2010年 上海市春季高考数学试卷
2010年上海市春季高考数学试卷
2010年上海市春季高考数学试卷一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数y =12sin 2x 的最小正周期T= ．2．（4分）已知函数f （x ）=ax 2+2x 是奇函数，则实数a= ．3．（4分）计算：2i1+i= （i 为虚数单位）．4．（4分）已知集合A={x ||x |＜2}，B={x |1x +1＞0}，则A ∩B= ．5．（4分）若椭圆x 225+y 216=1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 ．6．（4分）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 ．7．（4分）已知双曲线C 经过点C （1，1），它的一条渐近线方程为y = 3x ．则双曲线C 的标准方程是 ．8．（4分）在（2x 2+1x）6的二项展开式中，常数项是 ．9．（4分）连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为 （结果用数值表示）．10．（4分）各棱长为1的正四棱锥的体积V= ． 11．（4分）方程 1241xx 21−39=0的解集为 ．12．（4分）根据所示的程序框图（其中[x ]表示不大于x 的最大整数），输出r= ．13．（4分）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S= cm 2．14．（4分）设n 阶方阵A n =135⋯2n −12n +12n +32n +5⋯4n −14n +14n +34n +5⋯6n −1⋯⋯⋯⋯⋯2n (n −1)+12n (n −1)+32n (n −1)+5⋯2n 2−1任取A n 中的一个元素，记为x 1；划去x 1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n ﹣1阶方阵A n ﹣1，任取A n ﹣1中的一个元素，记为x 2；划去x 2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n ，记S n =x 1+x 2+…+x n ，则S n =x 1+x 2+…+x n ，则lim n→∞S n3= ．二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c （ ） A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．平行、相交、是异面直线都有可能16．（5分）（上海春卷16）已知a 1，a 2∈（0，1），记M=a 1a 2，N=a 1+a 2﹣1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M=ND ．不确定17．（5分）已知抛物线C ：y 2=x 与直线l ：y=kx +1，“k ＜0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．（5分）（上海春卷18）已知函数f （x ）=14−2的图象关于点P 对称，则点P的坐标是（ ）A ．(2，12)B ．(2，14)C ．(2，18) D ．（0，0）三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知tanθ=a ，（a ＞1），求sin (π4+θ)sin (π−θ)⋅tan 2θ的值． 20．（14分）已知函数f （x ）=log a （8﹣2x ）（a ＞0且a ≠1） （1）若函数f （x ）的反函数是其本身，求a 的值； （2）当a ＞1时，求函数y=f （x ）+f （﹣x ）的最大值．21．（14分）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°． （1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？ （2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）22．（16分）在平面上，给定非零向量b →，对任意向量a →，定义a′→=a →﹣2(a →⋅b →)|b →|2b →．（1）若a →=（2，3），b →=（﹣1，3），求a′→；（2）若b →=（2，1），证明：若位置向量a →的终点在直线Ax +By +C=0上，则位置向量a′→的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量b →，当位置向量a →的终点在抛物线C ：x 2=y 上时，位置向量a′→终点总在抛物线C′：y 2=x 上，曲线C 和C′关于直线l 对称，问直线l 与向量b →满足什么关系？23．（18分）已知首项为x 1的数列{x n }满足x n +1=ax n x n +1（a 为常数）．（1）若对于任意的x 1≠﹣1，有x n +2=x n 对于任意的n ∈N *都成立，求a 的值； （2）当a=1时，若x 1＞0，数列{x n }是递增数列还是递减数列？请说明理由； （3）当a 确定后，数列{x n }由其首项x 1确定，当a=2时，通过对数列{x n }的探究，写出“{x n }是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．2010年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数y=12sin2x的最小正周期T=π．【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】解：由三角函数的周期公式可知，函数y=12sin2x的最小正周期为T=2π2=π故答案为：π．2．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=0．【分析】由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．【解答】解：由奇函数定义有f（﹣x）=﹣f（x），则f（﹣1）=a﹣2=﹣f（1）=﹣（a+2），解得a=0．3．（4分）计算：2i1+i=1+i（i为虚数单位）．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i+22=1+i．故答案为：1+i4．（4分）已知集合A={x||x|＜2}，B={x|1x+1＞0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2} ．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x |1x +1＞0}=（﹣1，+∞）∴A ∩B=（﹣1，2）={x |﹣1＜x ＜2} 故答案为：{x |﹣1＜x ＜2}5．（4分）若椭圆x 225+y 216=1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 4 ．【分析】根据椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2a ，已知|PF 1|=6，进而可求|PF 2| 【解答】解：由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a=10，|PF 1|=6，故|PF 2|=4． 故答案为46．