求解非线性规划问题的混合粒子群算法

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一种求解非线性约束优化问题的粒子群优化算法

速度被最大速度ａ限制，即若Ｖ＞ａ，则令Ｖ＝Ｖ，若Ｖ＜一ｍ，也令Ｖ＝ｆｘｆｘｍｆＶｆ．
粒子群算法求解约束优化问题的难点是约束条件的处理．文献【】１采用分离目标函数与约束条件的方法，将约束条件转化为调节函数和目标函数一起作为粒子的适应函数，每个粒子的优劣由
形式：
收稿日期：２１－５１０１ —８０
基金项目：福建省自然科学基金项目（０９００１；闽江学院科技启动项目（ＫＱ９０）２０Ｊ５１）Ｙ００１作者简介：罗金炎（９５，男，福建上杭人，副教授，硕士，研究方向：计算数学，智能优化算法１７一） ① Ｋｅｎｄ，ｂｒａｔ．ａｔｌｓｒｏｔｚｔｎ［］／ｒｃｅｉｇ— ＥｔｒａｉｎｌｏｆｒｎｅｏｕａｎｅｙＪＥｅｈｒＲＣＰｒｃｍｉａｏｃ／ＰｏｅｄｎｓＥＥＩｅｎｔａＣｎｅｅｃｎＮｅｒｌｉｅｗａｐｍｉｉＩｎｏ
其中，ｘＥＲ，厂是被优化的目标函数，ｍ是等式约束个数，ｎ是不等式约束个数．（）粒子群算法与其它进化类算法相似，采用 “ 群体 ”与 “ 进化 ”的概念，同时依据个体（子）粒的适应值的大小进行操作，但粒子群算法不像其它进化算法那样对于个体使用进化算子，而是将每个个体看作是在搜索空间中的一个没有重量和体积的粒子，并在搜索空间中以一定的速度飞行，每个粒子的飞行速度根据其本身的飞行经验和群体的飞行经验调整．粒子群算法根据下列公

解非线性约束规划问题的新粒子群优化算法

Ｎｏ．０６ｖ２０
【计算机与通信工程】
解非线性约束规划问题的新粒子群优化算法。
刘淳安
（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７１７２０）０
摘要：给出非线性约束规划问题的一种新解法．首先把带约束的非线性规划问题转化成为２目个标的优化问题，在对搜索算子及各种参数进行合理设计的同时，提出了一种新粒子群优化算法（ＳＭ）最后的数据实验表明该算法对带约束的非线性规划问题求解是非常有效的．Ｔ— ｅ。关键词：非线性规划；约束规划；粒子群优化
收稿日期：０６— ９—１２００６基金项目：陕西省自然科学基础研究计划项目（０６１）宝鸡文理学院重点科研计划项目（Ｋ５８；鸡文理学２０Ａ２；Ｚ２４）宝院院级科研计划项目（２１）Ｊ５７．Ｋ
・
作者简介：刘淳安（９２，陕西淳化县人，１７一）男，硕士，讲师，主要从事最优化、进化算法与人工智能研究．
ｗｔｅｎｎｉｅｒｃｎｔｉｅｐｉｚｔｎｐｏｌ．ｉｔｏｎａｏｓａｎｏｔａｉｒｂｅｈｈｌｒｄｍｉｏｍｓＫｅｒｓｏｌｅｒｐｏｒｍｍｉｇｏｓａｎｒｇａｍｆｇａｔｌｗｒｏｔｚｔｎｙｗｏｄ：ｎｎｉａｒｇａｎｎ；ｃｎｔｉｔｏｒｎｉ；ｐｒｃｅｓａｍｐｉａｉｒｐｎｉｍｉｏ
ｉｍＴ — ）ｉｆａｙｒｏｅＴｅｍｒａｅｐｒｅｔｈｗａｔｅｇｉｍｉｅｃｖｅｌｇｆｈ（ＳＭＣｓｉｌｐｓ．ｈｕｅｃｌｘｅｍｎｓｏｓｈｔｈｌｒｈｅｔｅｎｄａｎｔｌｐｎｏｄｎｉｉｔａｏｔｓｆｉｉｉ

