高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为 －311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜 率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。
高中数学 第三章 简单的线性规划问题知识汇总素材 北师大版必修5(1)
简单的线性规划问题
1.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；
（2）列出约束条件与目标函数；
（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；
（4）验证.
4. 两类主要的目标函数的几何意义:
（1）-----直线的截距；
（2）-----两点的距离或圆的半径；
（3）-----直线的斜率。
(精校版讲义)高中数学必修五 第14讲 简单的线性规划问题(可直接打印)
第十四讲：简单的线性规划问题【学习目标】1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；2. 掌握线性规划问题的图解法.3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力. 【要点梳理】要点一：线性规划的有关概念： 线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．线性目标函数：关于x 、y 的一次式(,)z f x y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．可行解、可行域和最优解： 在线性规划问题中，①满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解； ②由所有可行解组成的集合叫做可行域；③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题.要点二:线性规划的应用1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.3.在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等.要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等. 要点三:确定线性规划中的最优解对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是：① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； ② 画出可行域；③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； ④作答． 要点诠释：确定最优解的思维过程：线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+，这样线性目标函数可看成斜率为AB-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点---验证--- 选最优解 【典型例题】类型一：求目标函数的最大值和最小值.例1. 已知关于x 、y 的二元一次不等式组24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．【解析】(1)作出二元一次不等式组24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图所示．由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小，解方程组2420x yx+=⎧⎨+=⎩得C(－2,3)，∴u min＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，解方程组241x yx y+=⎧⎨-=⎩得B(2,1)，∴u max＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组24120x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图所示．由z＝x＋2y＋2，得111 22y x z=-+-，得到斜率为12-，在y轴上的截距为112z-，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距112z-最小，即z最小，解方程组120x yx-=⎧⎨+=⎩得A(－2，－3)，∴z min＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距112z -最大，即z 最大， ∴z max ＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6. 【点评】1.本题的切入点是赋予“z ”恰当的几何意义：纵截距或横截距；2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．举一反三：【变式1】设变量x 、y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数z ＝2x ＋3y 的 最小值为A ．6B ．7C ．8D ．23 【答案】B 【解析】约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域如图易知过C (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值． ∴z min ＝2×2＋3×1＝7.【变式2】求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩. 【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线35z x y =+在经过不等式组所表示的公共区域内的点时， 以经过点(2,1)B --的直线所对应的z 最小， 以经过点35(,)22A 的直线所对应的z 最大. 所以min3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-，max 35351722z =⨯+⨯=.【变式3】已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02,2,2x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =⋅u u u u r u u u r的最大值为( )．A ．3B ．4C ．32D ．42 【答案】B【解析】画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝2z OM OA x y =⋅=+u u u u r u u u r，∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距 z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.类型二：已知目标函数的最值求参数.例2. 已知点P (x ，y )满足条件,20y x x y k ⎪≤⎨⎪++≤⎩(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，求k的值.【解析】作出可行域如图所示，作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移l 0知当l 0过点A 时，x ＋3y 最大，由于A 点坐标为(,)33k k --. ∴83kk --=，从而k ＝－6. 【点评】这是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解.同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.举一反三：【变式1】若,x y 满足约束条件1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围（ ）A.(-1,2)B.(-4,2) C(-4,0) D.(-2,4) 【答案】B【解析】可行域为△ABC ，如图当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率12AC ak k =->=-，a ＜2.当a ＜0时，22AB ak k =-<=，∴a ＞－4. 综合得－4＜a ＜2.【变式2】已知实数,x y 满足21,,y x x y m ⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于A.7B.5C.4D.3 【答案】B例 3.