 当λ=10时. 对应的齐次线性方程组 (10I －A )x =0的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--542452228～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110102由此求出特征向量p 1=(－1, －2, 2)T , 单位化后得 e 1= (32,32,31--)T .当λ=1时, 对应的齐次线性方程组 (I －A )x =0的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----442442221～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000221由此求出特征向量 p 2=(－2, 1, 0)T , p 3=(2, 0, 1)T . 单位化后得 e 2=(0,51,52-)T, e 3=(535,534,532)T . 令U =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---5353253451325325231, 则U 1-AU =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1110.(2) A 是Hermit 矩阵. 同理可求出相似变换矩阵U =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2121212i 2i 2i21210, U 1-AU =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22. 13. 若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得U H AU =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21, i λ﹥0, I =1, 2, , n . 于是A =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H= U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H令B =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H则 A =B 2.反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的. 14. (1)⇒(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得U H AU =diag(n λλλ,,,21 )令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, , n ).(2)⇒(3).A =U diag(n λλλ,,,21 )U H =U diag(n λλλ,,,21 )diag(n λλλ,,,21 )U H令 P =diag(n λλλ,,,21 )U H , 则 A =P H P . (3)⇒(1). 任取x ≠0, 有x HAx =x H P H Px =22Px ≧0. 习 题 二1.1x=01i 42i 1+++-++=7+2,2x =1i)4i(4)2(i)1i)(1(2+-+-+-+=23, ∞x =max {}1i 42i 1,,,-+=4.2. 当 x ≠0时, 有 x ﹥0; 当 x ﹦0时, 显然有 x=0. 对任意∈λC , 有xλ=xnk kk nk kk λξωλλξω==∑∑==1212.为证明三角不等式成立,先证明Minkowski 不等式: 设 1≦p ﹤∞, 则对任意实数 x k ,y k (k =1, 2, , n )有pnk pkk y x 11)(∑=+≦∑∑==+nk ppknk ppky x 1111)()(证 当 p =1时，此不等式显然成立. 下设 p ﹥1, 则有∑=+nk pkk y x 1≦∑∑=-=-+++nk p kk k nk p kk k y x y y x x 1111对上式右边的每一个加式分别使用H ölder 不等式, 并由 (p －1)q =p , 得∑=+nk pkk y x 1≦qnk qp kk pnk pkqnk qp kk pnk pky x y y x x 11)1(1111)1(11)()()()(∑∑∑∑=-==-=+++=qnk pkk pnk pkpnk pky x y x 111111)]()()[(∑∑∑===++再用 qnk pkk y x 11)(∑=+ 除上式两边,即得 Minkowski 不等式.现设任意 y =(n ηηη,,,21 )T ∈C n , 则有∑=+=+nk kk k y x 12ηξω=∑=+nk k k k 12)(ηξω≦∑=+nk k k k k 12)(ηωξω≦∑∑==+nk jk nk k k 1212()(ηωξω=yx +.3. (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:max(A , B )=)(21b a b a -++max(),b a y x y x ++≦max(bba ayxy x++,)=)(21bbaababayxyxyyxx --+++++ ≦)(21babababayyxx y yxx-+-++++=)(21)(21bababa bay yyyxxxx-+++-++=max( b a x x ,)+max( b a y y ,) (2) 只证三角不等式.k 1a y x ++k 2b y x +≦k 1a x +k 1a y +k 2b x +k 2by=( k 1a x +k 2b x )+( k 1a y +k 2b y ) .4. 218132i 453i 11m +=+++++++=A ;66132i 453i 1222222F=+++++++=A;15m =∞A;=1A列和范数(最大列模和)=27+;∞A =行和范数(最大行模和)=9 ;5. 非负性: A ≠O 时S 1-AS ≠O , 于是 m 1AS S A -=＞0. A =O 时, 显然A=0;齐次性: 设λ∈C , 则λλλ==-m1)(SA SA m1ASS-=λA;三角不等式: m11m1)(BSSAS SSB A S B A ---+=+=+≦BA BS S ASS+=+--m1m 1;相容性:m11m1)(BSASSSS AB SAB ---==≦m1m1BSSAS S--=A B.6. 因为I n ≠O , 所以nI ＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:n n n I I I =≦n I n I ,即n I ≧1.7. 设 A =(A ij)∈C n n ⨯, x =∈ξξξT21),,,(nC n , 且 A =ij ji a ,max , 则 ∑∑=ikkikAxξa1≦∑∑i kkik a ξ=∑∑kiik k a ][ξ≦n A ∑kkξ=∞m A1x;∑∑=ikkikAx22ξa≦∑∑ikk ik a 2][ξ=∑∑ikk a 22][ξ=nA2x≦n A =∞m A2x.8. 非负性与齐次性是显然的, 我们先证三角不等式和相容性成立. A =(a ij), B =(b ij)∈C n m ⨯,C =(c st )∈C l n ⨯且 A =ijji a ,max, B =ijji a ,max, C =stts c ,max. 则MBA +=max{m ,n }ijij ji b a +,max≦max{m ,n })(max ,ij ij ji b a +≦max{m ,n }(A +B )=max{m ,n }A +max{m ,n }B =MMBA+;MAC=max{m ,l }∑kkt ik t i c a ,max ≦max{m ,n }}{max ,∑kkt ik ti c a≦max{m ,n }}{max 22,∑∑⋅kkt kikti c a(Minkowski 不等式)=max{m ,n }n AC ≦max{m ,n }max{n ,l }AC =M M C A .下证与相应的向量范数的相容性.