丰台区初三数学试卷及答案
北京市丰台区2023——2024学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年北京市丰台区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化为（ ）A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝13C．（x﹣4）2＝19D．（x+4）2＝19 3．（2分）如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（ ）A．60B．72C．120D．1444．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线为（ ）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+35．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示示，关于a、c的符号判断正确的是（ ）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0 6．（2分）雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（ ）A．M点B．N点C．P点D．Q点7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…40﹣2﹣204…下列说法错误的是（ ）A．抛物线G的开口向上B．抛物线G的对称轴是C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，﹣2）D．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣28．（2分）两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（ ）A．当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点B．当α＝60°时，A'B'恰好经过点BC．在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB'D．在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2＝1的解是 ．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标为 ．11．（2分）请写出一个图象开口向上，且与y轴交于点（0，2）的二次函数的解析式 ．12．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC＝ ．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2（x﹣1）2+k经过点A（2，m），B（3，n）．则m n（填“＞”，“＝”或“＜”）．14．（2分）二次函数y＝x2﹣6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 ．15．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 寸．16．（2分）我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程x2+2x﹣35＝0的正数解的步骤为：（1）将方程变形为x（x+2）＝35；（2）构造如图1所示的大正方形，其面积是（x+x+2）2，其中四个全等的矩形面积分别为x（x+2），中间的小正方形面积为22；（3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×35+22＝144；（4）由此可得方程：（x+x+2）2＝144，则方程的正数解为x＝5．根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程x2+3x﹣10＝0的正数解的构图是 （只填序号）．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）18．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．19．（5分）已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．21．（5分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1；（2）求点B旋转到点B1的路径长（结果保留π）．22．（5分）某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm，宽8dm的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为120dm2，求空白区域的宽度．23．（6分）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连接BE交AD于点F，连接CF．若AB＝4，求CF的长．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．25．（6分）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．（1）求抛物线表示的二次函数解析式；（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若mn＜0，求t的取值范围．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点P是线段AC延长线上一动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DQ，连接PQ，BP，作直线BQ交AC于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠PBQ＝∠PQB；（3）用等式表示线段EP，EQ，EB之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P 顺时针旋转90°，得到图形M'，再将图形M'关于直线x＝3对称，得到图形N．此时称图形N为图形M关于点P的“二次变换图形”．已知点A（0，1）．（1）若点P（3，0），直接写出点A关于点P的“二次变换图形”的坐标；（2）若点A关于点P的“二次变换图形”与点A重合，求点P的坐标；（3）若点P（3，﹣3），⊙O半径为1．已知长度为1的线段AB，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O上或⊙O内，直接写出点B的纵坐标y B的取值范围．2023-2024学年北京市丰台区九年级（上）期中数学试卷（参考答案）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：选项B中的图形是中心对称图形．故选：B．2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化为（ ）A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝13C．（x﹣4）2＝19D．（x+4）2＝19【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0，∴x2﹣8x＝﹣3，则x2﹣8x+16＝﹣3+16，即（x﹣4）2＝13，故选：A．3．（2分）如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（ ）A．60B．72C．120D．144【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，∴旋转的度数至少为72°，故选：C．4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线为（ ）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+3【解答】解：由题意，根据二次函数图象的几何变换规律，∵抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，∴所得抛物线为y＝2（x+2）2﹣3．故选：C．5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示示，关于a、c的符号判断正确的是（ ）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0【解答】解：由图象可知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下，故a＜0，又∵y＝ax2+bx+c（a≠0）交y轴于正半轴，∴c＞0，故答案选：C．6．（2分）雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（ ）A．M点B．N点C．P点D．Q点【解答】解：如图，观察图象可知，能被雷达监测到的最远点为点N．故选：B．7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…40﹣2﹣204…下列说法错误的是（ ）A．抛物线G的开口向上B．抛物线G的对称轴是C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，﹣2）D．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣2【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x＝＝﹣，∴选项B正确；又由表格可以发现在对称轴左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，故选项A正确；又当x＝0时，y＝﹣2，∴抛物线与y轴交于点（0，﹣2），故选项C正确；用排除法，可得选项D错误，故选：D．8．（2分）两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（ ）A．当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点B．当α＝60°时，A'B'恰好经过点BC．在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB'D．在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'【解答】解：∵直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，∴AC＝A′C，BC＝B′C，A：当α＝30°时，∠A′CB＝60°，∴A′C与AB的交点与点B、C构成等边三角形，∴A′C与AB的交点为AB的中点，故A正确；B：当α＝60°时，∠B′CB＝60°，∴A′B′恰好经过B，故B正确；C在旋转过程中，∠ACA′＝∠BCB′＝α，∴△AA′C∽△BB′C，∴＝，∴AA′≠BB′，故C错误；D：∵∠CAA′＝∠CBB′＝（180°﹣α），∴AA′与BB′的夹角为360°﹣（180°﹣α）×2﹣（90°+α）＝90°，∴在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′，故D正确；故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2＝1的解是 ±1 ．