高中数学导数及其应用综合检测综合测试题(有答案)教程文件
导数及其应用测试题(有详细答案)
《导数及其应用》一、选择题1。
0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。
B. C 。
D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（ ）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56。
设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 （ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。
直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。
若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 （ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。
2014-2015学年人教a版数学选修2-2第1章《导数及其应用》综合检测(含答案)
第一章综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，故选A.2．(2013·华池一中高二期中)曲线y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x －4[答案] B[解析] ∵y ′＝1x 2，∴y ′|x ＝12＝4，∴k ＝4，∴切线方程为y ＋2＝4(x －12)，即y ＝4x －4.3．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3 B ．f (x )＝－cos x C ．f (x )＝sin x －x D ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1x在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B. 4．(2013·北师大附中高二期中)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)，∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3][答案] D[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D.5．(2013·武汉实验中学高二期末)设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x )的图象在(－∞，0)上，f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．(2012·陕西文，9)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点[答案] D[解析] 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x )＝0可得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >2时 f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点．7．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.8．(2013·武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2. 10．(2013·河南安阳中学高二期末)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )[答案] A[解析] 令F (x )＝xf (x )，(x >0)，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴F (a )>f (b )，即af (a )>bf (b )，与选项不符； 由于xf ′(x )＋f (x )≤0且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f (x )x≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴f (a )>f (b )， ∴bf (a )>af (b )，结合选项知选A.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )> f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2013·华池一中高二期中)已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．[答案] 57[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.14．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (1)<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)<0，f (1)>0， ∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.15．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为______．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x 得交点B ⎝⎛⎭⎫2，12. 故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)(2014·北京海淀期中)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0， 所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2(a ＋1)x ＋2a x ＝2(x －1)(x －a )x (x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2(x －1)2x ≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2.20．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.21．(本题满分12分)(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考)已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1，a 为常数．(1)若a ＝92，求函数f (x )在[1，e ]上的值域；(e 为自然对数的底数，e ≈2.72)(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 在[1,2]上为单调减函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)由题意f ′(x )＝1x －a(x ＋1)2，当a ＝92时，f ′(x )＝1x －92(x ＋1)2＝(x －2)(2x －1)2x (x ＋1)2.∵x ∈[1，e ]，∴f (x )在[1,2)上为减函数，[2，e ]上为增函数， 又f (2)＝ln2＋32，f (1)＝94，f (e )＝1＋92e ＋2，比较可得f (1)>f (e )，∴f (x )的值域为[ln2＋32，94]．(2)由题意得g ′(x )＝1x －a(x ＋1)2＋1≤0在x ∈[1,2]上恒成立，∴a ≥(x ＋1)2x ＋(x ＋1)2＝x 2＋3x ＋1x ＋3恒成立，设h (x )＝x 2＋3x ＋1x＋3(1≤x ≤2)，∴当1≤x ≤2时，h ′(x )＝2x ＋3－1x 2>0恒成立，∴h (x )max ＝h (2)＝272，∴a ≥272， 即实数a 的取值范围是[272，＋∞)．22．(本题满分14分)(2014·北京海淀期中)如图，已知点A (11,0)，直线x ＝t (－1<t <11)与函数y ＝x ＋1的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记△APH 的面积为f (t )．(1)求函数f (t )的解析式； (2)求函数f (t )的最大值．[解析] (1)由已知AH ＝11－t ，PH ＝t ＋1，所以△APH 的面积为f (t )＝12(11－t )t ＋1，(－1<t <11)．(2)解法1：f ′(t )＝3(3－t )4t ＋1，由f ′(t )＝0得t ＝3，函数f (t )与f ′(t )在定义域上的情况如下表：所以当t ＝解法2.由f (t )＝12(11－t )t ＋1＝12(11－t )2(t ＋1)，－1<t <11，设g (t )＝(11－t )2(t ＋1)，－1<t <11，则g ′(t )＝－2(11－t )(t ＋1)＋(11－t )2＝(t －11)(t －11＋2t ＋2)＝3(t －3)(t －11)． g (t )与g ′(t )在定义域上的情况见下表：所以当t ＝3所以当t ＝3时，函数f (t )取得最大值12g (3)＝8.一、选择题1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝(2x ＋a )|x ＝0＝a ＝1， 将(0，b )代入切线方程得b ＝1.2．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5. 3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－16[答案] A[解析] ∵y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.4.⎠⎛241xd x 等于( ) A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x ，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．(2013·吉林白山一中高二期末)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) [答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12J D ．0.28J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx ，当F (x )＝1时，x ＝0.01m ，则k ＝100，∴W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.06＝0.18.10．(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.12．(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎨⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B.二、填空题13．(2014·杭州七校联考)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.14．(2013·泰州二中高二期中)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________.[答案] 5[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是f ′(x )＝0的根，即f ′(－3)＝0， ∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.15．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是__________________． [答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n ＝n ·x n －1(1－x )－x n .f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n . ∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n ， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2(2n－1)2－1＝2n ＋1－2.16．(2014·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，f (x ＋3)>0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f (x ＋3)<0.(2) 由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1) 三、解答题17．(2013·四川达州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数．(1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎨⎧f (－b )>0，f (b )<0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．18．在曲线y ＝x 3(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴围成图形的面积为112，试求过切点A 的切线方程．[解析] 设切点A (x 0，x 30)，切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.∴切线的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 03.依题意S ＝∫x 00x 3d x －12×(x 0－2x 03)·x 3＝14x 40－16x 40＝112x 40＝112， ∵x 0≥0，∴x 0＝1.∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.19．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(23)＝3×(23)2＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： ∵f (23)＝9527，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.20．(2013·海淀区高二期中)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值．[解析](1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意f′(0)＝b＝3.(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，∴f′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.①当a＝1时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：②当a＝3时，f′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1.21．(2013·武汉实验中学高二期末)已知曲线f(x)＝ax2＋2在x＝1处的切线与直线2x－y ＋1＝0平行．(1)求f(x)的解析式；(2)求由曲线y＝f(x)与y＝3x、x＝0、x＝1、x＝2所围成的平面图形的面积．[解析](1)由已知得：f′(1)＝2，求得a＝1，∴f(x)＝x2＋2.(2)由题意知阴影部分的面积是： S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x＝(13x 3＋2x －32x 2)|10＋(32x 2－13x 3－2x )|21＝1. 22．(2013·福州文博中学高二期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)．(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a ，即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．。
高二数学导数与其应用综合检测综合测试题
