§3 相似矩阵
第三节 相似矩阵
故 相似，则 故 · ·, n 即是 A 的 n 个特征值. 1 , 2 , ·
定理A 与 若矩阵 矩阵 B 相似 定理 若矩阵 矩阵 A B与 相似 , 且矩阵 A, 且矩阵
-1 与 -1 1A 可逆 则矩阵, B 也可逆 且 可逆, 则矩阵 B, 也可逆 且 A-1 与, B 相似 . B-1 相似.
量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵
的性质,可得
A ( P Λ P ) PΛ P
n n
1 n
1
3 (2) n 1 2 (2) n 3 3(2) n 2 3(2) n .
那么, 是否每个矩阵都能相似于对角矩阵? 如果能 相似于对角矩阵, 怎样求出这个对角矩阵及相应
能对角化的矩阵，我们称求对角矩阵 和可逆
矩阵 P 使 P-1AP = 的过程为把矩阵 A 对角化. 由前面的讨论可知, 当 A 的特征方程没有重根时, A 一定能对角化; 当 A 的特征方程有重根时,这时
A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不
一定能对角化.
三、矩阵对角化的步骤
二、相似矩阵的性质
相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系 具有下面的性质:
(1) 自反性 (2) 对称性
即一个矩阵与它自身相似; 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,
则矩阵 B 也相似于矩阵 A;
(3) 传递性
即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,
而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的
步骤如下：
3 相似矩阵
5
相似矩阵
例 设
0 0 1 A 1 1 x 1 0 0
问x为何值时，矩阵A能对角化？ 解
A E 1 1 0 1 0 1 x (1 ) 1 1 ( 1) 2 ( 1)
推论 若n阶方阵A与对角阵
1 2 O
n
相似，则 1, 2 ,L , n 即是A的n个特征值。
4
相似矩阵
二、方阵A的对角化
1. 方阵A的对角化
对n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P，使 P −1AP = 为对角阵，
这就称为把矩阵A对角化。 2. 方阵A可对角化的条件 定理4 n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量． 说明 事实上
3
相似矩阵
定理3 若n阶方阵A和B相似，即存在可逆矩阵P，使PAP-1=B ，则 (1) A与B有相同行列式； (2) A与B有相同的可逆性， A、B可逆时，A-1与B-1也相似； (3) A与B有相同的秩； (4) A与B有相同的特征多项式； (5) A与B有相同的特征值。 注 这5条性质的逆命题都不成立。
得1=-1，2=3=1.
1=-1可求得线性无关的特征向量恰有1个，所以A能对
角化的充分必要条件是2=3=1有2个线性无关的特征向 量，即R(A-E)=1.
6
相似矩阵
由
1 0 1 r A E 1 0 x : 1 0 1
R(A-E)=1, x+1=0 x=-1
相似矩阵及二次型
03第三节相似矩阵
03第三节相似矩阵第三节相似矩阵分布图⽰★相似矩阵与相似变换的概念★例1 ★相似矩阵的性质★例2 ★相似矩阵的特征值与特征向量★矩阵与对⾓矩阵相似的条件★例3★例4★矩阵可对⾓化的条件★矩阵对⾓化的步骤★例5★例6★利⽤矩阵对⾓化计算矩阵多项式★矩阵对⾓化在微分⽅程组中的应⽤★例7 ★约当形矩阵的概念★例8 ★例9★例10★内容⼩结★课堂练习★习题4-3内容要点⼀、相似矩阵的概念定义1 设B A ,都是n 阶矩阵, 若存在可逆矩阵P ,使BAP P=-1,则称B 是A 的相似矩阵, 并称矩阵A 与B 相似.记为B A ~.对A 进⾏运算AP P 1-称为对A 进⾏相似变换, 称可逆矩阵P 为相似变换矩阵. 矩阵的相似关系是⼀种等价关系，满⾜:(1) 反⾝性: 对任意n 阶矩阵A ,有A A 与相似; (2) 对称性: 若B A 与相似, 则B 与A 相似;(3) 传递性: 若A 与B 相似, 则B 与C 相似, 则A 与C 相似. 两个常⽤运算表达式： (1) ))((111BP P AP P ABP P ---=;(2) BP lP AP kP P lB kA P 111)(---+=+, 其中l k ,为任意实数.⼆、相似矩阵的性质定理1 若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从⽽A 与B 的特征值亦相同.相似矩阵的其它性质: (1) 相似矩阵的秩相等;(2) 相似矩阵的⾏列式相等;(3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.三、矩阵与对⾓矩阵相似的条件定理2=Λn λλλ21相似的充分必要条件为矩阵A 有n 个线性⽆关的特征向量.注: 定理的证明过程实际上已经给出了把⽅阵对⾓化的⽅法.推论1 若n 阶矩阵A 有n 个相异的特征值n λλλ,,,21 ,则A 与对⾓矩阵=Λn λλλ21 相似.对于n 阶⽅阵A ,若存在可逆矩阵P , 使Λ=-AP P 1为对⾓阵, 则称⽅阵A 可对⾓化. 定理3 n 阶矩阵A 可对⾓化的充要条件是对应于A 的每个特征值的线性⽆关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数. 即设i λ是矩阵A 的i n 重特征值, 则A 与Λ相似),,2,1()(n i n n E A r i i =-=-?λ。
相似矩阵的性质及应用毕业论文