设 x =∈ξξξT21),,,(nC n , d =kmax {k ξ}, 则有∑∑=ikkikaAxξ1≦∑∑ikkik a ξ=∑∑ki ik k a )(ξ≦∑kk na ξ=n A ∑kk ξ≦max{m ,n }A ∑kk ξ=1MxA;2Ax=∑∑ikk ik a 2ξ≦∑∑ikk ik a 2)(ξ≦∑∑∑ikkk ika )(22ξ (H ölder 不等式)=∑∑∑⋅kkikika 22ξ≦mnA 2x≦max{m ,n }A2x=2MxA;}{max 1∑=∞=nk k ik iAxξa ≦∑=n k k ik ia 1}{max ξ≦}{max22∑∑⋅kk kikia ξ≦}max{22nd nai⋅=n AD ≦max{m ,n }AD =∞x A M .9. 只证范数的相容性公理及与向量2–范数的相容性. 设 A =(a ij)∈C n m ⨯, B =(b st )∈C l n ⨯, x =∈ξξξT21),,,(nC n 且 A =ij ji a ,max , B =st ts b ,max , 则 ∑=≤≤≤≤=nk ktiklt m i AB11,1Gmaxb aml≦}{max ,kt kik ti b a ml ∑≦}{max 22,∑∑⋅kkt kikti b a ml(Minkowski 不等式)≦mln ab =))((b nl a mn =GGBA.∑∑===mi nk k ikAx1212ξa≦∑∑ikk ik a 2)(ξ≦∑∑∑⋅ikkk ika )(22ξ（H ölder 不等式） ≦∑∑⋅ikkna )(22ξ=mnA2x=2G x A .10. 利用定理2.12得122H2===nI UU U.11.A 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0110211214321cond 1(A )=225255111=⋅=-AA; cond ∞(A )=10251=⋅=∞-∞AA.12．设x 是对应于λ的特征向量, 则A x x m m λ=.又设 v⋅是C n 上与矩阵范数⋅相容的向量范数,那么vmvmvmxA xx==λλ≦vmxA因vx＞0, 故由上式可得 mλ≦mA⇒λ≦mmA.习 题 三1. 2c λc λλ))(2(+-=-AI , 当c λρ=)(﹤1时, 根据定理3.3, A 为收敛矩阵.2. 令S )N (=∑=N)(k k A,)(lim N N S+∞→=S , 则0)(lim lim )()()(=-=+∞→+∞→k k k k k SSA .反例: 设A )(k =k⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001k , 则因 ∑+∞=01k k发散, 故 ∑+∞=0)(k k A发散, 但)(lim k k A+∞→=O .3. 设 A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛6.03.07.01.0, 则)(A ρ≦=∞A行和范数=0.9＜1, 根据定理3.7,∑∞+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛06.03.07.01.0k k=(I －A )1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛937432.4. 我们用用两种方法求矩阵函数e A : 相似对角化法. 22a λλ+=-A I , a -a i ,i =λ 当=λi a 时, 解方程组 (i a －A )x =0, 得解向量 p 1=(i, 1)T .当 λ=－i a 时, 解方程组 (i a +A )x =0, 得解向量 p 2=(－i, 1)T .令 P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11i i , 则P 1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-i 1i 1i 21, 于是e A =P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a a i 00i P 1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a -acos sin sin cos . 利用待定系数法. 设e λ=(2λ+a 2)q (λ)+r (λ), 且 r (λ)=b 0+b 1λ, 则由⎩⎨⎧=-=+-a aa b b a b b i 10i 10ei e i⇒b 0=cos a , b 1=a1sin a .于是e A =b 0I +b 1A =cos a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛11+a1sin a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a a a a cos sin sin cos . 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设f (λ)=cos λ, 或 sin λ则有⎩⎨⎧=-=+a -a b b aa b b sini i sini i 1010 与⎩⎨⎧=-=+aa b b aa b b i cos i i cos i 1010由此可得⎪⎩⎪⎨⎧-==a a b b sini i 010 与⎩⎨⎧==0i cos 10b ab故 (a2i sini a )A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0isini isini 0aa =sin A 与(cosi a )I =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a acosi 0cosi =cos A .5. 对A 求得P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013013111, P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-24633011061, P 1-AP =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-211根据p69方法二,e At =P diag(e t -,e t ,e t2)P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++---------tt tt t tt ttt t tt t e3e 3e3e 30e 3e 3e 3e 30e e 3e 2e e 3e 4e 661222tsin A =P diag(sin(－1),sin1,sin2)P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01sin 601sin 6001sin 42sin 21sin 22sin 42sin 616. D 3(λ)=110011----λλλ=2)1(-λλ, D 2(λ)=D 1(λ)=1, A ~J =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010011. 现设r (λ,t )=b 0+b 1λ+b 2λ2, 则有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++1e 2e 021210b t b b b b b ttb 0=1, b 1=2e t －t e t －2, b 2=t e t －e t +1. 于是e t A =r (A , t )=b 0I +b 1A +b 2A 2=I +(2e `t －t e t－2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100011+(t e t －e t+1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100100111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--tt e 01e 101e e 1e e ttttt同理,由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++1sin 2cos 021210b t t b b t b b b⇒b 0=1, b 1=t sin t +2cos t －2, b 2=1－t sin t －cos t . 