第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2+ ax^ b在点（Q>1. （2010全国H文，7若曲线y= xb处的切线方程是x- y+ 1= 0,则（）A. a= 1, b= 1B. a=- 1, b= 1C. a= 1 , b=- 1D. a=- 1, b=- 1［答案］A ［解析］y' = 2+ a,二y' |x= 0= （2+ a）= 0= a= 1, 将（0, b代入切线方程得b= 1.2. —物体的运动方程为s= 2tsi+t,贝陀的速度方程为（）A. v= 2sin+t 2tco+st 1B. v= 2sin+t 2tcostC. v= 2sintD. v= 2sin+t 2cos+t 1［答案］ A［解析］因为变速运动在t0 的瞬时速度就是路程函数y= s（在t o 的导数，S = 2sin+ 2tco+t 1，故选 A.2+ 3x在点A（2,1处的切线的斜率是A. 4B. 5C. 6D. 73. 曲线y= x( )［答案］D ［解析］由导数的几何意义知，曲线y =x2+ 3>在点A（2,1处的切线的斜率就是函数y= x2+ 3x在x= 2时的导数，y' F2= 7,故选4•函数y= x|x（关3）卅1（）A. 极大值为2= 5,极小值（0= 1B. 极大值（2= 5,极小值为3= 1C. 极大值（2= 5,极小值（0=f（3=1D. 极大值（2= 5,极小值为3=1, f（- 1 = —3［答案］B［解析］尸x|x—3）卅1'3—3哭+ 1 （X0或x>3）=x—x 3+ 3^+ 1 （0C 点3）3+ 3）?+ 1 （g x< 3）2—6x （xv或x>3）二Y = 3x—3x 2+ 6x (g无极极大极小值二f(x极大=f(2” 5, f(x极小=f(3)= 1 故应选 B.5. (2009安徽理'9已知函数f(x在R上满足f(x)=2+ 8x- 8则曲线y= f(x在点(1 f(1)处的切2f(2- x—x线方程是()A. y= 2x- 1B. y= xC. y= 3x- 2D. y=-2灶3［答案］A ［解析］本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式.•・• f(x片2(2- x—x2+ 8x- 8・•・ f(2- x)= 2fQ— x2- 4灶4・•・f(x片x2, ••• f' (x片2x•••曲线y= f(x在点(1, f(1)处的切线斜率为2,切线方程为y—1= 2(—1, •••尸2" 1.3+ ax+ 3x- 9 已知f(x)在x= — 3 时6•函数f(()= x取得极值，则a等于()A. 2B. 3C. 4D. 52＋2ax＋3，［答案］D ［解析］f (x片3xT f(x在x=- 3时取得极值，x=- 3是方程3x+ 2axF 3= 0的根,.•・a= 5,故选D.7•设f(x) g(x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函则不等式f(Xg(x )v 的解集是( )［答案］D［解析］令F(x #fx)g (x)易知F(x 为奇函数，又当 x<0时，F (x)5+ f(x)g (x)>0 即 F (x)>0 知 F(x) 在—x, 0内单调递增，又 F(x 为奇函数，所以 Fx 在(0 + )内也单调递增，且由奇函数知f (0片0,・•・R0) =0.又由 g — 3)= Q 知 g(3#0 二 F — 3> 0,进而 F(3#0于是Rx)= f(x)g(x 的大致图象如图所示・•・ F[x > f(x) g *)<0的解集为(―* ,— 3U (0,3)故应选D.8 •下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函 数的图象，其中一定不正确的序号是数•当 XV0寸，f‘ (xgx )+ f(Xg(x)>0 且 g(- 3> 0,A. (- 3,0卩(3 + )B. (- 3,0^ (0,3)C.(—「一 3)U (3 2)D. (—「一3U (0,3)A.①②B.③④ C ・①③ D ①④［答案］B ［解析］③不正确；导函数过原点，但 三次函数在 x = 0不存在极值； ④不正确；三次函数先增 后减再增，而导函数先负后正再负•故应选所以41xd = lnx2= ln4— ln2= ln2.A . m<或 m>4B — 4<<— 2 C. 2<m<4 D .以9. （201醐南理，5） 41xdX 等 于(A . — 2ln2 B. 2l n2 C. — ln2 D. ln2［答案］D［解析］10已知三次函数1 3— (4m- f(x = 3x1)i + (15m — 2m—7)炸 2在 x € (—g, g ）是增函数，则m 的取值濶上皆不正确2— 2(4m 1)灶 15rf［答 案］D ［解析］f (x ^x—2m — 7 由题意得 )2— 2(4— 1)炸 15r 2— 2m — 7> 0恒 成立，・•・△ =4(4r — 12— 4(15i^— 2m — 7)=64m — 32m+ 4- 60rf ^ 8rnP 28 =4(rfi — 6mb 8)c 0,・•・2< 4,故选3+ bX + c 灶d 在区间—1,2上是减11 已知 f(x = x 函数，那么 b + c( )15 15 C.有最小值 2 D.有最小值— 2 ［答案］B析］由题意f' (x = 3x f ' (x)c 0恒成立.F (— 1戶 0 所以F (2 戸 0 2b — c — 3> 015A 有最大值 2 B.有最大值- 15 22+ 2b 冷 c 在［—1,2上,［解 /\ /勺—o即4b^ c+ 12C 0令b+ c= z b= —c+ z 如图过一6, 32得z 最大，12设、g(x 是定义:为R 的恒大于0的可导函［答案］Cf(x)［解析］令F(x)=g(x) f (xgx)—斶(x)则 F ' (»=2(x) <0gfx 、g(x 是定义域为R 恒大于零的实数・•・FFx 在R 上为递减函数，f(x) f(b)gx)>g(b)・•・ fx )g(b)>fgx)•故选.IF二、填空题(本大题共4个小题，每小题 4分，分•将正确答案填在题中横线上)最大值b + E — 6—15 2故选数，且 f ' (xg(x —f(x)g (x)<0则当a<x<时有)A. f(X)g(x)>bgb)B. f(x)g(afa)g(x)C ・ f(X)g(b)(bgx) D. f(x)g(x)fx)当 x € (a, b 时，共16dx 广-113 - 3^ ----------- .［(1 甘5x) '2［答案】72 ［解析］取F(x护—从而F'（沪1 3 则1 dx 3= F（- 1）-（11＋5x）－（11＋5x）-272.10 36010$ 10 X2— 1ax14若函数f(x =则数a 的取值范0是［答案］a > 0［答案］—2［解析］本小题主要考查导数的几何意义和数函 数的有关性质.k = y~ X 产 n + 1 二切线-y — 1= (n+ 1)X — 1,1F(— 2=— ------ 21 11 72= — =的单调土区间，+ ［解析］f (x > ax-1=a+2,x由题意得， a + *恒成立，1a > — 2, x € (0,xx )恒成立，・•・a> 0.n」(n € N *)在点(1,1)15 (200陕西理，16设曲=x处的切线与轴的交点的横坐^为令s n = Igx,则ai__ 22+ ?a)9的值为令y= 0, x= ,・•・a=lg212 99二原式=lg lg _ ? _ lg2 3 1001 2 99 1 =lg X >? X 2 3 100 lg —21001,y^= x与直线x= 2,［答案］3+ ln22=兀y _［解析］由 1 ,得交点A(1,1). 戶xx= 2由1得交点B22 3 y=x故所求面积1 xck+2 .I _21xdx16如图阴影部分是由曲线y=1=3xln|ln2.三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写2出文字说明、证明过程或演算步)=lrx + ln(2- x 片 axa>0)(1 当 a = 1时，求f(x 的单调区间 1(2若f(x 在 (0,1上的最大值为求a 的值.2 ［解析］函数f(x 的定义域2) 厂(x A厂—x 十2，所以f(x 的单调递x(2- x) 增区为 2)单调递驱间2 2；2— 2x十a>0x(2- x)即f(x)在 (0,1上单调递增，故x 在(0,1上的最大值17 (本题分12分)(201江西理， 19设函数f(x)(1当 a = 1 时，f ' (x)= (2当 x € (0,1 时，厂(x A 为A a 因此a=1 2.2— 4x)d 冶求a b 的值;(2求函数f(x 的单调区间与极值点. ［分析］考查利用导数研究函数的单调性， 极值点的性质，以及分类讨论思想.L2—3a.［解析］(1)f (x = 3x因为x23—3x所以S=b(护 0).x2)d —2— 4x)dx. 2(2xoo13/ = 2x- x ,3x=2^— 4x133x23—2x=4.3— 3axP19 (本题满分12分)设函数f(x)= x(1若曲线y = f(x 在点(2 f(2)处与直线y = 8相切，(2x2—4x)d冶因为曲线y= f(x在点(2 f(2处与直线y= 8相切，f (2= 0, 3(4- a= 0,所以即f(2= 8. 8- 6升b= 8.解得a= 4, b= 24.2—a)a^ 0)・(2)' (x片3(x当a<0寸，F (x)>0函数f(x)在(—x,+x上单调递增，此时函数fx没有极值点.当a>0寸，由(x片0得x= ±a.V当x€ (—^，― a时，F (x)>0函数f(x单调递增；当x€ (―- a a时，f' (x)<0函数f(x单调递减当x€ ( a,+ *)时，f (x)>0函数f(x)单调递增.此时x=—a是fx的极大值点，x= a是f(x)的极小值点.12+ lnx.20 (本题分12分)已知函数f(x^2x(1求函数fx的单调5间1 2(2求证：当X>1时，2十l nx< 3_ 2x 3x［解析］(1依题意知函数的定义域为x>Q}1•・• F ())= x+，故f (x)>0x二f(x的单调增0间为土x).2 3—12—lnx(2设炸3x 2x1 ・•・ g (x)= 2x— x—x2 x＋1)•'当x〉1时，g （x片（X— i）>0，（2xx1 ・•・g(y 在 (1, + g )上为增函数，・•・g(x)>g 件)6>012 ・•・当x>1时，2x 3x2+ lnx< 3.3- 92+ 6x- a.21 (本题分12分)设函数f(x)= x 2x(1对于任意实数 x, f' (x p m 恒成立，求 m 的最大 值； (2若方程fx )= 0有且仅有一个实根 求a 的取值范 围.求参数的范围问题.2- 9灶 6= 3(— 1)(- 2)［解析］(1)f (x = 3x(2因为当 x<1 时，f (x)>0 当 1<xv 时,F (x)<0 当 x>2时 f［分析］ 本题主要考查导数的应用及转化思 以及因为 x € (-g ,g ). F (x p m ,即 3x2- 9灶(6m p 0恒成立.所以 4=8— 12(— m 齐 0,得 me3，即m 的最 4大值为-34.(x)>0.所以当x= 1时，f(x取极大值f(1)=2当x= 2 时，f(x取极小值f(2#2— a.故当f(2)>或f(1)v时，方程f(x# 0仅有一个实根5解得a<2或a>2.3+ aX+22 (本题分14分)已知函数f(x片—xia€ R)._ 2 -上递增，在区间3(1若函数y= f(x在区间2,+ 上递减，求a的值；3(2当x€ ［0,1时，设函数尸f(x图象上任意一点处勺切线的倾斜角为，若给定常数a€［十g ,求B的取2值范围(3在(1 的条件下，是否存在实数m使得函数g(x)=x—5x+ (2— mx2+ 1(n€ R)的图象与函数y= f(x的图象恰有三个交点•若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由.2［解析］(1依题意f3= 0,2 22+ 2ax= —由f'(X片—3x+ 2ax得—33 2+ 2a•= 0,即- 一a=I 丿=0,即a=3(2当x€ [0,1 时，tan0= f (x片一3x23.3 x －2＋ a丄、由a€ --k oo得 3 ，+ o-.2 € 2—f a 1 2①当3 €,1，即a€ <2」 a2 ,3 时，f' (x ma— 3f(x)!in—f (0—0. _2此时（K tan9<a3.a②当€ (1 Z),卩a€ (3 Z)时，f (x ma^F ⑴3=2a- 3 f‘(x}i尸f (0)= 0,此时，C K tan0< 2a- 3.23 a又v 0 € [0, n, ) 当2<K 3时，6€ 0, arctan3 当a>3时，0 € [Q arctan-舀)]4— 5X+ (2- mX2+ 1(m€ R) （3函数戶f（x与g（x^ x的图象恰有3个交点，等价于方程一x3+ x2+ 1= x—5）3+ （2- m）x2+ 1恰有3个不等实根，・•・x4— 4x+ （1— mx2= 0,显然=0是其中一个根（二重根）,方程x2—4炸（1— m= 0有两个非零不等实根，则电丄O A E丄)寸石L H <H S (X &H A W (X )4H A報®生M 00&训宦LI E M o A E ...象恰有3个交点．2, y A 2x—4x18 (本题分.12分)求曲线A 2—x所围成图形的面灭「2得XA,XA2.［解析］由y= 2x- x2—4xy=2x由图可知，所求图形的面积S A2(2—x)d十|。
函数、导数及其应用综合测评试题(含答案)
高中数学阶段综合测评试题测试范围：函数、导数及其应用 (时间：120分钟 满分：150分)温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为120分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·浙江杭州七校联考)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,32．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P 0(1＋k )n (k >－1)，其中P n 为预测人口数，P 0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1<k <0，那么这期间人口数( )A ．呈上升趋势B ．呈下降趋势C ．摆动变化D ．不变3．(2013·云南第一次统检)已知f (x )的定义域为(－2,2)，且f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3＋ln 2－x 2＋x，－2<x ≤1－4x 2－5x ＋23，1<x <2，如果f [x (x ＋1)]<23，那么x 的取值范围是( )A ．－2<x <－1或0<x <1B ．x <－1或x >0C ．－2<x <－54 D ．－1<x <04．(2013·大连双基测)已知f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.如果函数g (x )＝f (x )－(x ＋m )有两个零点，则实数m 的值为( )A ．2k (k ∈Z )B ．2k 或2k ＋14(k ∈Z ) C ．0D ．2k 或2k －14(k ∈Z )5．函数y ＝log 2|x |x 的大致图象是()6．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，18B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 7．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94πD.92π8．(2013·安徽联谊中学联考)设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (－2)与f (2)B ．f (－1)与f (1)C ．f (2)与f (－2)D ．f (1)与f (－1)9．(2013·东北三校第一次联考)已知f (x )＝ln x1＋x －ln x ，f (x )在x ＝x 0处取最大值，以下各式正确的序号为( )①f (x 0)<x 0 ②f (x 0)＝x 0 ③f (x 0)>x 0 ④f (x 0)<12 ⑤f (x 0)>12A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤10．(2013·石家庄一模)已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝ln 12f (ln 2)，则下列关于a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．b >a >c11．(2013·陕西省咸阳市高三模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c12．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1、x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞).则满足f (x )＝14的x 值为________．14．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m －2,2m )内有定义且不是单调函数的充要条件是________．15．(2013·云南第一次统检)已知f (x )＝x 3－mx 2＋43mx ＋2 013在(1,3)上只有一个极值点，则实数m 的取值范围为________．16．(2013·山东济宁高三一模)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sinπx ，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．18．(12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时，总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求实数m 的取值范围． 19．(12分)如图所示，四边形ABCD 表示一正方形空地，边长为30 m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9 m,3 m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9.线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN ＝x (m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2)．