【解答】解：∵x2＝1∴x＝±1．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标为 （﹣1，3） ．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．11．（2分）请写出一个图象开口向上，且与y轴交于点（0，2）的二次函数的解析式 y＝3x2+2（答案不唯一）． ．【解答】解：∵开口向上，∴a＞0，且与y轴的交点为（0，2）．故答案为：y＝3x2+2（答案不唯一）．12．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC＝ 65° ．【解答】解：由题意得：△ABC≌△DEF，∠ACD＝∠BCE＝35°，∴∠D＝∠A＝30°，∴∠EFC＝∠AFD＝∠D+∠ACD＝65°，故答案为：65°．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2（x﹣1）2+k经过点A（2，m），B（3，n）．则m ＜ n（填“＞”，“＝”或“＜”）．【解答】解：由题意，∵抛物线y＝2（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1，开口向上，∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x≥1时，y随x的增大而增大．∵2＜3，∴m＜n．故答案为：＜．14．（2分）二次函数y＝x2﹣6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 9 ．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c的图象与x轴只有一个公共点，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4c＝0，解得c＝9．故答案为：9．15．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 26 寸．【解答】解：∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，故答案为：26．16．（2分）我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程x2+2x﹣35＝0的正数解的步骤为：（1）将方程变形为x（x+2）＝35；（2）构造如图1所示的大正方形，其面积是（x+x+2）2，其中四个全等的矩形面积分别为x（x+2），中间的小正方形面积为22；（3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×35+22＝144；（4）由此可得方程：（x+x+2）2＝144，则方程的正数解为x＝5．根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程x2+3x﹣10＝0的正数解的构图是 ② （只填序号）．【解答】解：方程x2+3x﹣10＝0可变形为x（x+3）＝10，构造的大正方形，其面积是（x+x+3）2，其中四个全等的矩形面积分别为x（x+3），中间的小正方形面积为32；大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×10+32＝49；由此可得方程：（x+x+3）2＝49，则方程的正数解为x＝2，∴能够得到方程x2+3x﹣10＝0的正数解的构图是②，故答案为：②．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）【解答】解：a＝1，b＝2，c＝﹣3，△＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0，x＝＝，所以x1＝1，x2＝﹣3．18．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．19．（5分）已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×2m＞0，解得：m＜2，∴m的取值范围为m＜2；（2）∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程为x2+4x+2＝0，即（x+2）2＝2，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣，∴当m为正整数时，此时方程的根为﹣2+和﹣2﹣．20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），∴，解得，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴此二次函数图象的顶点为（﹣1，4），列表：x..．﹣3﹣2﹣101..．y..．03430..．描点，连线得函数图象如下：（3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围为：﹣3＜x＜1．21．（5分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1；（2）求点B旋转到点B1的路径长（结果保留π）．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵B（4，2），∴OB＝＝2，点B旋转到点B1的路径长＝＝π．22．（5分）某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm，宽8dm的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为120dm2，求空白区域的宽度．【解答】解：设空白区域的宽度为xdm，根据题意可得：25×8﹣5x×8﹣2x×（25﹣5x）＝120，解得x1＝8（舍去）或x2＝1，即空白区域的宽度应是1dm．23．（6分）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连接BE交AD于点F，连接CF．若AB＝4，求CF的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BC，且AE＝DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵等边△ABC中，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形；（2）解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB＝4，∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，DB＝DC＝2，∴∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵AE＝DC，∴AE＝DB，由（1）可知，四边形ADCE是矩形，∴∠EAF＝90°，在△BDF和△EAF中，，∴△BDF≌△EAF（AAS），∴DF＝AF＝AD＝，∴CF＝＝＝．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，∴k＝1，将点（1，2）代入y＝x+b，得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，∴m≥2．25．（6分）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．（1）求抛物线表示的二次函数解析式；（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 1 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的函数解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3；（2）当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射进球门．（3）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为：y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．故答案为：1．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若mn＜0，求t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，若m＝n，∴对称轴是直线x＝＝3＝t．即t＝3．（2）由题意，若mn＜0，又抛物线开口向上，∴抛物线与x轴必有一交点在2和4之间．又令y＝ax2+bx＝0，∴x＝0或x＝﹣．∴2＜﹣＜4．又∵t＝﹣，∴﹣＝2t．∴2＜2t＜4．∴1＜t＜2．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点P是线段AC延长线上一动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DQ，连接PQ，BP，作直线BQ交AC于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠PBQ＝∠PQB；（3）用等式表示线段EP，EQ，EB之间的数量关系，并证明．【解答】（1）解：如图所示，即为补全的图形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠PCB＝∠PCD＝45°，∵CP＝CP，∴△PCB≌△PCD（SAS），∴PB＝PD，∴线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DQ，∴DP＝DQ，∠PDQ＝60°，∴△PDQ是等边三角形，∴PQ＝PD，∴PQ＝PB，∴∠PBQ＝∠PQB；（3）解：EQ﹣EP＝EB，理由如下：如图，在EQ上截取QG＝BE，连接PG，∵∠PBQ＝∠PQB，PB＝PQ，∴△PBE≌△PQG（SAS），∴PE＝PG，∠BPE＝∠QPG，∴∠BPE＝∠DPE＝∠QPG，∵∠QPD＝60°，∴∠QPG+∠DPG＝60°，∴∠DPE+∠DPG＝60°，∴∠EPG＝60°，∵PE＝PG，∴△PEG是等边三角形，∴EG＝EP，∴EQ﹣EG＝QG，∴EQ﹣EP＝EB．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P 顺时针旋转90°，得到图形M'，再将图形M'关于直线x＝3对称，得到图形N．此时称图形N为图形M关于点P的“二次变换图形”．已知点A（0，1）．