2.11指数与对数运算
指数与对数的运算
指数与对数的运算指数与对数是数学中常见的数值运算方法，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍指数与对数的定义、性质以及它们的基本运算规则，为读者加深对这两个概念的理解。
一、指数的定义和性质指数是数学中用来表示多次相乘的运算方式。
如果将一个数连续相乘n次，可以用幂的形式表示为a的n次方，记作a^n。
其中，a被称为底数，n被称为指数。
指数可以是整数、分数或负数。
指数具有以下性质：1.指数相乘：当底数相同时，指数相乘等于底数不变，指数相加。
即a^m × a^n = a^(m+n)。
2.指数相除：底数相同时，指数相除等于底数不变，指数相减。
即a^m ÷ a^n = a^(m-n)。
3.指数的零次幂：任何非零数的零次幂都等于1，即a^0 = 1 (a ≠ 0)。
4.指数的一次幂：任何非零数的一次幂都等于本身，即a^1 = a (a ≠0)。
二、对数的定义和性质对数是指数的逆运算。
如果a^x = b，那么可以说x是以a为底，以b为真数的对数，记作log_a(b)。
其中，a被称为底数，b被称为真数。
对数具有以下性质：1.对数的乘法法则：log_a(b × c) = log_a(b) + log_a(c)。
2.对数的除法法则：log_a(b ÷ c) = log_a(b) - log_a(c)。
3.对数的幂运算法则：log_a(b^m) = m × log_a(b)。
4.换底公式：log_a(b) = log_c(b) ÷ log_c(a)，其中c为任意正数且不等于1。
三、指数与对数的基本运算指数与对数是互为反函数的运算，它们之间存在一定的关系。
通过运用指数与对数的运算法则，可以进行一系列的简化和转换。
1.幂函数与指数函数的关系：幂函数y = a^x与指数函数y = log_a(x)是互为反函数的关系，它们的图像关于y = x对称。
2.指数与对数的消除：如果a^x = b，那么b可以表示为y = log_a(b)，此时x = y。
指数与对数运算
指数与对数运算指数与对数是数学中常用的运算方法，它们在各个领域中都有重要的应用。
指数运算以指数为基础，对数运算则是指数运算的逆过程，它们相互关联，互为逆运算。
一、指数运算指数运算是指以指数为基础进行的数学运算。
在指数运算中，指数表示一个数的幂次数，幂乘表示将一个数连乘多次。
指数运算可以简化大数的表达，并且具有很多有用的性质。
指数的定义如下：对于任意实数a和正整数n，a的n次幂表示为a^n，其中a称为底数，n称为指数。
当指数为1时，底数的一次幂等于底数本身，即a^1=a。
当指数为0时，任何数的0次幂都等于1，即a^0=1（其中a≠0）。
指数运算具有以下基本性质：1. 乘法规律：a^m*a^n=a^(m+n)2. 除法规律：a^m/a^n=a^(m-n)3. 幂的乘方规律：(a^m)^n=a^(m*n)4. 幂的倒数规律：(a^m)^(-n)=a^(-m*n)5. 幂的零次方：a^0=16. 幂的逆元素：a^(-m)=1/(a^m)，其中a≠0指数运算在数学中具有广泛的应用，尤其是在科学和工程领域中。
例如，指数运算可用于表示复利计算、天文学中的星云距离、生物学中的细胞倍增等。
二、对数运算对数运算是指指数运算的逆运算。
对数是一个数学函数，它描述的是指数运算的过程。
对数运算可以将指数运算转化为简单的加法和减法运算，便于计算和研究。
对数的定义如下：对于任意正数a，b，以a为底的对数函数记为log_a(b)，即log_a(b)=x，表示a的x次幂等于b。
在对数运算中，a称为底数，b称为真数，x称为对数。
常用的对数底数包括10（常用对数，以10为底）和e（自然对数，以自然常数e≈2.71828为底）。
对数运算具有以下基本性质：1. 对数的乘法规律：log_a(m*n)=log_a(m)+log_a(n)2. 对数的除法规律：log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)3. 对数的幂次规律：log_a(m^n)=n*log_a(m)4. 对数的换底公式：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)，其中c为任意正数且c≠1对数运算在许多学科中都有重要的应用。
指数与对数的运算
指数与对数的运算指数与对数是数学中重要的概念和运算方法。
它们在各个学科领域中都有广泛的应用，包括科学、工程、经济等。
本文将详细介绍指数与对数的定义、性质，以及它们之间的运算关系。
一、指数的定义和性质指数是表示一个数的重复乘法的简写形式。
设a是任意非零实数，n是任意整数，则称a的n次方为指数。
具体定义如下：1. 若n是正整数，则a的n次方表示为a^n，表示a连乘n个a，即a^n = a * a * ... * a (n个a)。
2. 若n是负整数，则a的n次方表示为a^n = 1 / a^(-n)。
3. 若n=0，则a的n次方定义为a^0 = 1。
指数有一些重要的性质，包括：1. a^m * a^n = a^(m+n)：两个指数相乘，底数不变，指数相加。
2. (a^m)^n = a^(m*n)：指数连乘，底数不变，指数相乘。
3. a^m / a^n = a^(m-n)：两个指数相除，底数不变，指数相减。
4. (a*b)^n = a^n * b^n：底数相乘，指数不变，结果相乘。
5. (a^n)^m = a^(n*m)：指数连乘，底数不变，指数相乘。
除了以上基本性质，指数还有一些其他的特性，例如指数的乘法法则、泰勒级数等，这里不再详细展开。
二、对数的定义和性质对数是指数的逆运算。