（4分）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 80 ．【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求中年人中需抽取的人数．【解答】解：由题可知抽取的比例为k=701400=120，故中年人应该抽取人数为N=1600×120=80．故答案为：807．（4分）已知双曲线C 经过点C （1，1），它的一条渐近线方程为y = 3x ．则双曲线C 的标准方程是3x 22−y 22=1 ．【分析】根据题意，双曲线C 的一条渐近线方程为y = 3x ，则可将双曲线的方程设为y 2﹣3x 2=λ（λ≠0），将点C 坐标代入可得λ的值，进而可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线C 的一条渐近线方程为y = 3x ， 则可设双曲线的方程为y 2﹣3x 2=λ（λ≠0）， 将点C （1，1）代入可得λ=﹣2，3x 22−y 22=1．故答案为：3x 22−y 22=1．8．（4分）在（2x 2+1x）6的二项展开式中，常数项是 60 ．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【解答】解：在（2x 2+1x）6的二项展开式中，通项公式为 T r +1=C 6r •26﹣r •x 12﹣2r •x ﹣r=26−r ⋅C 6r •x12﹣3r ． 令 12﹣3r=0，解得 r=4，故展开式的常数项为 26−4⋅C 64=60， 故答案为 60．9．（4分）连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为 112（结果用数值表示）．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件总的试验结果为36个，满足条件的事件是点数和为的结果为4，可以列举出共3个，根据古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件总的试验结果为36个， 满足条件的事件是点数和为的结果为4， 可以列举出（1，3），（2，2），（3，1）共3个，由古典概型概率计算公式可得P=m n =336=112．故答案为112．10．（4分）各棱长为1的正四棱锥的体积V= 26．【分析】先求出正四棱锥的斜高，再求出它的高，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：由题知斜高h′=32，则h=22，故V=13Sh=13•1•22=26．故答案为：2 611．（4分）方程1241xx21−39=0的解集为{﹣3，2} ．【分析】利用矩阵的化简方法把方程的左边化简，得到一个一元二次方程，解出即可．【解答】解：1241xx21−39=9x+2x2﹣12﹣4x+3x2﹣18=0，即x2+x﹣6=0，故x1=﹣3，x2=2．故方程的解集为{﹣3，2}．12．（4分）根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r= 73．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变更r的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果． 【解答】解：由框图的算法原理可知： a= 5，b= 7，n=1，n （b ﹣a ）= 7﹣ 5＜1； n=2，n （b ﹣a ）=2（ 7﹣ 5）＜1； n=3，n （b ﹣a ）=3（ 7﹣ 5）＞1， 此时，m=[3 5]=6，r=m +1n =6+13=73， 故输出r=73．故答案为：7313．（4分）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S= 2600π cm 2．【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可． 【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积 S=（50+80）×20π×2×12=2600πcm 2．故答案为：2600π14．（4分）设n 阶方阵A n=135⋯2n−12n+12n+32n+5⋯4n−14n+14n+34n+5⋯6n−1⋯⋯⋯⋯⋯2n(n−1)+12n(n−1)+32n(n−1)+5⋯2n2−1任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则limn→∞S n3=1．【分析】不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=n3，故可求limn→∞S n3．【解答】解：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[2n+4n+…+（n﹣1）2n]=n2+（n﹣1）×n2=n3，故limn→∞S nn3+1=limn→∞n3n3+1=limn→∞11+1n3=1，故答案为：1．二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，a与c可以相交，异面直线，也可能平行．从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．故选D．16．（5分）（上海春卷16）已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不确定【分析】根据题意，利用作差法进行求解．【解答】解：由M﹣N=a1a2﹣a1﹣a2+1=（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，故M＞N，故选B．17．（5分）已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+1，“k＜0”是“直线l与抛物线C 有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先推出直线l与抛物线C有两个不同交点的充要条件，再判断与“k＜0”的关系．【解答】解：若直线l与抛物线C有两个不同交点，则y2=xy=kx+1有两个不同的解，即k2x2+（2k﹣1）x+1=0有两个不同的解，则△=（2k﹣1）2﹣4k2＞0，解得，k＜1 4．则由k＜0可推出k＜1 4，而k ＜14推不出k ＜0，故选A ．18．（5分）（上海春卷18）已知函数f （x ）=14−2x的图象关于点P 对称，则点P的坐标是（ ）A ．(2，12)B ．(2，14)C ．(2，18) D ．（0，0）【分析】利用对称性质和中点坐标公式进行求解．【解答】解：设P （m ，n ），任意给点M （x ，y ）关于P （m ，n ）的对称点为N （2m ﹣x ，2n ﹣y ）， 由y =f (x )=1x ，2n −y =f (2m −x )=14−22m−x 联立方程组： y =14−2x 2n −y =14−22m−x ， 解这个方程组得到m =2，n =18，故选C ．三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知tanθ=a ，（a ＞1），求sin (π4+θ)sin (π−θ)⋅tan 2θ的值． 【分析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简sin (π4+θ)sin (π2−θ)⋅tan 2θ，代入tanθ=a ，求出结果即可． 