重庆市2019年中考数学复习 第二轮 中档题突破 专项突破六 与圆有关的阴影部分面积的计算(精讲)课
重庆市2019届中考一轮复习《6.1与圆有关的性质》讲解含答案
第六章圆第一节与圆有关的性质1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念：探索并了解点与圆的位置关系．2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．1．圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角．(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆．2．圆的性质(1)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．(2)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．(3)圆周角定理及推论①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：直径所对的周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．②圆内接四边形的任意一组对角互补．（2019南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB= 24cm，则CD= cm. 【例l】【答案】8 解题点拨：本题考查垂径定理，连接半径OA，根据勾股定理得OC．则CD易求．【例2】（2019重庆）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠AOB= 120°，则∠ACB= 度．【答案】60 解题点拨：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．【例3】（2019黔南州）如图，AB是⊙Ｏ的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是( )C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠DA．∠A =∠CDB B．CB BD【答案】D解题点拨：本题综合考查了圆周角定理及推论，垂径定理．【例4】（2019扬州）如图，⊙O是△ABC的外接，直径AD=4,∠ABC=∠DAC．则AC长为 .【答案】22解题点拨：由圆周角相等得所对的弧相等，由弧相等得弦相等，即AC= CD．连接CD构造直角三角形，利用勾股定理进行计算．1．（2019白贡）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A =45°，∠AMD= 75°，则∠B的度数是 ( ) A．15° B．25° C．30° D．75°【答案】C2．（2019聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC=．连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC= 105°，∠BAC= 25°，则∠E的度数为 ( ) A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B3．（ 2019安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=________________.-【答案】474．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于________________.【答案】43A组基础训练一、选择题1．（2019重庆南开）如图，点A、点B、点C均在⊙0上，若∠B =40°，则∠AOC的度数为( )2-1-c-n-j-yA．40° B．60° C．80° D．90°【答案】C2．（重庆西大附中）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠ABC=60°，则∠D的度数是( ) A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】A3．（2019宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠BOD= 88°，则∠BCD的度数是 ( )A.88°B.92°C.106°D.136°【答案】D4．（2019重庆育才）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A= 22.5°，OC=4，则CD的长为( )www-2-1-cnjy-A．22 B．4 C．42 D．8【答案】C5．（2019泰安）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形．OF⊥OC交圆O于点F．则∠BAF等于 ( )A.12.5 °B.15°C.20°D.22.5°【答案】B二、填空题6．（2019黄冈）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC．则∠ABC= .【答案】35°7．（2019青岛）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= ．【答案】62°8．（2019南京）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则∠ACB= ．【答案】119°9．（2019衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA= 1m，水面宽AB= 1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0. 2m．则此时排水管水面宽CD等于 m．【答案】 1.6B组提高练习10．（2019达州）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan ∠OBC为( )A.13B.2 2C.24D.223【答案】C（提示：作直径CD，根据勾股定理求出DD=42，根据正切的定义求出tan∠CDO=24，根据圆周角定理得到∠OBC= ∠CDO，等量代换即可．）11．（2019宿迁）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°,BC =2,以点C为圆心．CB为半径的圆交AB于点D．则BD的长为．【答案】23（提示：作CE⊥AB于E，在直角三角形中利用30°性质即可求出BE=3，再根据垂径定理可以求出BD=23）12．（2019成都）如图，△ABC内接于⊙0，AH⊥BC于点日，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB ．【答案】39 2（提示：首先作直径AE，连接CE，则AE=26，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，AB:AE=AH:AC，即可求得AB的值．）2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个根，则k 的取值范围是（ ）A.4k <-B.4k ≤-C.4k <D.4k ≤2．下列运算正确的是( )A ．(﹣2x 2)3＝﹣6x 6B ．(y+x)(﹣y+x)＝y 2﹣x 2C ．2x+2y ＝4xyD ．x 4÷x 2＝x 23．如图，直线l 1，l 2都与直线l 垂直，垂足分别为M 、N ，MN=1．正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 在直线l 上，且点C 位于点M 处．将正方形 ABCD 沿l 向右平移，直到点A 与点N 重合为止．记点C 平移的距离为x ，正方形ABCD 的边位于l 1，l 2之间部分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．4．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠DCB=90°，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，AC=6，BD=10，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．75．下列命题中，正确的是（ ）A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形6．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭莱月的用电量，如表所示: 用电量(千瓦•时)120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2则这20户家庭该月用电量的众数和中位数、平均数分别是( )A ．180，160，164B ．160，180；164C ．160，160，164D ．180，180，1647．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直x 轴，顶点A 在函数y 1＝1k x（x ＞0）的图象上，顶点B 在函数y 2＝2k x （x ＞0）的图象上，∠ABO ＝30°，则12k k ＝（ ）A ．﹣12B ．﹣13C ．﹣14D ．﹣158．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简21a a +--的结果为（ ）A ．21a --B ．21a +C ．－3D ．39．若二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，对于以下说法：①b 2﹣4ac ＞0②x ＝x 0是方程ax 2+bx+c ＝y 0的解③x 1＜x 0＜x 2④a （x 0﹣x 1）（x 0﹣x 2）＜0其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．①②③D ．②③10．如图，△ABE 、△ADC 和△ABC 分别是关于AB ，AC 边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为（ ）．A.126°B.110°C.108°D.90°11．若不等式组无解，则m的取值范围是（）A. B. C. D.12．下面几何图形是中心对称图形的是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．菱形D．正五边形二、填空题13．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N．下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③若tan∠BAE＝12，则tan∠DAF＝13；④若BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝18．其中结论正确的是__（将正确的序号写在横线上）14．不等式组1xx m>-⎧⎨<⎩有2个整数解，则m的取值范围是_____．15．