简单的线性规划问题
332简单线性规划问题
审题视角
规范解答
温馨提醒
解 由约束条件x3－ x＋4y5＋y－3≤25≤0 0 ，作出(x，y)的可行域如图所示． x≥1
由x3＝x＋15y－25＝0 ，解得 A1，252.
由xx＝－14y＋3＝0 ，解得 C(1,1)．
2024/10/13
27
题型分类·深度剖析
思想与方法 13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值
x≥1
(1)设 z＝xy，求 z 的最小值；(2)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围；
(3)设 z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求 z 的取值范围．
审题视角
规范解答
温馨提醒
(2)z＝x2＋y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方．结合图形
可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝ 2，dmax＝|OB|＝
x 4 y 3 3x 5y 25 求z的x最大1 值和最小值.
【解析】ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由z 2x y y 2x z
A(5,2) C(1, 22)
5
zmin
21
22 5
12 5
z 2 5 2 12 max 2024/10/13
截距为-z的直线
y x 1 C
•B
O
x 4y 3 0
•A
3x 5y 25 0
x－4y＋3≤0 典例：(12 分)变量 x、y 满足3x＋5y－25≤0 ，
x≥1
(1)设 z＝xy，求 z 的最值；(2)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围；
(3)设 z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求 z 的取值范围．
审题视角
规范解答
温馨提醒
由x3－ x＋4y5＋y－3＝25＝0 0 ，解得 B(5,2)．
3.3.2简单的线性规划问题
变式：求利润z=x+3y的最大值. y
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y 1 x4
2
y1x z
33
zmax 2 3 3 11
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数
（3）掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学 模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤 ．
学习重点：线性规划的图解法
学习难点：寻求线性规划问题的最优解
一、导学提示，自主学习
2.本节主要题型 题型一 求线性目标函数的最值 题型二 线性规划的实际应用 3.自主学习教材P87-P91 3. 3.2简单的线性规划问题
经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张
数最少。
分 析
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，
2x+y≥15,
钢板总张数为Z则,
问
x+2y≥18,
题
x+3y≥27, x≥0
:
y≥0
标目函数: z=x+y (x,y N)
约束条件:
{ 2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0,
33
3
在y轴上的截距为 z 的直线, 3
当点P在可允许的取值范围变化时,
求截距 z 的最值,即可得z的最值. 3
问题：求利润z=2x+3y的最大值. y
x2y 8
44
x y
16 12
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。
因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。
2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。
要会在可行域中确定最优解。
3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。
每1t乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。
（精确到1t)。
能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。
作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。
将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。
得x=360/29≈12。
y=1000/29≈34。
例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
第一部分 第三章 3.3 第二课时 简单的线性规划问题
5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设 备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每 天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天 的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该 公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租 赁费最少为__________元．
3.3
第 三 章
二元 一次 不等 式组
第二 课时
简单
不 等 式
与简 单的 线性 规划
的线 性规 划问 题
问题
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二 考点三
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现在是信息时代，广告可以给公司带来效益．某公 司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的 广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙两个电视台的 收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟． 问题1：设在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分 钟，y分钟，试ห้องสมุดไป่ตู้出满足条件的不等关系．
答案：9
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2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)， 目标函数z＝x－y，则使z取得最小值的点的坐标 为____________．
解析：对直线y＝x＋b进行平移，注意b越大，z越 小故，四个点中，过点A(1,1)时 z取最小值0. 答案：(1,1)
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[例 2]
0≤x≤1 (2011·苏 北 四 市 三 调 )在 约 束 条 件 0≤y≤2 2y－x≥1
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[一点通] 解答线性规划应用题的一般步骤： (1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准 确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量 有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题 目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺． (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而 将实际问题转化为数学上的线性规划问题． (3)求解——解这个纯数学的线性规划问题． (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
简单的线性规划问题
课题：简单的线性规划问题学习目标：1、知识目标：能够使用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题2、水平目标：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生来说是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；3、德育目标：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提升解决问题的的水平重点难点：教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相对应给出准确的解答教学难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解知识链接：解答线性规划问题的步骤：◆第一步：根据约束条件画出可行域；◆第二步：令z＝0，画直线l；◆第三步：观察，分析，平移直线l，从而找到最优解；◆第四步：求出目标函数的最大值或最小值.方法指导：表达“等价转化”、“数形结合”的思想方法学习内容：自主学习：复习1：已知变量,x y满足约束条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，设2z x y=+，取点（3，2）可求得8z=，取点（5，2）可求得max 12z=，取点（1，1）可求得min 3z=取点（0，0）可求得0z=，取点（3，2）叫做_________点（0，0）叫做_____________，点（5，2）和点（1，1）__________________复习2：阅读课本Ｐ８8至Ｐ91合作探究：线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg 的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg 脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B 多少kg?食物(kg) 碳水化合物(kg) 蛋白质(kg) 脂肪(kg)A 0.105 0.07 0.14B 0.105 0.14 0.07探究：（1）假如设食用A食物xkg、食用B食物ykg，则目标函数是什么？（2）总成本z随A、B食物的含量变化而变化，是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件（3）能画出它的可行性区域吗？（4）能求出它的最优解吗？（5）你能总结出解线性规划应用题的一般步骤吗？解线性规划应用题的一般步骤：（1）设出所求的未知数；（2）列出约束条件；（3）建立目标函数；（4）作出可行域；（5）运用平移法求出最优解。
简单的线性规划问题
8）时，直线与原点的距离最近，即z的最小值为12.