一种求解非线性二层规划的粒子群算法

［键词］非线性二层规划；ＫＴ条件；罚函数法；粒子群算法关 — ［图分类号］０２中２４［献标识码］Ａ文［章编号］１７ —１０（０２４０１０文６３４９２１）０一Ｎ０ — ３
二层规划是一种具有递阶结构的系统优化问题，其数学模型可以表示为：
（＋１一ｃ・（）＋Ｃｆ）ｃ￡Ｊ１・ｒｎ）・（ｂｓｆｚ）＋Ｃａｄ（ｐｅｔ— ２・ｒｎ（ａｄ）・（ｂｓ — ｚ）ｇｅｔ
．
（）３（）４
考虑如下形式的二层二次规划问题：
ｍｎＦｘ一ｄｘ＋ｄｙ（）（‘ ｙ）ｉ（，）Ｔ＋ｚ，Ｒｚ，Ｔｒ
Ｓｔｍｉｆ（ｊ．．ｎｘ，）一ｃ＋Ｔ＋（，Ｑ（，，２Ｔ２Ｙ）ｚＹ）Ｓｔ．．＋ ≤ ｂ（）１
求解该类问题的粒子群算法。
１基本概念
记＝Ｑ］中。。 ∈ Ｑ ×则层标数（）以为Ｑ［，ＱｍＲ一 ∈ｌ下目函厂，可写：：其 ∈ ，Ｑ，ｚ
ｆｘ，（）一ｃ＋Ｔ２＋ＸＱｚ＋（Ｑ１）Ｙ＋ＹＱＹ ‘２ｒ２ｚｒｏ（）２定义１称集合Ｓ＝｛ｚ，）Ｊ ≥ ０Ｙ≥ ０Ａ（Ｙ，，ｘ＋Ｂｙ≤ ｂ）为二层二次规划问题的约束域；合集
［收稿日期］２１０ —２０２— ２６［基金项目］国家自然科学基金项目（０２１８。１９６６）［作者简介］朱智慧（９２一，男，２０１８）０２年大学毕业，讲师，硕士生，现主要从事最优化理论与算法方面的教学与研究工作。

粒子群优化

粒子群优化粒子群优化（ParticleSwarmOptimization，简称PSO）是1995年由Kennedy和Eberhart提出的一种仿生优化算法，它以繁殖的群体形式，处理复杂的非线性优化问题，有效地解决多维空间中多峰优化问题，也可以解决非凸优化问题，像微电网功率系统的优化调度问题、混合型搜索算法的搜索优化等，都可以应用到粒子群优化中。

应用粒子群优化的框架由四个基本步骤组成：（1）机初始化粒子群：初始化的粒子群的位置和速度都随机产生，每一个粒子都有自己的速度和位置，并且满足给定的约束条件；（2）据给定目标函数计算粒子群的适应度值：适应度值是指粒子群对于给定的目标函数的适应程度，即粒子群在搜索空间中每一点处的目标函数值；（3）新粒子群的位置和速度：根据给定的参数和上一阶段的粒子群位置和速度，计算并更新粒子群的位置和速度，从而使粒子群的下一个位置更加接近最优解；（4）复第二步骤，直到满足停止条件：重复计算粒子群的适应度值，直到满足停止条件为止，这样就能获得最优解。