(1)用x 的代数式表示AM ；(2)求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域； (3)当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？20．(12分)(2013·东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝ax sin x ＋cos x ，且f (x )在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f (x )在[－π，π]上的单调性；(2)设函数g (x )＝ln(mx ＋1)＋1－x1＋x ，x ≥0，其中m >0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使得g (x 1)≥f (x 2)成立，求m 的取值范围． 21．(12分)(2013·石家庄一模)设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)．(1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1、x 2，且x 1<x 2，求证：0<f (x 2)x 1<－12＋ln 2.22．(12分)(2013·石家庄质量监测)设函数f (x )＝x －1e x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(1)设函数f (x )在[m ，m ＋1](m >0)上的最小值；(2)设函数g (x )＝⎩⎨⎧0，(x ＝0)，1f (x ).(x ≠0)，如果x 1≠x 2，且g (x 1)＝g (x 2)，证明：x 1＋x 2>2.阶段综合测评 详解答案1．A 由幂函数的性质可知α＝1或3.2．B 由于－1<k <0，所以0<1＋k <1，因此P n 为关于n 的递减函数．故选B.3．A 依题意得，函数y ＝2x ＋3＋ln 2－x 2＋x ＝2x ＋3＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋42＋x 在(－2,1]上是减函数(注：函数y ＝2x ＋3、y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋42＋x 在(－2,1]上均是减函数)；函数y ＝－4x 2－5x ＋23在(1,2)上是减函数，且21＋3＋ln 2－12＋1＝12－ln 3>－4×12－5×1＋23，因此函数f (x )在(－2,2)上是减函数，且f (0)＝23，于是不等式f [x (x ＋1)]<23＝f (0)等价于0<x (x ＋1)<2，由此解得－2<x <－1或0＜x ＜1，选A.4．D 令g (x )＝0得f (x )＝x ＋m .(1)先考虑f (x )在0≤x ≤1时的函数图象，因为两个端点为(0,0)，(1,1)，所以过这两点的直线方程为y ＝x ＋0；(2)考虑直线y ＝x ＋m 与0≤x ≤1时的f (x )＝x 2的图象相切，与1＜x ≤2时的函数图象相交也是两个交点，仍然有两个零点．可求得此时切线方程为y ＝x －14.综上根据周期为2，得m ＝2k 或m ＝2k －14(k ∈Z )．5．D y ＝log 2|x |x 为奇函数，其图象关于(0,0)对称，排除A ，B ；当x ＝2时，y ＝12>0，排除C ，故选D.6．C 因为f (x )在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，只有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， 所以零点所在区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.7．C 由定积分的几何意义知⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C.8．A 由图可知：x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0； x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0； x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (－2)是f (x )的极大值，f (2)是f (x )的极小值．9．B f ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ln x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1′＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1－ln x(1＋x )2＝－ln x ＋x ＋1(1＋x )2，由题意可知f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋x 0＋1＝0，ln x 0＝－(x 0＋1)， 故f (x 0)＝ln x 01＋x 0－ln x 0＝－x 0ln x 01＋x 0＝x 0(1＋x 0)1＋x 0＝x 0.令函数g (x )＝ln x ＋x ＋1(x >0), 则g ′(x )＝1x ＋1>0，故函数g (x )为增函数，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32>32－ln e ＝12>0＝g (x 0)． ∴x 0<12，即f (x 0)<12.故选B.10．D f ′(x )＋f (x )x ＝xf ′(x )＋f (x )x >0，即x >0时，x ·f ′(x )＋f (x )>0，即x >0时[xf (x )]′>0，x ·f (x )为增函数，又f (x )为奇函数，故0·f (0)＝0得：x ≥0时，xf (x )≥0，且为增函数；a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)，c ＝－ln 2f (ln 2)<0，故b >a >c ，选D.11．B ∵g (x )＝2x ，∴g ′(x )＝2. 令2a ＝2，∴a ＝1；h (x )＝ln x ，h ′(x )＝1x . 令ln b ＝1b ，设M (x )＝1x －ln x ， 则M (1)>0，M (e)<0，∴1<b <e ； 由φ(x )＝x 3(x ≠0)，φ′(x )＝3x 2. 令3c 2＝c 3，∴c ＝3，∴a <b <c .故选B.12．A 由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝k >2恒成立，所以f ′(x )≥2恒成立．又f ′(x )＝a x ＋x ，故ax ＋x ≥2即a ≥－x 2＋2x ，而g (x )＝－x 2＋2x 在(0，＋∞)上的最大值为1，所以a ≥1，故选A.13．3解析：当x ≤1时，由f (x )＝2－x＝14得x ＝2，不合题意；当x >1时，由f (x )＝log 81x ＝14得x ＝3，故满足f (x )＝14的x 值为3.14．2≤m <3解析：由题知，只需1∈(m －2,2m )，且m －2≥0即可． 于是0≤m －2<1，且2m >1， 于是2≤m <3. 15.92≤m <8114解析：依题意得f ′(x )＝3x 2－2mx ＋43m ＝0有两个不等的实根，且恰有一个根属于区间(1,3)，于是有①f ′(1)·f ′(3)<0，或②⎩⎨⎧f ′(1)＝0f ′(3)>0m 3>1，或③⎩⎨⎧f ′(1)>0f ′(3)＝0m 3>1.解①得92＜m <8114；解②得m ＝92；解③得，该不等式组的解集是空集．综上所述，满足题意的实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，8114.16．9 解析：由f (x )是定义域为R 的奇函数，可知f (0)＝0.因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (3)＝0.令x ＝－32，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0.又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sinπx ，所以f (1)＝0，f (2)＝f (3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝0，则在区间[0,3]上的零点有5个．由周期性可知，在区间(3,6]上有4个零点，故在区间[0,6]上的零点个数是9.17．解：(1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0得2x－12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程， 当x >0时，由2x－12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2， 故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．18．解：(1)设P 点坐标为(x ，y )，则Q 点坐标为(－x ，－y )． ∵Q (－x ，－y )在函数y ＝log a (x ＋1)的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝－log a (1－x )．这就是说，g (x )＝－log a (1－x )． (2)当x ∈[0,1)时，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x ) ＝log a 1＋x 1－x(a >1)．由题意知，只要m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log a1＋x 1－x min 即可， ∵F (x )＝log a 1＋x1－x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ∈(－∞，0]即为所求．19．解：(1)因为点P 到边AD ，AB 距离分别为9 m,3 m ，所以由平面几何知识得AM －3AM ＝9x ，解得AM ＝3xx －9(10≤x ≤30)．(2)由勾股定理，得MN 2＝AN 2＋AM 2＝x 2＋9x2(x －9)2.因为MN ∶NE ＝16∶9，所以NE ＝916MN .所以S ＝MN ·NE ＝916MN 2＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋9x 2(x －9)2，定义域为[10,30]．(3)S ′＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋18x (x －9)2－9x 2(2x －18)(x －9)4＝98·x [(x －9)3－81](x －9)3，令S ′＝0，得x 1＝0(舍)，x 2＝9＋333. 当10≤x <9＋333时，S ′<0，S 为减函数； 当9＋333<x ≤30时，S ′>0，S 为增函数． 所以当x ＝9＋333时，S 取得最小值．20．解：(1)∵f ′(x )＝a sin x ＋ax cos x －sin x ＝(a －1)sin x ＋ax cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(a －1)·22＋π4·a ·22＝2π8， ∴a ＝1，f ′(x )＝x cos x .当f ′(x )>0时，－π<x <－π2或0<x <π2； 当f ′(x )<0时，－π2<x <0或π2<x <π，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1，则只需g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立即可．g ′(x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋m －2m (mx ＋1)(x ＋1)2(x ≥0，m >0)，①当m ≥2时，m －2m ≥0，∴g ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，∴g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立，故m ≥2时成立．②当0<m <2时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－m m 时，g ′(x )<0，此时g (x )单调递减，∴g (x )<g (0)＝1，故0<m <2时不成立．综上m ≥2.21．解：(1)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立， a ≥－4.经检验，当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝2(x ＋2)(x －1)x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以满足题意的a 的取值范围为[－4，＋∞)．(2)证明：函数的定义域(－1，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0，依题意方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不等的实根，记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎨⎧Δ>0g (－1)>0－12>－1，得0<a <12.下面有两种证法：证法一：∵x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12<x 2<0，f (x 2)x 1＝x 22－()2x 22＋2x 2ln (x 2＋1)－1－x 2，令k (x )＝x 2－(2x 2＋2x )ln (x ＋1)－1－x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 k (x )＝－x 2x ＋1＋2x ln(x ＋1)，k ′(x )＝x 2(x ＋1)2＋2ln(x ＋1)，k ″(x )＝2x 2＋6x ＋2(x ＋1)3，因为k ″⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－12，k ″(0)＝2，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，使得k ″(x 0)＝0，k ′(0)＝0，k ′⎝ ⎭⎪⎫－12＝1－2ln 2<0，∴k ′(x )<0，所以函数k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0为减函数，k (0)<k (x )<k ⎝⎛⎭⎪⎫－12即0＜f (x 2)x 1<－12＋ln 2证法二：x 2为方程2x 2＋2x ＋a ＝0的解，所以a ＝－2x 22－2x 2，∵0<a <12，x 1<x 2<0，x 2＝－12＋1－2a 2，∴－12<x 2<0， 先证f (x 2)x 1>0，即证f (x 2)<0(x 1<x 2<0)，在区间(x 1，x 2)内，f ′(x )<0，(x 2,0)内f ′(x )>0，所以f (x 2)为极小值，f (x 2)<f (0)＝0，即f (x 2)<0，∴f (x 2)x 1>0成立；再证f (x 2)x 1<－12＋ln 2，即证f (x 2)>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋ln 2(－1－x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2(x 2＋1)，x 22－(2x 22＋2x 2)ln(x 2＋1)－⎝⎛⎭⎪⎫12－ln 2x 2>12－ln 2，令g (x )＝x 2－(2x 2＋2x )ln(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0g ′(x )＝2x －(4x ＋2)ln(x ＋1)－2x (x ＋1)x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2， ＝－2(2x ＋1)ln(x ＋1)－⎝⎛⎭⎪⎫12－ln 2，ln(x ＋1)<0,2x ＋1>0，12－ln 2<0，∴g ′(x )>0，g (x ) 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0为增函数． g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×14－1ln 12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2 ＝14＋12ln 12＋14－12ln 2＝12－ln 2. 综上可得0<f (x 2)x 1<－12＋ln 2成立．22．解：(1)f ′(x )＝x e x －e xx 2，则x >1时，f ′(x )>0；0<x <1时，f ′(x )<0. 知函数f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．当m ≥1时，函数f (x )在[m ，m ＋1]上是增函数，此时f (x )min ＝f (m )＝e mm . 当0<m <1时，函数f (x )在[m,1]上是减函数，在[1，m ＋1]上是增函数， 此时f (x )min ＝f (1)＝e.(2)证明：可得g (x )＝x e －x (x ∈R )，g ′(x )＝(1－x )e －x .所以g (x )在(－∞，1)内是增函数，在(1，＋∞)内是减函数．① 考查函数F (x )＝g (x )－g (2－x )，即F (x )＝x e －x ＋(x －2)e x －2， 于是F ′(x )＝(x －1)(e 2x －2－1)e －x . 当x >1时，2x －2>0，从而e 2x －2－1>0，又e －x >0，所以F ′(x )>0，从而函数F (x )在[1，＋∞)是增函数． 又F (1)＝e －1－e －1＝0，所以x >1时，有F (x )>F (1)＝0，即g (x )>g (2－x )．② 由①及g (x 1)＝g (x 2)，则x 1与x 2只能在1的两侧． 不妨设0<x 1<1，x 2>1，由结论②可知，g (x 2)>g (2－x 2)，所以g (x 1)＝g (x 2)>g (2－x 2)． 因为x 2>1，所以2－x 2<1，又由结论①可知函数g(x)在(－∞，1)内是增函数，所以x1>2－x2，即x1＋x2>2.。