已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）A.（-3,6）B.（0,6）C.（0,3）D.（-3,3）【答案】C【解析】 |2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩ 由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，【点评】此例中充分利用了不等式的几何意义，通过转化为图形语言进而转化为等价的不等式条件解得. 举一反三：【变式】已知变量x ，y 满足条件230,330,10.x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是( )．A.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线 x ＋2y －3＝0的斜率，即12a -<-，∴12a >.类型三：求非线性目标函数的最值例4. 设实数y x 、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≥+0405--202-y x y x y x ，则42-+=y x z 的最大值为 .【解析】作出可行域（如图）即ABC ∆所围区域(包括边界)，其顶点)3,1(A 、)9,7(B 、)1,3(C【方法一】∵可行域内的点都在直线042=-+y x 上方，∴042>-+y x则目标函数等价于42-+=y x z易得当直线42-+=y x z 在点)9,7(B 处，目标函数取得最大值 为21max =z .【方法二】554242⋅-+=-+=y x y x z令),(y x P 为可行域内一动点、定直线042=-+y x ，则||5PH z =，其中||PH 为),(y x P 到直线042=-+y x 的距离由图可知5215|4927|||||max =-⨯+==BH PH∴21max =z .【点评】求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．举一反三：【变式】已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+102-01-x y x y x ，则y x y x z ++=22的取值范围为 .【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡57,1【解析】作出可行域（如图）即ABC ∆所围区域(包括边界)，其顶点)1,1(A 、)23,21(B 、)2,1(C∵00>>y x ，，∴xy yx yx z +-=++=23222，令xyk =，),(y x P 为可行域内一动点、 则kz +-=232，OP k k =∵OB OP OA k k k ≤≤，∴31≤≤k ，∴571≤≤z ，即y x y x z ++=22的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡57,1.类型四：实际问题中的线性规划.例5. 某企业生产A 、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A 产品 3 9 4B 产品1045已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？【解析】设生产A 、B 两种产品各x 、y 吨，利润为z 万元则31030094360452000,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨+≤⎪≥≥⎩，目标函数712z x y =+作出可行域，如图所示，作出在一组平行直线7x+12y=t （t 为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线， 此直线经过点M （20，24）故z 的最优解为（20，24），z 的最大值为7×20+12×24=428（万元）.【点评】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 举一反三：【变式1】某人上午7时乘摩托艇以匀速v km/h(4≤v ≤20)从A 港出发到距50 km 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w ≤100)自B 港向距300 km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市．设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h 、y h ．若所需的经费p＝100＋3(5－y)＋2(8－x)元，那么v、w分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费．【答案】依题意50420300301009140,0xyx yx y⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎪⎪>>⎩，考查z＝2x＋3y的最大值，作出可行域，平移直线2x＋3y＝0，当直线经过点(4,10)时，z取得最大值38.故当v＝12.5、w＝30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元．【变式2】某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【答案】设搭载产品A x件，产品B y件，预计总收益z＝80x＋60y.则2030300105110,x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩N N，作出可行域，如图．作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，2330222x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得94x y =⎧⎨=⎩，即M (9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元． 【巩固练习】 一、选择题1．若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]3. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）A ．-3 B.3 C ．-1D.14.在ABC V 中，三个顶点(2,4),(1,2)(1,0)A B C -，点(,)P x y 在ABC V 内部及边界上运动，则z x y =-的最大值是（ ）A.1B.-3C.-1D.3 5.如图，目标函数z ax y =-的可行域为四边形OACB （含边界），若24(,)35C 是该目标函数z ax y =-的最优解，则a 的取值范围是（ ）A.105(,)312-- B .123(,)510-- C.312(,)105D. 123(,)510-6. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1吨，乙产品至少生产2吨，消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( )A ．1吨B ．2吨C ．3吨 D.113吨 二、填空题7. 已知实数对(x ，y )满足210x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则2x ＋y 取最小值时的最优解是__________．8.已知x ，y 满足约束条件04,03,28,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩则25z x y =+的最大值为 .9. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 .10.线性目标函数z x y =+，在线性约束条件30,20,.x y x y y a +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围11. 若实数x ，y 满足不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则2x ＋3y 的最小值是________．12. 设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．三、解答题13. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润.14．