（1）若点P（3，0），直接写出点A关于点P的“二次变换图形”的坐标；（2）若点A关于点P的“二次变换图形”与点A重合，求点P的坐标；（3）若点P（3，﹣3），⊙O半径为1．已知长度为1的线段AB，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O上或⊙O内，直接写出点B的纵坐标y B的取值范围．【解答】解：（1）如图1，过点A′作A′D⊥x轴于点D，∴∠A′DP＝∠AOP＝90°，由旋转可知，∠APA′＝90°，AP＝A′P，∴∠APO+∠A′PD＝∠A′PD+∠PA′D＝90°，∴∠APO＝∠PA′D，∴△AOP≌△PDA′（AAS），∴OA＝PD＝1，OP＝A′D＝3，∴A′（4，3），∴点A关于点P的“二次变换图形”的坐标A′′（2，3）；（2）分析可知点P在x轴的下方，如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F ⊥x轴交EP于点F，设点P的纵坐标为m，同（1）知△AEP≌△PFA′（AAS），∴AE＝PF＝1﹣m，EP＝A′F＝3，∴A′（4﹣m，3+m），由题意可知，点A与点A′关于直线x＝3对称，∴4﹣m＝6，3+m＝1，解得m＝﹣2，∴P（3，﹣2）；（3）同（2）知A′（4﹣m，3+m），∴A′′（m+2，3+m），若点A′′在⊙O上，则（m+2）2+（3+m）2＝1，解得m＝﹣2（舍）或m＝﹣3；∴P（3，﹣3），如图3，∵线段AB＝1，∴点B在以点A为圆心，1为半径的圆上，若AB其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O及其内部，如图3，可知点B′′是一个临界点，连接OB''，∵OA′′＝A′′B′′＝OB′′＝1，∴△OA′′B′′是等边三角形，过点B′′作B′′M⊥x轴于点M，则A′′M＝OM＝，B′′M＝，∴B′′（﹣，﹣），∴B′（，﹣），∴B（，），由对称性可知，另外一点的坐标为（﹣，），∴y B的取值范围为：0≤y B≤．。
丰台中考数学试卷答案解析
一、选择题1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √3B. πC. 0.1010010001…D. 1/2答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即分数。
选项D可以表示为1除以2，是有理数。
2. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(x+1)B. y = x^2C. y = 1/xD. y = |x|答案：B解析：函数的定义域是指函数中自变量x可以取的所有值的集合。
选项B中的函数y = x^2，对于任何实数x，都可以找到一个对应的y值，因此定义域为全体实数。
3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴的对称点是（）A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,-3)D. (2,3)答案：B解析：点A关于y轴的对称点，其横坐标取相反数，纵坐标保持不变。
因此，点A(2,3)关于y轴的对称点是(-2,3)。
4. 下列方程中，解集为空集的是（）A. x^2 - 4 = 0B. x^2 + 1 = 0C. 2x + 3 = 5D. x - 2 = 0答案：B解析：方程的解集是指方程的解所在的集合。
选项B中的方程x^2 + 1 = 0，因为x^2总是非负的，所以方程没有实数解，解集为空集。
5. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形答案：A解析：在所有四边形中，正方形的面积最大，因为正方形的四边相等，且内角都是直角，所以它的面积是所有四边形中最大的。
二、填空题1. 若a^2 = 4，则a = ±（）答案：2解析：平方根的定义是，一个数的平方根是指能够使该数平方的数。
因为2^2 = 4，所以a可以是2或者-2。
2. 已知三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C = （）答案：75°解析：三角形的内角和为180°，所以∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 45° = 75°。
丰台考试初三数学真题试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，是负数的是（）A. -3B. 3C. 0D. -2.52. 下列代数式中，正确的是（）A. 3a - 2a = 5aB. 2x + 3x = 5xC. 4a - 2a = 2aD. 3x - 2x = 1x3. 已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的面积是（）A. 40cm²B. 32cm²C. 48cm²D. 64cm²4. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = 2x²D. y = 3x - 25. 下列方程中，正确的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 5C. 4x + 2 = 6D. 5x - 3 = 76. 已知平行四边形的对角线互相平分，则该平行四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 等腰梯形D. 梯形7. 下列命题中，正确的是（）A. 对顶角相等B. 对边平行C. 对角线互相平分D. 相邻角互补8. 已知一个等边三角形的边长为a，则其面积为（）A. (a²√3)/4B. (a²√3)/2C. (a²√3)/3D. a²√39. 下列数列中，第n项是常数列的是（）A. 1, 2, 3, 4, ...B. 1, 4, 9, 16, ...C. 1, 3, 6, 10, ...D. 1, 1, 1, 1, ...10. 已知一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式△ = b² - 4ac，则下列说法正确的是（）A. 当△ > 0时，方程有两个不相等的实数根B. 当△ = 0时，方程有两个相等的实数根C. 当△ < 0时，方程没有实数根D. 当△ > 0时，方程没有实数根二、填空题（每题5分，共25分）11. 下列各数中，绝对值最大的是（）A. -5B. -3C. 2D. 112. 若 a + b = 5，a - b = 1，则a² + b² = （）13. 已知等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的周长是（）14. 下列函数中，y = kx + b（k ≠ 0）是正比例函数的是（）15. 已知一元二次方程2x² - 3x - 1 = 0，则该方程的解为（）三、解答题（每题20分，共80分）16. （20分）已知二次函数y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴有两个交点，且顶点坐标为（1，-2），求该函数的解析式。
丰台中考数学试卷答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x + 1，那么f(3)的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4答案：A2. 若等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，则第10项an的值为（）A. 28B. 29C. 30D. 31答案：C3. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°答案：C4. 若|a| = 5，|b| = 3，则|a + b|的最大值为（）A. 8B. 9C. 10D. 12答案：C5. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a、b、c的符号分别为（）A. a > 0，b < 0，c > 0B. a > 0，b > 0，c < 0C. a < 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 0答案：A6. 若等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，则第5项an的值为（）A. 162B. 153C. 144D. 135答案：A7. 在△ABC中，若a = 3，b = 4，c = 5，则△ABC的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 12答案：C8. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[0, 2]上的最大值为1，则函数g(x) =x^3 - 3x^2 + 2x在区间[-1, 1]上的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 已知函数y = kx^2 - 4x + 1的图像与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)，则k的值为（）A. -1B. 1C. 2D. -2答案：B10. 若函数y = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0, 1]上单调递增，则函数g(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x在区间[-1, 0]上的单调性为（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）11. 若等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，则第n项an的通项公式为______。
丰台区数学初三期末试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. -2.5B. 0.333…C. √4D. 0.1010010001…2. 下列各数中，是偶数的是（）A. -3B. 5C. 8D. -103. 若a，b，c是等差数列，且a+b+c=0，则ac+b²=（）A. 0B. 1C. -1D. 24. 已知一元二次方程x²-4x+4=0的解为x₁，x₂，则x₁x₂的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 85. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°6. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y=x²B. y=|x|C. y=x³D. y=√x7. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（1，3）和（2，5），则k的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 若等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项为（）A. a₁q^(n-1)B. a₁q^nC. a₁q^(n+1)D. a₁q^(n-2)9. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)²=a²+2ab+b²B. (a-b)²=a²-2ab+b²C. (a+b)²=a²-2ab+b²D. (a-b)²=a²+2ab-b²10. 在△ABC中，若a²+b²=5，c²=8，则△ABC的面积S为（）A. 2√3B. 4√3C. 2√5D. 4√5二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。