专题23导数及其应用综合检测题(解析版)
专题23导数及其应用综合检测题（解析版）一、单选题1．下列求导运算正确的是（ ） A ．()sin cos x x '=-B ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()1x x a xa -'=D．'=【答案】D 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，()sin cos x x '=，A 选项错误；对于B 选项，211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，B 选项错误； 对于C 选项，()ln x xa aa '=，C 选项错误；对于D选项，'=D 选项正确.故选：D. 【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，考查了计算能力，属于基础题． 2．已知f (x )=lnx ，则f ′(1e)的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．eD ．1e【答案】C 【分析】利用导数的运算法则即可得出． 【详解】由()ln f x x =，则()1f x x'=.试卷第2页，总17页所以111f ee e⎛⎫'== ⎪⎝⎭ 故选：C 【点睛】本题考查具体函数在某处的导数值，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．属于基础题.3．设点P是曲线323y x =-+上的任意一点，点P 处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ）A ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， B ．5026πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．526ππ⎛⎤⎥⎝⎦， 【答案】A 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 【详解】由函数323y x =+得23y x '=-≥设()00,P x y ，则曲线在点P 处的切线的斜率0|x x k y ='=≥又点P 处的切线倾斜角为α，则tan k α=≥又[0,)απ∈，所以2023ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， 故选：A 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 4．由曲线1y x=，直线1x =，2x =和x 轴所围成平面图形的面积为（ ） A ．12B ．ln 2C ．1D ．2ln 2【答案】B 【分析】利用定积分表示面积，然后根据牛顿莱布尼茨公式计算，可得结果.【详解】12121ln ln 2S dx x x=⎰==，故选：B 【点睛】本题主要考查微积分基本定理，熟练掌握基础函数的导函数以及牛顿莱布尼茨公式，属基础题.5．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x f x x x∆→--∆=∆，则()0f x '=（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-2【答案】A 【分析】根据导数的定义求解． 【详解】()()()0000000[()]lim lim ()2x x f x f x x f x x f x f x x x∆→∆→--∆+-∆-'===∆-∆． 故选：A. 【点睛】本题考查导数的定义，()()0000()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，注意极限中形式的一致性．6．已知函数()3223m f x x x x =+-在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调递增区间，则m 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．[)4,-+∞ C ．[)3,-+∞D ．11,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】求出导函数()241f x mx x '=+-，使导函数()0f x '≥在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，讨论m 的取值范围即可求解. 【详解】试卷第4页，总17页函数()3223m f x x x x =+-，()241f x mx x '=+-， 由题意可知2410mx x +-≥在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，当0m ≥时，二次函数开口朝上，即2410mx x +-≥在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解成立，当0m <时，041093m ∆>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩，即16401093m m +>⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得30m -≤<，综上所述，3m ≥-. 故选：C 【点睛】本题考查了由函数的单调区间求参数的取值范围，考查了基本运算能力，属于基础题. 7．若函数()()32113132f x x ax a x =-+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2-C ．()(),62,-∞-+∞D ．(][),62,-∞-+∞【答案】B 【分析】求导函数，利用函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，可得不等式，即可求实数a 的取值范围. 【详解】求导函数可得f ′（x ）＝x 2-ax +()3a -∵函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数， ∴△＝a 2﹣4()3a -≤0 ∴6-≤a ≤2； 故选B 【点睛】本题考查利用导数处理单调性问题，考查二次不等式恒成立问题，属于基础题. 8．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【详解】当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥， 所以函数在[]0,2π上单调递增， 令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增， 令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D 【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.9．关于函数()=2x f x e -，下列结论正确的是（ ）试卷第6页，总17页A ．()f x 没有零点B ．()f x 没有极值点C ．()f x 有极大值点D ．()f x 有极小值点【答案】B 【分析】直接求得()f x 的零点，根据()f x 的导数，判断出()f x 的单调性，由此判断出()f x 极值点的情况. 【详解】令()0f x =，解得ln 2x =，所以()f x 有零点，所以A 选项不正确.()'0x f x e =>，所以()f x 在R 上递增，没有极值点， 所以B 选项正确，CD 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查函数零点的判断，考查利用导数研究函数的极值点，属于较易题. 10．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线20x y --=的最短距离为（ ） ABC．3D【答案】D 【分析】过点P 做切线和直线20x y --=平行时距离最短，求导数令其等于1，找到点P 的坐标，再由点到直线的距离公式可得解. 【详解】当过点P 做切线和直线20x y --=平行时距离最短.2ln ,(0)y x x x =->，令121y x x'=-=，解得1x =，所以(1,1)P最短距离为：d ==故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题. 11．已知函数()ln 1f x x =-，若方程()xm xf x e-=在区间[]1,e 内有且仅有一个根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]1,e e - B ．[],1e e + C ．(],1e -∞- D ．(),e -∞【答案】A 【分析】 方程()xm x f x e-=即()ln 10xx e x m -+-=，引入函数()()[]()ln 11,x g x x e x m x e =-+-∈，()g x 有且仅有一个零点，求导函数()'g x ，再引入函数()[]()1ln 11,h x x x e x=+-∈，由()h x 的单调性确定()'g x 的正负，得()g x 的单调性，最大值和最小值，然后由零点存在定理列不等式得结论． 【详解】 解：方程()x m x f x e -=等价于ln 1xm x x e--=，等价于()ln 10xx e x m -+-= .令()()[]()ln 11,x g x x e x m x e =-+-∈，由题意知函数()g x 有且仅有一个零点， 则()1ln 11x g x x e x ⎛⎫'=+-+⎪⎝⎭，令()[]()1ln 11,h x x x e x =+-∈，则()221110x h x x x x-'=-+=≥，所以函数()h x 在[]1,e 上单调递增， 所以当[]1,x e ∈时，()()10h x h ≥=，所以()0g x '>，所以()g x 在[]1,e 上单调递增，所以()()min 11g x g e m ==--，所以要使函数()g x 在区间[]1,e 内有且仅有一个零点，需()()min max 10,0,g x e m g x e m ⎧=--≤⎪⎨=-≥⎪⎩解得1e m e -≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,e e -. 【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的范围；（2）分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，然后数形结合求解.试卷第8页，总17页12．已知锐角1x ，2x 满足1212πsin cos 2x x x x -<+-，则下列结论一定正确的是（ ） A ．()112sin sin x x x <+B ．121tan tan 2x x x +> C ．1122sin cos sin cos x x x x +>+ D ．1212sin sin cos cos x x x x +>+【答案】D 【分析】结合已知条件，构造函数()sin f x x x =-，得：122x x π+>，根据选项，逐一验证即可. 【详解】1212πsin cos 2x x x x -<+-， 即1122ππsin sin 22x x x x ⎛⎫⎛⎫-<---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，所以21ππ022x x <-<<，由sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，得21πsin sin 2x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即21cos sin x x <，同理可得12cos sin x x <，所以1212sin sin cos cos x x x x +>+ 故选：D 【点睛】解题关键在于利用1212πsin cos 2x x x x -<+-，变为1122ππsin sin 22x x x x ⎛⎫⎛⎫-<--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而构造()sin f x x x =-，再利用导数进行判断选项，难度属于中档题二、填空题13．曲线21()2x f x e x +=+在点()0,(0)f 处的切线方程为_____________ 【答案】(22)y e x e =++ 【分析】求出导数，进而利用导数的几何意义求出所求切线的斜率，再求出(0)f 即可写出切线的点斜式方程. 【详解】21()22x f x e +'=+，()022f e '∴=+，又(0)f e =，∴曲线()f x 在点()0,(0)f 处的切线方程为(22)y e x e =++. 故答案为：(22)y e x e =++ 【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线，属于基础题.14．已知a 为正实数，若函数322()32f x x ax a =-+的极小值为0，则a 的值为_____ 【答案】12． 【分析】求导数，确定极小值，由极小值为0求得a ． 【详解】由题意2()363(2)f x x ax x x a '=-=-，∵0a >，∴0x <或2x a >时，()0f x '>，02x a <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,0)-∞和(2,)a +∞上递增，在(0,2)a 上递减， ()f x 的极小值是332(2)81220f a a a a =-+=，解得12a =（0a =舍去）． 故答案为：1215．函数()(3)x f x x e =-的单调递减区间是___________. 【答案】(,2)-∞ 【分析】首先对()(3)xf x x e =-求导，可得()(2)x f x x e '=-，令()0f x '<，解可得答案．【详解】解：3e ()[()e ]()e (e 2)3xxxxf x x x x '=-'=+-=- 由()0f x '<得2x <，故()f x 的单调递减区间是(,2)-∞ 故答案为：(,2)-∞ 【点睛】试卷第10页，总17页本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题. 16．已知函数()xf x x e -=⋅，()21ln 2g x x x a =-+，若[]12,1,2x x ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______.【答案】2211ln 22,2ee ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦ 【分析】“若[]12,1,2x x ∃∈，使得()()12f x g x =”转换为集合交集非空，分别根据导数求()f x ，()g x 的值域，进一步求出答案.【详解】因为()xf x x e -=⋅所以()1xx xf x ex e xe --'=⋅--=当[]1,2x ∈，()0f x '≤，所以()f x 单调递减，()221f x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为()21ln 2g x x x a =-+，所以()g x '211x x x x-=-=，当[]1,2x ∈，0g x，所以()g x 单调递增，()1,2ln 22g x a a ⎡⎤∈+-+⎢⎥⎣⎦因为[]12,1,2x x ∃∈，使得()()12f x g x =，所以222ln 2112a e a e ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩所以2211ln 22,2a e e ⎡⎤∈+--⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2211ln 22,2ee ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题. 本题主要是转换的思想，“若[]12,1,2x x ∃∈，使得()()12f x g x =”可以转换为集合交集非空.三、解答题17．已知函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值. 【答案】（1）1；（2）3-. 【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数a 的值；（2）求导，求出[2,1]x ∈-时的极值，比较极值和(2)(1)f f -、之间的大小的关系，最后求出函数的最小值. 