有一组数据如下：3、7、4、6、5，那么这组数据的方差是_____．16．我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约为118000千米，用科学记数法表示为_____千米．17．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是____.三、解答题19．如图，AB∥DE，点F、C在AD上，AB＝DE，且AF＝FC＝CD．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）延长EF与AB相交于点G，G为AB的中点，FG＝4，求EG的长．20．解不等式组()3151924x xxx⎧-≤+⎪⎨-<⎪⎩，并写出它的所有整数解．21．已知：如图①，将∠D＝60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点(点M不与点B、点C重合)，将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．(1)①求证：∠ANB＝∠AMC；②探究△AMN的形状；(2)如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，(1)中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．22．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点M是△ABC的中线AD上一点，以M为圆心作⊙M．设半径为r（1）如图1，当点M与点A重合时，分别过点B，C作⊙M的切线，切点为E，F．求证：BE＝CF；（2）如图2，若点M与点D重合，且半圆M恰好落在△ABC的内部，求r的取值范围；（3）当M为△ABC的内心时，求AM的长．23．在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和小刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场．（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中小刚的概率；（2）如果确定小亮做裁判，用“手心”“手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”的中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若cos∠BAE＝45，AB＝5，求OE的长．25．为了帮助贫困留守儿童，弘扬扶贫济困的传统美德，某校团委在学校举行“送温暖，献爱心”捐款活动，全校2000名学生都积极参与了该次活动.为了解捐款情况，随机调查了该校部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制出如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：（I）本次接受随机抽样调查的学生人数为_________________，图1中m的值是_________________. （Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额超过20元的学生人数.【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D D A B C A B B B C D C二、填空题13．①②③．14．1＜m≤215．216．18×10517．．18．1或3或2﹣3．三、解答题19．（1）详见解析；（2）12.【解析】【详解】（1）要证△ABC≌△DEF，只要证AC=DF，∠A=∠D即可；（2）由（1）可得EF=BC ，根据三角形中位线性质可知BC=2FG=8，由EG=EF+FG 计算即可．（1）证明：∵AB ∥DE ，∴∠A ＝∠D ，∵AF ＝FC ＝CD∴AC ＝DF ，在△ABC 和△DEF 中AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ），（2）解：∵AF ＝FC ，∴F 为AC 中点，又∵G 为AB 中点，∴GF 为△ABC 的中位线，∴BC ＝2GF ＝8，又∵△ABC ≌△DEF ，∴EF ＝BC ＝8，∴EG ＝EF+FG ＝BC+FG ＝8+4＝12，【点睛】本题考查平行线的性质、三角形全等的判定与性质以及三角形的中位线的性质，题目比较简单．利用全等三角形的性质解答是此题的关键．20．﹣2≤x＜1，整数解有﹣2、﹣1、0．【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】()3151924x x x x ①②⎧-≤+⎪⎨-<⎪⎩， 解不等式①，得x≥﹣2，解不等式②，得x ＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．(1)①证明见解析；②△AMN 是等边三角形，理由见解析；(2)见解析.【解析】【分析】(1)①先由菱形可知四边相等,再由∠D=60°得等边△ADC和等边△ABC,则对角线AC与四边都相等,利用ASA证明△ANB≌△AMC,得结论;②根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出:△AMN是等边三角形(2)①成立,根据正方形得45°角和射线AM绕点A逆时针旋转45°,证明△ANB∽△AMC,得∠ANB=∠AMC;②不成立,△AMN是等腰直角三角形,利用①中的△ANB∽△AMC,得比例式进行变形后,再证明△NAM∽△BAD,则△AMN是等腰直角三角形【详解】(1)如图1，①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠D＝60°，∴△ADC和△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠NAM＝60°，∴∠NAB＝∠CAM，由△ADC沿射线DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABN＝60°，∴∠ABN＝∠ACB＝60°，∴△ANB≌△AMC，∴∠ANB＝∠AMC；②如图1，△AMN是等边三角形，理由是：由∴△ANB≌△AMC，∴AM＝AN，∵∠NAM＝60°，∴△AMN是等边三角形；(2)①如图2，∠ANB＝∠AMC成立，理由是：在正方形ABCD中，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝45°，∵∠NAM＝45°，∴∠NAB＝∠MAC，由平移得：∠EBC＝∠CAD＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABN＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴∠ABN＝∠ACM＝45°，∴△ANB∽△AMC，∴∠ANB＝∠AMC；②如图2，不成立，△AMN是等腰直角三角形，理由是：∵△ANB∽△AMC，∴AN AB AM AC=，∴AN AMAB AC=，∵∠NAM＝∠BAC＝45°，∴△NAM∽△BAC，∴∠ANM＝∠ABC＝90°，∴△AMN是等腰直角三角形．【点睛】此题考查四边形综合题，运用了菱形的性质，三角形全等，三角形相似，解题关键在于合理运用各种性质进行证明和计算22．（1）见解析；（2）125r；（3）AM＝53．【解析】【分析】（1）连接AE，AF，利用“HL”证Rt△BAE≌Rt△ACF即可得；（2）作DG⊥AB，由AB＝AC＝5，AD是中线知AD⊥BC且AD＝22AB BD-＝3，依据12BD×AD＝12AB×DG可得DG＝125，从而得出答案；（3）作MH⊥AB，MP⊥AC，有MH＝MP＝MD，连接BM、CM，根据12AB•MH+12BC•MD+12AC•MP＝12AD•BC求出圆M的半径，从而得出答案．【详解】解：（1）如图1，连接AE，AF，∵BE和CF分别是⊙O的切线，∴∠BEA＝∠CFA＝90°，∵AB＝AC，AE＝AF，∴Rt△BAE≌Rt△ACF（HL），∴BE＝CF；（2）如图2，过点D作DG⊥AB于点G，∵AB＝AC＝5，AD是中线，∴AD⊥BC，∴AD＝22AB BD-＝3，∴12BD×AD＝12AB×DG，∴DG＝125，∴当0＜r＜125时，半圆M恰好落在△ABC内部；（3）当M为△ABC的内心时，如图3，过M作MH⊥AB于H，作MP⊥AC于P，则有MH＝MP＝MD，连接BM、CM，∴12AB•MH+12BC•MD+12AC•MP＝12AD•BC，∴r＝8345583 AD BCAB AC BC⋅⨯==++++，∴AM＝AD﹣DM＝53．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质等知识点．23．（1）13；（2）14.【解析】【分析】（1）由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中小刚的概率即可；（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：（1）∵确定小亮同学打第一场，∴再从小莹、小芳和小刚中随机选取一人打第一场，恰好选中小刚同学的概率为13；（2）画树状图如下：所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与小刚不同的结果有2个，则小莹和小芳打第一场的概率为14．【点睛】此题考查了概率公式、列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．24．(1)证明见解析；(2)25.【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)根据三角函数的定义得到AE＝4，BE＝3，根据勾股定理得到AC＝45，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得到结论．【详解】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECF是矩形；(2)在Rt△ABE中，∠E=90°，∵cos∠BAE＝AEAB=45，AB＝5，∴AE＝4，∴BE＝22AB AE=3，∵AB＝BC＝5，∴CE ＝8，∴AC ＝22AE EC +=45，∵四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，∵∠AEC=90°，∴OE ＝12AC=25．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．25．（I ）50，32；（II ）平均数为16，众数为10，中位数为15；（III ）估计该校捐款20元以上的学生约有320人【解析】【分析】（1）根据捐款20元的具体人数除以其对应的比例，可求出总数.再用10元的人数除以总人数即可得到m.（2）平均数=总钱数总人数，捐款人数最多的金额即为众数，将捐款的金额从小到大排列最中间的就是中位数； （3）用总人数乘以样本中“捐款金额超过20元的学生”人数所占百分比可得 ．