设a是任意正数且a≠1，b是任意正数，则称以a为底b的对数为对数。
具体定义如下：1. 若a>1，则对数的底数a是常数，b是任意正数，对数表示为log_a(b)，表示以a为底b的对数，即a的x次方等于b，即a^x = b。
2. 若0<a<1，则对数的底数a是常数，b是任意正数，对数表示为log_a(b)，表示以a为底b的对数，即a的x次方等于b，即a^x = b。
对数有一些重要的性质，包括：1. log_a(b*c) = log_a(b) + log_a(c)：对数的乘法法则，底数不变，对数相加。
2. log_a(b/c) = log_a(b) - log_a(c)：对数的除法法则，底数不变，对数相减。
(第2章+函数)：2.11+指数与对数运算
2011年高三数学复习（第2章函数）：2.11指数与对数运算© 2011 菁优网一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、的值是（）A、B、1C、D、22、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、=+B、=+C、=+D、=+3、若a＞1，b＞1，p=，则a p等于（）A、1B、bC、log b aD、a log b a4、设x=+，则x属于区间（）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）5、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或56、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A、1B、4C、D、或47、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=_________；=_________；=_________．10、（3+2）=_________；log89•log2732=_________；（lg5）2+lg2•lg50=_________．11、若f（x）=4x，则f﹣1（4x）=_________，若f（x）=，且f（lga）=，则a=_________．12、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是_________．13、方程x lgx=10的所有实数根之积是_________．14、不查表，求值：lg5﹣lg+lg2﹣3log32﹣1=_________．15、不查表求值：+﹣102+lg2=_________．三、解答题（共7小题，满分0分）16、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445．（2）已知log627=a，试用a表示log1816．17、化简：+﹣．18、若α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．19、解下列方程（1）log x+2（4x+5）﹣log4x+5（x2+4x+4）﹣1=0；（2）32x+5=5•3x+2+2；20、解关于x的方程．（1）log（x+a）2x=2．（2）log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）；（3）+=6；（4）lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣3）=1．21、若方程log2（x+3）﹣log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围．22、已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．答案与评分标准一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、的值是（）A、B、1C、D、2考点：对数的运算性质。
指数与对数的运算规则
指数与对数的运算规则指数与对数是数学中常见的运算方式，它们有一系列的运算规则。
本文将为您详细介绍指数与对数的运算规则，包括指数的乘法规则、指数的除法规则、指数的幂规则以及对数的加法规则、对数的减法规则等等。
通过学习这些运算规则，可以帮助您更好地理解指数与对数的概念并应用于实际问题中。
一、指数的乘法规则指数的乘法规则指出，当两个指数相乘时，底数不变，指数相加。
具体而言，如果有a的m次方乘以a的n次方，即a^m * a^n，那么它等于a的m+n次方，即a^(m+n)。
这条规则可以简化指数的计算过程，并帮助我们快速求得指数的结果。
二、指数的除法规则指数的除法规则告诉我们，当两个指数相除时，底数不变，指数相减。
具体而言，如果有a的m次方除以a的n次方，即a^m / a^n，那么它等于a的m-n次方，即a^(m-n)。
这条规则可以帮助我们处理指数的除法运算，将分数指数化简为一个整数指数。
三、指数的幂规则指数的幂规则是指，当一个数的指数再次进行指数运算时，指数相乘。
具体而言，如果有(a的m次方)的n次方，即(a^m)^n，那么它等于a的m*n次方，即a^(m*n)。
这条规则非常重要，它帮助我们处理复杂指数运算，将指数的运算简化为一次乘法。
四、对数的加法规则对数的加法规则指出，当两个对数相加时，底数不变，结果为两个对数对应指数的乘积。
具体而言，如果有loga（x） + loga（y），那么它等于loga（xy）。
这条规则可以帮助我们合并对数的加法，从而简化计算过程。