【详解】（1）3'2()31()33f x x ax f x x a =⇒=---，函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处取得极值，所以有2'3(1()01130)a f a --==⇒-=⇒；（2）由（1）可知：3'2()31()333(1)(1 )f x x x f x x x x =--=-=+-⇒，当(2,1)x ∈--时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，故函数在1x =-处取得极大值，因此3(1)(1) =13(1)1f -=--⨯--，3(2)(2)3(2) 1 3=f -=--⨯---，3(1)131 1=3f =-⨯--，故函数()f x 的最小值为3-.【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力. 18．已知函数()322f x x mx nx m =+++在1x =-处取得极值1-．（1）求m 、n 的值；（2）求()y f x =在()()1,1f 处的切线方程．【答案】（1）39m n =⎧⎨=⎩；（2）245y x =-.【分析】（1）由题意得出()10f '-=，()11f -=-，可得出关于m 、n 的方程组，解出即可； （2）计算出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.试卷第12页，总17页【详解】 （1）()322f x x mx nx m =+++，则()234f x x mx n '=++，由题知()10f '-=，()11f -=-，()()()2331410121m n m n m ⎧⨯-+⨯-+=⎪∴⎨-+-+=-⎪⎩，即34030m n m n -+=⎧⎨-=⎩， 解得39m n =⎧⎨=⎩. 检验：当3m =，9n =时，()()()23129313f x x x x x '=++=++，当3x <-或1x >-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<. 所以，1x =-是函数()y f x =的极小值点，合乎题意. 综上所述，3m =，9n =；（2）由（1）知()32693f x x x x =+++，()23129f x x x '=++，则()119f =，()124f '=，因此，所求切线方程为()19241y x -=-，即245y x =-. 【点睛】本题考查利用函数的极值求参数，同时也考查了利用导数求函数图象的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题. 19．设函数13()ln 122f x a x x x =+++，其中在a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴 （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 极值． 【答案】（Ⅰ）1a =- （Ⅱ）极小值(1)3f = 【分析】（Ⅰ）因13()ln 122f x a x x x =+++ ，故213()22a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即()01f '= ，从而13022a -+= ，解得1a =-（Ⅱ）由（Ⅰ）知13()ln 1(0)22f x x x x x =-+++>，2113()22f x x x -'=-+ 222321(31)(1)22x x x x x x --+-==令()0f x '=，解得1211,3x x ==-（因213x =- 不在定义域内，舍去）当(0,1)x ∈ 时，()0f x '< 故()f x 在(0,1)上为减函数；当(1,)x ∈+∞ 时，()0f x '> 故()f x 在(1,)+∞上为增函数，故()f x 在1x = 处取得极小值(1)3f =本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力 【详解】20．已知函数()()32269f x x ax a x a R =-+∈．()1当1a =时，求函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程；()2当1a ≥时，若对任意[]0,3x ∈都有()27f x ≤，求实数a 的取值范围．【答案】（1）380x y +-=；（2）1a ≤≤【分析】(1)把1a =代入原方程可得()3269f x x x x =-+，可得()2'3129f x x x =-+，()()22'23f f ==-，，可得函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程；(2)()()()()22'3129331f x x ax a x a x a a =-+=--≥可得，分3a ≥，13a ≤<两种情况讨论，结合函数的单调性及对任意[]0,3x ∈都有()27f x ≤，可得a 的取值范围. 【详解】解()1当1a =时，()3269f x x x x =-+，()2'3129f x x x =-+，()22f ∴=，()'23k f ==-，切线方程为：()232y x -=--，试卷第14页，总17页整理得：380x y +-=．()()()()()222'3129331f x x ax a x a x a a =-+=--≥．()f x ∴在()0,a 上单调递增；在(),3a a 上单调递减；在()3,a +∞上单调递增．当3a ≥时，函数()f x 在[]0,3上单调递增．∴函数()f x 在[]0,3上的最大值是()23275427f a a =-+，由题意得227542727a a -+≤，解得：02a ≤≤，3a ≥，∴此时a 的值不存在；当13a ≤<时，33a a <≤，此时()f x 在()0,a 上递增，在(),3a 上递减．∴函数()f x 在[]0,3上的最大值是()3333694f a a a a a =-+=，由题意得3427a ≤，解得：a ≤综上，a的取值范围是12a ≤≤．【点睛】本题主要考查导数的性质及应用，注意分类讨论思想的灵活运用. 21．设()()ln 1x a x f x x +=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值；（2）若[)1,x ∀∈+∞，不等式()()11x fx m x x x +⎛⎫⋅-⎪⎝⎭≤恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）0a =；（2）12m ≥. 【分析】（1）利用两直线垂直得斜率乘积为1-，可得()112f '=，即可求解. （2）原不等式可化为1ln x m x x ⎛⎫≤-⎪⎝⎭对[)1,x ∀∈+∞恒成立，构造函数 ()1ln g x x m x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，将问题转化为[)1,x ∀∈+∞，()0g x ≤恒成立，再利用导数研究函数()g x 在[)1,+∞上的单调性，求出()g x 最大值即可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()()()()2ln 1ln 1x a x x x a x x f x x +⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭'=+，因为直线210x y ++=的斜率为2-， 所以()112f '=，所以()21142a +=，所以0a =. （2）由（1）得：()ln 1x xf x x =+， 由()()11x fx m x xx +⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭≤可得：1ln x m x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭对[)1,x ∀∈+∞恒成立， 设()1ln g x x m x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，即[)1,x ∀∈+∞，()0g x ≤， 而()222111mx x m g x m x x x -+-⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，①若0m ≤，()0g x '>，()()10g x g ≥=，这与题设矛盾，舍去. ②若0m >，方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=-， 当0∆≤，即12m ≥时，()0f x '≤,且当且仅当1x =时，()0f x '=,所以 ()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即不等式成立. 当0∆>，即102m <<时，方程有两根，分别记为1x ，2x ，由韦达定理得： 1210x x m+=>，1210x x =>，所以：1201x x <<<； 当()21,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，则()()10g x g >=，与题设矛盾，舍去.综上得：12m ≥. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求试卷第16页，总17页()g x 的最值即可.22．己知函数()sin f x a x x b =-+(a ，b 均为正常数).()sin cos h x x x =+. （1）求证：函数()f x 在(0,]a b +内至少有一个零点； （2）设函数()f x 在3x π=处有极值，对于一切0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()f x h x >恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(1,)+∞. 【分析】（1）根据零点存在性定理，证明()00f ≠且()()00f f a b +≤即可；（2）利用导数研究极值得到a 的值，利用分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，利用导数研究相应函数的单调性，求得相关最值，根据不等式恒成立的意义得到b 的取值范围. 【详解】 解：（1）证明：(0)0f b =>()sin()[sin()1]0f a b a a b a b b a a b +=+--+=+- (0)()0f f a b ∴+所以函数f (x )在(0,]a b +内至少有一个零点； （2）()cos 1f x a x '=-由已知得：03f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝所以2a =，所以()2sin f x x x b =-+不等式()()f x h x >恒成立可化为：sin cos x x x b -->-， 记函数()sin cos ,0,2g x x x x x π⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦()cos sin 121,0,42g x x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+-=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎣'⎭⎦12sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()0g x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，最小值为(0)1g =-所以1b >，所以b 的取值范围是(1,)+∞. 【点睛】（1）中关键是注意题设区间左开右闭，仅有()()00f f a b +≤,是不足以保证在(0,1]上存在零点的，需要说明()00f ≠；（2）关键是利用导数判定()sin cos ,0,2g x x x x x π⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的单调性，并求得最小值,注意结合三角函数的辅助角公式和性质对()'g x 的正负进行研究，从而得到()g x 的单调性，进而得到最小值.。
高三导数及其应用测试题及答案解析
高三数学章末综合测试题导数及其应用一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.232．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A ．4 B ．－14 C ．2D ．－125．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤36．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2)7．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π48．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )9．若函数f (x )在R 上满足f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝3x －2C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－2x ＋310．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( ) A ．在(－2,1)内f (x )是增函数 B ．在(1,3)内f (x )是减函数新 课标 第 一 网 C ．在(4,5)内f (x )是增函数 D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427、0 B ．0、427 C ．－427、0 D ．0、－42712．若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( ) w w w .x k b 1.c o m A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．14．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．16．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________． ①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减；②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值；④当x ＝7时，函数f (x )有极小值． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值； (2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1(x ∈R )． (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12)x 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋bx，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线． (1)求a ，b 的值； (2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23. (1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论； (3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23解析：y ′＝x 2＋1，当x ＝1时，k ＝y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －43＝2(x －1)．当x ＝0时，y ＝－23，当y ＝0时，x ＝13.∴三角形的面积S ＝12×|－23|×13＝19.答案：A2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解析：由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2. 令y ′＞0，即8x －1x 2＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增. 答案：B3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：据已知可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，故f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1.由两直线的位置关系可得－a2×1＝－1，解得a ＝2. 答案：D4．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，X k b 1 . c o m f ′(1)＝g ′(1)＋2＝2＋2＝4. 答案：A5．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤3解析：由f (x )＝x 3－ax ，得f ′(x )＝3x 2－a ， 由3x 2－a ≥0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立， 3x 2≥a ，∴a ≤3.