2012吉林高考数学二轮复习—平面向量
高考数学二轮复习 专题5 平面向量
2012届高考数学二轮复习专题五 平面向量【重点知识回顾】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。
能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。
这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。
二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性 平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+的一组基底。
向量的坐标表示i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。
()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122()()λλλλa x y x y →==1111，，()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式. 平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。
高考数学第二轮专题复习平面向量教案
高考数学第二轮专题复习平面向量教案一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法那么及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法那么及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用〔在B类教材中〕.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法那么、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题2 第8讲 平面向量及其应用
第8讲 │ 要点热点探究
► 探究点三FM|＝2，P 为该 例 3 如图 8－1，平面上定点 F 到定直线 l 的距离 － ， ＝ ， 平面上的动点， 过 的垂线， 平面上的动点， P 作直线 l 的垂线， 垂足为 Q， (PF＋PQ)·(PF－PQ) ， → → → → 且 ＝0. (1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点 P 的轨迹 C 的方程； 试建立适当的平面直角坐标系， 的方程； 试建立适当的平面直角坐标系 (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 N，已知 → 过点 、 两点， ，已知NA → → → 求证： 为定值． ＝λ1AF，NB＝λ2BF，求证：λ1＋λ2 为定值．
1 3 1 2 1 4 1 2
则称 A3，A4 调和分割 A1，A2，已知平面上的点 C，D 调和分割点 A， ， ， B，则下面说法正确的是 ) ，则下面说法正确的是( A．C 可能是线段 AB 的中点 ． B．D 可能是线段 AB 的中点 ． C．C、D 可能同时在线段 AB 上 ． 、 D．C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 ． 、
第8讲 │ 要点热点探究
分析】 首先理解题设给出的新定义信息， 【分析】 首先理解题设给出的新定义信息，将问题转化 成向量的共线问题讨论． 成向量的共线问题讨论．
→ ∈ ，→ D 【解析】 若 C、D 调和分割点 A，B，则AC＝λAB(λ∈R)，AD 解析】 、 ， ， → → (µ∈R)，且1＋1 ＝2. ＝µAB ∈ ， λ µ 1→ 1 1 的中点， → 对于 A：若 C 是线段 AB 的中点，则AC＝2AB⇒λ＝2⇒µ＝0，故 ： ＝ ， A 选项错误；同理 B 选项错误； 选项错误； 选项错误；
【点评】 本题是一道新定义信息题，考查学生对新定义的理解以 点评】 本题是一道新定义信息题， 及处理问题的能力 解答这类问题，首先需要分析新定义的特点， 问题的能力． 及处理问题的能力．解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新 定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中， 定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这 是破解新定义信息题难点的关键所在． 是破解新定义信息题难点的关键所在．
配套K12高考数学二轮复习 平面向量1学案 理
二轮复习专题：平面向量§1平面向量的基本概念和运算【学习目标】1.理解平面向量的基本概念2.掌握向量的线性运算，并理解其几何意义3.理解平面向量的两个定理，会用坐标表示平面向量的线性运算和共线条件4.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。
【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：平面向量的线性运算（数形方面的不同处理）、两个基本定理的应用。
【高考方向】1.向量的线性运算、共线问题。
2.向量的坐标运算尤其是向量共线的坐标表示。