将其代入cos A t =b 0I +b 1A +b 2A 2, 求出cos A t =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----t t t t t t t cos 001cos 10cos sin 11cos cos7. 设 f (A )=∑+∞=0k k A ka ,S N=∑=Nk k A 0k a .则 f (A )=NN S +∞→lim 并且由于 (S N)T=T)(∑=Nk kk Aa =∑=Nk k k A 0T )(a所以, f (A T )=T)(lim N N S +∞→=f (A )T . 8, (1) 对A 求得P =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111, P 1-=P ,J =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111111 则有e t A =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t tt tt tttt t t t ttt e eee 2e ee 6e2e 232e P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t ttt ttt t t e ee 2e 60ee e 200ee 000e 232t tt t t t tsin A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t tt t t t tt tt tt t t sin cos sin sin 2cos sin cos 6sin 2cos sin 232P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t tt ttt t t t t t t t t t t sin cos sin 2cos 6sin cos sin 2sin cos sin 232cos A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----t t t tt t t t tt tttt t t cos sin cos cos 2sin cos sin 6cos 2sin cos 232P=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----t tt ttt t t t t t t t tt t cos sin cos 2sin 60cos sin cos 200cos sin 000cos 232 (2) 对A 求出P =P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100000100001,J =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010212则有eAt=P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11ee e 222tt ttt P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---100010000e000e e 222tt tttsin A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002sin 2cos 2sin t tt t tP 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000002sin 0002cos 2sin tt t t tcos A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1012cos 2sin 2cos t tt tP 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10000100002cos 0002sin 2cos t t t t 9. (1) sin 2A +cos `2A =[)e (e i 21i i A A --]2=[)(e 21i i A A e -+]2=)e e e (e 41)e e e (e 41i 2i 2i 2i 2O O A A O O A A ++++--+---=e O =I(2) sin(A +2πI )=sin A cos(2πI )+cos A sin(2πI ) =sin A [I －!21(2πI )2+!41(2πI )4－…]+cos A [2πI －!31(2πI )3+!51(2πI )5－…] = sin A [1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]I +cos A [2π－!31(2π)3+!51(2π)5－…]I=sin A cos2π+cos A sin2π （3）的证明同上.(4) 因为 A （2πi I ）=(2πi I )A ,所以根据定理3.10可得 e I A i π2+=e A e I πi 2=e A [I +(2πI )+!21(2πi I )2+!31(2πi I )3+…]=e A {[1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]+i[2π－!31(2π)3+!51(2π)5－…]}I=e A {cos2π+isin2π}I =e A此题还可用下列方法证明:eIA πi 2+=e ⋅AeIi π2=e ⋅A P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i π2iπ2πi 2e eeP 1-=e ⋅A PIP 1-=e A用同样的方法可证: e I A πi 2-=e A e I πi 2-.10. A T =－A , 根据第7题的结果得 (e A )T =e TA =e A -, 于是有e A (e A )T =e A e TA =e A A -=e O =I11. 因A 是Herm(i A )H =－i A H =－i A , 于是有e A i (e A i )H =e A i e A i -=e O =I12. 根据定理3.13, A 1-tt A e d d =e At , 利用定理3.14得⎰tA 0d eττ=⎰-tA A1d ed d τττ=A 1-τττd ed d 0A t⎰=A 1-(e -At I ).13.t d dA (t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t tsin cos cos sin , t d d(det A (t ))=td d (1)=0, det(td d A (t ))=1, A 1-(t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t tt t cos sin sin cos , t d dA 1-(t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t tt t sin cos cos sin14. ⎰tA 0d )(ττ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰⎰⎰-0d 30d e2d e d d e d e 02002002ttt ttt τττττττττττττ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---002301e e 1311e e )1(e 212232t t t ttttt15. 