粒子群优化算法比较有效地实现了多峰优化，因为其可以让粒子从一个最优点移动到另一个最优点，而不会陷入局部最优点，因此，粒子群优化算法可以有效地解决多峰优化问题。

此外，它还可以解决一些非凸优化问题，并且拥有较强的全局寻优能力。

粒子群优化算法的主要特点有：(1)解过程简单：粒子群优化算法只需要定义两个参数，以及每一个粒子的位置和速度；(2)度高：粒子群优化算法比较容易收敛到最优解，而不是陷入局部最优；(3)定性强：粒子群优化算法的稳定性较强，能够更好地反映给定问题的特性，因此其有较强的全局搜索能力；(4)于实现：粒子群优化算法比较简单，平均每一次迭代只需要进行一次逻辑变换和一次定向变换，因此比较容易实现。

由于上述特点，粒子群优化算法被广泛地应用于求解各种复杂的优化问题，如无人机自主控制、无人船自主航行、计算机图像处理、计算机视觉、轨迹规划等领域。

求解非线性方程组的混合粒子群算法

ＣｍｕｅＥｇｎｅｉｎＡｐｉｔｎ计算机工程与应用ｏｐｔｎｉｒｇａｄｐｌａｉｓｒｅｎｃｏ
２１，７９０１４（）
３３
求解非线性方程组的混合粒子群算法
欧阳艾嘉刘利斌乐光学，肯立，，～李
ｆｎｔｏｓＣｏｕｅｇｎｅｉｇａｄＡｐｌａｏｓ２１４（：３３．ｕｃｎ．ｍｐｔｒＥｎｉｅｒｎｎｐｉｔｎ。０１，７９）３－６ｉｃｉ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＡｂｉＰｒｉｌＳｒＨｙｒｄａｔｅｗａｍＯｐｉｚｔｎ（ＳｃｔｍｉａｉＨＰＯ）ａｇｒｈ，ｉｈｃｍｂｎｓｈａｖｎａｅｏｈｍｅｈｄＨｏｋ－ｏｌｏｔｍｗｈｃｏｉｅｔｅｄａｔｇｓｆｔｅｉｔｏｏｅＪｅｅ（）ａｄＰｒｉｌｗａｍＯｐｉｚｔｎ（ＳｅｖｓＨＪｎａｔｅｃＳｒｔａｉＰＯ），ｓｕｆｒｒｔｓｌｅｙｔｍｓｆｎｎｉｅｒｕｃｉｎ，ｎｔａｂｍｉｏｉｐｔｏｗａｄｏｏｖｓｓｅｏｏｌａｆｎｔｓａｄｉｎｏｃｎｅ
ＯＡＮＧＡｉＬＵｉｉＹｕｎｘｅＬｎｉＵＹｉａ，ＩＬｂｎ，ＵＥＧａｇｕ，ＩＫｅｌｉ１兴学院数理与信息工程学院，江嘉兴３４０．嘉浙１０１
２池州学院数学与计算机科学系，．安徽池州２７０４００３南大学计算机与通信学院，．湖长沙４０８１０２

RRAP优化问题的HSO算法研究

本栏目责任编辑：唐一东本期推荐RRAP 优化问题的HSO 算法研究李东魁（包头师范学院学报编辑部，内蒙古包头014030）摘要：RRAP 优化问题是决策变量为元件可靠度及元件冗余度的可靠性优化问题，数学模型是非线性混合整数规划问题，属于NP-hard 问题类。

混合种群优化(简写为HSO)算法具有结构简单、运行高效的特点，继承了模拟退火算法SA 、粒子群优化算法PSO 、简化群优化算法SSO 等算法的优点。

该文设计了一个两段混合粒子群优化HSO 算法，用于求解RRAP 优化问题；通过模拟仿真，验证了所给HSO 算法的正确性和有效性；研究结果表明：混合粒子群优化HSO 算法是解决RRAP 问题的一种有效工具。

关键词：可靠性-冗余分配问题（RRAP ）；混合种群优化（HSO ）；编码；算法；收敛中图分类号：TP391.9，TP18文献标识码：A文章编号：1009-3044(2021)15-0020-03开放科学（资源服务）标识码（OSID ）：1背景可靠性-冗余分配问题（RRAP ）是可靠性冗余分配问题（RAP ）中的一种重要类型，数学模型是非线性整数混合规划问题，传统的求解方法，比如动态规划法、替代约束法等的应用受到限制，后启发式算法，如，遗传算法、粒子群优化算法等成为有效的求解手段。