【课前预习】：一、知识网络构建1.平面向量的有关概念有哪些？2.平面向量的线性运算3.平面向量的两个基本定理4.平面向量的坐标表示和坐标运算二、高考真题再现[2014·浙江卷] 记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+三、基本概念检测1．下列命题正确的是__________①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 ②若a b =，则a b =或a b =- ③若AB DC =,则ABCD 为平行四边形 ④若a b ，b c ，则a c2．已知向量a 、b 满足||1a =，(2,1)b =，且0a b λ+=（R λ∈），则||λ= .3.在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．1e ＝(0,0)，2e ＝(1,2) B ．1e ＝(－1,2)，2e ＝(5，－2) C ．1e ＝(3,5)，2e ＝(6,10) D ．1e ＝(2，－3)，2e ＝(－2,3)4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)、(1,-5)，求第四个顶点的坐标【课中研讨】： 例1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在线段BC 外，216BC =,AB AC AB AC +=-,求AM例2．设(1,2)OA =-,(,1)OB a =-,(,0)OC b =-,a>0,b>0,O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是__________。
2012届高考数学理二轮专题总复习课件：专题4第3课时 平面向量与解三角形
5. 关于平面向量a、b、c，有下列四个命题： ①若a•b=a•c，则b=c； ②(a•b) •c=a• (b•c)； ③若a=(1，k)，b=(-2,6)，且a ∥ b，则k=-3； ④若非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的 夹角为30°. 其中真命题的序号是__________．(写出所有真命 题的序号)
专题四 三角函数 专题一 函数与导数 与平面向量
1．高考考点 (1)理解平面向量的概念、性质和运算； (2)掌握向量的平行、垂直、长度、夹角等公式； (3)能应用向量解决一些问题(如三角函数、解三角 形和解析几何等)； (4)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的 问题(如三角形度量、与测量和几何计算有关的实 际问题等)． 2．易错易漏 (1)向量和数量的区别(如向量没有除法运算、向量 的数量积不满足乘法的结合律等)；
【解析】对于①，向量的等式中两边不能同消去 同一个向量，所以①不正确；对于②，因为 [(a×b)×c]∥c，[a×(b×c)]∥a，所以一般地有 (a×b)×c≠a×(b×c)，所以②不正确；对于③， 1 k = ，得k=-3，故③正确；对 因为a∥b，所以 −2 6 于④，根据平行四边形法则及图形知a与a+b的夹 角为30°，所以④正确． 【答案】 ③④
【分析】把向量转化为三角函数再进行求解．
1 1 2 2 【解析】1)由m ⋅ n = − 得 cos A − sin A = − ， ( 2 2 1 π 即cos 2 A = − ，因为0 < A < ， < 2 A < π， 0 2 2 π 2π 所以2 A = ，则A = . 3 3 由a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A得c 2 − 3c + 2 = 0， 所以c = 1或2，因为c = 1时， B < 0， cos 所以c = 1舍去，所以c = 2， 1 1 π 3 3 所以S = b ⋅ c ⋅ sin A = × 3 × 2 × sin = . 2 2 3 2
吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮复习 专题五《平面向量》教案
2013东北师大附中高考第二轮复习：专题五《平面向量》【考点梳理】一、考试内容1.向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。
2.平面向量的坐标表示，线段的定比分点。
3.平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。
4.平移及平移公式。
二、考试要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加法与减法。
3.掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。
4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
三、考点简析1.平面向量知识结构表2.向量的概念（1）向量的基本概念①定义既有大小又有方向的量叫做向量。
向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。
②特定大小或特定关系的向量零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
③表示法几何法：画有向线段表示，记为AB或α。
坐标法：AB=xi+yj=(x,y)。
AB=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)（2）向量的运算①向量的加法与减法定义与法则（如图5－1）：a+b=(x1+x2,y1+y2),a－b=(x1－x2,y1－y2)。
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。
运算律：a+b=b+a,(a+b)+C=a+(b+c),a+O=O+a=a。
②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5－2）：λa=λ(x,y)=(λx, λy)运算律λ（μa ）=(λμ)a ,( λ+μ)a =λa +μa , λ(a +b )= λa +λb 。
③平面向量的数量积定义与法则（如图5－3）： a ·b =|a ||b |cos θ(a ≠0,b ≠0,0≤θ≤π) 0·a =0,a ·b =x 1x 2+y 1y 2[a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)]。
步步高2012年高考数学二轮专题复习课件专题11第4讲平面向量
8．如图，四边形 ABCD，AD＝2，BC＝3，则
答案 5
5．在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝1，点 P 在 AM 上且
满足A→P＝2P→M，则P→A·(P→B＋P→C)等于___49_____． 解析 ∵AM＝1，且A→P＝2P→M. ∴|→AP|＝23. 如图：A→P·(P→B＋P→C) ＝A→P·2P→M＝A→P·A→P ＝A→P2＝232＝49.