若a ＜3，则f ′(x )＞0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立． 若a ＝3，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0恒成立． x ＝－1时，f ′(－1)＝0，∴a ≤3. 答案：D6．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2)解析：由y ＝xf ′(x )的图像知±2是y ＝f ′(x )的两个零点，设f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)．当x ＞2时，xf ′(x )＝ax (x －2)(x ＋2)＞0，∴a ＞0.由f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)知，f (－2)是极大值，f (2)是极小值，故选D. 答案：D7．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4解析：由题意，得f ′(x )＝x 2＋f ′(1)x －f ′(2)， 令x ＝0，得f ′(0)＝－f ′(2)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1＋f ′(1)－f ′(2)， ∴f ′(2)＝1，∴f ′(0)＝－1，即f (x )在点(0，f (0))处切线的斜率为－1， ∴倾斜角为3π4.答案：D8．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图像知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )图像上任意一点切线的斜率在(0，＋∞)也单调递减，故可排除A ，C.又由图像知，y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线斜率相同，故可排除B.故选D. 答案：D9．若函数f (x )在R 上满足f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－2x ＋3解析：令x ＝0，解得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x ＋2x －1＋cos x ，令x ＝0，解得f ′(0)＝1，故切线方程为y ＝x ＋1. 答案：C10．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( )A ．在(－2,1)内f (x )是增函数B ．在(1,3)内f (x )是减函数新 课 标 第 一 网C ．在(4,5)内f (x )是增函数D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值解析：在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f (x )在这个区间上不是单调函数；同理，函数f (x )在(1,3)上也不是单调函数，在x ＝2的左侧，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－32，2上是增函数．在x ＝2的右侧，函数f (x )在(2,4)上是减函数，所以在x ＝2时，f (x )取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数f (x )在这个区间上为增函数. 答案：C11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427、0 B ．0、427C ．－427、0D ．0、－427解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13，或x ＝1.从而求得当x ＝13时，f (x )取极大值427；当x ＝1时，f (x )取极小值0.故选A.答案：A12．如右图，若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( ) w w w .x k b 1.c o m A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图像知f (1)＝3，f ′(1)＝1，故f (1)＋f ′(1)＝ 3＋1＝4. 答案：D第Ⅱ卷 (非选择 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________． 解析：设P (a ，a 2－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[]－1，3， ∴0≤a ≤2.从而g (a )＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34. 当a ＝12时，g (a )min ＝34；a ＝2时，g (a )max ＝3. 故P 点纵坐标范围是⎣⎡⎦⎤34，3.答案：⎣⎡⎦⎤34，314．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝1x ＋2－2ax －a ＝－(2x ＋1)(ax －1)x ，x ∈(0，＋∞)．当a ≤0时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，F (x )≤0不可能恒成立． 当a ＞0时，令F ′(x )＝0，得x ＝1a ，或x ＝－12(舍去)．当0＜x ＜1a 时，F ′(x )＞0；当x ＞1a 时，F ′(x )＜0.故F (x )在(0，＋∞)上有最大值F ⎝⎛⎭⎫1a ，由题意F ⎝⎛⎭⎫1a ≤0恒成立，即ln 1a ＋1a －1≤0.令φ(a )＝ln 1a ＋1a －1，则φ(a )在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln 1a ＋1a －1≤0成立的充要条件是a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b .又f (x )在x ＝0处有极值，故f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，可知该切线斜率为2，即f ′(1)＝2，∴2a ＝2，得a ＝1.∴a ＋b ＝1＋0＝1. 答案：116．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________．(填写正确命题的序号) ①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减； ②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值； ④当x ＝7时，函数f (x )有极小值．解析：由图像可得，在区间(－3,1)内f (x )的导函数数值大于零，所以f (x )单调递增；在区间(1,7)内f (x )的导函数值小于零，所以f (x )单调递减；在x ＝－3左右的导函数符号不变，所以x ＝－3不是函数的极大值点；在x ＝7左右的导函数符号在由负到正，所以函数f (x )在x ＝7处有极小值．故②④正确． 答案：②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；(2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132＞0，故函数有极值点； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，故函数无极值点； 故b 的值为－11.(2)方法一：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 则F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． ∵x ≥0，F (a )在a ∈[－4，＋∞)上单调递增或为常数函数，∴得F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0对任意的x ∈[0,2]恒成立，即b ≥(－3x 2＋8x )max ， 又－3x 2＋8x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －432＋163≤163， 当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，得b ≥163，故b 的最小值为163.方法二：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 即b ≥－3x 2－2ax 对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥(－3x 2－2ax )max . 令F (x )＝－3x 2－2ax ＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋a 23， ①当a ≥0时，F (x )max ＝0，于是b ≥0； ②当－4≤a ＜0时，F (x )max ＝a 23，于是b ≥a 23.又∵⎝⎛⎭⎫a 23max ＝163，∴b ≥163. 综上，b 的最小值为163.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，因f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0，即3x 2－x ＋b ≥0， ∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)恒成立．设g (x )＝x －3x 2，当x ＝16时，g (x )max ＝112，∴b ≥112.(2)由题意，知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2.x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．因f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，或x ＝－23.∵f (1)＝－32＋c ，f (－23)＝2227＋c ，f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c ，∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c ＜c 2，解得c ＞2，或c ＜－1， 所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1(x ∈R )．(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 解析：(1)当m ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又因为f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，则f ′(2)＝－625.所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0. (2)f ′(x )＝2m (x 2＋1)－2x (2mx －m 2＋1)(x 2＋1)2＝－2(x －m )(mx ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1m ，x 2＝m .∵m ＞0，∴－1m＜m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－1m－1m ⎝⎛⎭⎫－1m ，m m (m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )递减极小值递增极大值递减从而f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－1m ，(m ，＋∞)内为减函数，在区间⎝⎛⎭⎫－1m ，m 内为增函数， 故函数f (x )在点x 1＝－1m 处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫－1m ，且f ⎝⎛⎭⎫－1m ＝－m 2，函数f (x )在点x 2＝m 处取得极大值f (m )，且f (m )＝1.20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12)x 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2＋ln x ，f ′(x )＝x ＋1x ＝x 2＋1x.对于x ∈[1，e]有f ′(x )＞0， ∴f (x )在区间[1，e]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝1＋e 22，f (x )min ＝f (1)＝12.(2)令g (x )＝f (x )－2ax ＝(a －12)x 2－2ax ＋ln x ，则g (x )的定义域为(0，＋∞)．在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方等价于g (x )＜0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∵g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x＝(2a －1)x 2－2ax ＋1x＝(x －1)[(2a －1)x －1]x，①若a ＞12，令g ′(x )＝0，得极值点x 1＝1，x 2＝12a －1，当x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在(x 2，＋∞)上有g ′(x )＞0，此时g (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g (x )∈(g (x 2)，＋∞)，不符合题意； 当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g (x )在区间(1，＋∞)上，有g (x )∈(g (1)，＋∞)，也不符合题意； ②若a ≤12，则有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．要使g (x )＜0在此区间上恒成立，只需满足g (1)＝－a －12≤0⇒a ≥－12， 由此求得a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 综上可知，当a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方． 21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线．(1)求a ，b 的值；(2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．解析：(1)f (x )＝ln x 的图像与x 轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g (1)＝a ＋b ＝0.①又f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝a －b x 2， 且f (x )与g (x )在点(1,0)处有公共切线，∴g ′(1)＝f ′(1)＝1，即a －b ＝1.②由①②得，a ＝12，b ＝－12. (2)令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －12x ＝ln x －12x ＋12x， ∴F ′(x )＝1x －12－12x 2＝－12⎝⎛⎭⎫1x－12≤0. ∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．当0＜x ＜1时，F (x )＞F (1)＝0，即f (x )＞g (x )；当x ＝1时，F (1)＝0，即f (x )＝g (x )；当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即f (x )＜g (x )．22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43. 解析：(1)∵函数f (x )的图像关于原点对称，∴对任意实数x 有f (－x )＝－f (x )，∴－ax 3－2bx 2－cx ＋4d ＝－ax 3＋2bx 2－cx －4d ， 即bx 2－2d ＝0恒成立，∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，∵当x ＝1时，f (x )取极小值－23， ∴3a ＋c ＝0，且a ＋c ＝－23， 解得a ＝13，c ＝－1. (2)当x ∈[－1,1]时，图像上不存在这样的两点使结论成立． 假设图像上存在两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f ′(x )＝x 2－1知，两点处的切线斜率分别为k 1＝x 12－1，k 2＝x 22－1， 且(x 12－1)(x 22－1)＝－1.(*)∵x 1，x 2∈[－1,1]，∴x 12－1≤0，x 22－1≤0. ∴(x 12－1)(x 22－1)≥0.此与(*)相矛盾，故假设不成立．(3)f ′(x )＝x 2－1，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，∴f (x )在[－1,1]上是减函数，且f (x )max ＝f (－1)＝23，f (x )min ＝f (1)＝－23. ∴在[－1,1]上，|f (x )|≤23， 于是x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x 1)|＋|f (x 2)|≤23＋23＝43.。