【解答】解：原式=22cosθ+ 22sinθcosθ⋅2tanθ1−tan 2θ= 22(1+tanθ)⋅2tanθ1−tan 2θ= 2a 1−a． 即：sin (π4+θ)sin (π−θ)⋅tan 2θ= 2a1−a ．20．（14分）已知函数f （x ）=log a （8﹣2x ）（a ＞0且a ≠1） （1）若函数f （x ）的反函数是其本身，求a 的值； （2）当a ＞1时，求函数y=f （x ）+f （﹣x ）的最大值．【分析】（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a 的值．（2）当a ＞1时，先求出函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式求出最值．【解答】解：（1）∵函数f （x ）=log a （8﹣2x ），∴8﹣2x =a f （x ），x=log 2(8−a y )， 故反函数为 y=log 2(8−a x)，∴log a （8﹣2x ）=log 2(8−a x)，∴a=2． （2）当a ＞1时，由题意知，8﹣2x ＞0，∴x ＜3，函数y=f （x ）+f （﹣x ）的定义域（﹣3，3），函数y=f （x ）+f （﹣x ）=log a （8﹣2x）+log a (8−2−x )=log a (65−8(2x +2−x ))，∴2x +2﹣x ≥2，当且仅当x=0时，取等号．∴0＜65﹣8（2x +2﹣x ）≤49， 当a ＞1时，函数y=f （x ）+f （﹣x ）在x=0处取得最大值log a 49．21．（14分）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°． （1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？ （2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）【分析】（1）先求两地的球心角，求出球面距离，然后求飞行时间． （2）求出两点的距离，求出球心角，然后求球面距离．【解答】解：（1）∵上海与大连在同一经线上，∴它们在地球的同一个大圆上． 设地球的球心为O ，上海、大连分别为点A 、B ．由上海、大连的经、纬度知∠AOB=8°地球半径r ≈6371千米经计算得AB 的弧长：6371×π×8°180°≈889.56(千米)889.56÷720≈1.2（小时）∴从上海到大连的最短飞行时间约为1.2（小时）（2）设里斯本为C ，过B 作 与赤道平面平行的球面的截面， 设其圆心为O′，由已知得∠BO′C=121°+10°=131°，∠OBO′=39° OB=OC=rO′C=O′B=OBcos ∠OBO′=rcos39° 由余弦定理可得BC 2=O′B 2+O′C 2﹣2O′B•O′Ccos131°=2r 2cos 239°（1﹣cos131°） cos ∠BOC=OB 2+OC 2−BC 22⋅OB⋅OC=2r 2−2r 2cos 239°(1−cos 131°)2r 2≈﹣1.87×10﹣4 ∴∠BOC ≈90.01°于是大圆的弧长BC 为6371×π×90.01°180°≈10009(千米)∴大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米．22．（16分）在平面上，给定非零向量b →，对任意向量a →，定义a′→=a →﹣2(a →⋅b →)|b →|2b →．（1）若a →=（2，3），b →=（﹣1，3），求a′→；（2）若b →=（2，1），证明：若位置向量a →的终点在直线Ax +By +C=0上，则位置向量a′→的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量b →，当位置向量a →的终点在抛物线C ：x 2=y 上时，位置向量a′→终点总在抛物线C′：y 2=x 上，曲线C 和C′关于直线l 对称，问直线l 与向量b →满足什么关系？【分析】（1）根据题意，算出a →⋅b →=7，|b |→2=10，代入a′→的表达式并化简整理，即可得到a′→=（175，﹣65）； （2）设a →=（x'，y'），终点在直线Ax +By +C=0上，由题中a′→的表达式解出a′→=（x ，y ）满足的关系式，从而得到点（−3x−4y 5，−4x +3y5）在直线Ax +By +C=0上，化简整理得到直线（3A +4B ）x +（4A ﹣3B ）y ﹣5C=0，说明向量a′→的终点也在一条直线上；（3））设a →=（x ，y ），单位向量b →=（cosθ，sinθ），解出a′→关于x 、y 和θ的坐标形式，结合a →的终点在抛物线x 2=y 上且a′→终点在抛物线y 2=x 上，建立关于x 、y 和θ的方程，化简整理得到b →=±（ 22， 22）．再由曲线C 和C′关于直线l ：y=x 对称，算出l 的方向向量d →满足d →•b →=0，从而得到直线l 与向量b →垂直． 【解答】解：（1）∵a →=（2，3），b →=（﹣1，3），∴a →⋅b →=7，|b |→2=10，可得2(a →⋅b →)|b →|2b →=2×710（﹣1，3）=（﹣75，215）因此a′→=a →﹣2(a →⋅b →)|b →|2b →=（2，3）﹣（﹣75，215）=（175，﹣65）；（2）设a →=（x'，y'），终点在直线Ax +By +C=0上算出a →⋅b →=2x'+y'，|b |→2=5，2(a →⋅b →)|b →|2b →=2(2x′+y′)5（2，1）=（8x′+4y′5，4x′+2y′5），∴a′→=a →﹣2(a →⋅b →)|b →|2b →=（x'，y'）﹣（8x′+4y′5，4x′+2y′5）=（−3x′−4y′5，−4x′+3y′5）因此，若a′→=（x ，y ），满足 x =−3x′−4y′5y =−4x′+3y′5，得到 x′=−3x−4y5y′=−4x +3y 5∵点（−3x−4y5，−4x +3y5）在直线Ax +By +C=0上∴A ×−3x−4y5+B ×−4x +3y5+C=0，化简得（3A +4B ）x +（4A ﹣3B ）y ﹣5C=0，由A 、B 不全为零，可得以上方程是一条直线的方程 即向量a′→的终点也在一条直线上； （3）∵b →是单位向量，∴设a →=（x ，y ），b →=（cosθ，sinθ），可得a →•b →=xcosθ+ysinθ，所以a′→=a →﹣2(a →⋅b →)|b →|2b →=a →﹣2（xcosθ+ysinθ）b →=（﹣xcos2θ﹣ysin2θ，﹣2xsin2θ+ycos2θ）∵a →的终点在抛物线x 2=y 上，且a′→终点在抛物线y 2=x 上， ∴﹣xcos2θ﹣ysin2θ=（﹣2xsin2θ+ycos2θ）2，化简整理，通过比较系数可得cosθ= 22，sinθ=﹣ 22或cosθ=﹣ 22，sinθ= 22∴b →=±（﹣ 22， 22），∵曲线C 和C′关于直线l ：y=x 对称，∴l 的方向向量d →=（1，1）．可得d →•b →=0，即d →⊥b →，因此直线l 与向量b →垂直．23．（18分）已知首项为x 1的数列{x n }满足x n +1=ax n x n +1（a 为常数）．（1）若对于任意的x 1≠﹣1，有x n +2=x n 对于任意的n ∈N *都成立，求a 的值； （2）当a=1时，若x 1＞0，数列{x n }是递增数列还是递减数列？