即 2sin xcos x＝2sin2x，而 x∈(0，π)，所以 sin x＝cos x， 即 x＝π4，故 tan x＝1. 2．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则 a 与 b
π 的夹角为___3_____． 解析 ∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2 且|a|＝|b|＝2， ∴a·b＝2，∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝12. 而〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝3π.
6．(2010·陕西)已知向量 a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)， 若(a＋b)∥c，则 m＝__－__1____. 解析 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)． ∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0. ∴m＝－1.
7．向量 a，b 满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则 a 与 b 夹角的余弦值为__－__12____．
2012届高考数学平面向量知识导航复习教案
2012届高考数学平面向量知识导航复习教案第四平面向量高考导航考试要求重难点击命题展望1平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景；(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；(3)理解向量的几何表示2向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义3平面向量的基本定理及其坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条4平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系；(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；(2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题本重点：1向量的各种运算；2向量的坐标运算及数形结合的思想；3向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用本难点：1向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用；2向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”，所以它成为中学数学知识的一个交汇点在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行综合考查在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值知识网络41平面向量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量的长度与的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量与向量是共线向量，则A、B、、D必在同一直线上其中真命题的序号是【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；与是共线向量，则A、B、、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错故是真命题的只有①【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可【变式训练1】下列各式：①|a|＝；②(a b) ＝a (b )；③－＝；④在任意四边形ABD中，为AD的中点，N为B的中点，则＋＝2 ；⑤a＝(s α，sin α)，b＝(s β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b)其中正确的个数为()A1B23D4【解析】选D| a|＝正确；(a b) ≠a (b )；－＝正确；如下图所示，= + + 且= + + ，两式相加可得2 ＝＋，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b)所以命题①③④⑤正确题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABD是平行四边形，A、BD交于点，点在线段D上，且= ，点N在线段上,且= ,设=a, =b,试用a、b表示，，【解析】在▱ABD中，A，BD交于点，所以＝12 ＝12( －)＝12(a－b)，＝＝12 ＝12( ＋)＝12(a＋b)又＝13 ，＝13 ，所以＝＋＝b＋13＝b＋13×12(a－b)＝16a＋6b，＝＋＝＋13＝43 ＝43×12(a＋b)＝23(a＋b)所以＝－＝23(a＋b)－(16a＋6b)＝12a－16b【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形【变式训练2】是平面α上一点，A、B、是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足＝＋λ( ＋)，若λ＝12时，则( ＋)的值为【解析】由已知得－＝λ( ＋)，即＝λ( ＋)，当λ＝12时，得＝12( ＋)，所以2 ＝＋，即－＝－，所以＝，所以＋＝＋＝0，所以( ＋)＝0＝0，故填0题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数，使a＋b和a＋b共线【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝(a＋b)＝，所以，共线又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为a＋b和a＋b共线，所以存在实数λ，使a＋b＝λ(a＋b)，所以(－λ)a＝(λ－1)b因为a与b是不共线的两个非零向量，所以－λ＝λ－1＝0，所以2－1＝0，所以＝±1【点拨】(1)向量共线的充要条中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想(2)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线【变式训练3】已知是正三角形BA内部一点，+2 +3 =0，则△A的面积与△AB的面积之比是（）A32B232D13【解析】如图，在三角形AB中，＋2 ＋3 ＝0，整理可得＋＋2( ＋)＝0令三角形AB中A边的中点为E，B边的中点为F，则点在点F 与点E连线的13处，即E＝2F设三角形AB中AB边上的高为h，则S△A＝S△AE＋S△E＝12 E (h2＋h2)＝12E•h，S△AB＝12AB 12h＝14AB•h，由于AB＝2EF，E＝23EF，所以AB＝3E，所以S△AS△AB＝＝23故选B总结提高1向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形2判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出3当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|42平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图▱ABD中,,N分别是D，B中点已知=a, =b,试用a，b表示，与【解析】易知＝＋＝＋12 ，＝＋＝＋12 ，即所以＝23(2b－a)，＝23(2a－b)所以＝＋＝23(a＋b)【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底表示此处方程思想的运用值得仔细领悟【变式训练1】已知D为△AB的边B上的中点，△AB所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，则等于()A13B121D2【解析】由于D为B边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2 ，因此结合＋＋＝0即得＝2 ，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以＝1，即选题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1)(1)u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1(2)u∥v ⇔(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)⇔⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1【点拨】对用坐标表示的向量说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视【变式训练2】已知向量an＝(snπ7，sinnπ7)(n∈N*)，|b|＝1则函数＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为【解析】设b＝(s θ，sin θ)，所以＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(a1)2＋b2＋2(sπ7，sinπ7)(s θ，sin θ)＋…＋(a141)2＋b2＋2(s141π7，sin141π7)(s θ，sin θ)＝282＋2s(π7－θ)，所以的最大值为284题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△AB的角A，B，所对的边分别是a，b，，设向量＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)(1)若∥n，求证：△AB为等腰三角形；(2)若⊥p，边长＝2，角＝π3，求△AB的面积【解析】(1)证明：因为∥n，所以asin A＝bsin B由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b所以△AB为等腰三角形(2)因为⊥p，所以•p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0所以ab＝4或ab＝－1(舍去)所以S△AB＝12absin ＝12×4×32＝3【点拨】设＝(x1，1)，n＝(x2，2)，则①∥n⇔x12＝x21；②⊥n⇔x1x2＋12＝0【变式训练3】已知a，b，分别为△AB的三个内角A，B，的对边，向量＝(2s－1，－2)，n＝(s ，s ＋1)若⊥n，且a＋b＝10，则△AB周长的最小值为()A10－3B10＋310－23D10＋23【解析】由⊥n得2s2－3s －2＝0，解得s ＝－12或s ＝2(舍去)，所以2＝a2＋b2－2abs ＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2abͤab≤2，所以2≥7，即≥3，所以a＋b＋≥10＋3，当且仅当a＝b＝时，等号成立故选B总结提高1向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算2向量的运算中要特别注意方程思想的运用3向量的运算分为向量形式与坐标形式向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标43平面向量的数量积及向量的应用典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例1】已知a，b夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)(a＋2b) •(a＋b)；(3)a与(a＋b)的夹角θ【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a•b＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以|a＋b|＝23(2)(a＋2b) •(a＋b)＝a2＋3a•b＋2b2＝16－3×4×2×12＋2×4＝12(3)a•(a＋b)＝a2＋a•b＝16－4×2×12＝12所以s