某运输公司有7辆载重量为6 t 的A 型卡车与4辆载重量为10 t 的B 型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型卡车160元，B 型卡车252元，每天派出A 型车与B 型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？15．已知x 、y 满足条件：7523071104100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，①求43x y -的最大值和最小值； ②求22x y +的最大值和最小值. 【答案与解析】 1．【答案】B【解析】线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z ＝x －2y 得22x z y =-，当直线22x zy =-在y 轴上的截距最小时，z 取得最大值，由图知，当直线通过点A 时，在y 轴上的截距最小，由020x y x y +=⎧⎨--=⎩解得A (1，－1)．所以z max ＝1－2×(－1)＝3.2. 【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)，又OA OM x y ⋅=-+u u u r u u u u r，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，图1－2当它经过点C (1,1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0； 当它经过点B (0,2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.∴ z 的取值范围是[0,2]，即OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是[0,2]，故选C.3.【答案】D【解析】如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D4．【答案】A【解析】解决本题的关键是应明确ABC V 的区域即为可行域，z x y =-为目标函数；5．【答案】B【解析】∵C 点是目标函数的最优解，∴AC BC k a k <<，解得123510a -<<-6.【答案】A【解析】设该企业在这个生产周期内生产x 吨甲产品，生产y 吨乙产品，x 、y 满足的条件为313231812x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所获得的利润z ＝x ＋3y ，作出如图所示的可行域：作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移直线l 0，显然，当直线经过点16(1,)3A 时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨7. 【答案】(1,1)【解析】约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.8.【答案】19【解析】易作出04,03,28,xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩对应的可行域，当当直线255zy x=-+经过（2，3）时，z取得最大值max 19z=9. 【答案】2200【解析】设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件20101000408x yxy+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．解得当42xy=⎧⎨=⎩时，z min＝2 200.10.【答案】(],2-∞；【解析】解决此类问题，首先画出可行域，依据目标函数的几何意义和可行域的几何形状，即可确定满足的条件.11.【答案】4【解析】 方法一：不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，所表示的平面区域为三角形区域，令z ＝2x ＋3y ，则将其视为一组平行线，3z为直线在y 轴上的截距． 于是根据线性目标函数的几何意义，当直线z ＝2x ＋3y 经过直线x ＋y ＝2与直线2x －y ＝4的交点(2,0)时，3z最小，即z 最小，此时z ＝4.故填4.12. 【解析】约束条件表示的平面区域为如图所示的阴影部分．当直线z ＝abx ＋y (a >0，b >0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1,4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，ab ＝4，∴4a b +≥=.13．【解析】 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+>>183213300y x y x y x ，目标函数y x z 35+=作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.14．【解析】设派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，所花成本费为z=160x+252y ，且x 、y 满足给条件如：9681063600704x y x y x x N y y N +≤⎧⎪⋅+⋅≥⎨≤≤∈⎪≤≤∈⎩且且，即945300704x y x y x x N y y N+≤⎧⎪+≥⎨≤≤∈⎪≤≤∈⎩且且如图所示，作出不等式表示的区域，作直线:1602520l x y +=，即4063y x =-， 作直线l 的平行线'l ：4063y x b =-+ 当直线'l 经过可行域内A 点时，'l 纵截距最小，可得A 点坐标为2(7,)5.∵z=160x+252y ，∴4063252z y x =-+，式中252z代表该直线的纵截距b ， 而直线'l 的纵截距b 取最小值时，z 也取得最小值，即'l 过2(7,)5A 时，min 216025216072521220.85z x y =+=⨯+⨯=，但此时25y N =∉，∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x 、y 的值，（3，4）（0，6）O（313，0） yx 913当x=5，y=2时，点'(5,2)A 在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x 、y 要求. ∴派5辆A 型车，2辆B 型车时，成本费用最低， 即z min =160×5+2×252=1304（元）15．【解析】①7523071104100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，表示的共公区域如图所示：其中A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）设z=43x y -，以直线l ：430x y -=为基础进行平移， 当l 过C 点时，z 值最小，当l 过B 点时，z 值最大. max min 14,18z z ∴==-②设22u x y =+u x,y ）到原点的距离，结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B 到原点距离最大，而当（x,y ）在原点时，距离为0.()()22max min 1637,0u u ∴=-+-==故43x y -的最大值为14，最小值为-18， 22x y +的最大值为37，最小值为0.。
人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题
钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格 张数
析： 第一种钢板
2
1
1
x
列 第二种钢板
1
2
3
y
表 成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,
x x
2y 3y
18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC
5
, kl
a
ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
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高中必修5线性规划
简单的线性规划问题
一、知识梳理
1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．
2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.
