简单的线性规划(重点)

教学过程

一.课程导入：

若实数x,y满足： 4≤x+y≤6 ①

2≤x-y≤4 ②

求2x+y的取值范围。

解：由①、②同向相加可求得：6≤2x≤10 ③由②得：-4≤y-x≤2

将上式与①同向相加，得：0≤y≤2 ④③ + ④得：6≤2x+y≤12. 以上解法正确吗？ (先提问，老师解答，引出课题)

二、复习预习

复习我们学习过的不等式和直线的方程,思考直线和不等式在坐标系中的表示区域,寻求最优解,而如何在坐标系中找到相应的区域和最优解?这就是我们这节课所学的内容

三、知识讲解

考点1、线性规划问题

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决

考点2、整数线性规划

要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．

考点3、二元一次不等式表示平面区域

①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组

成的平面区域. 不．

包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;

注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线

考点4、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法

取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域

原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断

Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,

当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

四、例题精析

考点一二元一次不等式（组）所表示的平面区域

【例题1】

【题干】若2x＋4y<4，则点(x，y)必在

A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方

【答案】D

【解析】∵2x＋4y≥22x＋2y，由条件2x＋4y<4知，22x＋2y<4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故选D.

考点二 简单线性规划

【例题2】

【题干】已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，

3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，

则a 的取值范围为

A ．0

B ．a≥13

C ．a>13

D ．0

【答案】C

【解析】

作出可行域如图，

∵目标函数z＝x＋ay恰好在点A(2,2)处取得最大值，故－1

a

>－3，∴a>

1

3

.

考点三简单线性规划的实际应用

【例题3】

【题干】某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？

【答案】见解析

【解析】设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z(单位：10万元，则目标函数为z ＝x ＋1.5y(单

位：10万元)，线性约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋40y≤160，

30x ＋30y≤180，

x≥0，y≥0 x ∈N ，y ∈N ，

即⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y≤8，x ＋y≤6，

x≥0，y≥0 x ∈N ，y ∈N ，

作出可行域如图，解方程组 ⎩⎨⎧ x ＋2y ＝8，x ＋y ＝6，得交点M(4,2)，作直线l 0：x ＋1.5y ＝0，平移l 0，当平移后的直线过点M 时，z 取最大值：z max ＝(4＋3)×10万元＝70万元．

课后评价