广义可靠性冗余分配问题（GRAP ）和具有多种混合策略的网络可靠性优化模型的出现，成为可靠性冗余分配问题的新发展方向，而混合后启发式算法成为求解可靠性冗余分配问题的新手段。

这里GRAP 问题是指在子系统中允许不同种类的元件可以混合的RAP 问题，而混合后启发式算法是指在算法中同时采用两种以上后启发式算法机制的后启发式算法。

混合种群算法（HSO ）在求解GRAP 问题中具有很好的表现，本文用改进的HSO 算法求解较为复杂的RRAP 问题。

2假设和模型2.1假设1）系统和元件有且仅有正常工作和失效两个状态；2）每个元件的可靠度、价格和重量已知；3）系统中各元件的失效是统计独立的；4）失效的元件不可修复；5）所有备选的元件都是有效的。

基于量子粒子群求解混合整数非线性规划

ＺＮＧＬｎＸＮＧＺｉｄｎ．ａｔｍ－ｅａｅａｔｌｗａｌｐｉｚｔｎｆｒｍｉｅ－ｎｅｅｏｌｅｒｐｏｒｍｍｉｇＨＡａ，Ｉｈ－ｏｇＱｕｎｕｂｈｖｄｐｒｃｓｒｏｔａｏｏｘｄｉｔｇｒｎｎｉａｒｇａｉｅｎｍｉｉｎｎ．
ｍｉｅ－ｎｅｅｏｌｅｒｐｏａｘｄｉｔｇｒｎｎｉａｒｇｍｍｉｇｐｏｌｍｓｍｕｈｅｉｉｎｌＪｓａｎｗｗａｒｓｌｉｇｍｉｅ－ｎｅｅｏｌｅｒｒｇａｎｒｎｒｂｅｃｆｅｅｔｔｅｙｆｏｖｎｘｄｉｔｇｒｎｎｉａｏｍｍｉｇｐｏｌｙｉｏｎｐｒｎｒｂｅｍ．
１引言
混合整数非线性规￣（ｘｄＩｔｅｏＬｎａｒｇａ — ＪｅｔＭｉ —ｎｇｒＮｎｉｅｒＰｏｒｍｅｍｎ，Ｌ）ｉｇＭＮＰ是同时包含整数变量和连续变量的优化问题，许多组合优化问题如：ＳＴＰ问题，背包问题等等都可视为ＭＮＰＬ问题。对于ＭＬＮＰ问题，目标函数和约束条件的非线性，其使结
果往往存在局部最优。
其中：，，＋＝，ｐ维空间，是ｑ维整数空 ∈ Ｙ∈ ｐｑｎＲ是Ｎｑ间，函数ｆｘ）（，为非线性目标函数，，），）非线性约（ｙ，（ｙ为束函数。
３Ｓ算法与ＱＰＯ算法ＰＯＳ３１基本的粒子群算法．
粒子群算法是一种基于迭代的进化算法，通过群体问的合作与竞争来搜索全局最优点。在ＰＯ中，Ｓ每个备用解称为一个粒子，每个粒子的当前位置为Ｘ（，，，ｉＸ： … ％）飞行速度为Ｆ（一，）记第ｉ％，，个粒子从初始到当前迭代次数搜索产生的最优解表示为Ｐ，。整个粒子种群目前最优解为Ｐ，粒子通过如

求解非线性方程及方程组的粒子群算法

求解非线性方程及方程组的粒子群算法
近年来，随着计算机技术的发展，大量的复杂非线性方程及方程组可以用计算机求解，而粒子群优化(PSO)是最近比较受欢迎的一种优化技术。