五、对数的减法规则对数的减法规则告诉我们，当两个对数相减时，底数不变，结果为两个对数对应指数的除法。
具体而言，如果有loga（x） - loga（y），那么它等于loga（x/y）。
这条规则可用于简化对数的减法运算，将其转化为除法运算。
通过掌握指数与对数的运算规则，我们可以更加灵活地进行数学计算，解决实际问题。
在应用中，我们可以根据具体的题目要求，灵活运用这些运算规则，简化计算过程，提高计算效率。
指数和对数的运算公式
指数和对数的运算公式指数和对数是数学中常用的运算方法。
指数是表示某个数的乘方，而对数是指数的逆运算。
在实际应用中，指数和对数可以用来简化大数的运算、求解方程和表示科学计数法等。
本文将介绍指数和对数的运算公式及其应用。
一、指数运算公式1.指数的乘法公式当a、b为非零实数，m、n为任意实数时，有以下公式：a^m × a^n = a^(m+n)由此可以得出，指数相同的两个数相乘，可以将它们的底数保持不变，指数相加即可。
例如，2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 128。
2.指数的除法公式当a、b为非零实数，m、n为任意实数且m > n时，有以下公式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)由此可以得出，指数相同的两个数相除，可以将它们的底数保持不变，指数相减即可。
例如，4^5 ÷ 4^2 = 4^(5-2) = 4^3 = 64。
3.指数的幂公式当a为非零实数，m为任意实数时，有以下公式：(a^m)^n = a^(m×n)由此可以得出，指数的幂可以先求出底数的幂，再将其指数相乘。
例如，(3^2)^3 = 3^(2×3) = 3^6 = 729。
二、对数运算公式1.对数的定义对数是指数的逆运算，其中指数称为对数的底数。
例如，以10为底的对数可以表示为log10，即log10x表示以10为底，x的对数。
2.对数的换底公式当a、b为非零实数，且a ≠ 1时，有以下公式：loga b = logc b ÷ logc a由此可以得出，将一个数的对数从一种底数换成另一种底数时，可以将该数的对数除以旧底数的对数，再用新底数的对数乘以结果。
例如，log2 8 = log10 8 ÷ log10 2 ≈ 3。
三、指数和对数的应用1.简化大数的运算指数和对数可以用来表示大数和小数，从而简化它们的运算。
例如，用指数表示1,000,000,000可以写成10^9，用对数表示0.0000001可以写成log10 10^-7。
指数与对数的计算
指数与对数的计算指数与对数是数学中常见的计算方法，它们具有广泛的应用。
本文将介绍指数和对数的概念及其相关计算方法，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、指数的计算方法指数是数学中重要的运算符号，它表示一个数的重复乘积。
指数运算的定义如下：设a为一个实数，n为一个正整数，则a的n次方（记作a^n）表示a连乘n次的结果。
指数运算的计算方法如下：1. 两个数的指数运算若a和b都是正实数，m和n都是正整数，则有以下计算规则：（a^m）^n = a^(m×n) （a的m次方的n次方等于a的m×n次方）（a^m）×（b^m） =（ab）^m （a的m次方乘以b的m次方等于ab的m次方）2. 指数运算的特殊情况当指数为0时，a^0=1。
（任何非零数的0次方等于1）当指数为1时，a^1=a。
（任何数的1次方等于它本身）当底数为1时，1^n=1。
（任何数的n次方等于它本身）二、对数的计算方法对数是指数运算的逆运算，它用于求解指数方程。
对数运算的定义如下：设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，则log_a(b)表示满足a^x=b的实数x，称为以a为底b的对数。
对数运算的计算方法如下：1. 对数的运算规则对数运算具有以下规则：log_a(b×c) = log_a(b) + log_a(c) （对数的乘法规则）log_a(b/c) = log_a(b) - log_a(c) （对数的除法规则）log_a(b^k) = k × log_a(b) （对数的幂次规则）2. 常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，记作log(b)或lg(b)。
自然对数是以常数e（约等于2.71828）为底的对数，记作ln(b)。
三、指数与对数的应用指数和对数在数学以及众多领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 指数函数和对数函数指数函数和对数函数是数学中常见的函数形式。
指数与对数的运算及应用
指数与对数的运算及应用一、指数运算1.指数的定义：指数是表示一个数乘以自身若干次的运算。
一般形式为a^n，其中a为底数，n为指数。
2.指数的性质：a)a^0 = 1（任何非零数的0次幂等于1）b)a^m × a^n = a^(m+n)（同底数幂的乘法）c)(a m)n = a^(mn)（幂的乘方）d)a^m / a^n = a^(m-n)（同底数幂的除法）e)(ab)^n = a^n × b^n（积的乘方）f)(a/b)^n = a^n / b^n（商的乘方）3.指数的运算法则：a)a^n × a^m = a^(n+m)b)a^n / a^m = a^(n-m)c)(a n)m = a^(nm)d)(ab)^n = a^n × b^ne)(a/b)^n = a^n / b^nf)(a n)m = a^(nm)4.指数函数：指数函数是形式为y = a^x的函数，其中a为底数，x为自变量。
