线性规划知识复习、题型总结

线性规划

基础知识：

一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=0

2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<0

3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,

（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>0

2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0

二.二元一次不等式表示平面区域:

①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．

包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;

注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域

原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断

Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,

当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 方法二：利用规律：

1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），

当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;

2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）

当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。

四、线性规划的有关概念：

①线性约束条件： ②线性目标函数：

③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解：

典型例题一--------画区域

1. 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域． 分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解：直线AB 的斜率为：1)

3(104=---=AB k ，其方程为3+=x y ．

可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ． ABC ?的内部在不等式03>+-y x 所表示平面区域内，同时在不等式062>++y x 所表示的平面区域内，同时又在不等式022<+-y x 所表示的平面区域内（如图）．

所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组??

???<+->++>+-022,

062,03y x y x y x 表示． 说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线． 2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．

解：原不等式等价于???≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求???

???

?≤->∈∈>>.3,

32,

,,0,0y x y z y z x y x ．

依照二元一次不等式表示的平面区域， 知332≤<-y x 表示的区域如下图： 对于332≤<-y x 的正整数解，容易求 得，在其区域内的整数解为

)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．

3设0≥x ，0≥y ，0≥z ；z y x p 23++-=，

z y x q 42+-=，1=++z y x ，用图表示出点),(q p 的范围．

分析：题目中的p ，q 与x ，y ，z 是线性关系． 可借助于x ，y ，z 的范围确定),(q p 的范围．

解：由??

??

?=++=+--=--,

1,42,

23z y x q z y x p z y x 得????

??

???++=+-=

-+=),

345(27

1),3514(271),68(271q p z p q y p q x

由0≥x ，0≥y ，0≥z 得??

?

??≥++≥+-≤--,0543,01453,086q p q p q p 画出不等式组所示平面

区域如图所示．

说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x ，y ，z 的取值范围．借助于三元一次方程组分别求出x ，y ，z ，从而求出p ，q 所满足的不等式组找出),(q p 的范围．

4、已知x,y,a,b 满足条件：0,0,0,0≥≥≥≥b a y x ,2x+y+a=6,x+2y+b=6 （1）试画出（y x ,）的存在的范围； （2）求y x 32+的最大值。

典型例题二------画区域，求面积

例3 求不等式组?????+-≤-+≥1

1

1x y x y 所表示的平面区域的面积．

分析：关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而

求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．

解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线：

)1(-≥=x x y AB ：，)1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：

则不等式组所表示的平面区域如图，由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形． 根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为

2

2和

2

23．所以其面积为

2

3．

典型例题三------求最值

一、与直线的截距有关的最值问题 z A x B y C

=++ 1.如图1所示，已知A B C 中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -， 点(,)P x y 在A B C 内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题： ①z x y =+在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC 处有最小值 1 ； ②z x y =-在 点C 处有最大值

1

，在 点B 处有最小值3-

2若x 、y 满足条件??

??

≤+-≥+-.010401023y x y x ，

求y x z 2+=的最大值和最小值． 分析：画出可行域，平移直线找最优解．

解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．

作直线z y x l =+2:，即z x y 21

2

1+

-

=，它表示斜率为21

-

，纵截距为2

z

的平行直线系，当它

在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点A 时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值．

∴ 18822max =?+=z ∴ 2222min =?+-=z

注：z Ax By =+可化为A z y x B B

=-

+

表示与直线A y x B

=-

平行的一组平行线，其中

z B

为截距，特别注

意：斜率范围及截距符号。即注意平移直线的倾斜度和平移方向。 变式：设x,y 满足约束条件

分别求：(1)z=6x+10y ，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y ，的最大值，最小值。 二、与直线的斜率有关的最值问题

00

y y z x x -=

-表示定点P （x 0,y 0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.

例2 设实数x y ，满足20240230x y x y y --??+-??-?

≤，

≥，

≤，，则y z x

=的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC ，00

y y z x

x -=

=

-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的

斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．

可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=即A 点．∴312P ?

?

??

?，．故答案为

32

．

3.如图1所示，已知A B C 中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -， 点(,)P x y 在A B C 内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：

（ 图2 ）

x

43

3525

1x y x y x -≤-??+≤??≥?

若目标函数是1y z x

-=

或231

y z x +=

+，你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得m in z 和m ax z ？

三、与距离有关的最值问题

2

2

2

2

00()()z z z x x y y x y Ax By C =

=-+-=++++或（配方）的结构表示定

点Q （x 0,y 0)到可行域内的动点N(x,y)的距离的平方或距离。 1.已知05≥-+y x ，010≤-+y x ．求22y x +的最大、最小值． 分析：令2

2

y x z +=，目标函数是非线性的．而(

)2

2

22

2y

x y x z +=+=可看做区域内的点到原点距离

的平方．问题转化为点到直线的距离问题．

解：由??

?≤-+≥-+,

010,05y x y x 得可行域(如图所示)为

(

)2

2

2

2

2y

x y x z +=

+=，而)0,0(到05=-+y x ，010=-+y x 的

距离分别为

2

5

和

2

10． 所以z 的最大、最小值分别是50和2

25．

2.已知2040250x y x y x y -+??

+-??--?

，，，≥≥≤求221025z x y y =+-+的最小值

解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．而22(5)z x y =+-表示可行域内任一点（x ，y ）到定点M （0，5）的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足Ｎ在线段A C 上，故z 的最小值是2

92

M N

=

．

练习：1..给出平面区域如右图所示，若使目标函数z=ax+y (a > 0 )取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（B ） A.

4

1 B.

5

3 C.

4 D.

3

5

2、在坐标平面上，不等式组??

?

??≥+-≥+≤020,3y x y x x 所表示的平面区域的面积为

3.三角形三边所在直线分别为x-y+5=0，x+y=0，x-3=0，求表示三角形内部区域的不等式组.

4.．已知2040250x y x y x y -+≥??

+-≥??--

，求

|24|z x y =+-的最大值为 。