请说明理由； （3）当a 确定后，数列{x n }由其首项x 1确定，当a=2时，通过对数列{x n }的探究，写出“{x n }是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分． 【分析】（1）求出x n +2，代入x n +1化简后等于x n ，得到a 2x n =（a +1）x n 2+x n ，当n=1时，由x 1的任意性得得到a 的值即可；（2）数列为递减数列，因为当a=1且x 1＞1得到x n ＞0，而x n +1﹣x n =x n x n +1﹣x n =﹣x n2x n +1＜0，所以得证； （3）由a=2得到数列{x n }满足x n +1=2x n x n +1，因为{x n }是有穷数列，可以令x 1=﹣17得到即可．【解答】解：（1）∵x n+2=ax n+1x n+1+1=a⋅ax nna x nn+1=a2x nax n+x n+1=x n∴a2x n=（a+1）x n2+x n，当n=1时，由x1的任意性得a2=1a+1=0，∴a=﹣1．（2）数列{x n}是递减数列．∵x1＞0.x n+1=x nx n+1∴x n＞0，n∈N*又x n+1﹣x n=x nx n+1﹣x n=﹣x n2x n+1＜0，n∈N*，故数列{x n}是递减数列．（3）满足条件的真命题为：数列{x n}满足x n+1=2x nx n+1，若x1=﹣17，则{x n}是有穷数列．。
2010年上海市三校生高考数学试题及解答
2010年上海市三校生高考数学试题及解答一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是.5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为. 到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是.10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是 . 13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）. （B）. （C）. （D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）. （B）.（C）. （D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项, 组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D ；16．B；17．B ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二: 数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。
高中数学2010上海市春季高考试卷试题
高中数学2010上海市春季高考试卷 试题 2019.091,已知复数1z i =+，则2zz -=____________．2,设{0,1,2,3}U =，2{|0}A x U x mx =∈+=，若C {1,2}U A =，则实数m =________．3,某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________．4,已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为____________．5,已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f =____________．6,本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分．)设函数22()cos()2cos ,32xf x x x Rπ=++∈．(Ⅰ) 求()f x 的值域；(Ⅱ) 记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若()1f B =，1b =，c =a 的值．7,在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读传讲”赛出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：(Ⅰ) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (Ⅱ) 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．8,已知函数1()ln(1)x f x x x a -=+++，其中实数1a ≠-(Ⅰ) 若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ) 若()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性．9,如题(19)图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB，点E 是棱PB 的中点． (Ⅰ) 求直线AD 与平面PBC 的距离；(Ⅱ) 若ADA －EC －D 的平面角的余弦值．题(19)图10,已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =.（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．11, 在数列{}n a 中，11a =，1*1(21),()n n n a ca c n n N ++=++∈其中实数0c ≠．(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若对一切*k N ∈有221k k a a ->，求c 的取值范围．12,函数1sin 22y x=的最小正周期T = 。
2010年上海高考数学试题及答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、 不等式042>+-xx 的解集为_______________； 2、 若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3、 若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4、 行列式6cos 3sin6sin3cosππππ的值为_________； 5、 圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________；6、 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x7 8 9 10 P(x =ξ) 0.3 0.35 0.2 0.15则随机变量ξ的均值是__________；7、2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。
8、对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 。
9、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P （结果用最简分数表示）。
10、在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
2010上海市春季高考数学试卷(全解全析)