12. 求函数y=x²-4x+3的零点。
13. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=6，求AC的长度。
2024年北京丰台中考数学试题及答案
2024年北京丰台中考数学试题及答案考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（ ）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．1b >-B ．2b >C ．0a b +>D ．0ab >4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ）A ．16-B ．4-C ．4D ．165．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）A ．34B ．12C ．13D ．146．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（ ）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯7．下面是“作一个角使其等于AOB ”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（ ）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。
北京市丰台区第二中学2024年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题【含答案】
北京市丰台区第二中学2024年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列多项式能分解因式的是（）A ．22x y +B ．22x y xy -C ．22x xy y ++D ．244x x +-2、（4分）下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（）．A ．a =2，b =3，c =4B ．a =4，b =4，c =5C ．a =5，b =6，c =7D ．a =5，b =12，c =133、（4分）若a 使得关于x 的分式方程21224a x x -=--有正整数解。
且函数y=ax 2−2x−3与y=2x−1的图象有交点,则满足条件的所有整数a 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．44、（4分）设直线y ＝kx +6和直线y ＝（k +1）x +6（k 是正整数）及x 轴围成的三角形面积为S k （k ＝1，2，3，…，8），则S 1+S 2+S 3+…+S 8的值是（）A ．49B ．634C ．16D ．145、（4分）如图，直线y =-x +2与x 轴交于点A ，则点A 的坐标是（）A ．（2,0）B ．（0,2）C ．（1,1）D ．（2,2）6、（4分）点()15,A y -和()22,B y -都在直线32y x =-+上，则1y 与2y 的关系是()A ．12y y ≤B ．12y y =C ．12y y <D ．12y y >7、（4分）在平面直角坐标系的第一象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（）A ．（3，-4）．B ．（4，-3）．C ．（3，4）．D ．（4，3）．8、（4分）一同学将方程2430x x --=化成了2()x m n +=的形式，则m 、n 的值应为（）A ．m=1．n=7B ．m=﹣1，n=7C ．m=﹣1，n=1D ．m=1，n=﹣7二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是8.5环，方差分别是：24s =甲，2 4.5s =乙，则射击成绩较稳定的是______（填“甲”或“乙”）.10、（4分）如图在中，，，，是边上的两点，且满足，若，，，的长是__________．11、（4分）如图,//AD BC ，、BG AG 分别平分ABC ∠与BAD ∠，GH AB ⊥，4HG =，则AD 与BC 之间的距离是__________．12、（4分）已知一次函数3y mx =+的图象经过第一、二、四象，请你写出一个满足条件的m 值__________.13、（4分）在一次函数y=kx+2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第象限．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图1，将边长为1的正方形ABCD 压扁为边长为1的菱形ABCD ．在菱形ABCD中，∠A 的大小为α，面积记为S ．（1）请补全下表：（2）填空：由（1）可以发现正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A 大小的变化而变化，不妨把菱形的面积S 记为S(α)．例如：当α＝30°时，1(30)2S S =︒=；当α＝135°时，(135)2S S ο==．由上表可以得到(60)S S ︒=(______°)；(150)S S ︒=(______°)，…，由此可以归纳出(180)()S S α︒-=．（3）两块相同的等腰直角三角板按如图的方式放置，AD ，∠AOB ＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．15、（8分）如图，等边三角形ABC 的边长是6，点D 、F 分别是BC 、AC 上的动点，且BD＝CF ，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接BF 、EF ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）连接DF ，当BD 的长为何值时，△CDF 为直角三角形？（3）设BD ＝x ，请用含x 的式子表示等边三角形ADE 的面积．16、（8分）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△OAB 是等边三角形．（1）求证：▱ABCD 为矩形；（2）若AB ＝4，求▱ABCD 的面积．17、（10分）在倡导“社会主义核心价值观”演讲比赛中，某校根据初赛成绩在七、八年级分别选出10名同学参加决赛，对这些同学的决赛成绩进行整理分析，绘制成如下团体成绩统计表和选手成绩折线统计图：七年级八年级平均数85.7_______众数______________方差37.427.8根据上述图表提供的信息，解答下列问题：（1）请你把上面的表格填写完整；（2）考虑平均数与方差，你认为哪个年级的团体成绩更好？（3）假设在每个年级的决赛选手中分别选出2个参加决赛，你认为哪个年级的实力更强一些？请说明理由．18、（10分）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）购进所需费用（元）A B第一次30403800第二次40303200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）是反比例函数y＝3x（x＞0）图象上两点，若y1＞y2，则x1，x2的大小关系是_____．20、（4分）将函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____．21、（4分）点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是_____．22、（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝cm，BD＝cm，则菱形ABCD的面积是_____．23、（4分）若b 为常数，且214x ﹣bx +1是完全平方式，那么b ＝_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图(甲)，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．(1)求证:CE CF =；(2)在如图(甲)中，若G 在AD 上，且45GCE ∠=︒，则GE BE GD =+成立吗？证明你的结论．(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题:如图(乙)四边形ABCD 中，AD ∥BC (BC ＞AD )，90B ∠=︒，6AB BC ==,点E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，2BE =，求DE 的长．25、（10分）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系，△ABC 的顶点均在格点上．（不写作法）（1）以原点O 为对称中心，画出△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1，并写出B 1的坐标；（2）再把△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°，得到△A 2B 2C 1，请你画出△A 2B 2C 1，并写出B 2的坐标．26、（12分）随着生活水平的不断提高，越来越多的人选择到电影院观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过网上平台购票，既快捷又能享受更多优惠.某电影城2019年从网上购（1）求该电影城2019年在网上购票和现场购票每张电影票的价格为多少元?（2）2019年五一当天，该电影城按照2019年网上购票和现场购票的价格销售电影票，当天售出的总票数为500张.五一假期过后，观影人数出现下降，于是电影城决定从5月5日开始调整票价：现场购票价格下调，网上购票价格不变，结果发现，现场购票每张电影票的价格每降低2元，售出总票数就比五一当天增加4张.经统计，5月5日售出的总票数中有60%的电影票通过网上售出，其余通过现场售出，且当天票房总收入为17680元，试求出5月5日当天现场购票每张电影票的价格为多少元?参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】直接利用分解因式的基本方法分别分析得出答案．【详解】解：A 、x 2+y 2，无法分解因式，故此选项错误；B 、x 2y-xy 2=xy （x-y ），故此选项正确；C 、x 2+xy+y 2，无法分解因式，故此选项错误；D 、x 2+4x-4，无法分解因式，故此选项错误；故选：B ．