粒子群算法不仅可以有效地求解非线性方程，而且能够在求解过程中提高算法的最优性。

粒子群优化算法(PSO)是一种迭代优化算法，它基于设置一群搜索实体，其最佳个体状态由迭代计算过程得出，这种方法无需指定任何搜索步骤或优化函数，可以有效地求解复杂非线性方程及方程组。

相对于传统的穷举法，粒子群算法的优点在于它对算法的参数开发要求较低，只需设置一些特定的参数，如粒子数、空间维数以及初始位置、速度等，就可以得到满足某种条件（如最小化和最大化）的最优解。

粒子群算法也拥有自我学习的能力，它可以记忆上一次结果，并根据最优值更新参数，以达到最优解。

这里的最优解可以是最小值或最大值，也可以是最小平方和。

此外，粒子群算法可以改进研究中的初始值，当非线性方程的参数发生变化时，粒子群算法也能根据环境的变化而自行调整，从而达到最优解。

粒子群算法在非线性方程和方程组方面有着巨大的潜力。

复杂的非线性方程，特别是多元非线性方程，可以有效地使用粒子群算法。

例如多元方程可以表示多维空间某一点的分布状况，利用粒子群算法可以更好地找到最佳解来描述该点在多维空间中的位置，从而解决多元非线性方程。

总结来说，粒子群算法具有自适应地特性，能够有效地解决复杂的非线性方程及方程组，从而在求解过程中提高算法的最优性。

未来，粒子群算法将继续受到计算机科学领域的广泛应用，用于多种复杂的求解问题。

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ＣｍｕｒＥｇｎｅｉｎｐｌａｉｓ算机工程与应用ｏｐｔｎｉｅｒｇａｄＡｐｉｔｎ计ｅｎｃｏ
求解非线性规划问题的混合粒子群算法
廖锋，兴宝高
ＬＩＡＯＦｎＧＡＯＸｉｇａｅｇ，ｎ —ｂｏ
摘
要：用粒子群算法求解非线性规划问题时不可避免的会产生不可行点，处理好不可行点是粒子群算法取得良好优化结果的关
键。依据粒子的目标函数值与违反约束的程度提出了一种处理不可行点的合理选择方案，并运用融合差分演化的混合粒子群算法求解约束优化问题，数值实验表明该算法的有效性。
ｄｇｅ，ｎｐｌｎｙｒｐｒｉｌｗｒｏｔｚｔｎａｇｒｈｅｒｅａｄａｐｙａｈｂｉａｃｅｓａｍｐｉａｉｌｏｔｍｃｍｂｎｄｉｅｅｔｌｅｏｕｉｎｏｓｌｅｏｓｒｅｐｉｚｔｎｄｔｍｉｏｉｏｉｅｄｆｒｎｉｖｌｔｔｏｖｃｎｔｉｄｏｔａｏｎｍｉａｉｏ
ｒｕｔｈｕｈｒｐｏｏｅａｅｓｎｂｅｓｌｔｍｔｏｏｄａｗｔｉｆｓｌｐｉｓｂｓｄｏｂｅｔｆｎｔｎｖｌｅａｄｖｌｅｅｌｅａｔｏｓｒｓｎｒｏａｌｅｅｅｄｔｅｌｉｎｅｉｅｏｔａｅｎｏｊｃｕｃｏａｎｉａｓ．Ｔｐａｃｈｈａｂｎｉｕｏｔ