取 m =2, A (t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t t 02, 则A2(t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2234t t t t , t d d(A (t ))2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+t t t t 2023423≠2A (t )t d dA (t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+t t t t 2022423. 困为++==--21)]()[(d d )()]()[(d d )]()()([d d )]([d d m m A A A A A A A A A t t tt t t tt t t tt t m+)(d d )]([1t tt A A m -所以当(td d A (t ))A (t )=A (t )td d A (t )时, 有)(d d )]([)(d d )]([)(d d )]([)]([d d 111t tt t tt t tt t tA A A A A A A m m m m---++==m [A (t )])(d d 1t tA m -16. (1) 设 B =(ijb )n m ⨯, X =(ijξ)m n ⨯, 则 BX =(∑=nk kj ik 1ξb )m m ⨯,于是有tr(BX )=∑∑∑===++++nk kmmkn k kjjk n k k k 11111ξξξbb bijBX ξ∂∂)tr(=jib (i =1,2,…,n ;j =1,2,…,m )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn nm BX X b bb b1111)(tr(d d=T B由于 BX 与TT T )(BX BX =的迹相同，所以TTT))(tr(d d ))(tr(d d BBX XB X X==(2) 设A =(ija )n n ⨯,f=tr(AX X T ), 则有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nm mn Xξξξξ1111T，AX =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑∑kkmnkkk nk km kk k k ξξξξaa a a1111 f =∑∑∑∑∑∑++++lkkmlklmlkkjlk lj lkk lk l ξξξξξξaa a 11)]()([][∑∑∑∑∑∂∂⋅+⋅∂∂=∂∂=∂∂kkj lk lkijlj kj lk ijlj lkkj lk lj ijijξξξξξξξξξξa a a f=∑∑+klj li kkj ik ξξa amn ij X ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=ξf fd d =XA A X A AX)(TT +=+17. 设A =(ija )m n ⨯, 则 F (x )=(∑∑∑===nk kn k nk k nk k k 1211,,,a a a 1k ξξξ ),且A d F F F x Fnn n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a a a a a a a21222211121121d d d d d d d ξξξ18. ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=='tt tt t t t tt t tt t t t ttt AtAt A 222222222e4e 3e 3e 6e3e 6e2e ee 4e e 2e 2e e e 2e e 4ee在上式中令t =0, 则有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=133131113e OA19. A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---502613803, x (0)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111, A的最小多项式为 2)1()(+=λλϕ. 记f (λ)=t λe ,并设f (λ)=g(λ))(λϕ+)(10λb b +, 则⎩⎨⎧==---tte e 110t b b b ⇒tt--=+=e,)1(10t b et b于是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=++=---t t t tt t t t 41026138041e ee)1(etttAtA I , x (t )=Ate x (0)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-t t t 6191121e t20. A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--101024012, f (t )=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1e 21t , x (0)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111, =)(λϕdet(λI －A)=23λλ-. 根据O A =)(ϕ,可得；252423,,A A A A A A ===,….于是23232)!31!21()(!31)(!21)(eAA I A A A I At++++=++++=t t t t t t=2)1(e A A I t t t --++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++--t tt e 1e e 210124021t t t t t tx (t )=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎰⎰-t t t t f e )1(11]02111[e ]d 021)0([]d )(e )0([e 00Att At tA At x e x ττττ习 题 四1. Doolite 分解的说明,以3阶矩阵为例: 11r 12r 13r 第1框 21l 22r 23r 第2框 31l 32l 33r 第3框 计算方法如下: (ⅰ) 先i 框，后i +1框,先r 后l .第1框中行元素为A 的第1行元素； （ⅱ）第2框中的jr 2为A 中的对应元素ja 2减去第１框中同行的21l 与同列的jr 1之积．第3框中的33r 为A 中的对应元素33a 先减去第1框中同行的31l 与同列的13r 之积，再减去第2框中同行的32l 与同列的23r 之积； （ⅲ）第2框中的32l 为A 中的对应元素32a 先减去第1框中同行的31l 与同列的12r 之积，再除以22r . 计算如下:1 3 02 -3 0 2 2 -6A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛60030031122012001 2.Crout 分解的说明,以3阶矩阵为例:11l 12u 13u 第1框 21l 22l 23u 第2框 31l 32l 33l 第3框(ⅰ) 先i 框,后i +1框.每框中先l 后r .第1框中的列元素为A 的第1列的对应元素;(ⅱ)第2框中的2i l 为A 中对应元素2i a 减去第1框中同行的1i l 与同列的12u 之积;(ⅲ)第2框中的23u 为A 中的对应元素23a 减去第1框中同行的21l 与同列的13u 之积,再除以22l .第3框中的33l 为A 中的对应元素33a 先减去第1框中同行的31l 与同列的13u 之积,再减去第2框中同行的32l 与同列的23u 之积. 计算如下:1 3 02 -3 02 -6 -6A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000100316620320012. 