θ＝＝124×23＝32，所以θ＝π6【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题【变式训练1】已知向量a，b，满足：|a|＝1，|b|＝2，＝a＋b，且⊥a，则a与b的夹角大小是【解析】由⊥aͤ•a＝0ͤa2＋a•b＝0，所以s θ＝－12，所以θ＝120°题型二利用数量积解决垂直与平行的问题【例2】在△AB中，＝(2，3)，＝(1，)，且△AB的一个内角为直角，求的值【解析】①当∠A＝90°时，有• ＝0，所以2×1＋3•＝0，所以＝－23；②当∠B＝90°时，有• ＝0，又＝－＝(1－2，－3)＝(－1，－3)，所以2×(－1)＋3×(－3)＝0ͤ＝113；③当∠＝90°时，有• ＝0，所以－1＋•(－3)＝0，所以2－3－1＝0ͤ＝3±132所以的取值为－23，113或3±132【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角【变式训练2】△AB中，AB＝4，B＝，A＝6，求• ＋• ＋•【解析】因为2 • ＋2 • ＋2 •＝( • ＋• )＋( • ＋• )＋( • ＋• )＝•( ＋)＋•( ＋)＋•( ＋)＝• ＋• ＋•＝－42－62－2＝－77所以• ＋• ＋• ＝－772题型三平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴x，交于点，且∠x＝π3，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与x，同向的单位向量，设P为坐标平面内一点，且＝xe1＋e2，则点P的坐标为(x，)，已知Q(－1，2)(1)求| |的值及与x的夹角；(2)过点Q的直线l⊥Q，求l的直线方程(在斜坐标系中)【解析】(1)依题意知，e1•e2＝12，且＝－e1＋2e2，所以2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1•e2＝3所以| |＝3又•e1＝(－e1＋2e2) •e1＝－e21＋2e1 e2＝0所以⊥e1，即与x成90°角(2)设l上动点P(x，)，即＝xe1＋e2，又⊥l，故⊥，即[(x＋1)e1＋(－2)e2] •(－e1＋2e2)＝0所以－(x＋1)＋(x＋1)－(－2) •12＋2(－2)＝0，所以＝2，即为所求直线l的方程【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年高考的命题趋势【变式训练3】在平面直角坐标系x中，点A(，0)对于某个正实数，存在函数f(x)＝ax2(a＞0)，使得＝λ ( ＋)(λ为常数)，其中点P，Q 的坐标分别为(1，f(1))，(，f())，则的取值范围为()A(2，＋∞)B(3，＋∞)(4，＋∞)D(8，＋∞)【解析】如图所示，设＝，＝，＋＝，则＝λ 因为P(1，a)，Q(，a2)，＝(1，0)，＝(2＋a24，a22＋a24)，＝(2＋a24＋1，a22＋a24)，则直线G的方程为＝a2＋2＋a24x，又＝λ ，所以P(1，a)在直线G上，所以a＝a2＋2＋a24，所以a2＝1－2因为| |＝1＋a2＞1，所以1－2＞0，所以＞2 故选A总结提高1本节是平面向量这一的重要内容，要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a•b) •≠a•(b•)；数量积不满足消去律，即a•b＝a•推不出b＝2通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直3向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径。
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2012吉林高考数学二轮复习-平面向量I 卷一、选择题1．在直角三角形ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，M 是斜边BC 的中点，则向量在向量方向上的投影是( ）A ．1B ．－1C ．355D ．－355【答案】D2．在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若,AB mAM AC nAN==,则mn 的最大值为 ( ）A ． 1B ． 12C ． 14D ． 2【答案】A 3．已知向量OZ 与向量Z O '关于x 轴对称，向量j=（0，1），则满足不等式2≤'⋅+Z Z j OZ 的点Z ()y x ,的集合用阴影表示为（ ）【答案】D4．若非零向量→a ，→b 满足|→a |＝|→b |，(2→a ＋→b )·→b ＝0，则→a 与→b的夹角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】B5．在△ABC 中，2AB =，1AC=，BD =DC ，则AD BD ⋅的值为 ( ）A ．-23B ． 23C ．-34D ． 34【答案】C6．设a 、b都是非零向量，则“||||b a b a ⋅±=•”是“a 、b共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C7．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )A ．AC AB AD =+ B ．BD AD AB =-C ．11AO AB AD22=+ D ．5AE AB AD3=+ 【答案】D8．已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足：PA PB PC 0++=，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为 ( ）A ．3B ．23C ．2D ．8【答案】A9．