3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．
二、疑难知识导析
1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．
3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解. 积储知识：。
人教版高一必修5第3章不等式专题线性规划题型归纳教案含答案
专题-线性规划题型归纳线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关。
它不仅体现了高中数学常用的数学思想，如数形结合思想、转化与化归思想；而且还能体现了学生的综合分析问题的能力、逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，此知识点越来越受到出题者的青睐。
下面，就常见的线性规划问题进行探讨.类型一、解线性约束区域的约束条件问题例1、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组224x y -=3x =是（ ）.A. B. C. D. 0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩解：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图1所示）224x y -=y x =±3x =时有.0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩说明：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。
验证法或排除法是最效的方法.类型二、解线性约束区域的面积问题例2、不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（ ）.A.32 B. 23 C. 34D.43解：如图2阴影部分所示，平面区域的面积为：.144(4)1233⨯-⨯=说明：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键.类型三、解线性约束区域整点个数问题例3、满足的点中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）.224x y +≤(,)x y A.9个 B.10个 C.13个 D.14个解：作出可行域如图，是圆上及其内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D.说明：找线性区域内整点坐标或个数时，直接作出线性区域的网格图是比较直观的方法.类型四、解线性目标函数最值问题例4、设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ）.,x y 222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩3z x y =-A. B. C. D.]6,23[-1[,1]2--[1,6]-3[6,]2-解：做出不等式所表示的区域如图4，由得，平移直线，由图象可知当y x z -=3z x y -=3x y 3=直线经过点时，直线的截距最小，此时最大为，当直线经过点)0,2(E z x y -=3z 63=-=y x z C 时，直线截距最大，此时最小，由，解得，此时，z ⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==321y x 233233-=-=-=y x z 所以的取值范围是，选A ．y x z -=3]6,23[-说明：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题.数形结合是数学思想的重要手段之一.变式：若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）.,x y 3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩34z x y =+A.12 B.26 C.28 D.33解：如图5可行域为图中阴影部分，当目标函数直线经过点时有最大值，联立方程组C z ⎩⎨⎧=+=+122122y x yx得，代入目标函数得，故选C ．(4,4)C 28=z 说明：本题为简单线性目标函数最值问题，注意目标函数中的几何意义为截距，与例4中Z Z 的几何意义是截距的相反数，两者是不同的.类型五、解可行域内的整点最优解问题例5、已知满足不等式组，求使取最大值的整数．,x y 230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩x y +,x y 解：如图6，不等式组的解集为三直线：，：，：1l 230x y --=2l 2360x y +-=3l 所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，35150x y --=1l 2l 1l 3l 2l 3l ,,A B C 则坐标分别为，，，作一组平行线：平行于：,,A B C 153(,)84A (0,3)B -7512(,)1919C -l x y t +=0l ，当往右上方移动时，随之增大，∴当过点时最大为，但不是整数解，0x y +=l 0l t l C x y +6319又由知可取，当时，代入原不等式组得， ∴；当时，75019x <<x 1,2,31x =2y =-1x y +=-2x =得或， ∴或；当时，， ∴，故的最大整数解为0y =1-2x y +=13x =1y =-2x y +=x y +或．20x y =⎧⎨=⎩31x y =⎧⎨=-⎩说明：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
高中数学 必修5 26.简单的线性规划问题(一)
26.简单的线性规划问题（一）教学目标 班级______ 姓名____________1.了解线性规划的基本概念.2.掌握简单的线性规划问题的一般解法.教学过程一、线性规划的相关概念.1.线性规划的相关概念.（1）约束条件：关于变量x ，y 的不等式组.（2）线性约束条件：关于x ，y 的一次不等式组.（3）目标函数：要求最值的关于x ，y 的函数解析式.（4）线性目标函数：关于x ，y 的一次解析式.（5）可行解：满足线性约束条件的解),(y x . （6）可行域：由所有可行解组成的集合.（7）最优解：使目标函数取最值的可行解.（8）线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题.2.注意事项.（1）线性约束条件必须是关于x ，y 的二元一次不等式（或等式）.（2）在线性约束条件下，最优解可能不唯一.（3）最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解.（4）线性规划问题不一定存在可行解.二、线性规划问题.1.用线性规划求最值的一般步骤：（1）画可行域；（2）分析几何意义；（3）找最优解，求最值.2.常用几何公式：（1）截距：直线b kx y +=（斜截式）与y 轴交点的纵坐标，即当0=x 时，y 的值b .（2）斜率：2121x x y y k --=，表示),(11y x ，),(22y x 两点连线的斜率. （3）两点间的距离：221221)()(y y x x d -+-=，表示),(11y x ，),(22y x 两点间的距离. （4）点到直线的距离：2200||B A C By Ax d +++=，点),(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离.三、例题分析：1.用线性规划求最值.32≤+y x ，例1：设变量x ，y 的线性约束条件为 32≤+y x ，求分别目标函数y x z +=1， 0≥x ，0≥y .12+=x y z ，322223+-++=y x y x z 的最大值.02≥-+y x ， 作业：若实数x ，y 满足 4≤x ， 求x y S -=的最小值.5≤y ，。
2020年高一下学期必修五人教版3.3.2简单的线性规划问题(一)含答案
题型二 已知线性目标函数的最值求参数
1≤ x＋ y≤ 4，
例 2 已知变量 x， y 满足约束条件
若目标函数 z＝ ax＋ y(a>0)仅在点 (3,1)处
－ 2≤ x－y≤ 2，
取得最大值，则 a 的取值范围为
．
跟踪训练 2 在本例条件下， 若使目标函数 z＝ax＋ y(a>0) 取得最大值的点有无数个， 求 a 的值． 题型三 求非线性目标函数的最值
．
3x＋y≥ 12
10．已知
x2＋ y2<1，则
w
＝
y－ x＋
1的取值范围是 1
．
11．已知实数
x， y 满足不等式组
x－ 1≥0， y≥0， x＋ y－ a≤0.