先看下三角矩阵的一种写法:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231222111000a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332211223211311121000000101001a a aa a a a a a , ii a ≠0对本题中的矩阵A 求得Crout 分解为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10021********240512005利用下三角矩阵的写法对上面的分解变形可得A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10021********0051000512540152001=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10021********0510005100051000512540152001=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10052510545251525405152005 3.对A 的第1列向量)1(β, 构造Householder 矩阵1H 使得 =)1(1βH 12)1(e β, 31C e ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010)1(β, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-01112)1()1(e ββ, u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--01121212)1()1(12)1()1(e e ββββ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=1000010102T1uuI H ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2301401111A H , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=23141A对1A 的第1列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34)2(β, 类似构造Householder 矩阵2H :⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=3110122)2)2(12)2()2ββββe u , 21C e ∈,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=4334512T22uu I H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102512A H 令12001H H H ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=, 则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100250111HA =R 并且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==---10025*******300015354000101T2T 112111R H H R H H R H A =QR4. 对A 的第1列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202)1(β, 构造Givens 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210210102102113T ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0022)1(13βT , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1132221210220232322A O A T对1A 的第1列向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212)2(β, 构造⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3223131322~12T , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=023~)2(12βT ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=34023723~112A T 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12T12~1T O O T , 则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==3402372302323221312R A T T . 于是QR R T T A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==34023723023232232231213123403223121H13H 125. 设A =),,(i i0i 0i0i 1321ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----, 对向量组321,,ααα施行正交化, 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==0i 111αβ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=i 212i 0i 12i i 0i ],[],[1111222ββββααβ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=323i 232i 212i 3i 0i 1211i 0],[],[],[],[222231111333ββββαββββααβ于是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+-==3213212113i 212i βββαββαβα写成矩阵行式K ),,(1003i 10212i 1),,(),,(321321321ββββββααα=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32632316i 203i 612i 316i 21),,(321βββ 最后得A =K ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----32632316i 203i 612i 316i 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3206i 630212i 2316i 203i 612i 316i 21=QR 6. 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==1000515205251121T T 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110005205501140220110005152052511A T再令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==305061010610305132T T ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3010305000061061612A T T最后令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101000013T , RA T T T =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=30103050610616123A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=03010305061061603056151302625230161H 3H 2H 3R T T T =QR7.