设平面向量a =（1，2），b = (-2，y ），若a b ，则|3a 十b |等于( ）A ．5B ．6C ．17D ．26【答案】A 10．已知向量()52,5,2,1=-=⋅=b a b a a ，则b等于( )A ．5 B ．52C ．25D ．5【答案】D11．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO ·BC 的值（ ）A ． －8B ． －1C ． 1D ． 8【答案】D12．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足学2=，则）（+·等于（ ） A ． 94B ． 34C ．34-D ．94- 【答案】D 13．设cb a ,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①)()(=⋅-a ba b a -<-③ba c a cb )()(-⋅不与c垂直 ④2249)23)(23(ba b a b a -=-+中，是真命题的有（ ）A ．①②B ．②③C ．④D ．②④【答案】D14． 如图，一个质点从原点出发，在与y 轴.x 轴平行的方向按（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2011秒时，这个质点所处位置的坐标是(A ．（13，44）B ．（14，44）C ．（44，13）D ．（44，14）【答案】A 15．在△ABC 中，)3,2(),1,(,90==︒=∠k C ，则k 的值是( ）A ．5B ．－5C ．23D ．23-【答案】A 16．已知,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足)(-·)(=-，则||的最大值是（ ） A ．2B ．2C ．1D ．22 【答案】A17．平面向量a 与b 的夹角为600，a=（2，0），|b|=1 则|a ＋2b|=（ ）A ．3B ． 23C ．4D ．12【答案】B 18．已知ba b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( )A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】C19．已知非零向量,22||||,0)||||(,=⋅⋅=⋅+BC AC BCAC BC AC AC AB AB BC AC AB 且满足和则△ABC 为( ）A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B20．若k R ∀∈，||||BA k BC CA -≥恒成立，则△ABC 的形状一定是 ( ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【答案】B解析:根据遇模平方k R ∀∈，||||BA k BC CA -≥恒成立可以转化为:222222,220,()(2)0k R k BC kBA BC BA BC BC BA BC BC BA BC BC ∀∈∴-+-≥∴--≤22222cos (2cos )0,a c B a ac B a ∴--≤由余弦定理得: 2222cos 0,c B c b -+≤由正弦定理得:2sin 1,2B B π≥∴=.由上可知:该题综合考查向量的模、数量积、二次不等式恒成立、正余弦定理以及推理论证能力,是难题.21．设向量a b 与的模分别为6和5，夹角为120︒，则||a b +等于( ）A ．23B ．23- C ．91 D ．31【答案】D22． 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A ．一条线段 B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D ．一个单位圆【答案】D23．已知在△ABC 中，点D 在BC 边上，且DB CD 2=，AC s AB r CD +=，则s r +的值为（ ）A 0B 43C 23 D -3 【答案】A24．的外接圆的圆心为O ，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（ ）A ．B ．C ． 3D ．【答案】A【解析】由已知可以知道，ABC ∆的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此ABC ∆是直角三角形。
且2A π∠=，又因为,,363,1362C B AB AC πππ→→→→→=∴∠=∠=∴===，故在上的射影|OA||CA|BA BC |BA|cos因此答案为A25．已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若)21(BC AB OA OP +=-λ(λ∈0，+∞))，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【答案】C26． △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若，且AO AC AB 2=+，且AC OA =，则向量BA 在向量BC 方向上的射影的数量为（ ）A ． 23B ．23 C ．3 D ．23- 【答案】A 27． 已知(2,1)a =-，(,2)b x =，若a ∥b ，则x 的值是( )A ．1B ．－1C ．4D ．－4【答案】D28．已知向量()(),2,1,1,3=-=b x a 若b a //，则实数x 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C29．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则A ．（2，4）B ．（3，5）C ．（—2，—4）D ．（—1，—1）【答案】D30．平面向量a 与b 夹角为32π， a (3,0),|b |2==，则|a 2b |+=（ ）A ．7B ．37C ．13D ．3【答案】C31． 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．AB ＝DCB ．AD ＋AB ＝ACC ．AB －AD ＝BDD ．