本题考查对分解因式的方法的理解和运用，分解因式的步骤是：第一步，先看看能否提公因式；第二步，再运用公式法，①平方差公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）；②a 2±2ab+b 2=（a±b ）2，第三步：再考虑用其它方法，如分组分解法等．2、D 【解析】本题只有22251213+=，故选D 3、D 【解析】先解分式方程，求得a 的值，再由函数图象有交点求得a 的取值范围，则可求得a 的值，可求得答案．【详解】解分式方程21224a x x -=--可得x=4−2a，∵a 使得关于x 的分式方程21224ax x -=--有正整数解，∴a 的值为0、2、4、6，联立y=ax 2−2x−3与y=2x−1，消去y,整理可得ax 2−4x−2=0，由函数图象有交点,可知方程ax 2−4x−2=0有实数根，当a=0时，方程有实数解，满足条件，当a≠0时，则有△⩾0，即16+8a ⩾0，解得a ⩾−2且a≠0，∴满足条件的a 的值为0、2、4、6，共4个，故选D.此题考查分式方程的解，二次函数的性质，一次函数的性质，解题关键在于求得a 的值.4、C 【解析】联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出两直线与x 轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可得出S k =12×6×6(1k -11k +)，将其代入S 1+S 2+S 3+…+S 8中即可求出结论．【详解】解：联立两直线解析式成方程组，得：6(1)6y kx y k x =+⎧⎨=++⎩，解得：06x y =⎧⎨=⎩，∴两直线的交点(0，6)，∵直线y=kx+6与x 轴的交点为(6k -，0)，直线y=(k+1)x+6与x 轴的交点为(61k -+，0)，∴S k =12×6×|6k -﹣(61k -+)|=18(1k -11k +)，∴S 1+S 2+S 3+…+S 8=18×(1-12+12-13+13-14+…+18-19)=18×(1-19)，=18×89=1．故选C ．本题考查了一次函数函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及规律型中数字的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式找出S k =12×6×6(1k -11k +)是解题的关键．5、A【解析】一次函数y ＝kx ＋b （k≠0，且k ，b 为常数）的图象是一条直线．令y=0，即可得到图象与x 轴的交点．【详解】解：直线2y x =-+中，令0y =．则02x =-+．解得2x =．∴(2,0)A ．故选：A ．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数y ＝kx ＋b （k≠0，且k ，b 为常数）与x 轴的交点坐标是（−b k ，0），与y 轴的交点坐标是（0，b ）．6、D 【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点()15,A y -和()22,B y -分别代入直线方程32y x =-+，分别求得1y 和2y 的值，然后进行比较.【详解】根据题意得：()135217y =-⨯-+=，即117y =；()23228y =-⨯-+=，即28y =；817<，∴12y y >.故选：D .本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的点满足该函数的解析式.7、D【解析】根据第一象限内点的坐标特征，可得答案．【详解】解：由题意，得x=4，y=3，即M 点的坐标是（4，3），故选：D ．本题考查点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征是解题关键．8、B 【解析】先把（x+m ）1=n 展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x 1-4x-3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．【详解】解：∵（x+m ）1=n 可化为：x 1+1mx+m 1-n=0，∴2243m m n =-⎧⎨-=-⎩，解得：27m n =-⎧⎨=⎩故选：B ．此题比较简单，解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、甲【解析】根据方差的性质即可求解.【详解】∵2s 甲＜2s 乙，∴成绩较稳定的是甲此题主要考查利用方差判断稳定性，解题的关键是熟知方差的性质.10、【解析】以点B 为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到(点C 与点A 重合,点E 到点E'处),如下图,利用等腰直角三角形的性质得,利用旋转的性质得,，则,在中利用勾股定理可计算出,然后再根据证明三角形即可得到.【详解】以点B 为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到(点C 与点A 重合,点E 到点E'处),如图按顺时针方向旋转得到在中,将按顺时针方向旋转得到(点C 与点A 重合,点E 到点E'处),,即在和中∴.本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理.11、1【解析】过点G 作GF ⊥BC 于F ，交AD 于E ，根据角平分线的性质得到GF=GH=5，GE=GH=5，计算即可．【详解】解：过点G 作GF ⊥BC 于F ，交AD 于E ，∵AD ∥BC ，GF ⊥BC ，∴GE ⊥AD ，∵AG 是∠BAD 的平分线，GE ⊥AD ，GH ⊥AB ，∴GE=GH=4，∵BG 是∠ABC 的平分线，FG ⊥BC ，GH ⊥AB ，∴GF=GE=4，∴EF=GF+GE=1，故答案为：1．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12、答案不唯一【解析】一次函数的图象经过第一、二、四象限，说明x 的系数小于1，常数项大于1，据此写出一次函数．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴函数x 的系数小于1，常数项大于1．又∵常数项是3，∴这个函数可以是y=-x+3等．故答案为：-1本题考查了一次函数的系数与图象的关系，涉及到的知识点为：一次函数图象经过第一、二、四象限，说明x 的系数小于1，常数项大于1．13、四．【解析】一次函数y=kx+b 的图象有两种情况：①当k 0>，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；②当k 0>，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；③当k 0<，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；④当k 0<，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．由题意得，函数y=kx+2的y 的值随x 的值增大而增大，因此，k 0>．由k 0>，b 0>，知它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）2；32；32；12；（2）120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等，证明见解析.【解析】分析：（1）过D 作DE ⊥AB 于点E ，当α=45°时，可求得DE ，从而可求得菱形的面积S ，同理可求当α=60°时S 的值，当α=120°时，过D 作DF ⊥AB 交BA 的延长线于点F ，则可求得DF ，可求得S 的值，同理当α=135°时S 的值；（2）根据表中所计算出的S 的值，可得出答案；（3）将△ABO 沿AB 翻折得到菱形AEBO ，将△CDO 沿CD 翻折得到菱形OCFD ．利用（2）中的结论，可求得△AOB 和△COD 的面积，从而可求得结论．详解：（1）当α=45°时，如图1，过D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE=22AD=22，∴S=AB•DE=2，同理当α=60°时S=2，当α=120°时，如图2，过D 作DF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，则∠DAE=60°，∴DF=32AD=32，∴S=AB•DF=2，同理当α=150°时，可求得S=12，故表中依次填写：2；2；2；12；（2）由（1）可知S （60°）=S （120°），S （150°）=S （30°），∴S （180°-α）=S （α）故答案为：120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等．证明：如图3将△ABO 沿AB 翻折得到菱形AMBO ，将△CDO 沿CD 翻折得到菱形OCND ．∵∠AOD=∠COB=90°，∴∠COD+∠AOB=180°，∴S △AOB =12S 菱形AMBO =12S （α）S △CDO =12S 菱形OCND =12S （180°-α）由（2）中结论S （α）=S （180°-α）∴S △AOB =S △CDO ．点睛：本题为四边形的综合应用，涉及知识点有菱形的性质和面积、解直角三角形及转化思想等．在（1）中求得菱形的高是解题的关键，在（2）中利用好（1）中的结论即可，在（3）中把三角形的面积转化成菱形的面积是解题的关键．本题考查知识点较基础，难度不大．15、（1）见解析；（2）BD ＝2或4；（3）S △ADE ＝4（x ﹣3）2+4（0≤x ≤6）【解析】(1)：要证明四边形BDEF 是平行四边形，一般采用对边平行且相等来证明，因为已经有了DB=CF ，只要有△ABD 全等△ACE ，就能得到∠ACE=∠ABD=60°，CE=CF=EF=BD ，再利用∠CFE ＝60°＝∠ACB ，就能平行，故第一问的证；2CD=CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=4，当∠CFD=90°时，可以知道CD=2CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=2，故当BD=2或4时，△CFD为直角三角形；(3)：求等边三角形ADE的面积，只要知道边长就可求出，但是AD是变化的，所以我们采用组合面积求解，利用四边形ADCE减去△CDE即可，又因为△ABD≌△ACE，所以四边形ADCE的面积等于△ABD的面积，所以只需要求出△ABC的面积与△CDE即可,从而即可求面积.