=)1(β(0, 1)T,12)1(=β, u =2121)1(1)1(=--e e ββ(－1, 1)T ,H 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-01102T2uu I , H =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001H 则有HAH T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01100001111210121010100001=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--120111211, H 是Householder 矩阵.同理, 对)1(β, 取 c =0, s =1, T 12=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110, T =⎪⎪⎭⎫⎝⎛12001T , 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=='-011000011112101210101000011TATT TA=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---120111211, T 是Givens 矩阵.8. 对⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1612)1(β, 计算u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--2151202021)1(1)1(e e ββ, H =I －2uuT=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-344351 令Q =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛H 001, 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0750756********TQAQ同理，对1(β,为构造Givens 矩阵，令c =53, s =54, ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5354545312T ，则 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12001T T时，='T TA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--07575600200200. 1. (1) 对A 施行初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10424201011200010321～⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---142002102121100111201 S=,1420210011⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121101201422021(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------10001111010011110010111100011111～⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----110011000002102111100210210001S=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---110011021021021021,A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1110000111111111 （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000126420100632100101264200016321～⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1010010100000011000000016321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1010010100110001S ,()63212121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A10. (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000005TA A 的特征值是5，0，0. 分别对应特征向量321,,e e e ,从而V=I,),(11p V = ∑=(5),11AV U =∑1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2151. 令,12512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=U ()21U U U =,则I U A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000005(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2112T A A 的特征值是，，1321==λλ对应的特征向量分别为TT11,11⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.于是∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1003， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21212121V =1V ,11AV U =∑1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-06221612161取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3131312U , 构造正交矩阵()21U U U ==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31062312161312161‘所以，A 的奇异值分解为T001003V U A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11. 根据第一章定理1.5, A A H 的特征值之和为其迹，而由第二章2.7 F－范数的定义AA A A AHH2F)tr(==的特征值之和=∑=ri i 12σ习 题 五1．设x =T21),,,(nηηη 为对应于特征值λ的单位特征向量，即(QD )x =λx两边取转置共轭：HHHHx Q D x λ=与上式左乘得2H H λ=Dx D x即22222221212nn ηηηd d d λ+++= ,由此立即有2min iid ≤2λ≤2maxiid从而i dim i n ≤λ≤idimax.后一不等式的另一证明：根据定理2.13，λ≤)(QD ρ≤2QD i dimax 最大特征值的H 22.11定理==D D D2. A 的四个盖尔园是1G : 9-z ≤6,2G : 8-z ≤2, 3G : 4-z ≤1,4G :1-z ≤1.由于4G 是一个单独的连通区域，故其中必有一个实特征值.321G G G ⋃⋃是连通区域，其中恰有三个特征值，因而含有一个实特征值 .3. A 的四个盖尔园:1G 1-z ≤2713,:2G 2-z ≤2713, :3G 3-z ≤2713,:4G 4-z ≤2713是互相隔离的，并且都在右半平面，从而每个盖尔园中恰有一个特征值且为正实数.。