2010上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数1sin 22y x =的最小正周期T = 。
答案：π解析：由周期公式得222T πππω===。
2、已知函数2()2f x ax x =+是奇函数，则实数a = 。
答案：0解析：由奇函数定义有()()0f x f x -+=得222()2()220a x x ax x ax -+-++==，故0a =。
3、计算：21ii=+ （i 为虚数单位） 答案：1i +解析：22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i -+===+++-。
4、已知集合1{|||2},{|0}1A x xB x x =<=>+，则A B ⋂= 。
答案：{|12}x x -<<解析：由题知{|22}A x x =-<<，{|1}B x x =>-，故{|12}A B x x ⋂=-<<.5、若椭圆2212516x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是 答案：4解析：由椭圆的定义知12||||210PF PF a +==,1||6PF =,故2||4PF =。
6、某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。
已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人。
若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 。
答案：80。
解析：由题可知抽取的比例为701140020k ==，故中年人应该抽取人数为116008020N =⨯=。
7、已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y =，则双曲线C 的标准方程是 。
答案：223122x y -=。
解析：设双曲线的方程为223(0)y x λλ-=≠，将点(1,1)代入可得2λ=-。
2010年上海高考真题(含答案)数学理
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．不等式042>+-xx的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_________；5．圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。
8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。
9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。
10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=______。
2010年上海市春季高考数学试卷标准答案与解析
2010年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．上海）函数的最小正周期T=π．．（4分）（2010? 1【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】解：由三角函数的周期公式可知，T==πsin2x的最小正周期为函数y=故答案为：π．【点评】本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．函数f（x）=Asin（ωx+φ）T=．的最小正周期为；2．+2x是奇函数，则实数a=0=ax．（4分）（2010?上海）已知函数f（x）2【考点】奇函数．【分析】由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．，﹣f（x）【解答】解：由奇函数定义有f（﹣x）= ，=﹣（a+2））=a﹣2=﹣f（1）（﹣则f1 解得a=0．【点评】本题考查奇函数定义．上海）计算：=1+i（（2010?i为虚数单位）．43．（分）【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．==1+i【解答】．解：=故答案为：1+i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣，已知集合2010?上海）A={x||x|＜2}1＜x＜2}．（4．4（分）【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）1∞）（﹣1，+B={x|＞0}=2} ＜x={x|﹣1＜A∩B=（﹣1，2）∴2}＜﹣1＜x故答案为：{x|本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，【点评】，是解答本题的关键．求出集合A，B到另一个P的距离为6，则点上海）若椭圆+=1上一点P到焦点5．（4分）（2010?F1．4焦点F的距离是2椭圆的简单性质．【考点】计算题．【专题】| |=6，进而可求|PF|+|PF【分析】根据椭圆的定义|PF|=2a，已知|PF2211 |PF|=4．|+|PF|=2a=10，|PF|=6，故【解答】解：由椭圆的定义知|PF21124故答案为【点评】本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．上海）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区2010?．（4分）（6人，若在老年人中的抽样人数是人、1400的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600 ．70，则在中年人中的抽样人数应该是80【考点】分层抽样方法．【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求中年人中需抽取的人数．N=1600．解：由题可知抽取的比例为×k==80=，故中年人应该抽取人数为【解答】80故答案为：属基解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等，【点评】本题考查基本的分层抽样，本题．则它的一条渐近线方程为．（1，1），20107．（4分）（?上海）已知双曲线C经过点C．的标准方程是C双曲线【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．2﹣Cy的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为【分析】根据题意，双曲线2坐标代入可得λ的值，进而可得答案．0λ（λ≠），将点C=3x的一条渐近线方程为【解答】解：根据题意，双曲线C，22 0），λ≠3x则可设双曲线的方程为y﹣=λ（2，﹣λ11C将点（，）代入可得=．2故答案为：．要求学【点评】本题考查双曲线的方程，涉及双曲线的方程与其渐近线的方程之间的关系，生熟练掌握，注意题意要求是标准方程，答案必须写成标准方程的形式．62 +）的二项展开式中，常数项是60．8．（4分）（2010?上海）在（2x【考点】二项式定理．【专题】计算题．0的值，即可求得常数项．，求出r【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2rr21266﹣﹣﹣x?T 2=?x?【解答】解：在（2x+）的二项展开式中，通项公式为r+13rr12﹣?x．= ，3r=0，解得r=412令﹣故展开式的常数项为，=60 60故答案为．