高中数学全套讲义 选修2-1 点,线,面夹角运算 基础 教师版

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第九讲点，线，面夹角运算.......................................................................... 错误!未定义书签。

考点一：用向量讨论线线夹角和线面夹角 (2)
题型一：利用向量运算求线线夹角 (2)
题型二：利用向量求线面夹角 (5)
考点二：向量讨论面面夹角 (6)
题型三：二面角问题 (7)
题型四：立体几何中的向量方法求二面角 (9)
课后综合巩固练习 (11)
考点一：用向量讨论线线夹角和线面夹角
两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB
∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，
．通常规定0πa b 〈〉≤，≤． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，
，． 求异面直线所成的角
已知a ，b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的任意两点，a ，b 所成的角为， 则。

要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。

两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。

求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，
则有。

题型一：利用向量运算求线线夹角
1．（2018春•沈阳期中）若向量(3,1,0)a =，(1,0,)b z =，,3a b π
<>=，则实数z 的值为(
)
A B ．2 C ．D ．2±
θ||cos ||||
AC BD AC BD θ⋅=⋅l a αu θa u ϕ||sin |cos |||||
θϕ⋅==⋅a u a u
||||
a b a b ，即可得出．22||(3)12a =+=，2||1b z =+，3a b =．
3||||21a b a b =⨯，解得z =±故选：C ．
【点评】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（2019春•湖北期中）已知向量(2,0,a =，则下列向量中与a 成45︒的夹角的是( )
A ．(0，0，2)
B ．(2，0，0)
C ．
D ．
【分析】本题可将ABCD 四个选项一个一个代入去判断，最终得到正确选项．
【解答】解：由题意，可设b 与a 成45︒的夹角．则有： ||||cos 45a b a b =︒， ||2,cos452
a =2||a
b b =----①
由题意，ABCD 中能使①成立的向量即为正确答案．
对于:A
22a b =-⨯||22b =，不满足①式，A 不是正确答案； 对于:B
22a b =⨯=||22b =⨯满足①式，B 是正确答案；
对于:C
20a b =⨯+||2b =⨯不满足①式，C 不是正确答案；
对于:D 22a b =⨯||2b =⨯不满足①式，D 不是正确答案；
故选：B ．
【点评】本题主要考查空间立体向量的数量积的运算以及选项代入，本题属基础题．
3．（2017秋•新乡期末）长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，高为2，M ，N 分别是四边形11BB C C 和正方形1111A B C D 的中心，
则向量BM 与DN 的夹角的余弦值是( )
A B C D 【分析】连接AC ，BD ，交点为O ，连接A O '，根据正四棱柱的几何特征，易得AOA ∠'即为二面角A BD A '--的平面角，解△AOA ∠'，即可求出二面角A BD A '--的大小．
【解答】解：连接AC ，BD ，交点为O ，连接A O '，
AC BD ⊥，A A BD '⊥，AC A A A '=
BD ∴⊥平面A AO '
即AOA ∠'即为二面角A BD A '--的平面角 四棱柱1AO ∴=，
60AOA ∴∠'=︒
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中根据二面角的定义及正四棱柱的几何特征，得到AOA ∠'即为二面角A BD A '--的平面角，是解答本题的关键．。