AD ＋CB ＝→0【答案】C32．已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，那么( ）A ．k=1时，c 与d 同向B ．k=1时，c 与d 反向C ．k=-1时，c 与d 同向D ．k=-1时，c 与d 反向【答案】D 33．若向量(1,2),(1,1)a b ==-,且ka b +与a b -共线,则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．1-【答案】D34． 下列说法中错误．．的是（ ） A ．零向量是没有方向的 B ．零向量的长度为0C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的 【答案】A35．在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( )A ．2AC AC AB =⋅ B ．2BC BA BC=⋅C ．2AB AC CD=⋅ D22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】C36．已知ABC ∆中，2πA (k,1),AC (2,3),AB ===，则k 的值为（ ）A ．311- B ．311C ．23- D ．23【答案】C37．在ABC ∆中，90C =︒，且CA=CB=3，点M 满足2BM MA =，则CMCB ⋅等于( ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B38．如图所示，已知,,,,2c OC b OB a OA BC AB ====则下列等式中成立的是（ ）A ．ab c 2123-= B ．a b c -=2 C ．)b a c -=2D ．ba c 2123-=【答案】A 解析：由），（3222+-=+=+=即得，即ab c 2123-=。
39．已知非零向量a 、b 满足向量a+b 与向量a —b 的夹角为2π，那么下列结论中一定成立的是（ ） A ．b a = B ．ba =C ．b a ⊥D ．b a //【答案】B40．已知点G 是ABC ∆的重心，ACAB AG μλ+=( λ, R ∈μ )，若0120=∠A ，2-=⋅AB ，则的最小值是 ( ）A ．33B ．22 C ．32 D ．43【答案】C41．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状一定为 ( ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．斜三角形【答案】C42． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则( ) A ．（2，4） B ．（3，5）C ．（—2，—4）D ．（—1，—1）【答案】D 43．已知ba ,是非零向量，且满足,)2(,)2(b a b a b a ⊥-⊥-则与的夹角是（ ）6.πA 3.πB 32.πC 65.πD 【答案】B 44．已知向量ba d ，R kb a kc b a-=∈+===)(),1,0(),0,1(，如果c ∥d ，那么（ ） A ．k=1且c与d同向B ．k=1且c 与d反向C ．k=－1且c 与d同向 D ．k=－1且c 与d反向 【答案】D45．在三角形中，对任意λ都有|AB AC ||AB AC |λ-≥-，则ABC ∆形状（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】C46． 设M.O.A.B.C 是空间的点，则使M.A.B.C 一定共面的等式是( ）A ．0=+++OC OB OA OM B ．OC OB OA OM --=2 C ．OC OB OA OM 413121++= D ．0=++【答案】D47．对于直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1）、 P 2（x 2，y 2），定义运算1211221212121(,)(,)(,)p p x y x y x x y y x y x y ⊗=⊗=-+，若M 是与原点相异的点，且(1,1)M N ⊗=，则∠MON （ ）A ．34πB ．4πC ．2πD ．3π【答案】B48．在ABC ∆中，AB 2==，若O 为ABC ∆内部的一点，且满足OA OB OC 0++=，则AO BC ⋅=（ ）A ．12B ．25C ．13D ．14【答案】C49． 已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC++=，那么（ ）A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =【答案】A50．设向量),25sin ,25(cos ),55sin ,55(cos ︒︒=︒︒=b a 若t -的最小值为（ ）22.A21.B 1.C2.D【答案】BII 卷二、填空题51．直角坐标平面上向量)3,2(),1,4(-==OB OA 在直线L 上的射影长度相等，则直线L 的斜率为_____________ 【答案】 3 , －2152．设a ，b ，c 是单位向量，且a b c =+，则向量a ，b 的夹角等于 ．【答案】o 60 53．()()111a m b n ==-，，，（其中m n 、为正数），若a //b ，则12m n+的最小值是【答案】322+54．如图所示,OP OC 2=,AC AB 2=,OB m OM =,OA n ON =,若83=m ,那么=n【答案】43 55．已知向量a =(x-1,2),b =(4,y),若a b ⊥，则93x y +的最小值为 .【答案】656．关于平面向量a ，b ，c.有下列三个命题：①若a ·b=a ·c ，则b=c. ②若a=（1,k ），b=（—2，6），ab ，则k=—3. ③非零向量a 和b 满足a b a b==-，则a 与a+b 的夹角为60°.其中真命题的序号为__________.（写出所有真命题的序号） 【答案】②57．设a 、b 为平面内两个互相垂直的单位向量，向量c满足0)()(=-⋅+，则||的最大值为 ． 【答案】258．设、ba b a 23+==，则两向量、的夹角的余弦值为 。