求展开式中某项的系数，【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．（．值（结果用数（4分）2010?上海）连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为9．表示）【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．个，满足条件的事【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件总的试验结果为36 ，可以列举出共3个，根据古典概型的概率公式得到结果．件是点数和为的结果为4 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，36个，试验发生包含的事件总的试验结果为4，满足条件的事件是点数和为的结果为个，1）共33（2，2），（，，1可以列举出（，3）=由古典概型概率计算公式可得P=．=．故答案为解题过程中要用到列举法本题考查古典概型，考查分步计数问题，是一个基础题，【点评】来做出事件所包含的事件数，注意列举时，做到不重不漏．．1的正四棱锥的体积V=上海）各棱长为2010分）（10．4（?棱柱、棱锥、棱台的体积．【考点】计算题．【专题】3【分析】先求出正四棱锥的斜高，再求出它的高，然后利用体积公式求解即可．h=，h′，则=【解答】解：由题知斜高V=?Sh=1=?．故故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．上海）方程=0的解集为{﹣3，2}．411．（分）（2010?【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】利用矩阵的化简方法把方程的左边化简，得到一个一元二次方程，解出即可．22 18=0，12﹣4x+3x﹣【解答】=9x+2x解：﹣2即x+x﹣6=0，故x=﹣3，x=2．21故方程的解集为{﹣3，2}．【点评】考查学生化简行列的方法，解方程的方法，写解集的方法．12．（4分）（2010?上海）根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r=．【考点】程序框图．4【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变更r的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：由框图的算法原理可知：b=，a=，﹣＜1；﹣a）=n=1，n（b﹣）＜1）=2；（n=2，n（b﹣a﹣）＞1=3，（n=3，n（b﹣a）m=[3]=6此时，，=，r= =r=．故输出故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．13．（4分）（2010?上海）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长2最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=2600πcm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可．【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，2 cm．×=2600ππ×50+80侧面展开图的面积S=（）×202 π故答案为：2600 本题考查圆柱的侧面积，考查计算能力，是基础题．【点评】阶方阵上海）设2010分）（14．4（?n5= A n任取A中的一个元素，记为x；划去x所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组1n1成n﹣1阶方阵A，任取A中的一个元素，记为x；划去x所在的行和列，…；将最2nn112﹣﹣，则=1…+x．=x+x+…+x，则S=x+x+S后剩下的一个元素记为x，记n2n2n11nn【考点】高阶矩阵；数列的极限．【专题】综合题；压轴题．2【分析】不妨取x=1，x=2n+3，x=4n+5，…，x=2n﹣1，故S=1+（2n+3）+（4n+5）+…+nn21332．）=n，故可求（2n﹣12【解答】解：不妨取x=1，x=2n+3，x=4n+5，…，x=2n﹣1，n31222故S=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[2n+4n+…+（n﹣1）2n]=n+n23（n﹣1）×n=n，==1，故=故答案为：1．【点评】本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2010?上海）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c 满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，a与c可以相交，异面直线，也可能平行．从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．故选D．6熟注意全面考虑．【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题时要认真审题，练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义是解题的关键．M=a，记1）∈（0，，）已知a，a1+a﹣a，N=a201016．（5分）（?上海）（上海春卷16221112）则M与N的大小关系是（．不确定．M=N DM＞N CA．M＜N B．不等式比较大小．【考点】计算题．【专题】根据题意，利用作差法进行求解．【分析】+1 ﹣aN=aa﹣a解：由【解答】M﹣2112 0，a﹣1）＞=（a﹣1）（21 N，故M＞B．故选【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．2与抛物线“直线lk，“≠0”是分）（2010?上海）已知抛物线C：y=x与直线l：y=kx+l517．（）C有两个不同交点”的（B．必要不充分条件；A．充分不必要条件．充要条件D．既不充分也不必要条件C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题．从而判定有两个不同交点的条件是：方程组有两个不同实数根，【分析】直线l与抛物线C 该题．22222，0=﹣4k+1＞=（2k﹣1）﹣4k，x【解答】解：由（kx+1）=x即k+（2k﹣1）x+1=0△有两C直线l与抛物线有两个不同的交点与抛物线C”，但“0则．故“k≠”推不出“直线l ．≠0”个不同的交点”则必有“k ．故选B第三0是第二点，0＞还是△≥【点评】本题突破口在直线l与抛物线C有两个不同交点，△是充要条件的判断．对称，则P=（）已知函数fx）的图象关于点（上海春卷（．18（5分）2010?上海）18 的坐标是（）点P0，）0．BA．．C．D（函数的图象与图象变化．【考点】7【专题】压轴题．【分析】利用对称性质和中点坐标公式进行求解．【解答】解：设P（m，n），任意给点M（x，y）关于P（m，n）的对称点为N（2m﹣x，2n﹣y），，联立方程组：由，解这个方程组得到，故选C．【点评】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法．三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．，求的值．