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。
2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析
2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋5，则f(5)与f′(5)分别为() A．5，－1B．－1,5C．－1,0D．0，－1答案D解析由题意可得f(5)＝－5＋5＝0，f′(5)＝－1，故选D.2．已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f1，则a等于()A．0B．1C．2D．4答案A解析∵f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f1，∴sin π2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝0.3．若曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m等于() A．－1B．0C．1D．2答案A解析f(x)的导数为f′(x)＝m＋1x，曲线y＝f(x)在点(1，m)处的切线斜率为k＝m＋1＝0，可得m＝－1.故选A.4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2020(x)等于()A．－sin x－cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x答案B解析∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2020(x)＝f4(x)＝sin x－cos x，故选B.5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)等于()A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1答案D解析已知f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，其导数f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，变形可得f ′(e)＝－1e ，故选D.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为()A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案B解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m 值等于()A ．5B ．3C ．－3D ．－5答案D解析f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝6x －4，令2x ＝6x－4，解得x ＝1，这就是切点的横坐标，代入g (x )求得切点的纵坐标为－4，将(1，－4)代入f (x )得1＋m ＝－4，m ＝－5.故选D.8．(2019·新乡模拟)若函数f (x )＝a e x ＋sin x 在－π2，0上单调递增，则a 的取值范围为()B ．[－1,1]C ．[－1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案D解析依题意得，f ′(x )＝a e x ＋cos x ≥0，即a ≥－cos xe x 对x ∈－π2，0恒成立，设g (x )＝－cos xe x ，x ∈－π2，0，g ′(x )g ′(x )＝0，则x ＝－π4，当x ∈－π2，－g ′(x )<0；当x －π4，0时，g ′(x )>0，故g (x )max ＝g (0，则a ≥0.故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9B.4000π27C ．81πD ．128π答案B解析小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0<h <5)，小圆柱的底面半径设为r (0<r <5)，由于r ，h 和球的半径5满足勾股定理，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，求导V ′＝－π(3h －5)·(h ＋5)，当0<h ≤53时，体积V 单调递增，当53<h <5时，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱体积取得最大值，V max ＝＝4000π27，故选B.10．(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1－x 1ln x 2<x 1－x 2成立，则a 的最大值为()A.12B ．1C ．eD ．2e答案B解析原不等式可转化为1＋ln x 1x 1<1＋ln x 2x 2，构造函数f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln xx2，故函数在(0,1)上导数大于零，单调递增，在(1，＋∞)上导数小于零，单调递减．由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2)，故x 1，x 2在区间(0,1)上，故a 的最大值为1，故选B.11．(2019·洛阳、许昌质检)设函数y ＝f (x )，x ∈R 的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f (－x ),f ′(x )<f (x )，则下列不等式成立的是(注：e 为自然对数的底数)()A ．f (0)<e －1f (1)<e 2f (2)B ．e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)C ．e 2f (2)<e －1f (1)<f (0)D ．e 2f (2)<f (0)<e －1f (1)答案B解析设g (x )＝e －x f (x )，∴g ′(x )＝－e －x f (x )＋e －x f ′(x )＝e －x (f ′(x )－f (x ))，∵f ′(x )<f (x )，∴g ′(x )<0，∴g (x )为减函数．∵g (0)＝e 0f (0)＝f (0)，g (1)＝e －1f (1),g (－2)＝e 2f (－2)＝e 2f (2)，且g (－2)>g (0)>g (1)，∴e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)，故选B.12．(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b 的图象在x ＝0处的切线方程为2x －y －a ＝0，若关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，则m 的取值范围为()A.－323，－B.－2－323，－2答案D解析由函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b ，可得f ′(x )＝－x 2－x ＋a ，则f (0)＝－b ＝－a ，f ′(0)＝a ＝2，则b ＝2，即f (x )＝－13x 3－12x 2＋2x －2，f ′(x )＝－x 2－x ＋2＝－(x －1)(x ＋2)，所以函数f (x )在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，又由关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 在x ∈(0，＋∞)，上有两个交点，又f (0)＝－2，f (1)＝－56，所以－2<m <－56，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为________________．答案x －y －3＝0解析∵f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，∴f ′(x )＝1x ＋4x －4，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝－2，∴所求切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.14．已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案－1e2，解析f ′(x )＝ln x ＋1x (x －a )＝ln x ＋1－ax，函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则f ′(x )有两个变号零点，即f ′(x )＝0有两个不等实根，即a ＝x (ln x ＋1)有两个不等实根，转化为y ＝a 与y ＝x (ln x ＋1)的图象有两个不同的交点．令g (x )＝x (ln x ＋1)，则g ′(x )＝ln x ＋2，令ln x ＋2＝0，则x ＝1e 2，即g (x )＝x (ln x ＋1)[g (x )]min ＝－1e 2，当x →0时，g (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以结合f (x )的图象(图略)可知a －1e 2，15．(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案－1，12解析由函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥－2＋e x ＋1ex ≥－2＋2e x ·1e x＝0，当且仅当x ＝0时等号成立，可得f (x )在R 上递增，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＋x 3－2x ＋e x －1e x 0，可得f (x )为奇函数，则f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即有f (2a 2)≤0－f (a －1)＝f (1－a )，即有2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12.16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x－3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是______________．答案12e ，1＋ln 36解析∵函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．又f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)＝2f (3)－f (2mx －ln x －3)，∴f (2mx －ln x －3)≥f (3)．由题意可得函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．∴|2mx －ln x －3|≤3对x ∈[1,3]恒成立，∴－3≤2mx －ln x －3≤3对x ∈[1,3]恒成立，即ln x2x ≤m ≤ln x ＋62x对x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝ln x2x ，x ∈[1,3]，则g ′(x )＝1－ln x 2x 2∴g (x )在[1，e ]上单调递增，在(e,3]上单调递减，∴g (x )max ＝g (e)＝12e .令h (x )＝ln x ＋62x ，x ∈[1,3]，则h ′(x )＝－5－ln x2x 2<0，∴h (x )在[1,3]上单调递减，∴h (x )min ＝h (3)＝6＋ln 36＝1＋ln 36.综上可得实数m 的取值范围为12e ，1＋ln 36.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9.(1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程．解(1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：f ′(x )＋0－0＋f (x )增极大值减极小值增从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1，依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－13，又f (－1)＝6，＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)或y －6827＝－即5x ＋y －1＝0或135x ＋27y －23＝0.18．(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝x sin x ＋2cos x ＋ax ＋2，其中a 为常数．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝π2处的切线斜率为－2，求该切线的方程；(2)求函数f (x )在x ∈[0，π]上的最小值．解(1)求导得f ′(x )＝x cos x －sin x ＋a ，由f a －1＝－2，解得a ＝－1.此时2，所以该切线的方程为y －2＝－2x ＋y －2－π＝0.(2)对任意x ∈[0，π]，f ″(x )＝－x sin x ≤0，所以f ′(x )在[0，π]内单调递减．当a ≤0时，f ′(x )≤f ′(0)＝a ≤0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递减，故f (x )min ＝f (π)＝a π.当a ≥π时，f ′(x )≥f ′(π)＝a －π≥0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝4.当0<a <π时，因为f ′(0)＝a >0，f ′(π)＝a －π<0，且f ′(x )在区间[0，π]上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一x 0∈(0，π)，使得f ′(x 0)＝0，且f (x )在[0，x 0]上单调递增，在[x 0，π]上单调递减．故f (x )的最小值等于f (0)＝4和f (π)＝a π中较小的一个值．①当4π≤a <π时，f (0)≤f (π)，故f (x )的最小值为f (0)＝4.②当0<a <4π时，f (π)≤f (0)，故f (x )的最小值为f (π)＝a π.综上所述，函数f (x )的最小值f (x )min，a ≥4π，π，a <4π.19．(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1(m ∈R )．(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，求实数m 的值；(2)若对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)∵f (x )＝4ln x －mx 2＋1，∴f ′(x )＝4x －2mx ，∴f ′(1)＝4－2m ，∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，∴f ′(1)＝4－2m ＝2，∴m ＝1.(2)∵对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，∴4ln x －mx 2＋1≤0，在x ∈[1，e ]上恒成立，即对于任意x ∈[1，e ]，m ≥4ln x ＋1x 2恒成立，令g (x )＝4ln x ＋1x 2，x ∈[1，e ]，g ′(x )＝2(1－4ln x )x 3，令g ′(x )>0，得1<x <14e ，令g ′(x )<0，得14e <x <e ，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化如下表：x 14(1,e )14e14(e ,e)g ′(x )＋0－g (x )极大值∴函数g (x )在区间[1，e ]上的最大值g (x )max ＝g (14e )＝141244ln e 1(e )+＝2e e ，∴m ≥2ee，即实数m 的取值范围是2ee ，＋20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．解(1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －2a 2x －a ＝2a 2x 2＋ax －1－x ＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a，由f ′(x )<0，得x >12a，函数f (x )当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a ，函数f (x )－1a，＋.