解法二：特值验证法
由解法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的 左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0（0， 15），A1（1，13），A2（2，11），A3（3，9），A4（4， 8），A5（5，8），A6（6，7），A7（7，7），A8（8，7）， A9（9，6），A10（10，6），…，A27（27，0）.
由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最 大，即z最大.
解方程组 x - 4y 3 0, 3x 5y 25 0
，得A的坐标为(5,2).
∴zmax=2×5+2=12.
当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z
最小.
解方程组
x x
- 4y 1
返回
【解析】设进T 恤x件，运动鞋y双，则有
x 50,y 30,x,y N, x y 40, 36x 48y 2 400,
其目标函数为z=18x+20y. 作出它的可行域如图所示， 由图可知： 当x=50且y=12.5时，z取得最大值1 150. 但x,y∈N*,
（3）由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而 迅速地找出最优解，此时可将可能的数逐一检验即可分 晓.
假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和 资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能 进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要 T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T 恤每件36元，运动鞋每双48元.现在你有2 400元资金， 假设每件T恤的利润是18元，每双运动鞋的利润是20元， 问：如何进货可以使你获利最大？
简单的线性规划问题
阅读课本88页“第二自然段”认识下列概 念：
1.约束条件、线性约束条件 2.目标函数、线性目标函数 3.线性规划问题 4.可行解、可行域、最优解
变式：
1 2 3
z 3x 2 y 的最大值？ z 2 x 6 y 的最大值？ z 2 x 3y 的最大值？
3.3.2简单的线性规划 问题(一)
引入新课
例： 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所 有的日生产安排是什么？ A 4
16
B 4
若生产一件甲产品获利2万元，生产一 该厂所有的日生产安排是什么？ 件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排 利润最大？
0, 0 0,1 0, 2 0,3 1, 0 1,1 1, 2 1,3 2, 0 2,1 2, 2 2,3 3, 0 3,1 3, 2 设工厂获得的利润为z, 4, 0 4,1 4, 2 则 z=2x+3y
甲产品 乙产品
x y
耗时 1 2
8
12
分析：
甲产品 乙产品
12 8 解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，则
16
x y
A 4
B 4
耗时 1 2
4 x 16 4 y 12 x 2 4 y 3 即 x 2 y 8 x 0 y 0
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在平面直角坐标系中，以二 结论：二元一次不等式 元一次方程x+y-1=0的解为坐标 ax+by+c>0在平面直角坐标系中 的点的集合 {(x ， y)|x+y-1=0} 是经过点 ， 1) 和 (1 ， 0) 的一 表示直线(0 ax+by+c=0 某一侧所有 条直线l，那么以二元一次不等 点组成的平面区域。不等式 式x+y-1>0的解为坐标的点的集 合 {(x，y )|x+y-1>0}是 ax+by+c<0 表示的是另一侧的平 什么图形? 面区域。 y
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3 万元，采用那种生产安排利润最大？
y
4 3
o
4
8
x
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y 2 z y x 3 3
y
4 3
M
o
4
8
x
简单的线性规划问题
关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是 关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题，统称为线性规划问题。 y 可行解 4 满足线性约束的解 可行域 最优解 （x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成的 集合叫做可行域。