【详解】解：（1）10÷20%=50，16=32%50,故m=32. （Ⅱ）捐30元的人数为：50-(4+16+12+10)=8 451610151210208301650x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ∴这组样本数据的平均数为16∵在这组样本数据中，10出现了16次，出现次数最多，∴这组样本数据的众数为10∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有1515152+= ∴这组样本数据的中位数为15（III ）∵捐款20元以上的学生占16 %⨯=∴捐款20元以上的学生人数是：200016%320答：估计该校捐款20元以上的学生约有320人.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用及平均数，众数和中位数的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．1a >且5a ≠ C ．1a ≥且5a ≠ D ．5a ≠2．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个根，则k 的取值范围是（ ）A.4k <-B.4k ≤-C.4k <D.4k ≤3．如图是洛阳市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温说法正确的是（ ）A.众数是28B.中位数是24C.平均数是26D.方差是84．今年春节，我区某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（ ）A. B.C. D. 5．阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝﹣b a ，x 1•x 2＝c a ．根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3＝0的两实数根，则2112x x x x +的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．106．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，CB CD =，∠CAD ＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB ＝（ ）A ．30°B ．50°C ．70°D ．80°7．如图所示的零件的俯视图是（ ）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（）A.70°B.35°C.40°D.50°9．如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠AED＝50°，则∠EDC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°10．如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OPA与△OAB相似，则点P的坐标为（）A．（1，0）B．（3，0）C．（233，0）D．（23，0）11．一元二次方程经过配方后可变形为（）A. B.C.D.12．已知过点（1，2）的直线y ＝ax+b （a≠0）不经过第四象限，设S ＝a+2b ，则S 的取值范围为（ ） A ．2＜S ＜4 B ．2≤S＜4 C ．2＜S≤4 D ．2≤S≤4二、填空题13．某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是_____．14．已知点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是抛物线y=2（x ﹣3）2+5上的两点，如果x 1＞x 2＞4，那么y 1_____y 2．（填“＞”、“=”或“＜”） 15．如图，直线33y =x ，点A 1坐标为(1，0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 4的坐标为______，点A n ______．16．使式子12x-有意义的x 的值是_____.17．计算：2(3)--|38-|=____． 18．不等式382x -+<的解集是_________. 三、解答题19．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是BD 的中点．连接AC ，过点C 作⊙O 的切线EF 交射线AD 于点 E ． (1)求证：AE ⊥EF ； (2)连接BC ．若AE ＝165，AB ＝5，求BC 的长．20．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF=CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M.（1）求证：△ABF ≌△CBN ； （2）求CMCN的值． 21．某中学为了丰富学生的业余爱好，决定开设以下活动项目：A ：书法；B ：绘画C ：象棋；D ：音乐．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行问卷调査，并将调査结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少人？ （2）补全条形统计图；（3）九年级（1）班老师想从这四类活动项目中随机选取两类作为“五四青年节”表演项目，请用列表或画树状图的方法求恰好选中书法和绘画的概率22．如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ．以C 为圆心，CB 的长为半径作弧，交AB 于点D ．分别以B 、D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点E ．作射线CE 交AB 于点M ．分别以A 、C 为圆心，CM 、AM 的长为半径作弧，两弧交于点N ．连接AN 、CN （1）求证：AN ⊥CN（2）若AB ＝5，tanB ＝3，求四边形AMCN 的面积．23．解方程：312x x=-． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝2552542x x -- 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点E（a，b）是对称轴右侧抛物线上一点，过点E垂直于y轴的直线与AC交于点D（m，n）．点P是x轴上的一点，点Q是该抛物线对称轴上的一点，当a+m最大时，求点E的坐标，并直接写出EQ+PQ+23 PB的最小值；（3）如图3，在（2）的条件下，连结OD，将△AOD沿x轴翻折得到△AOM，再将△AOM沿射线CB的方向以每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM为△A′O'M'，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向平移，点B的对应点为B'．△A'B'M'能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M'的坐标；若不能，请说明理由．25．为了解学生参加户外活动的情况，某中学对学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：(I).被抽查的学生有_____人，抽查的学生中每天户外活动时间是1.5小时的有_____人；(II).求被抽查的学生的每天户外活动时间的众数、中位数和平均数；(III).该校共有1200名学生，请估计该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人？【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D A C D C C C D C D B二、填空题13．众数14．＞15．，0，016．0x ≥且4x ≠ 17． 18．2x > 三、解答题19．(1)证明见解析；(2)3. 【解析】 【分析】（1）连接OC ，根据等腰三角形的性质、平行线的判定得到OC ∥AE ，得到OC ⊥EF ，结论可得证； （2）证明△AEC ∽△ACB ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算AC 后即可用勾股定理得BC 的长． 【详解】 (1)连接 OC ．∵OA ＝OC ， ∴∠1＝∠2． ∵点C 是BD 的中点． ∴∠1＝∠3． ∴∠3＝∠2． ∴AE ∥OC ． ∵EF 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥EF ． ∴AE ⊥EF ；(2)∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°． ∵AE ⊥EF ， ∴∠AEC ＝90°． 又∵∠1＝∠3， ∴△AEC ∽△ACB ． ∴AC AEAB AC=，∴AC 2＝AE•AB＝165×5＝16． ∴AC ＝4． ∵AB ＝5， ∴BC ＝222254AB AC -=-＝3．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 20．（1）见解析；（2）22. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质证得CE ⊥AF ，进一步得出∠BAF=∠2，由ASA 可以证得△ABF ≌△CBN ； （2）设出正方形的边长为m ，利用相似三角形的性质表示出BN ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵CF=CA ，CE 是∠ACF 的平分线， ∴CE ⊥AF ，∴∠AEN=∠CBN=90°， ∵∠ANE=∠CNB ， ∴∠BAF=∠2， 在△ABF 和△CBN 中，290BAF AB CB ABF CBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ABF ≌△CBN （ASA ）；（2）解：设正方形的边长为m ，则BD=AC=2m ， ∵AC=CF=BC+BF=m+BF=2m ， ∴BF=（2-1）m ， ∵△ABF ≌△CBN ， ∴BN=BF=（2-1）m ， ∵BN ∥CD ， ∴△BNM ∽△DCM ， ∴21m21MN BN CM CD m-===-（），∴21121MN CMCM+-+==，∴CN=2CM，∴22CMCN=．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，等腰三角形三线合一的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．本题属于中考常考题型．21．（1）200，（2）见解析（3）1 6【解析】【分析】（1）根据D类的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中书法和绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵D类有40人，占20%，∴这次被调查的学生共有：40÷20%＝200（人）；（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；补充如图如下：（3）画树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中书法和绘画的有2种，∴恰好选中书法和绘画的概率是21 126=．