高三文科数学第一轮复习练习7

测试题7一、选择题1．设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析 (1)A ＝{x |－3≤2x －1≤3}＝[－1,2]，B ＝(1，＋∞)，∴A ∩B ＝(1,2]．选C2．已知全集U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x >3，则∁U P ＝( )． A.⎣⎡⎭⎫13，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，13C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 解析 因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，所以当x >1时，y >log 21＝0，故U ＝(0，＋∞)；因为函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，故当x >3时，0<y <13，故P ＝⎝⎛⎭⎫0，13.显然P ⊆U ，故∁U P ＝⎣⎡⎭⎫13，＋∞，所以选A. 3．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 解不等式2x 2＋x －1>0，得x <－1或x >12.可知：当x >12时，2x 2＋x －1>0成立，但2x 2＋x －1>0时，不一定有x >12.所以“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的充分而不必要条件． 答案 A4．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( )．A ．(0,8]B ．(2,8]C ．(－2,8]D ．[8，＋∞)解析 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，1－lg (x ＋2)≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x ≤8，故选C.5． 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )．A ．y ＝x 3B ．y ＝ln |x |C ．y ＝1x 2D ．y ＝cos x 解析 y ＝x 3不是偶函数；y ＝1x 2在(0，＋∞)上单调递减；y ＝cos x 在(0，＋∞)上有增有减．只有y ＝ln |x |满足条件．答案 B6．已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析 a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8，∵21.2>20.8>1，∴a >b >1，c ＝2log 52＝log 54<1，故c <b <a . 答案 A7．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )． A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数解析 由f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )可知f (x )为偶函数，由g (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－g (x )可知g (x )为奇函数．答案 D8．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1.所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案 A9．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )．A ．－2B ．2C ．－98D ．98解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数，∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A.10．函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析 由题意得m 2＋1>－m ＋1，即m 2＋m >0，故m <－1或m >0.答案 D11．设函数f (x )为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )．A ．(－1,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)解析 xf (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x <－2，所以x >2或x <－2. 答案 C12．当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0且a ≠1)，则实数a 的范围是( )．A ．(1，2)B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2) D ．(0,1)∪(1，2)解析 x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0且a ≠1)，若a >1时，y ＝a x 是一个增函数，则有a 2<2，可得a <2，故有1<a <2；若0<a <1，y ＝a x 是一个减函数，则有a －2<2，可得a >22，故有22<a <1. 综上知a ∈⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)．答案 C 二、填空题 13．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}14．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析 A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，即A ＝(0,4]，由A ⊆B ，B ＝(－∞，a )，且a 的取值范围是(c ，＋∞)，可以结合数轴分析得c ＝4.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14． 16．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析 绝对值函数f (x )＝|2x ＋a |的图象是个V 形图，且对称轴是x ＝－a 2.显然其单调递增区间应是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞＝[3，＋∞)，即a ＝－6. 三、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且x ∈(0,2)时，f (x )＝2 017x 2，求f (2 017).解：由f (x ＋4)＝f (x )知函数f (x )的最小正周期为4，则f (2 017)＝f (4×504＋1)＝f (1)＝2 017.18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，求x 的值． 解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32． 19．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，求满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围．解：由于f (x )是偶函数，故f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13.再根据f (x )的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <23. 20．已知函数f(x)是R 上的奇函数，且函数f(x)在区间(－1，1)上的增函数，若f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m 的集合；∵f (x )是R 上的奇函数．∴f (－x )＝－f (x )，由f (1－m )＋f (1－m 2)<0有f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，f (x )是(－1，1)上的增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <m 2－1，－1<1－m <1，－1<m 2－1<1.解得m ∈(1，2)．21.求以椭圆22416x y +=内一点A(1，－1)为中点的弦所在直线的方程。

解：设以A(1，－1)为中点的弦所在的直线方程为{()1cos 1sin x t y t θθθ=+=-+为参数，把它代入22416x y +=得22(1cos )4(1sin )16t t θθ++-+=即222(cos 4sin )2(cos 4sin )110t t θθθθ++--=∵弦以A(1，－1)为中点，∴交点所对应的参数1t 和2t 有：1t ＋2t ＝0 ∴22cos 4sin 0cos 4sin θθθθ--=+∴cos 4sin θθ-＝0，∴1tan 4θ= ∴所求的直线方程为11(1)4y x +=-即x －4y －5＝0 22. 已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ，求y x S -=3的最值。

解：由4)2()1(22=++-y x 可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。

令 θcos 21+=x θsin 22+-=y ，则 )sin(1025sin 2cos 65)sin 22()cos 21(33ϕθθθθθ++=-+=+--+=-=y x S （其中326tan -=-=ϕ）∵-1≤1)sin(=+ϕθ≤1 ∴当1)sin(=+ϕθ时，S 有最大值，为1025max +=S当1)sin(-=+ϕθ时，S 有最小值，为1025min -=S∴S 最大值为1025max +=S ；S 最小值为1025min -=S 。