＞1）上海）已知tanθ=a，（a?19．（12分）（2010【考点】两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切．【专题】计算题．化简，【分析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，代入tanθ=a，求出结果即可．【解答】解：原式=．===．即：【点评】本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．x 1）≠a＞0且a2（（2010（．14分）（?上海）已知函数fx）=log8﹣）（20a的值；x）的反函数是其本身，求a（（1）若函数f ）的最大值．（﹣）（时，求函数＞）当（2a1y=fx+fx8【考点】反函数；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a的值．（2）当a＞1时，先求出函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式求出最值．xx fx）（x=，），∴8﹣2=a ，）【解答】解：（1）∵函数f（x=log（8﹣2ax．，∴故反函数为y=，∴log（8﹣2）a=2=ax（2）当a＞1时，由题意知，8﹣2＞0，∴x＜3，函数y=f（x）+f（﹣x）的定义域（﹣3，3），x=+，（8﹣2）+f函数y=f（x）（﹣x）=log axxxx﹣﹣∴2+2≥2，当且仅当x=0时，取等号．∴0＜65﹣8（2+2 ）≤49，当a＞1时，函数y=f（x）+f（﹣x）在x=0处取得最大值log49．a【点评】本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，基本不等式的应用．21．（14分）（2010?上海）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）先求两地的球心角，求出球面距离，然后求飞行时间．（2）求出两点的距离，求出球心角，然后求球面距离．【解答】解：（1）∵上海与大连在同一经线上，∴它们在地球的同一个大圆上．设地球的球心为O，上海、大连分别为点A、B．由上海、大连的经、纬度知∠AOB=8°地球半径r≈6371千米×6371 的弧长：经计算得AB889.56÷720≈1.2（小时）∴从上海到大连的最短飞行时间约为1.2（小时）（2）设里斯本为C，过B作与赤道平面平行的球面的截面，设其圆心为O′，由已知得9∠BO′C=121°+10°=131°，∠OBO′=39°OB=OC=rO′C=O′B=OBcos∠OBO′=rcos39°由余弦定理可得22222BC=O′B+O′C﹣2O′B?O′Ccos131°=2rcos39°（1﹣cos131°）BOC=∠cos4﹣﹣1.87×10≈BOC≈90.01°∴∠为于是大圆的弧长BC∴大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米．【点评】本题考查球面距离及其他计算，余弦定理的应用，是中档题．=，定义，对任意向量16分）（2010?﹣上海）在平面上，给定非零向量22．（．，求；3）），=（﹣1（1，）若=（2，3上，则位置向量Ax+By+C=0，证明：若位置向量的终点在直线（2，1）的（2）若=终点也在一条直线上；2终点=y上时，位置向量，当位置向量的终点在抛物线C3（：）已知存在单位向量x2与向量满足什么关系？l ′关于直线l对称，问直线C总在抛物线′：y=x上，曲线C和C【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；函数的性质及应用；平面向量及应用．，代入=10）根据题意，算出=7的表达式并化简整理，即可得【分析】（1，（；，﹣）到=的表达式解出=（xAx+By+C=0，上，由题中y），终点在直线（2）设=（x'，y'）满足的关系式，从而得到点）在直线Ax+By+C=0（上，化简整理得到直线（，3A+4B）x+（4A﹣，说明向量5C=0﹣3B）y的终点也在一条直线上；，解出θ）cosθ，sin，3））设=（xy），单位向量θyx关于、和的坐标形式，结=（（22终点在抛物线y=x上，建立关于x=y的终点在抛物线合x上且、y和θ的方程，化简10满l的方向向量l：y=x对称，算出（．再由曲线，）C和C′整理得到=±关于直线垂直．与向量?=0，从而得到直线足l），（﹣1，（=2，3）3，【解答】解：（1=）∵=，（﹣）=（﹣1，∴=73，=10），可得）（）﹣（﹣；，）因此==，﹣﹣=（2，3上），终点在直线Ax+By+C=0）设=（x'，y'（2，）=（=（2算出=2x'+y'=5，，，1，），=）﹣（（∴，=）﹣=（x'，y'）），y，得到，满足因此，若=（x Ax+By+C=0∵点（上，）在直线，﹣）y5C=03A+4B∴A）×x++B×（4A﹣3B+C=0，化简得（不全为零，可得以上方程是一条直线的方程A、B由的终点也在一条直线上；即向量3是单位向量，）∵（θ，=xcosθθ，sinθ）+ysin，可得?cosx∴设=（，y），=（）θ+ycos2θ，θ=（﹣xcos2﹣ysin2θ﹣2xsin2θθ（﹣所以=﹣=2xcos+ysin）22 =x=y的终点在抛物线∵x上，且终点在抛物线y上，112，+ycos2θ）θ=（﹣2xsin2θθ∴﹣xcos2﹣ysin2θ==﹣，θsin=，sinθ=﹣或cosθ化简整理，通过比较系数可得cos，（）∴=±，∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，的方向向量=（1，1）．∴l与向量垂直．l，即可得⊥?=0，因此直线终点在一条直线上时，向量的终点也在本题给出向量的关系式，求证当向量【点评】一条直线上等问题．着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．=（ax为常数）．2010?上海）已知首项为x的数列{x}满足23．（18分）（n+1n1*（1）若对于任意的x≠﹣1，有x=x对于任意的n∈N都成立，求a的值；n1n+2（2）当a=1时，若x＞0，数列{x}是递增数列还是递减数列？请说明理由；n1（3）当a确定后，数列{x}由其首项x确定，当a=2时，通过对数列{x}的探究，写出“{x}nnn1是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．【考点】数列递推式．【专题】计算题；综合题；压轴题；探究型．22时，由n=1+xa+1）x，当，代入xx化简后等于x，得到ax=（【分析】（1）求出nn+2nn+1nn的值即可；x的任意性得得到a1＜﹣xx﹣x==﹣＞a=1（2）数列为递减数列，因为当且x＞1得到x0，而nn+1n1n 0，所以得证；﹣得到即可．}{x是有穷数列，可以令x=满足得到数列3（）由a=2{x}x=，因为1n+1nn==x=）∵解：（1x =【解答】nn+222，∴a=﹣x的任意性得1．时，由，当+xxa+1=x∴a（）n=11nnn（}{x）数列2是递减数列．n120. x＞∵1** N∈，﹣＜0，=﹣﹣∈＞∴x0，nN又xx=xn nnnn+1是递减数列．}故数列{x n﹣，则{x}是有穷数列．=x=满足}）满足条件的真命题为：数列（3{xx，若nn+11n【点评】考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列．13。
2010年普通高等学校招生全国统一考试上海卷试题及答案
15．“ x 2 k
k Z ”是“ tan x 1 ”成立的
[
4
（A）充分不必要条件 .