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（1）详见解析；（2）12.【解析】(1)由作图可知四边形AMCN 是平行四边形，CM ⊥AB ，据此即可得答案； (2)在Rt △CBM 中，利用tan ∠B ＝CMBM＝3，由此可以设BM ＝k ，CM ＝3k ，表示出AM ，然后在Rt △ACM 中，利用勾股定理求出k 的值，继而求得CM ＝3，AM ＝4，利用矩形面积公式即可求得答案. 【详解】(1)由作图可知：CN ＝AM ，AN ＝CM ， ∴四边形AMCN 是平行四边形， ∵CM ⊥AB ， ∴∠AMC ＝90°， ∴四边形AMCN 是矩形， ∴∠ANC ＝90°， ∴AN ⊥CN ．(2)在Rt △CBM 中，∵tan ∠B ＝CMBM＝3， ∴可以假设BM ＝k ，CM ＝3k ， ∵AC ＝AB ＝5， ∴AM ＝5﹣k ，在Rt △ACM 中，∵AC 2＝CM 2+AM 2， ∴25＝(3k)2+(5﹣k)2， 解得k ＝1或0(舍弃)， ∴CM ＝3，AM ＝4，∴四边形AMCN 的面积＝CM•AM＝12． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，矩形的判定，勾股定理等，熟练掌握作图的基本方法是解题的关键. 23．x ＝﹣1. 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：3x ＝x ﹣2， 解得：x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 24．（1）525y x =-- ；（2）E （3，554-），点F （﹣1，554-），6512；（3）符合条件的点M'的坐标M′（0，1358）．【分析】 (1）y ＝2552542x x --，令y ＝0，x ＝0，求出A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，﹣25 ），把A 、C 坐标代入y ＝kx+b ，即可求解；（2）①由n ＝b ，解得：m ＝﹣14 m 2+12 a ，则a+m ＝a+（﹣14m 2+12a ）＝﹣14（a ﹣3）2+94，即可求解；②F 是E 关于对称轴的对称点，则在如图位置时，EQ+PQ ＝PF 最小，即EQ+PQ+23PB 是最小值，即可求解；（3）设移动的时间t 秒，各点坐标为：A′（﹣2+2t ）、B′（4+t ）、M′（﹣34+2t ，55+54t ），分AB ′2＝AM ′2、AB′2＝BM ′2、BM ′2＝AM′2讨论求解． 【详解】 （1）y ＝2552542x x --， 令y ＝0，解得x ＝﹣2或4，令x ＝0，则y ＝﹣25， ∴点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，﹣25）； 把A 、C 坐标代入y ＝kx+b ， 解得：k ＝﹣5，b ＝﹣25， ∴直线AC 的解析式y ＝﹣5x ﹣25； （2）∵E （a ，b ）在抛物线上，∴b ＝2552542a a --， ∵D （m ，n ）在直线AC 上，∴n ＝﹣5m ﹣25，∵DE ⊥y 轴，∴n ＝b ，解得：m ＝﹣14a 2+12a ， ∴a+m ＝a+（﹣14a 2+12a ）＝﹣14（a ﹣3）2+94， ∴当a ＝3时，a+m 由最大值，b ＝-554， 则：E （3，-554），点F （﹣1，-554）， 如下图2所示，连接BC ，过点F 作FP ∥BC ，交对称轴和x 轴于点Q 、P ，∵F是E关于对称轴的对称点，则在如图位置时，EQ+PQ＝PF最小，即EQ+PQ+23PB是最小值，k BC＝52＝k FP，把k FP和点F坐标代入y＝kx+b，解得：b＝﹣354，即：y＝52x﹣354，令y＝0，则x＝32，即点P（32，0），则PF＝154，而23PB＝23（4﹣32）＝53，EQ+PQ+23PB＝PF+23PB＝6512；故：点E坐标为（3，-554），EQ+PQ+23PB的最小值为6512；（3）设移动的时间t秒，△A′O′M′移动到如图所示的位置，则此时各点坐标为：A′（﹣2+2t）、B′（4+t）、M′（﹣34+2t，554+5 t），则AB′2＝6t2﹣12t+36，AM′2＝758，BM′2＝6t2+3t+2438，当AB′2＝AM′2时，6t2﹣12t+36＝758，方程无解，当AB′2＝BM′2时，6t2﹣12t+36＝6t2+3t+2438，t＝38，M′（0，1358），当BM′2＝AM′2时，6t2+3t+2438＝758，方程无解，故：符合条件的点M'的坐标M′（0，1358）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．25．(Ⅰ)50，12；(Ⅱ)众数是1；中位数是1；平均数是1.18；(Ⅲ)480人.【解析】【分析】(Ⅰ)根据频数÷所占百分比=样本容量可求出被抽查的学生的总数，用总数乘以每天户外活动时间是1.5小时的学生所占百分比即可得答案；（II ）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；（III ）先求出每天户外活动时间超过1小时的学生所占百分比，用1200乘以这个百分比即可得答案. 【详解】（Ⅰ）10÷20%=50（名）， 50×24%=12（名） 故答案为：50，12（Ⅱ）∵这组数据中，1出现了20次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为1，∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是1， 有1112+= ∴中位数为1.0.510120 1.5122850x ⨯+⨯+⨯+⨯==1.18∴这50名学生每天户外运动时间的平均数为1.18.（Ⅲ）128120050+⨯ =480∴估计该校每天户外活动时间超过1小时的学生约为480人.【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．。
中考数学二轮复习专题 与圆有关的计算及答案详解
中考数学二轮复习专题与圆有关的计算一、单选题1．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．B．C．D．2．如图，的半径为1，弦在圆心O的两侧，求上有动点于点E，当点D从点C运动到点A时，则点E所经过的路径长为（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．4．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）A．1B．3C．D．5．如图，菱形中，，.以A为圆心，长为半径画，点P为菱形内一点，连，，.若，且，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是()A．1B．C．D．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（）A．B．3πC．5πD．8．如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会．圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，又后来两位客人，每人向后挪动了相同距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为xcm．则根据题意，可列方程为（）A．B．C．2π（80+10）×8=2π（80+x）×10D．2π（80﹣x）×10=2π（80+x）×89．如图，在菱形中，，.以点A为圆心，为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．二、填空题11．如图，△ABC内接于半径为的半圆O中，AB为直径，点M是的中点，连结BM 交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB=135°且D为BM的中点，则DM的长为；BC的长为.12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是.14．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为.15．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为．16．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限。
重庆市2019届中考一轮《6.2与圆有关的位置关系》讲解含答案
12999 数学网第二节与圆有关的位置关系课标呈现指引方向1．知道三角形的内心和外心．2．了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．3．探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．考点梳理夯实根底1．与圆有关的位置关系点与圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d ，那么：①点在圆外d＞r ；②点在圆上d=r；③点在圆内d＜r．直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么：①直线与圆相交d<r：②直线与圆相切d=r；③直线与圆相离d>r．2．圆的切线切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的圆心．切线判定方法：①定义法：②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，假设d=r，那么直线与圆相切：③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．(5)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形三个角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形的三边的距离相等．2·1·c·n·j·y(6)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．锐角三角形外心在三角形的内部，直角三角形外心在三角形的斜边中点处，钝角三角形外心在三角形的外部．12999数学网12999数学网考点精析专项突破考点一与圆相关的位置关系【例1】(1)〔2021湘西州〕⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离=3．那么点A与圆O的位置关系为()OA cmA．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定【答案】B(2)〔2021西宁〕⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R、d是方程x2-4x+m=0的两根，当直线l与⊙O 相切时，m的值为．