若 z＝ y－ 1的最大值为 x＋1
1，则正数 a 的值
为
．
12．已知正数
a， b， c
满足：
5c－ 3a≤ b≤4c－ a， b≥a＋ c，则
y＋ 1 y－ － 1 由于 z＝ x＋ 1＝ x－ － 1 ， 故 z 的几何意义是点 ( x， y) 与点 M( － 1，－ 1) 连线的斜率，
y＋ 1 因此 x＋ 1的最值是点 ( x， y) 与点 M( － 1，－ 1) 连线的斜率的最值， 由图可知，直线 MB的斜率最大，直线 MC的斜率最小，
y＋ x＋
2 2有最大值
4 .
5
类比：思想方法的迁移方式之一
典例
若实数 x， y 满足不等式组
x＋ 3y－3≤0， x－ y＋1≥0， y≥－ 1，
则 z＝2| x| ＋ y 的取值范围是 ( )
A． [ － 1,3] B ． [1,11] C ．[1,3] D ． [ － 1,11] 答案 D 解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分 ( 含边界 ) 所示，当 x≥０时， z＝ 2x＋ y，即 y＝－ 2x＋ z，由图象可知其经过 A(0 ，－ 1) 时，zmin＝－ 1，经过 B(6 ，－ 1) 时， zmax＝ 11；当 x≤０ 时， y＝ 2x＋ z，由图象可知其经过 C( － 2，－ 1) 时， z ＝ max 3，经过 A(0 ，－ 1) 时， zmin＝－ 1，综 上所述，－ 1≤ z≤11.
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简单的线性规划问题
【知识概述】
线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.
解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点
1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；
2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节
（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；
（2）求目标函数的最值.
（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：
①0
b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；
②0
b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；
【学前诊断】
1.[难度] 易
满足线性约束条件
23,
23,
0,
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
的目标函数z x y
=+的最大值是（）
A.1
B.3
2
C.2
D.3
2.[难度] 易
设变量,x y满足约束条件
0,
0,
220,
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪--≤
⎩
则32
z x y
=-的最大值为( )
A.0
B.2
C.4
D.6
3. [难度] 中
设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取
值范围为（ ）
A
．(1,1 B
．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞
【经典例题】
例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩
则2z x y =+的最大值为( )
A.5
B.4
C.1
D.8
例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩
则2z x y =-的最大值为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小
值为8，则a b +的最小值为____________.
例4. 在约束条件下0,0,,24,
x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )
A.[]6,15
B.[]
7,15 C.[]6,8 D.[]7,8
例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线
3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）
A.285
B.4
C.125
D.2
例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.
例7．在约束条件22
240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.
例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各
有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.
A.2⎫⎪⎪⎝⎭
B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.()1,2
D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当
14s ≤≤时，t s
的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱
原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为
（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
【本课总结】
线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.
1. 解决线性规划问题有一定的程序性：
第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；
第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；
第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b
=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.
第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值
2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b
=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b
=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.
3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线
性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21
y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域
顶点处取得最大或最小值
5. 线性规划中易错点提示
（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域
不包含边界，则可能不存在最值.
（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.
（3）代数问题向其几何意义的转化困难.
【活学活用】
1. [难度] 中
若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-a
y x y y x y x 0
220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩
，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4
B ．11
C ．12
D ．14
3. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。