x＋2 y 8 x 2 y 8 4 x 1 6 x 4 y 3 4 y 1 2 x 0 x 0 y 0 y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分 中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
若把目标函数换为 z＝2x－y，则Z的 最大值为？
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
2.解：作出平面区域
y
A o C x
B
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3 z＝3x＋5y
作出直线3x＋5y ＝z 的 求得A（1.5，2.5），B 图像，可知直线经过A点时， Z取最大值；直线经过B点时，（－2，－1），则Zmax=17， Zmin=－11。 Z取最小值。
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习判断二元一次不等式表示哪一侧 平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 x+y-1>0 1 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 1 O 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) x 以ax0+by0+c的正负的情况便可 x+y-1<0 判断ax+by+c>0表示这一直线 x+y-1=0 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
3
o
4
8
x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这 个问题的最优解。
三、练习题：
1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：
y x x＋y 1 y － 1
2、求z＝3x＋5y的最值，使x、y满足约束条件：
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
甲醛检测 甲醛检测
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服啊！咦，姐你在想什么呢？手里拿的什么啊？”耿英一愣神儿，赶快把手帕团起来胡乱塞进哥哥已经自己放好了的干净衬衣 口袋里，说：“噢，你们洗完了？我想把你们换下来的衣服泡上洗了呢！”耿直问：“你刚给哥哥的衬衣口袋里装了什么啊？” 耿英胡乱搪塞说：“没有什么，只是„„”看姐姐有些迟疑，耿直说：“让我看看！”说着，就要上前去拿哥哥的衬衣。随后 进来的耿正脸一红，赶快抢上前来将干净衬衣拿起来，顾不了腰间还围着浴巾，就开始穿衬衣了。冷不妨耿直一下子扑了上来， 伸手就从衬衣口袋里把丝绸手帕给掏出来了！随手抖开了一看，是一个已经被汗液浸渍的有些泛黄了的乳白色丝绸手帕，上面 绣了一对儿好看的燕子！耿直脱口叫道：“啊！原来是这个！谁给你的？”看着弟弟一脸憨口气，说：“唉，小直子你可真是一个小孩子。你想，还能有谁啊！”耿直眼珠子骨碌碌地转了一 转，终于明白了，大声说：“是秀儿姐姐？对，一定是秀儿姐姐！哥，你说是不是？”耿正的脸更红了，赶快过来抢。耿直灵 巧地转到姐姐的身后，把手绢高高地举起来继续逗哥哥：“你不告诉我，我就不还给你！”耿正没有办法了，只好红着脸承认： “是是是，快给我！”耿直却还是不依，说：“你还没有说是谁呢！我就是不还给你！”耿英看着实在不忍，就对弟弟说： “还不赶快还给哥哥，你想急死他啊！”耿直说：“不行，我要哥哥亲口告诉我，是谁送给他的！”耿英没好气地说：“哥不 是已经说‘是’了吗？”又对哥哥说：“你也是的，说是秀儿姐姐送的不就得了嘛！”耿正只好红着脸给弟弟拱手作揖，说： “小直子，是你秀儿姐姐送我的。求求你了，快还给我吧！这一会儿她不在我的衬衣口袋里，连我的心里也空落落的了！”耿 英笑着从弟弟手里夺过手帕，重新叠好了装进哥哥的衬衣口袋里，打趣地说：“你好好儿承认就够了，还坦白出这么多作啥 啊！”耿正急了，问：“我都说了什么？”耿直却满意地笑了，说：“我的哥啊，你说了，手帕不在你的衬衣口袋里，连你的 心里也空落落的了！哥哥对不起，让你着急了。不过，我很高兴呢，我愿意秀儿姐姐将来做我的嫂子！还有啊，姐姐，我也愿 意大壮哥哥将来做我的姐夫！”耿英红着脸轻轻打了弟弟一巴掌，说：“一边去，哪个用你愿意了！”耿英说着，把哥哥和弟 弟换下来的所有衣服全都放在大洗盆儿旁边，先将两件衬衣泡上。然后，起身从便包里拿出一块胰子，再拉了一个板凳放在大 洗盆儿前，开始洗衣服了。抬头看看，在这五间正房前面的两边，居然还各栽了一个粗实的木头柱子。在柱子的靠近顶端，相 对着各装有一个铁环儿，一根粗实的麻绳穿过铁环儿扎牢靠了，拉在
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简单的线性规划问题
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？
解：按甲、乙两种产品分别生产x、y件， 由已知条件可得二元一次不等式组