解题点拨：此类题主要考查点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，需要将圆心到点或线的距离与圆的半径进行大小比拟．【答案】4考点二圆的切线【例2】(1)〔2021重庆巴蜀〕如图，AB是⊙的弦，的延长线交过点曰的⊙O的切线于点．如果∠=O AO C ABO 25°，那么∠C的度数是()．65°．50°．40°．20°A B C D【答案】C(2)如图，在Rt△中，∠=90°，∠=30°，=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，那么⊙C与ABC C B BCAB的位置关系是()．．相离．相切．相交．相切或相交A B C D【答案】B解题点拨：见到切线的条件，要想到连接经过切点的半径．构造直角三角形来帮助我们解题，这也是切线问题中最常见的辅助线添法．证明直线与圆相切时，首先判断直线与国有没有明确的公共点，假设有，用判定方法③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；假设没有，用判定方法②，定义法一般不用．考点三三角形的内切圆与外接圆【例3】(1)〔2021咸宁〕如图，点E是△的内心，的延长线和△的外接圆相交于点，连接、、ABC AE ABC D BDBE CE，假设∠CBD=32°，那么∠BEC的度数为．12999数学网12999数学网【答案】122°(2)〔2021重庆育才〕如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，那么⊙O的半径为．3【答案】3解题点拨：熟练掌握三角形内切圆和外接圆的定义以及内心和外心的有关性质，是解决此类问题的关键．1．〔2021海南〕如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A．PO交⊙O于点C．连接BC．假设∠P=40°，那么∠ABC的度数为(B)A．20°B．25°C．40°D．50°【答案】B2．〔2021宜昌〕在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如下图〔图中小正方形的边长均相等〕现方案修建一座以O为圆心，为半径的圆形水池，要求池中不留树木，那么、、、H四棵树中需要被移除的为．OA EFGA．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【答案】A12999数学网3．〔2021齐齐哈尔〕如图，假设以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边 CD相切于点D．那么∠C=度．【答案】454．〔2021包头〕如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，假设∠A=30°,PC=3．那么BP的长为．【答案】3A组根底训练一、选择题1．〔2021重庆一中〕如图，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，射线DC切圆D于点C，假设∠A=25°，那么∠D 等于()A．60°B．50°C．40°D．45°【答案】C2．〔2021重庆一中〕如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，那么∠ACB的大小是()°°°°【答案】B3．〔2021西大附中〕如图，P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，∠APB=50°，点C在⊙O上，那么∠ACB=()°°°°12999数学网【答案】B4．〔2021重庆南开〕如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点．AC是⊙O的直径．∠P=40°，那么∠BAC的大小是()A．70°B．40°C．50°D．20°【答案】D5．如图，Rt△的内切圆⊙与两直角边、分别相切于点，，过劣弧〔不包括端点，〕上任一点P ABC O AB BC DE DE DE作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，假设⊙O的半径为r，那么Rt△MBN的周长为()A.rB.r r D.5r2【答案】C二、填空题6．〔2021盐城〕如图，在矩形中，=4，=3，以顶点D 为圆心作半径为r的圆，假设要求另外三个顶点ABCD AB ADA、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，那么r的取值范围是．【答案】3<r<57．〔2021镇江〕如图，AB是⊙O的直径，OA=1,AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．假设BD= 2-1，那么∠ACD=．【答案】°12999数学网8．〔2021哈尔滨〕如图， AB 为⊙O 的直径，直线 l 与⊙O 相切于点C ．AD ⊥l ．垂足为D ,AD 交⊙O 于点E ，连接OC 、BE ．假设AE =6，OA =5，那么线段DC 的长为 ．【答案】49．〔2021泰安〕如图，半径为 3的⊙O 与Rt △AOB 的斜边AB 切于点D ，交OB 于点C ．连接CD 交直线OA 于点 E ．假设∠B =30°，那么线段 AE 的长为 ．【答案】 3组提高练习10．〔2021荆州〕如图，过⊙ O 外一点P 引⊙O 的两条切线 PA 、PB ，切点分别是 A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧ABC 上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接 AD 、CD ，假设∠APB =80°，那么∠ADC 的度数是( ) A ．15°B ．20° C ．25° D ．30°【答案】C〔提示：根据切线的性质，连接OA 、OB ．易得∠AOB =100°．由切线长定理可得 PA =PB ，△POB ≌△POA .那么 ∠ =50°，∠ =25°〕AOPADC11．〔2021 常州〕如图，圆心都在x 轴正半轴上的半圆1，半圆2,，半圆n与直线 y = 31OOOx 相切，设半圆O ，3半圆O ,，半圆O 的半径分别是r ，r ，，r，那么当r 1 =1 时，r=．2n12n2021【答案】32021〔提示：根据一次函数解析式易得直线与 x 轴的夹角为 30°．分别连接圆心与相应切点，构造直角三角形．根据30°角所对的直角边等于斜边一半，可依次求出半径依次为1，3，9--找规律即可得到答案．〕12999数学网12．〔2021攀枝花〕如图，△ABC中，∠C=90°,AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以A D上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，那么OO的半径为．12【答案】712999数学网。
与圆有关的计算求阴影部分面积-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
与圆有关的计算求阴影部分面积 题型解读｜模型构建｜通关试练模型01 阴影部分面积计算求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键． 模型02 阴影部分周长计算求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=n 360πR 2或S 扇形=12lR （其中l 为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 模型03 与最值相关的计算阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.求阴影部分面积方法总结 方法一 直接利用公式法求阴影部分面积方法二 直接或构造和差法求阴影部分面积 方法三 利用等积转换法求阴影部分面积方法四 利用容斥原理求阴影部分面积模型01 阴影部分面积计算 考｜向｜预｜测阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.答｜题｜技｜巧 第一步： 确定弧所对的圆心，（找圆心）第二步： 连接圆心与弧上的点；（连半径） 第三步： 确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆假设小心论证）第四步： 把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．2(4π4)cm +B ．2(4π8)cm +C ．2(8π4)cm +D ．2(4π16)cm −【答案】A 【详解】解：由题意知4cm AF AD BC ===，10cm BF AF AB =+=，阴影部分的面积211π42S AB BC AD BF BC =⋅+−⋅ 21164π410442=⨯+⨯−⨯⨯244π20=+−4π4=+，故选A ．例2．（2023·湖北）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，3,6,AB AC O ==是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，则图中两个阴影部分面积的和为 ．【答案】5π−/5π−+【详解】解：如图，连接OD ，OE ，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，∴OD AB ⊥，OE AC ⊥，90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形， 又OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴AD DO OE AD ===，90DOE ∠=︒，90A OEC ∠=∠=︒，A C B E C O ∠=∠，∴ACB ECO ∠∽， ∴AC AB EC EO =，设AD DO OE AD r ====，则6EC AC AE r =−=−， ∴636r r =−，解得2r =，∴2AD DO OE AD ====， 90DOE ∠=︒，∴DOB 和EOC △所包含扇形的面积之和为：22180901ππ2π3604r ︒−︒⨯=⨯=︒，∴图中两个阴影部分面积的和为：21π362π5π2ABC ADOE S S −−=⨯⨯−−=−正方形，故答案为：5π−．模型02 阴影部分周长计算考｜向｜预｜测阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题.答｜题｜技｜巧第一步： 观察图形特点，确定弧长和线段长；第二步： 利用弧长公式求长度；第三步： 求图形中其它边的长度；例1．（2023·河北）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点P ，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．【答案】 2π+ 2233π【详解】解：连接PB 、PC ，作PF BC ⊥于F ，2PB PC BC ===，PBC ∴△为等边三角形，60PBC PCB ∴∠=∠=︒，30PBA ∠=︒，∴sin602PF PB =⋅︒=∴阴影部分①的周长AP BP l l AB =++ 3026022180180ππ⨯⨯=++2π=+阴影部分①②的总面积()2BPC ABP BPC S S S ⎡⎤=−−⨯⎣⎦扇形扇形223026021223603602ππ⎡⎤⎛⨯⨯=−−⨯⨯⎢⎥ ⎝⎣⎦ 23π=，，故答案为：2π+；23π．