（ B）必要不充分条件 .
答] （ A ）
（C）充分条件 .
（ D）既不充分也不必要条件 .
解析： tan( 2 k
) tan
1 ，所以充分；
4
4
5 但反之不成立，如 tan
4
1 ，所以不必要
x = 1+ 2t
26
11
高为
所以该四面体的体积为
16
3
32
3 26
2
3
82 3
2
13 。 如 图 所 示 ， 直 线 x=2 与 双 曲 线 : 4
2
y 1 的 渐 近 线 交 于 E1 , E 2 两 点 ， 记
O E 1 e1 , O E 2 e2 ，任取双曲线 的一个等式是 4ab=1 解析： E 1 ( 2,1), E 2 ( 2 , 1)
13 11 5
（A）不能作出这样的三角形
（ B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形
（ D）作出一个钝角三角形
31 4 2 4
圆心（ 1,2）到直线 3 x 4 y 4 0 距离为
3
5
6. 随机变量 的概率分布率由下图给出：
则随机变量 的均值是 8.2
解析：考查期望定义式 E =7× 0.3+8 × 0.35+9 × 0.2+10 × 0.15=8.2
7. 2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园， 20:00 停止入园。在右边的框图中， S 表示上海
1 ，所以 C 正确
2
【答】（ C）
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2010年上海市春季高考数学试卷
一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）（2010•上海）函数的最小正周期T=．
2．（4分）（2010•上海）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=．3．（4分）（2010•上海）计算：=（i为虚数单位）．
4．（4分）（2010•上海）已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B=．
5．（4分）（2010•上海）若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是．
6．（4分）（2010•上海）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是．
7．（4分）（2010•上海）已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是．
8．（4分）（2010•上海）在（2x2+）6的二项展开式中，常数项是．
9．（4分）（2010•上海）连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为（结果用数值表示）．
10．（4分）（2010•上海）各棱长为1的正四棱锥的体积V=．
11．（4分）（2010•上海）方程=0的解集为．
12．（4分）（2010•上海）根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r=．
13．（4分）（2010•上海）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=cm2．
14．（4分）（2010•上海）设n阶方阵
A n=
任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则
=．
二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2010•上海）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行
B．一定相交
C．一定是异面直线
D．平行、相交、是异面直线都有可能
16．（5分）（2010•上海）（上海春卷16）已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）
A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不确定
17．（5分）（2010•上海）已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+l，“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件；
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（5分）（2010•上海）（上海春卷18）已知函数f（x）=的图象关于点P对称，则
点P的坐标是（）
A．B．C．D．（0，0）
三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（12分）（2010•上海）已知tanθ=a，（a＞1），求的值．
20．（14分）（2010•上海）已知函数f（x）=log a（8﹣2x）（a＞0且a≠1）
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当a＞1时，求函数y=f（x）+f（﹣x）的最大值．
21．（14分）（2010•上海）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．
（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？
（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）
22．（16分）（2010•上海）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义=﹣
．
（1）若=（2，3），=（﹣1，3），求；
（2）若=（2，1），证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线C：x2=y上时，位置向量终点总在抛物线C′：y2=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量满足什么关系？
23．（18分）（2010•上海）已知首项为x1的数列{x n}满足x n+1=（a为常数）．
（1）若对于任意的x1≠﹣1，有x n+2=x n对于任意的n∈N*都成立，求a的值；
（2）当a=1时，若x1＞0，数列{x n}是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当a确定后，数列{x n}由其首项x1确定，当a=2时，通过对数列{x n}的探究，写出“{x n}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．。