陕西师范大学数学与信息科学学院，西安７６０２１０
ＣｌｇｆＭａｈｍａｉｓａｄＩｆｒｔｎＳｉｎｅＳａｎｉｏｍａｉｅｓｔ， ’ｎ７０２，ｉａｏｌｅｏｔｅｔｎｎｍａｉｃｅｃ，ｈｎｘＮｒｌＵｎｖｒｉＸｉａ６Ｃｈｎｅｃｏｏｙ１０
Ｅ—ｍａｌｌａｆｎ５９７ｓｕ．ｎｎｅｕ．Ｈｉ：ｉｏｅｇ２０７＠ｔｓｕ．ｄＣ
ＬＩＡＯＦｎＧＡＯＸｉｇ— ａ．ｂｉｐｒｉｌｓｒｅｇ．ｎｂ０ＨｙｒｄａｔｃｅｗａｍｏｔｉａｉｎｏｏｖｎｎｉｅｒｒｇａｍｉｐｏｌｍｓＣｏｐｉｚｔｔｓｌｅｏｌａｐｏｒｍｍｏｎｎｇｒｂｅ．ｍｐｔｒｕｅ
ｐｏａｍｉｐｒｂｌｍｓａｄｔｓｅｙｍｐｒａｎｔｈｄｌｉｅｓｂｌｐｏｎｓｏｒｉｌｓｒｌｐｍｉａｉｎｏｅｇｏｏｉｚｔｏｎｒｇｒｍｎｇｏｅ，ｎｉｉｖｒｉｏｔｔｏａｎｅｎｆａｉｅｉｔｆｒｐａｃｅｗａｎｏｉｚｔｏｔｇｔｏｄｐｔｍｉａｉｔ
ｐｒｂｌｍｓ．ｈｎｍｅｉａｅｐｅｉｎｔｎｄｃｔｄｈａｔａｇｉｏｅｔｅｕｒｃｌｘｒｍｅｉｉａｅｔｔｈｅｌｏｒｔｈｍｉｅｆｃｉｎ．ｓｆｅｔｉＫｅｙｗｏｄｓ：ｐａｉｌｓｒ；ｆｅｅｔａｅｏｕｉｎ；ｒｍａｕｒｒｔｒｃｅｗａｍｄｉｒｎｉｌｖｌｔｏｐｅｔｅｆ
（）０＝＋，＋，ｍ）＝（ｑｌ２…，ｑ
≤ ≤ ，＝，，ｎ称为搜索空问，ＣＳｋｌ２ …，｝Ｆ。定义
ｑｍ
Ｆ｛ｌ（ ≤０ｈ（＝，１２ … ，；＋，＋，，称为可＝ｘ．ｇ），ｊ）０ｉ，，ｑｌｑ２ … ｍ｝＝
Ｅｇｅｒｎｎｐｌａｉｎ，０８４（１：３４．ｎｉｅｉｇａｄＡｐｉｔｓ２０。４１）４ — ６ｎｃｏ
ＡｂｔａｔＩ ’ ｉｅｉｂｅｏｒｄｃｉｆａｉｌｐｉｔｓｒｃ：ｔＳｎｖｔｌｔｐｏｕｅｎｅｓｂｅｏｎｓａｗｈｎｔｅｕｈｒｓｐｒｉｌｓｒｅｈａｔｏｕｅａｃｅｗａｍｏｔｚｔｎｏｓｌｅｏｌｅｒｔｐｉａｉｔｏｖｎｎｉａｍｉｏｎ（）０＝，，－）ｓ ≤ （ｌ－，・ｔ２－ｇ
ｌ
行域，＝ｓ
（）１
难以解决的优化问题，没有普遍适用的解法。传统求解该问题的方法（如罚函数法可行方向法…以及变尺度法等），】是基于
梯度的方法，以目标函数与约束式必须是可微的，所并且这些方法只能保证求得局部最优解。．粒子群算法不是基于梯度信息进行搜索的算法，而是通过粒子问相互协作，共享粒子问的飞行经验共同向最优点逼近，所以用粒子群算法适用于求解各类非线性规划问题。众所周知，粒子群算法存在早熟收敛的弊端，了提升粒子群算法的为
关键诃：子群；分演化；熟粒差早
文章编号：０２８３（０８１— ０３０文献标１码：巾图分类号：Ｐ８１０ — ３１２０）１０４ — ４只ＡＴ１
１引言
非线性规划问题广泛存在于科学与工程领域，是一类比较