二、对数运算1.对数的定义：对数是表示幂的指数的运算。
一般形式为log_a(b)，其中a为底数，b为真数。
2.对数的性质：a)log_a(a^n) = nb)log_a(b^n) = n × log_a(b)c)log_a(b/c) = log_a(b) - log_a(c)d)log_a(b^c) = c × log_a(b)e)log_a(b^n) = n × log_a(b)f)log_a(1) = 0g)log_a(a) = 1h)log_a(b) ≠ 0 当且仅当b ≠ 13.对数的运算法则：a)log_a(b) + log_a(c) = log_a(b × c)b)log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)c)log_a(b^n) = n × log_a(b)d)(log_a(b))^n = log_a(b^n)e)(log_a(b))^n = log_a(b^n)f)(log_a(b))^n = log_a(b^n)g)(log_a(b))^n = log_a(b^n)h)(log_a(b))^n = log_a(b^n)三、指数与对数的应用1.增长与衰减：指数函数模型生物、经济等领域的增长或衰减现象。
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【§2.11指数与对数运算】 班级 姓名 学号
例1．（1）3
log 9
log 28的值是 （ ）
A ．
3
2
B ．1
C ．23
D ．2 （2）设a,b,c 都是正数，且3a =4b =6，那么
（ ）
A ．b a c 111+=
B ．b a c 122+=
C ．b
a c 2
21+=
D ．b
a c 212+=
例2．已知log 310=a ，log 625=b ，试用a,b 表示log 445.
例3．化简：
1
11
1
1
3
13
13
13
13
2
--
-
+++++
-x x x x x x x x .
例4．若α、β是方程lg 2
x －lgx 2
－2=0的两根，求log αβ+log βα的值. 例5．解下列方程 （1）4
51
)
25.0(162
x x -
+=
（2）5)(1
5
log =-x x
（3）log x+2(4x+5)－log 4x+5(x 2+4x+4)－1=0 （4）32x+5=5·3x+2+2
（5）683()83(=-++x
x
（6）0log 40log 14log 431625.0=+-x x x x x x
例6．解关于x 的方程log (x+a)2x=2. 【基础训练】 1．._____________8log ____,__________2
_,__________42
)2
(525.01
|3.0|log 1
22
12
1===÷⋅---+n
n n
2．._________5021lg )5(lg _________,32log 9log _________,)223(log 2278)
12(
=+=⋅=+-g
3．若f(x)=4x
，则f －1
(4x
)=_________，若f(x)=a 2
1
-
x ，且f(lga)=10，则a=_____________.
4．如果方程lg 2x+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根为α、β，则α·β的值是 （ ）
A ．lg7·lg5
B ．lg35
C ．35
D ．35
1
5．方程(4x +4－x )－2(2x
+2－x )+2=0的解集是__________________. 6．方程x lgx =10的所有实数根之积是____________________. 【拓展练习】 1．若a>1,b>1，a
a p
b b b log )
(log log =，则a p 等于
（ ）
A ．1
B ．b
C ．log b a
D ．a b a log 2．设15
112
1)3
1(log )3
1
(log --+=x ，则x 属于区间
（ ）
A ．（－2，－1）
B ．（1，2）
C ．（－3，－2）
D ．（2，3）
3．若32x +9=10·3x ，那么x 2
+1的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．1或5 4．已知2lg(x －2y)=lgx+lgy ，则y
x
的值为
（ ）
A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．
4
1
或4
5．方程log 2(x+4)=2x 的根的情况是
（ ） A ．仅一个正根 B ．有两正根 C ．有两负根 D ．有一正根和一负根
6．不查表，求值：lg5·log 2010
+12log 2
233)2
(lg --=________________.
7．不查表求值：2lg 2)23()
32(3
log
10log 2
22
+-+
-+=___________________.
8．若方程log 2(x+3)－log 4x 2=a 的根在（3，4）内，求a 的取值范围.
9．解方程： （1）log 4(3－x)+log 0.25(3+x)=log 4(1－x)+log 0.25(2x+1)
（2）6)223()223(=-++x x
10．已知log 627=a ，试用a 表示log 1816.
11．解关于x 的方程lg(ax －1)－lg(x －3)=1.
12．已知a>0，且a ≠1，求使方程log a (x －ak)=log a 2(x 2－a 2)有解的k 的取值范围.。