【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABD＝∠BCF＝60°，∵BD＝CF，∴△ABD≌△BCF（SAS），∴BD＝CF，如图1，连接CE，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝60°，BD＝CE，∴CF＝CE，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CF＝BD，∠CFE＝60°＝∠ACB，∴EF∥BC，∵BD＝EF，∴四边形BDEF是平行四边形；（2）∵△CDF为直角三角形，∴∠CFD＝90°或∠CDF＝90°，当∠CFD＝90°时，∵∠ACB＝60°，∴∠CDF ＝30°，∴CD ＝2CF ，由（1）知，CF ＝BD ，∴CD ＝2BD ，即：BC ＝3BD ＝6，∴BD ＝2，∴x ＝2，当∠CDF ＝90°时，∵∠ACB ＝60°，∴∠CFD ＝30°，∴CF ＝2CD ，∵CF ＝BD ，∴BD ＝2CD ，∴BC ＝3CD ＝6，∴CD ＝2，∴x ＝BD ＝4，即：BD ＝2或4时，△CDF 为直角三角形；（3）如图，连接CE ，由（1）△ABD ≌△ACE ，∴S △ABD ＝S △ACE ，BD ＝CE ，∵BD ＝CF ，∴△CEF 是等边三角形，∴EM ＝2CE ＝2x ，∴S △CDE ＝12CD×EM ＝12（6﹣x ）×2x ＝4x （6﹣x ）∴BH ＝CH ＝12BC ＝3，∴AH ＝∴S △ABC ＝12BC•AH ＝∴S △ADE ＝S 四边形ADCE ﹣S △CDE ＝S △ACD +S △ACE ﹣S △CDE ＝S △ACD +S △ABD ﹣S △CDE ＝S △ABC ﹣S △CDE ＝﹣4x （6﹣x ）＝4（x ﹣3）2+4（0≤x≤6）第一问虽然求证平行四边形，实际考查三角形全等的基本功第二问，主要考查推理能力，把△CFD 为直角三角形当做条件，来求BD 的长，但是需要注意的是，写过需要先给出BD 的长，来证明△CFD 为直角三角形，第三问，考查面积，主要利用组合图形求面积16、（1）见解析；（2）.【解析】（1）根据题意可求OA ＝OB ＝DO ，∠AOB ＝60°，可得∠BAD ＝90°，即结论可得;（2）根据勾股定理可求AD 的长，即可求▱ABCD 的面积．【详解】解（1）∵△AOB 为等边三角形∴∠BAO ＝60°＝∠AOB ，OA ＝OB ∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD ，∴OA ＝OD ∴∠OAD ＝30°，∴∠BAD ＝30°+60°＝90°∴平行四边形ABCD 为矩形；（2）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，∴AB ＝4，BC AB ＝∴▱ABCD 的面积＝＝本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．17、（1）八年级成绩的平均数1.7，七年级成绩的众数为80，八年级成绩的众数为1；（2）八年级团体成绩更好些；（3）七年级实力更强些．【解析】（1）通过读图即可，即可得知众数，再根据图中数据即可列出求平均数的算式，列式计算即可．（2）根据方差的意义分析即可．（3）分别计算两个年级前两名的总分，得分较高的一个班级实力更强一些．【详解】解：（1）由折线统计图可知：七年级10名选手的成绩分别为：80，87，89，80，88，99，80，77，91，86；八年级10名选手的成绩分别为：1，97，1，87，1，88，77，87，78，88；八年级平均成绩=110（1+97+1+87+1+88+77+87+78+88）=1.7(分)，七年级成绩中80分出现的次数最多，所以七年级成绩的众数为80；八年级成绩中1分出现的次数最多，所以八年级成绩的众数为1．（2）由于七、八年级比赛成绩的平均数一样，而八年级的方差小于七年级的方差，方差越小，则其稳定性越强，所以应该是八年级团体成绩更好些；（3）七年级前两名总分为：99+91=190(分)，八年级前两名总分为：97+88=11(分)，因为190分>11分，所以七年级实力更强些．本题考查了折线统计图，此题要求同学们不但要看懂折线统计图，而且还要掌握方差、平均数、众数的运用．18、（1）A 种商品每件的进价为20元，B 种商品每件的进价为80元；（2）购进A 种商品800件、B 种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．【解析】（1）设A 种商品每件的进价为x 元，B 种商品每件的进价为y 元，根据两次进货情况表，可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B 种商品m 件，获得的利润为w 元，则购进A 种商品（1000-m ）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w 与m 之间的函数关系式，由A 种商品的数量不少于B 种商品数量的4倍，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）设A 种商品每件的进价为x 元，B 种商品每件的进价为y 元，根据题意得：3040380040303200x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，解得：2080x y ⎧⎨⎩＝＝．答：A 种商品每件的进价为20元，B 种商品每件的进价为80元．（2）设购进B 种商品m 件，获得的利润为w 元，则购进A 种商品（1000-m ）件，根据题意得：w=（30-20）（1000-m ）+（100-80）m=10m+1．∵A 种商品的数量不少于B 种商品数量的4倍，∴1000-m≥4m ，解得：m≤2．∵在w=10m+1中，k=10＞0，∴w的值随m的增大而增大，∴当m=2时，w取最大值，最大值为10×2+1=120，∴当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．此题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、x1＜x1．【解析】根据题目中的函数解析式可以判断函数图象在第几象限和y随x的变化趋势，从而可以解答本题．【详解】∵反比例函数y＝3x（x＞0），∴该函数图象在第一象限，y随x的增大而减小，∵点P（x1，y1），Q（x1，y1）是反比例函数y＝3x（x＞0）图象上两点，y1＞y1，∴x1＜x1，故答案为：x1＜x1．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．20、y=3x-1【解析】∵y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x﹣1．故答案为y=3x﹣1．21、（-1，3）【解析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点P（1，-3）关于原点的对称点的坐标．【详解】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴点P （1，-3）关于原点的对称点的坐标为（-1，3）．故答案为：（-1，3）．本题考查了关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，难度较小．22、11cm 1【解析】利用菱形的面积公式可求解．【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，∵AC ＝，BD ＝cm ，则菱形ABCD 的面积是1122⨯=cm 1．故答案为11cm 1．此题主要考查菱形的面积计算，关键是掌握菱形的面积计算方法．23、±1【解析】根据完全平方式的一般式，计算一次项系数即可.【详解】解：∵b 为常数，且14x 2﹣bx +1是完全平方式，∴b ＝±1，故答案为±1．本题主要考查完全平方公式的系数关系，关键在于一次项系数的计算.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）见解析；（1）成立，理由见解析；（3）5【解析】分析：（1）因为ABCD 为正方形，所以CB=CD ，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE ，则△BCE ≌△DCF ，即可求证CE=CF ；（1）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE ≌△DCF ，所以∠ECG=∠FCG ，CE=CF ，CG=CG ，则△ECG ≌△FCG ，故GE=BE+GD 成立；（3）①过点C 作CG ⊥AD 交AD 的延长线于点G ，利用勾股定理求得DE 的长.详解：（1）在正方形ABCD 中CB=CD ，∠B=∠CDA=90°，∴∠CDF=∠B=90°．在△BCE 和△DCF 中，CB CD B CDF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BCE ≌△DCF （SAS ）．∴CE=CF ．（1）GE=BE+GD 成立．理由如下：∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，∴∠BCE+∠GCD=45°．∵△BCE ≌△DCF （已证），∴∠BCE=∠DCF ．∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．∴∠ECG=∠FCG=45°．在△ECG 和△FCG 中，CE CF ECG FCG CG CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ECG ≌△FCG （SAS ）．∴GE=FG ．∵FG=GD+DF ，∴GE=BE+GD ．（3）①如图1，过点C 作CG ⊥AD ，交AD 的延长线于点G ，由（1）和题设知：DE=DG+BE ，设DG=x ，则AD=6-x ，DE=x+3，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 1+AE 1=DE 1，∴（6-x ）1+31=（x+3）1，解得x=1．∴DE=1+3=5.点睛：此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．25、（1）B 1的坐标（﹣5，4）；（2）B 2的坐标（﹣1，2）．【解析】(1)作出各点关于原点的对称点，再顺次连接，并写出B1的坐标即可；(2)根据图形旋转的性质画出△A2B2C2，并写出B2的坐标即可．【详解】(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求，由图可知B 1的坐标（﹣5，4）；(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求，由图可知B 2的坐标（﹣1，2）．考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．26、（1）网上购票价格30元，现场购票价格50元；（2）5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元，见解析.【解析】（1）首先设网上每张电影票价格为x 元，现场每张电影票价格为y 元，然后根据题意，列出关系式，即可得解；（2）首先设现场购票每张电影票的价格下降x 元，然后根据题意列出关系式，即可得解.【详解】（1）设网上每张电影票价格为x 元，现场每张电影票价格为y 元.32105200x y x y -=-⎧⎨+=⎩解得：3050x y =⎧⎨=⎩答：网上购票价格30元，现场购票价格50元.（2）设现场购票每张电影票的价格下降x 元()()500460%305004160%501768022x x x ⎛⎫⎛⎫+⨯⨯⨯++⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得1165x =-（舍去），210x =501040-=答：5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元.此题主要考查二元一次方程组、一元一次方程的实际应用，关键是根据题意列出关系式，即可解题.。