(2)①当a ＝0时，函数f (x )在(0，1]内有1个零点x 0＝1;②当a >0时，由(1)知函数f (x )若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；若0<12a <1，即当a >12时，f (x )1上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足0，即ln 12a ≥34，又∵a >12，∴ln 12a <0，∴不等式不成立．∴f (x )在(0,1]内无零点；③当a <0时，由(1)知函数f (x )－1a，＋若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；若0<－1a <1，即a <－1时，函数f (x )－1a，1上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，，知函数f (x )在(0,1]内无零点．综上可得a 的取值范围是[－1,0]．21．(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中，对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3(单位：米)的正三角形钢板(如图)，沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去，得到所需的梯形钢板BCED ，记这个梯形钢板的周长为x (单位：米)，面积为S (单位：平方米)．(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式；(2)若在生产中，梯形BCED 试确定这个梯形的周长x 为多少时，该零件才可以在生产中使用？解(1)∵DE ∥BC ，△ABC 是正三角形，∴△ADE 是正三角形，AD ＝DE ＝AE ，BD ＝CE ＝3－AD ，则DE ＋2(3－AD )＋3＝9－AD ＝x ，S ＝(3＋AD )·(3－AD )·sin 60°2＝3(12－x )(x －6)4(6<x <9)，化简得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．(2)∵由(1)得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)，令f (x )＝S x ＝x －72x ＋x <9)，∴f ′(x )1令f ′(x )＝0，得x ＝62或x ＝－62(舍去)，f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：x(6,62)62(62，9)f ′(x )＋0－f (x )单调递增极大值单调递减∴当x ＝62时，函数f (x )＝S x有最大值，为f (62)＝923－36.∴当x ＝62米时，该零件才可以在生产中使用．22．(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求k 的取值范围，并证明：0<f (x 1)<1.解(1)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2>0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)上为增函数，所以h (x )＝2e x －2x >h (0)＝2>0，即f ′(x )＝2e x －2x >0在(0，＋∞)上恒成立，从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝2e x －x 2>f (0)＝2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x ex 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x ex ，当x <0时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )<0；当0<x <1时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减且φ(x )>0.作出函数φ(x )的图象如图所示，要使方程k ＝2x e x 有两个根，只需0<k <φ(1)＝2e，故实数k f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2，由f ′(x 1)＝1e x k －2x 1＝0得k ＝112e x x ，所以f (x 1)＝1e x k －x 21＝112e x x 1e x －x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x 1－1)2＋1，由于x 1∈(0,1)，所以0<－(x 1－1)2＋1<1，所以0<f (x 1)<1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学导数及其应用综合检测综合测试题(有答案)高中数学导数及其应用综合检测综合测试题（有答案）第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y＝2x＋a，y|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2tsint＋t，则它的速度方程为()A．v＝2sint＋2tcost＋1B．v＝2sint＋2tcostC．v＝2sintD．v＝2sint＋2cost＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S＝2sint＋2tcost＋1，故选A. 3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是() A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1()A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3 [答案] B[解析] y＝x|x(x－3)|＋1＝x3－3x2＋1 (x0或x3)－x3＋3x2＋1 (03)y＝3x2－6x (x0或x3)－3x2＋6x (03)x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x (－，0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋)f(x) ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋f(x) ? 无极值 ? 极大值5 ? 极小值1 ?f(x)极大＝f(2)＝5，f(x)极小＝f(3)＝1故应选B.5．(2009安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2x－1B．y＝xC．y＝3x－2D．y＝－2x＋3[答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，f(x)＝x2，f(x)＝2x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，y＝2x－1.6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5[答案] D[解析] f(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，a＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x0时，f(x)g(x)＋f(x)g(x)0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A．(－3,0)(3，＋)B．(－3,0)(0,3)C．(－，－3)(3，＋)D．(－，－3)(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x0时，f(x)g(x)＋f(x)g(x)0，即F(x)0，知F(x)在(－，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示F(x)＝f(x)g(x)0的解集为(－，－3)(0,3)，故应选D. 8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2019湖南理，5)241xdx等于()A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2[答案] D[解析] 因为(lnx)＝1x，所以 241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f(x)＝13x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x(－，＋)是增函数，则m的取值范围是() A．m2或mB．－4－2C．24D．以上皆不正确[答案] D[解析] f(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－70恒成立，＝4(4m －1)2－4(15m2－2m－7)＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28＝4(m2－6m＋8)0，24，故选D.11．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c()A．有最大值152B．有最大值－152C．有最小值152D．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f(x)0恒成立．所以f(－1)0f(2)0即2b－c－304b＋c＋120令b＋c＝z，b＝－c＋z，如图过A－6，－32得z最大，最大值为b＋c＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)－f(x)g(x)0，则当ab时有()A．f(x)g(x)f(b)g(b)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(b)f(b)g(x)D．f(x)g(x)f(a)g(x)[答案] C[解析] 令F(x)＝f(x)g(x)则F(x)＝f(x)g(x)－f(x)g(x)g2(x)0f(x)、g(x)是定义域为R恒大于零的实数F(x)在R上为递减函数，当x(a，b)时，f(x)g(x)f(b)g(b)f(x)g(b)f(b)g(x)．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13.－2－1dx(11＋5x)3＝________.[答案] 772[解析] 取F(x)＝－110(5x＋11)2，从而F(x)＝1(11＋5x)3则－2－1dx(11＋5x)3＝F(－1)－F(－2)＝－11062＋11012＝110－1360＝772.14．若函数f(x)＝ax2－1x的单调增区间为(0，＋)，则实数a的取值范围是________．[答案] a0[解析] f(x)＝ax－1x＝a＋1x2，由题意得，a＋1x20，对x(0，＋)恒成立，a－1x2，x(0，＋)恒成立，a0.15．(2009陕西理，16)设曲线y＝xn＋1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k＝y|x＝1＝n＋1，切线l：y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，x＝nn＋1，an＝lgnn＋1，原式＝lg12＋lg23＋…＋lg99100＝lg1223…99100＝lg1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y＝1x，y2＝x与直线x＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由y2＝x，y＝1x，得交点A(1,1)由x＝2y＝1x得交点B2，12.故所求面积S＝01xdx＋121xdx＝23x3210＋lnx21＝23＋ln2.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2019江西理，19)设函数f(x)＝lnx ＋ln(2－x)＋ax(a0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．[解析] 函数f(x)的定义域为(0,2)，f (x)＝1x－12－x＋a，(1)当a＝1时，f (x)＝－x2＋2x(2－x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x(0,1]时，f (x)＝2－2xx(2－x)＋a0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.18．(本题满分12分)求曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．[解析] 由y＝2x－x2，y＝2x2－4x得x1＝0，x2＝2. 由图可知，所求图形的面积为S＝02(2x－x2)dx＋|02(2x2－4x)dx|＝02(2x－x2)dx－02(2x2－4x)dx.因为x2－13x3＝2x－x2，23x3－2x2＝2x2－4x，所以S＝x2－13x320－23x3－2x220＝4.19．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．[解析] (1)f(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以f(2)＝0，f(2)＝8.即3(4－a)＝0，8－6a＋b＝8. 解得a＝4，b＝24.(2)f(x)＝3(x2－a)(a0)．当a0时，f(x)0，函数f(x)在(－，＋)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．当a0时，由f(x)＝0得x＝a.当x(－，－a)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(－a，a)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(a，＋)时，f(x)0，函数f(x)单调递增．此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝12x2＋lnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x|x0}，∵f(x)＝x＋1x，故f(x)0，f(x)的单调增区间为(0，＋)．(2)设g(x)＝23x3－12x2－lnx，g(x)＝2x2－x－1x，∵当x1时，g(x)＝(x－1)(2x2＋x＋1)x0，g(x)在(1，＋)上为增函数，g(x)g(1)＝160，当x1时，12x2＋lnx23x3.21．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x, f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题．[解析] (1)f(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)．因为x(－，＋)．f(x)m，即3x2－9x＋(6－m)0恒成立．所以＝81－12(6－m)0，得m－34，即m的最大值为－34. (2)因为当x1时，f(x)0；当12时，f(x)0；当x2时f(x)0. 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a，当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a2或a52.22．(本题满分14分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(aR)．(1)若函数y＝f(x)在区间0，23上递增，在区间23，＋上递减，求a的值；(2)当x[0,1]时，设函数y＝f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数a32，＋，求的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m，使得函数g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(mR)的图象与函数y＝f(x)的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f23＝0，由f(x)＝－3x2＋2ax，得－3232＋2a23＝0，即a＝1.(2)当x[0,1]时，tan＝f(x)＝－3x2＋2ax＝－3x－a32＋a23.由a32，＋，得a312，＋.①当a312，1，即a32，3时，f(x)max＝a23，f(x)min＝f(0)＝0.此时0tana23.②当a3(1，＋)，即a(3，＋)时，f(x)max＝f(1)＝2a－3，f(x)min＝f(0)＝0，此时，0tan2a－3.又∵[0，)，当323时，0，arctana23，当a3时，[0，arctan(2a－3)]．(3)函数y＝f(x)与g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(mR)的图象恰有3个交点，等价于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1恰有3个不等实根，x4－4x3＋(1－m)x2＝0，显然x＝0是其中一个根(二重根)，方程x2－4x＋(1－m)＝0有两个非零不等实根，则＝16－4(1－m)01－m0m－3且m1故当m－3且m1时，函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有3个交点．。