例2．（2023·浙江）如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为 ．【答案】a π 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，边长为a ，AB CB AD CD a ∴====，90B D ∠=∠=︒，∴树叶形图案的周长902180a a ππ⋅=⨯=．故答案为：a π． 模型03 与最值相关的计算 考｜向｜预｜测圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题. 答｜题｜技｜巧 第一步： 观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）第二步： 利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化 第三步： 牢记弧长公式，求对弧长和线段长；第四步： 利用数形结合思想注意确定最值；例1．（2023·江苏）如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若1OA =，则阴影部分面积的最小值为（ ）A ．3144πB ．142π−C ．24πD ．184π− 【答案】C【详解】解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足ABC 的面积最大即可， 从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，ABC 的面积最大，连接OC '，则OC AB '⊥于D ，12OD AB ∴===，1DC OC OD ''∴=−=，1111122AOB ABC AOBC S S S ''⎛∴=+=⨯⨯+⎝⎭四边形， 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==， ∴阴影部分面积的最小值42π=−，故选：C ． 例2．（2022·浙江）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π−【答案】D【详解】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴，∵OA'=OB'=∴=，∴tan ∠A'OP=tan ∠，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ−=− ，故答案为：D ． 例3．（2023·吉林）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为．【答案】483π+【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP +=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==， ∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒. 故答案为483π+.1．（2023·江苏）如图，在Rt ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==,,，以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，且O 点在BC 边上，则图中阴影部分面积S =阴（ ）A ．12B ．π3C ．35π4−D ．15036π4949− 【答案】D 【详解】解：连接,OD OE ，设O 与BC 交于M 、N 两点，∵AB AC 、分别切O 于D 、E 两点，∴90ADO AEO ∠=∠=︒，又∵90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴90DOE ∠=︒，∴90DOM EON ∠+∠=︒，设OE x =，则AE AD OD x ===，4EC AC AE x =−=−． ∵,90C C CEO A ∠=∠∠=∠=︒，∴COE CBA ∽， ∴CE OE CA AB = ， ∴443x x −= ， 解得127x = ，∴()ABC ADOE DOM EON S S S S S =−−+阴影正方形扇形扇形 22129011273427360π⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯⨯−− ⎪⎝⎭ 150364949π=−．故选D ．2．（2022·湖北）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．A ．13πB ．43πC ．23π D3− 【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，∴S △AFD ＝S △OFA ，∴S 阴＝S 扇形OFA ，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝2 6022= 3603 p p.故选：C．3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且AB BC=，则阴影部分面积与圆的面积之比为（）A B C D【答案】B【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC设正六边形的边长为1，则1OA =，60AOB ∠=︒，OA OB =∴AOB 为等边三角形，则60BOA OBA ∠=∠=︒，1OA OB AB ===，2AC =，∴BCO BOC ∠=∠，又∵ABO BCO BOC ∠=∠+∠，∴30BCO BOC ∠=∠=︒，则=90AOC ∠︒，∴OC所以圆的面积为3π，正六边形的面积为1166sin 6061122AOB S AB OA =⨯⋅⋅︒=⨯⨯⨯△，则阴影部分面积与圆的面积之比为23π=， 故选：B ．4．（2022·广西）如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值等于（ ）A ．2π﹣4B ．4π﹣8 CD【答案】D 【详解】由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小，∵P），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴∴tan ∠AOP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S △AOB=2120·41-23602π⨯= ，故选D ．5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB 、两点，分别以AB 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（ ）A ．12πB ．14πC ．πD ．4π【答案】C【详解】解：∵点A 的坐标为（2，1），且⊙A 与x 轴相切，∴⊙A 的半径为1，∵点A 和点B 是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B 的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B 的半径为1，∴⊙A 与⊙B 关于原点中心对称，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分完全重合，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C ．6．（2023·山西）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点O 在AB 上，以O 为圆心作圆与BC 相切于点D ，与AB 、AC 相交于点E 、F ；连接AD 、FD ，若O 的半径为2．则阴影部分面积为（ ）A ．13πB ．43πC ．23πD ．23π【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵O 与BC 相切，∴90ODB ∠=︒.∵90C ∠=︒，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴.AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴影扇形，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵OF OA =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒， ∴260223603OFA S S ππ⋅⋅===阴影扇形．故选C ．7．（2023·黑龙江）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径作圆，分别交AB 于点DE ，则弧CD 弧CE 和线段DE 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积 （结果保留π）【答案】4π8−【详解】解：∵904ACB AC BC ∠=︒==，， ∴14482ABC S =⨯⨯=△，4542CAD S ππ⨯==扇形，()282164S ππ=⨯−=−空白， ∴()816448ABC S S S ππ=−=−−=−阴影空白，故答案为：48π−．8．（2022·河南）在矩形ABCD 中，4,AB AD ==，以BC 为直径作半圆（如图1），点P 为边CD 上一点．将矩形沿BP 折叠，使得点C 的对应点E 恰好落在边AD 上（如图2），则阴影部分周长是 ．4+/4【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，如图，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，由折叠得，BE BC ==∵4,AB =∴4AE ==∴,AB AE = ∴1(18090)452ABE AEB ∠=∠=︒−︒=︒∴90904545,OBE ABE ∠=︒−∠=︒−︒=︒∵OB OF =∴45OBF OFB ∠=∠=︒∴180454590BOF ∠=︒−︒−︒=︒∴BF 的长==，4BF ==，∴ 阴影部分周长4+4+．9．（2022·内蒙古）如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．(1)求证：CD 是圆的切线；(2)已知4sin 5OCD ∠=，AB =AC 长度及阴影部分面积． 【答案】(1)证明见详解；(2)AC=3，阴影部分面积为50-43π．【详解】（1）证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD=OB=4x ，则OC=5x ，∴3CD x∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x += 解得1x =，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD ∠==∴设OE=4y ，则CE=5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y += 解得53y =，（53−舍去） ∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影 ∴阴影部分面积为50-43π．