丰台数学期末试卷初三
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°3. 下列各组数中，能构成等差数列的是（）A. 2, 4, 8, 16B. 1, 3, 5, 7C. 3, 6, 9, 12D. 2, 4, 8, 164. 已知一次函数y = kx + b，若该函数图象过点（2, 5），且k < 0，则b的取值范围是（）A. b > 5B. b < 5C. b = 5D. b的取值无法确定5. 若等比数列{an}的公比q > 1，且a1 = 1，那么数列{an}的第10项an10的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为x1和x2，则x1 + x2的值为（）A. 5B. -5C. 6D. -67. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)关于原点的对称点为（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, 3)8. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 梯形D. 圆9. 若a, b, c成等差数列，且a + b + c = 15，则b的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 1110. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4二、填空题（每题5分，共50分）1. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，第n项为an，则an = _______。
2. 若等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，第n项为bn，则bn = _______。
3. 已知方程x^2 - 2x - 3 = 0，则x^2 - 2x的值为 _______。
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丰台区2010—2011学年度第一学期期末练习初三数学 2011.011. 如图，在ABC ∆中，D ，E 两点分别在AB 、AC 边上，且BC DE //，若3:2:=BC DE ，则ABC ADE S S ∆∆:的值为( ) A. 9:4B. 4:9C. 3:2D. 2:32. 将抛物线23x y =向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析是( )A. 132+=x yB. 132-=x y C. 2)1(3+=x yD. 2)1(3-=x y3. 在小正方形组成的网络中，直角三角形的位置如图所示，则αtan 的值是( )A.53B.54 C. 34 D. 434. 在半径为18的圆中，︒120的圆心角所对的弧长是( )A. π12B. π10C. π6D. π35. 抛物线)3)(1(+-=x x y 的对称轴是直线( )A. 1=xB. 1-=xC. 3-=xD. 3=x6. 如图，矩形ABOC 的面积为3，反比例函数)0(≠=k xky 的图象过点A ，则k 的值为( )A. 3B. 5.1-C. 6-D. 3-7. 如图，一个圆形转盘被等分成七个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，转盘指针的位置固定，转动转盘后自由停止。
转动转盘一次，当转盘停止转到时，记指针指向标有偶数所在区域的概率为P （偶数），指针指向标有奇数所有区域的概率为P （奇数），则P （偶数）与P （奇数）的大小关系是( ) A. P （偶数）> P （奇数） B. P （偶数）= P （奇数） C. P （偶数）< P （奇数） D. P （偶数）≤ P （奇数） 8. 如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠90B ，1=AD ，23=AB ，2=AB ，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 不重合），AP DE ⊥于点E ，设x AP =，y DE =，在下列图象中，能正确反映y 与x 的函数关系的是( )9. 已知四条线段a 、b 、c 、d 之间有如下关系：d c b a ::=，且12=a ，8=b ，15=c ，则线段d =_____ 10. 已知01cos 2=-α，则锐角=α________11. 已知A ，B 是⊙O 上的两点，如果︒=∠60AOB ，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任一点，那么ACB ∠的度数为_______ 12. 如图，⊙O 的半径为2, 1C 是函数的221x y =的图象，2C 是函数的221x y -=的图象，3C 是函数的x y =的图象，则阴影部分的面积是______13. 计算：︒-︒+︒60tan 45sin 30cos 214. 如图，在ABC ∆中，D 、E 两点分别在AC ，AB 两边上，ADE ABC ∠=∠，3=AD ，7=AB ，7.2=AE ，求AC 的长。
15. 如图，在65⨯的网格图中，ABC ∆的顶点A 、B 、C 在格点（每个小正方形的顶点）上，请你在网格图中画一个．．111C B A ∆， 使ABC C B A ∆∆~111（相似比不为1）， 且点1A ，1B ，1C 必须在格点上。
16. 如图，过□ABCD 中的三个顶点A 、B 、D 作⊙O ，且圆心O 在□ABCD 外部，8=AB ，AB OD ⊥于点E ，8=AB 的半径为5，求□ABCD 的面积。
17. 已知，二次函数的解析式3221++-=x x y 。
（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x 轴的交点坐标； （3）当x _____时，1y 随x 的增大而增大；（4）如图，若直线)0(2≠+=a b ax y 的图象与该二次图象交于A （21-，m ），B （2，n ）两点，结合图象直接写出当x 取何值时21y y >？18. 已知：反比例函数)0(≠=m xmy 的图象经过点A （2-，6） （1）求m 的值；（2）如图，过点A 作直线AC 与函数x m y =的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且31=AC BC ，求点B 的坐标。
19. 小明暑假里的某天到上海世博会一日游，上午可以先从中国馆、法国馆、加拿大馆中随机选择一个馆，下午再从韩国馆，日本馆，沙特馆中随机选择一个馆游玩，求小明恰好上午选中中国馆下午选中沙特馆的概率。
20. 已知：如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ，AB CE ⊥于点E ，AE BE 2=，且62=AD ，31sin =∠BCE ，求CE 的长。
21. 已知：如图，在梯形ABCD 中，DC AB //，2=AB ，5=DC ，3=BC ，AC 与BD 相交于点M ，且720=DM 。
（1）求证：CMD ABM ∆∆~ （2）求BCD ∠的正弦值。
22. 已知，如图，渔船原来应该从A 点向正南方向行驶回到港口P ，但由于受到海风的影响，渔船向西南方向行驶去，行驶了240千米后到达B 点，此时发现港口P 在渔船的南偏东︒60的方向上，问渔船此时距港口P 多远？（结果精确到0.1千米，参考数据：41.12≈，73.13≈，24.25≈，45.26≈）23. 我市某文具厂生产一种签字笔，已知这种笔的生产成本为每支6元。
经市场调研发现：批发该种签字笔每天的销售量y （支）与售价x （元/支）之间存在着如下表所示的一次函售价x （元/支）…78…销售量y （支）… 300 240 … （1）求销售量y （支）与售价x （元/支）之间的函数关系式； （2）求销售利润W （元）与售价x （元 /支）之间的函数关系式；（3）试问该厂应当以每支签字笔多少元出售时，才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？24. 矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC 两点的坐标分别为A （6，0），C （0，3），直线2943+-=x y 与BC 边相交于点D 。
（1）求点D 的坐标；（2）若上抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过A ，D 两点，试确定此抛物线的解析式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD 交点M ，点P 为对称轴上一动点，以P 、A 、M 为顶点的三角形与ABD ∆相似，求符合条件的所有点P 的坐标。
25. ABC Rt ∆在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，︒=∠90C ，6=AB ，3=AC ，点A 在x 轴上由原点O 开始向右滑动，同时点B 在y 轴上也随之向点O 滑动，如图2所示；当点B 滑动至点O 重合时，运动结束。
在上述运动过程中，⊙G 始终以AB 为直径。
（1）试判断在运动过程中，原点O 与⊙G 的位置关系，并说明理由；（2）设点C 坐标为（x ，y ），试求出y 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C 运动的路径的长。
丰台区2010-2011学年度第一学期期末练习初三数学参考答案2011.1一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）9． d= 10 ．10．α= 45°．11． 30°或150° ．12．32π．三、解答题（共6个小题，共27分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDABDCB13.（本小题满分4分） 计算：2cos30sin 45tan60︒+︒-︒.解： ----------3分 -------------------------------4分说明：3个函数值各占一分，最后结果1分.14.（本小题满分4分） 解：在△ABC 和△ADE 中，∵ ABC ADE ∠=∠，,A A ∠=∠ ∴ △ABC ∽△ADE . ------2分 ∴AB AC AD AE=. ------------------3分 ∴ ,7.237AC= ∴ AC 6.3= ---------------------4分15.（本小题满分4分）解：16.（本小题满分5分）解：联结OA ，∴OA = OD . --------------------------------------1分∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，AB =8 ∴A E =21AB =4 -----------------------------------------------2分 在Rt △OEA 中，由勾股定理得，OE 2= OA 2 -EA 2∴OE=3 ------------------------------------------------------3分 ∴DE =2 ------------------------------------------------------4分 8216.ABCD S AB DE =⋅=⨯=----------------------------5分3223222 3322 2=⨯+=-=原式 A 1B 1C 1 A 2B 2C 2C A B 说明:图中的各种情况画对一种即可给满分. △A 1B 1C 1∽△ABC ，相似比为2:1； △A 2B 2C 2∽△ABC ，相似比为1:2； △A 3B 3C 3∽△ABC ，相似比为2:1.B AC C B 3A 3OC D BA EEA17.（本小题满分5分）解：(1)4)1(4)12(221+--=++--=x x x y∴图象的顶点坐标为（1，4）. ----------------------------1分 (2)令y =0，则0322=++-x x ，解得：x 1=-1, x 2=3.∴图象与x 轴的交点坐标分别为(-1,0)、(3,0). --------3分 (3) x <1. -------------------------------------------------------------4分 (4) 221<<-x . ---------------------------------------------------5分 说明：(3)若写成“≤”不扣分. 18.（本小题满分5分） 解：(1) ∵反比例函数xmy =(m ≠0)的图象经过点A （-2,6）， ∴2612m =-⨯=- ∴m 的值为-12．----------1分(2) 由（1）得反比例函数的解析式为xy 12-=．过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ， ∴R t △BEC ∽R t △ADC ．--------------------------2分 ∴13BE BC AD AC ==． ∵6AD =,∴2BE =．-------------------------------------------------3分 ∴点B 的纵坐标为2．------------------------------------4分又点B 在反比例函数xy 12-=的图象上，∴点B 的横坐标为x = -6，即点B 的坐标为(-6,2). -------------------------------------5分四、解答题（共4个小题，共23分）19.（本小题满分5分）解：方法（1） 方法（2）------------------3分------------------所有可能出现的结果有9个，并且每个结果发生的可能性相等，其中所求结果有1个，∴P(上午选中中国馆下午选中沙特馆)= 19. ------------------5分方法（3）:所有可能出现的结果有9个：中韩、中日、中沙、法韩、法日、法沙、加韩、加日、加沙.以下同方法（1）.20.（本小题满分6分）解：∵BE=2AE ，∴设AE=k ，则BE =2k ，AB =3k . ------------1分∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，上午下午 中国馆 法国馆 加拿大馆 韩国馆 中韩 法韩 加韩 日本馆 中日 法日 加日沙特馆 中沙 法沙 加沙加沙加日加韩法沙法日法韩中沙中日中韩韩国馆日本馆沙特馆韩国馆日本馆沙特馆韩国馆日本馆沙特馆一天下午上午加拿大馆法国馆中国馆ABCDM东∴∠BEC =∠ADB =90°. 又∠B =∠B ，∴△ABD ∽△CBE . --------------------------------------------------3分∴BCCEAB AD =----------------------------------------------------------4分 ∵sin ∠BCE =13，∴BC =k kBCE BE 6312sin ==∠. ---------------5分∴kCEk 6362=，∴64=CE . -----------------------------------6分21.（本小题满分6分） （1）证明：∵AB ∥DC ，AC 、BD 相交于点M ，∴△AMB ∽△CMD ---------------------------------------------1分 （2）解: ∵△AMB ∽△CMD ，∴MDMBCD AB =-----------------2分 ∴MB =7872052=⨯=⋅MD CD AB ---------------------------3分∴DB =DM +MB =4 ---------------------------------------------4分 ∴222DC BD BC =+∴△DBC 为直角三角形（∠DBC =90°） ------------------5分 ∴sin ∠BDC =53=DC BC . -----------------------------------------6分 22.（本小题满分6分）解：过点B 作BD ⊥AP 于点D ， ----------------------------------------------------1分在Rt △ABD 中，BD =ABsin45°=240212022=⨯， ------------------2分 在Rt △BDP 中，sin60°=BDBP, ------------------------------------------------3分sin60BDBP ︒== -----------------------------------------------------------5分≈196.0 ------------------------------------------------------------------------6分答：距港口约为196.0千米.五、解答题（共3个小题，共22分） 23.（本小题满分7分）解：(1)由表格知：当x ＝7时，y ＝300；当x ＝8时，y ＝240. -----------------------------1分设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠，根据题意得30072408k b k b =+⎧⎨=+⎩，． ----------2分解得60k =-，720b =．∴所求一次函数关系式为60720y x =-+． -------------------------------------------3分 (2)由题意得W=(6)(60720)x x --+ -------------------------------------------------------4分26010804320x x =-+- ---------------------------------------------------5分 (3) ∵ W=26010804320x x -+-，当x ＝-b2a＝9时，W 有最大值， -------------------------------------------------------6分最大值是540. ------------------------------------------------------------------------------7分 答：该厂应当以每支签字笔9元出售时，利润最大是540元. 24.（本小题满分8分）解：(1) ∵四边形OABC 为矩形，C(0,3)∴BC ∥OA ，点D 的纵坐标为3. ----------------------------------------------------1分 ∵直线3942y x =-+与BC 边相交于点D ，∴39342x -+=.∴2x =, 故点D 的坐标为(2,3) ---------------------------------------------------2分(2) ∵若抛物线2y ax bx =+经过A (6,0)、D (2,3)两点，∴3660,42 3.a b a b +=⎧⎨+=⎩ -------------------------------------------------------------------3分解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.49,83b a ∴抛物线的解析式为x x y 49832+-=. --------------4分 (3) ∵抛物线x x y 49832+-=的对称轴为x =3， ---------------------------------5分 设对称轴x =3与x 轴交于点P 1，∴BA ∥MP 1，∴∠BAD =∠AMP 1. ①∵∠AP 1M =∠ABD =90°，∴△ABD ∽△MP 1A .∴P 1 (3,0). ------------------------------------------------------6分 ②当∠MAP 2=∠ABD =90°时，△ABD ∽△MAP 2. ∴∠AP 2M =∠ADB∵AP 1=AB , ∠AP 1 P 2=∠ABD =90°, ∴△AP 1 P 2≌△ABD∴P 1 P 2=BD =4. -----------------------------------------------7分 ∵点P 2在第四象限，∴P 2 (3,-4). -------------------------8分 ∴符合条件的点P 有两个，P 1 (3,0)、P 2 (3,-4).25．（本小题满分7分）解：(1) 原点O 与⊙G 的位置关系是：点O 在⊙G 上；----------------------------1分如图3，联结OG ，∵∠AOB 是直角，G 为AB 中点，∴GO =21AB =半径，故原点O 始终在⊙G 上. ----------------------------2分(2) ∵∠ACB =90°，AB =6，AC =3，∴∠ABC =30°.联结OC ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，如图4， ∴∠AOC =∠ABC =30°，在Rt △ODC 中，tan ∠COD =CD OD，即tan30°=x y，∴y 与x 的关系式是：x y 33=. -------------------------------------------3分 自变量x 的取值范围是3333x ≤≤ . ------------------------------------4(3) ∵由(2)中的结论可知，点C 在与x 轴夹角为30°的射线上运动.∴如图5，点C 的运动路径为：C 1C 2=OC 2-OC 1=6-3=3；----------------5分 如图6，点C 的运动路径为：C 2C 3=OC 2-OC 3=6-33；--------------6分图3y OxACGBDy OxACGB图4∴总路径为：C 1C 2+C 2C 3=33-933-63=+. --------------------------7分。