1．如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．3πD ．23π 【答案】D 【详解】∵AB 是直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，S 半圆=21222=ππ⨯，S 长方形CDFE=2∴S 阴=S 长方形CDFE -(S 半圆-S 长方形CDFE)+2（S 扇形OEF -S △EOF ）=212232+（-ππ⨯=23π 故选D.2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 是AB 中点，在AD 上取一点G ，以点G 为圆心，GD 的长为半径作圆，该圆与BC 边相切于点F ，连接DE ，EF ，则图中阴影部分面积为（ ）A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2【答案】B【详解】如图，连接GF，∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵点E是AB中点∴AE＝BE＝2∵BC与圆相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四边形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四边形GFCD是正方形∴GD＝GF＝CD＝CF＝4∴BF＝BC﹣FC＝2∵S阴影＝（S四边形ABFD﹣S△AED﹣S△BEF）+（S扇形GDF﹣S△GDF）∴S阴影＝（(26)4116222222+⨯−⨯⨯−⨯⨯）+（4π﹣1442⨯⨯）＝4π.故选B．3．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画AB，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )A ．4π−B ．6πC ．42π−−D ．43π−−【答案】C【详解】过E 点作EM ⊥BC 于M 点，作EN ⊥AB 于N 点，如图，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴∠EBC=60°，∵EM ⊥BC ，∴在Rt △EMC 中，∴tan ∠ECM=EM MC =tan30°=，∴，∴∴在Rt △EBM 中，∴tan ∠EBM=EMBM∴BM=，∵BM+MC=BC=4，∴=4，∴EM =∴BM=1==，∵NE ⊥AB ，EM ⊥BC ，且∠ABC=90°，∴四边形BMEN 是矩形，∴NE=BM=1，∵AB=BC=4，∠ABC=90°，∴1141222ABE S AB NE =⨯⨯=⨯⨯=△，11422BEC S BC EM =⨯⨯=⨯=△22901443604ABCS AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=扇形o o∴42ABE BEC ABC S S S S π=−−=−−△△阴影扇形故选：C ．4．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）A ．（π）cm 2B ．（πcm 2C ．（2π）cm 2D ．（2π-cm 2【答案】C【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴=∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF=1226023360π⨯⨯2π)cm2，故选C ．5．如图，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，将Rt AOB △绕点O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE △，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．5π+C ．524π−D ．724π− 【答案】C 【详解】解：作DH AE ⊥于H ，∵90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，∴AB 由旋转，得EOF BOA ≌，∴OAB EFO ∠=∠，∵90FEO EFO FEO HED ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFO HED ∠=∠，∴HED OAB ∠=∠，∵90DHE AOB ∠=∠=︒，DE AB =，∴()AAS DHE BOA ≌，∴1DH OB ==，阴影部分面积ADE =V 的面积EOF +V 的面积+扇形AOF 的面积−扇形DEF 的面积211902905311222360360ππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+−5124π=−故选：C ．6．如图，在半径为2、圆心角为90︒的扇形OAB 中，2BC AC =，点D 从点O 出发，沿O A →的方向运动到点A 停止．在点D 运动的过程中，线段BD ，CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）A ．23πB ．213π−C ．3πD ．132π− 【答案】B【详解】当点D 在线段OA 上时，易得当点D 与点A 重合时，阴影部分面积最小，连接OC 、BC ，过点C 作CH OA ⊥于点H ，如图，190303AOC ︒︒∠=⨯=，112CH OC ∴==， ∵290603BOC ︒︒=⨯=∠， ∴260223603BOC S =⨯⨯=扇形ππ．∴ 2112212213223BOC AOC AOB S S S S ππ=+−=+⨯⨯−⨯⨯=−△△阴扇形；∴线段BD 、CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为213π−．故答案为B ．7．如图，矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差12S S −为（ ）A ．13124π−B ．9124π−C ．1364π+D ．6【答案】A 【详解】解：∵在矩形ABCD 4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S −+=−矩形扇形扇形， ∴22129039021343123603604S S πππ⋅⨯⋅⨯−=⨯−−=−， 故选A ．8．如图，在半径为4的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AB 上一动点，点D 是OC 的中点，连结AD 并延长交OB 于点E ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．44π−B ．4πC ．24π−D ．2π【答案】B 【详解】∵点D 是OC 的中点，2OD =，∴点D 在以O 为圆心2为半径的圆弧上，∴可知当AE 与小圆O 相切于D 时，OE 最大，即△AOE 的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值， ∵24OA OD ==， ∴1sin =2OD OAE OA =∠,则30OAE ∠=︒，∵∠AOB=90°，∴tan OE OA OAE =⋅∠=，∴4OAE OAB S S S π=−=阴影扇形， 故选B ．9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、.F 若圆半径为2.则阴影部分面积= ．【答案】23π/23π【详解】解：连接OD ，OF ．AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAC ∴∠=∠，OD OA =，ODA OAD ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD ∴∥AC ，90ODB C ∴∠=∠=︒，∴AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴扇形，2OD OA ==，6AB =，4OB ∴=，2OB OD ∴=，30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，OF OA =，AOF ∴是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，260π22π3603OFA S S ⋅∴===阴影部分扇形，故答案为：2π3．10．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =点O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的圆与AB 相切于点D ，交AC 于另一点E ，点F 为优弧DCE 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ．【答案】223π+ 【详解】解：连接DE ，OD ，∵Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =∴6tan 30BC AC ===︒，∵AB 为O 的切线，∴90ADO ∠=︒，∴2AO OD =，60AOD ∠=︒，∵OD OE OC ==，∴36AC AO OC OD =+==，△ODE 为等边三角形，∴2DE OE OD OC ====，∵S 阴影=S 弓形DGE+S △DEF∴当OF ⊥DE 时，阴影部分面积最大，此时OF 与DE 交于G ，∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，∴cos302OG OD =⋅︒==，2GF OG OF =+=，∴S 阴影= S 扇形ODE - S △DEO +S △DEF=260211222(22360223ππ⨯⨯−⨯⨯⨯=+．11．如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若OA ＝1，则阴影部分面积的最小值为 ．【答案】42π−【详解】取弧AB 的中点C′，连接AB 、OC '、AC '、BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，△ABC 的面积最大，则OC AB '⊥于D1222OD AB ∴===12DC OC OD ''∴=−=−1111(122AOB ABC AOBC S S S D D ''∴=+=⨯⨯+=四边形扇形AOB 的面积29013604ππ⨯== ∴阴影部分面积的最小值为4π=故答案为：4π．12．如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值= ．【答案】【详解】解：由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小．∵P，∴OP=2．∵OA'=OB'=4，∴∴tan ∠A'OP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB'=2120π4360⋅⋅﹣122⋅．故答案为：．13．如图，扇形OAB 中，OA R =，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，点D 为OB 上一动点，连接AD DC 、，当阴影部分周长最小时，tan ADC ∠等于 ．【答案】【详解】解：如图，作点C 关于OB 的对称点E ，连接AE 交OB 于点F ，连接FA 、OC ， 由对称可知，DC DE =，FC FE =，∵AD CD AD DE AE AF EF +=+≥=+，当点D 移动到点F 时，取等号，此时AD CD +最小， ∵C 为弧AB 的中点，∴AC BC =，则30AOC COB BOE ∠=∠=∠=︒，90AOE ∴∠=︒， 又OA OE =，∴45OEF ∠=︒，∴304575EFB BOE OEA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由轴对称可知，75CFB EFB ∠=∠=︒，∴30AFC ∠=︒，∴当阴影部分周长最小时，30ADC AFC ∠=∠=︒，则tan ADC ∠= ．故答案为：．14．如图，扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，M 切弧AB 于点C ，切OA ，OB 分别于点D ，E ，若1OA =，则阴影部分面积的周长为 ．【答案】13π16−+【详解】∵⊙M 内切于扇形AOB ，∴C 、M 、O 三点共线，连接C 、M 、O ，连接ME 、MD ，如图所示，根据相切的性质可知DM ⊥AO ，ME ⊥OB ，设⊙M 的半径为R ，∴ME=MD=MC=R ，∠MDO=∠MEO=90°，结合MO=MO ，可得t t R MDO R MEO ≅△△，∴∠MOD=∠MOE=12∠AOB=120°×12=60°，∴在Rt △MOE 中，∠OME=90°-∠MOE=30°，∴OE=ME=R ，OM=2OE=R ，又∵OA=OC=OB=1，∴OM+MC=1，即R+R=1，解得R=3，∴OE=2BE=OB -1，∵∠MOE=60°，∴»60123603BC OA ππ=⨯⨯=o o ，∵∠OME=30°，∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，15015015223603606EC ME R πππ=⨯⨯=⨯⨯=−，则阴影部分的周长为：BE+BC +EC 1+13π+156π−=1316π−，故答案为：1316π−．15．如图，在AOB 中，2OA =，3OB =，32AB =．将AOB 绕点O 逆时针旋转45︒后得到COD △，则图中阴影部分（边AB 扫过的图形）的周长为 ．【答案】534π+ 【详解】解：∵32CD AB ==，AC 的长为4521801802n OA πππ⋅⨯==，BD 的长为45331801804n OB πππ⋅⨯==，∴阴影部分的周长为533534224AC BD AB CD ππ+++=++=+． 故答案为534π+． 16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ．(1)若25B ∠=︒，求AD 的度数；(2)若D 是AB 的中点，且4AB =，求阴影部分（弓形）的面积．【答案】(1)50°(2)23π【详解】（1）解：连接CD ，如图，90ACB ∠=︒，25B ∠=︒，902565BAC ∴∠=︒−︒=︒，CA CD =，65CDA CAD ∴∠=∠=︒，180656550ACD ∴∠=︒−︒−︒=︒，∴AD 的度数为50︒；（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，122CD AD BD AB ∴====，CD CA =， ACD ∴为等边三角形，60ADC ∴∠=︒，sin 60CH CD =⋅︒=∴阴影部分的面积260212236023ACD ACD S S ππ⋅⋅=−=−⨯=扇形17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC , 以AB 为直径作圆O ，分别交AC , BC 于点D 、E ．(1)求证：BE ＝CE ;(2)当∠BAC ＝40°时，求∠ADE 的度数；(3)过点E 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点F ,当AO ＝BE ＝2时,求图中阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)110︒(3)23π【详解】（1）证明：如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BE=CE ；（2）∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∠BAC ＝40° ∴1==20°,2BAE BAC ∠∠∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，∵四边形ABED 是圆内接四边形,∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，（3）连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EC ⊥，∵22AO BE OB OE AO =====，，∴BOE 是等边三角形，∴60BOE ∠=︒，30F ∠=︒∴EF ==∴160××42==223603OEF OBE S S S ππ−⨯⨯阴影部分扇形． 18．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）163π−【详解】解：（1）证明：过O 作OD AB ⊥于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB=90°，∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，∴∵∠AOC=90°-30°=60°，∴∠COD=2∠AOC=120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积2 1112044422360π⨯=⨯+⨯−163π=．。
重庆市2019届中考一轮复习《6.3与圆有关的计算》讲解含答案
第三节 与圆有关的计算课标呈现 指引方向1．会计算扇形的弧长、扇形的面积．2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 考点梳理 夯实基础1．弧长公式：180n rl π=（n 为圆心角的度数，r 为圆的半径，该公式涉及f ，n ，r 三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．） 2．有关阴影部分面积的求法(1)扇形的面积公式： S=213602n r lr π=（n 为圆心角的度数．r 为圆的半径．l 表示弧长）．(2)求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法．3．圆柱的侧面展开图是 矩形 ，圆柱侧面积= 底面周长×高 ，圆柱全面积= 侧面积+2×底面积 ． 4．正多边形与圆的相关概念(1)正多边形：各边 相等 ，各角 相等 的多边形叫做正多边形．(2)圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．(3)正n 边形酌内角和= 180°(n-2) ；正n 边形的每个内角度数= 180(2)n n ︒- ；正n 边形外角和=360°；正n 边形的每个外角度数=360n︒．考点精析 专项突破考点一 弧长与扇形面积的有关计算【例1】(1)（2019济南）扇形的半径为30cm ，圆心角为120°，此扇形的弧长是 ( ) A.20πcm B.10 πcm C.10 cm D.20 cm 【答案】A(2)（2019宜宾）半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是 ( ) A.31π B.61π C.91π D.12π 【答案】D解题点拨：根据扇形的弧长公式180n rl π=与面积公式S=213602n r lr π=计算即可．考点二 组合图形面积的有关计算【例2】（2019重庆A 卷）如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC=BC=2，则图中阴影部分的面积是 .A ．4πB ．124π+C ．2πD ．122π+【答案】A解题点拨：求阴影面积常用的方法：①直接用公式法：②转化法：③割补法，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 考点三 正多边形与圆【例3】（2019南京）己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为 ( )A ．1B ．3C ．2D ．23【答案】B解题点拨：把正六边形分解为六个等边三角形，借助勾股定理进行计箅即可．课堂训练 当堂检测1．若一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】C2．（2019成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4．则这个正六边形的边心距OM 和BC 的长分别为（ ） A.2，3π B.23，π C ．3，3π D ．23，43π【答案】D3．（2019台州）如图，△ABC 的外接圆O 的半径为2，∠C =40°，则AB 的长是 ．【答案】98π4．（2019宁波）如图，半圆O 的直径AB=2，弦CD ∥AB ，∠COD= 90°，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】4π中考达标/模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）A ．6B ．9C ．18D ．36 【答案】C2．（2019吉林）如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（ ）A ．3π B ．6πC ．53π D ．56π 【答案】C3．（2019泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）2·1·c ·n ·j ·y A ．38B ．34C ．24D ．28【答案】D4．（2019资阳）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ）A ．2233π-B ．2433π-C ．4233π-D ．23π【答案】A5．（2019潍坊）如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=23，以直角边AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．153342π- B ．153322π- C ．7346π- D ．7326π- 【答案】A二、填空题6．（2019桂林）正六边形的每个外角是________度。