相似矩阵的性质及应用毕业论文一.相似矩阵的定义定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~.二.相似矩阵的重要性质性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似.2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似.3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似.〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式.证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜.从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.现在来分别证明这两个不等式.设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm n n m m a a a a a a a a a 212222111211，B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ms m m s s b b b b b b b b b212222111211令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj mk ikb a∑=1，因而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）.即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）.同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）.这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕>引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）.证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由A=1-P B,又由秩（A ）≤秩（B ）,所以秩（A ）=秩（B ）=秩（PA ）.同理可证, 秩（A ）=秩（AQ ）.从而, 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 〈证毕〉 性质3 相似矩阵有相同秩.证明:设A,B 相似即存在数域P 上的可逆矩阵C,使得 B=1-C AC , 由引理2可知秩（B ）=秩（1-C AC ）=秩（AC ）=秩（A ）. 〈证毕>性质4 相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.证明:设A 与B 相似,由性质3可知B A = .若A 可逆,即0≠A ,从而0≠B 故B 可逆； 若A 不可逆,即0=A ,从而0=B ,故B 不可逆. 〈证毕〉性质5 若A 与B 相似,则n A 相似于n B .(n 为正整数)证明:由于A 与B 相似,即存在数域P 上的可逆矩阵X,使得AX X B 1-=,从而X A X AX X AX X AX X n n 1111----=•••个,即 n A 相似于n B . 〈证毕〉性质6 设A 相似于B,)(x f 为任一多项式,则)(A f 相似于)(B f . 证明:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 于是Ea B a Ba B a B f E a A a A a A a A f n n nn n n n n 01110111)()(++++=++++=----由于A 相似于B,由性质5可知k A 相似于k B ,(k 为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得X A X B K k 1-=,因此)()()(01110111111011111B f Ea B a B a B a E a AX X a X A X a X A X a X E a A a A a A a X X x f X n n nn n n n n n n n n =++++=++++=++++=-----------这就是说)(A f 相似于)(B f . 〈证毕〉性质7 相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设A 相似于B ，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得AC C B 1-=， 则AE C C A E C A E CACC EC C AC C C C AC C E B E -=-=-=-=-=-=--------λλλλλλλ1111111由此可见，B 与A 有相同的特征多项式. 〈证毕〉 性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A 相似于B 。
相似矩阵课件
1 0
0 211
A11
1 3
1 1
14
1 0
0 1 211 1
41
2731 683
2763824。
2020/2/11
例
设
1
A
x 1
x 1 y
1 0
y 1
,
(2) 数量矩阵aI 只与其自身相似。
(3) 相似关系满足等价律. 即相似关系是等价关系。 也是一种等价关系，满足：反身性 ，对称性，传递性。
2020/2/11
(4) 相似矩阵的行列式相等.
即 A~B A ~ B
(5) 相似矩阵具有相同的可逆性(都可逆 或都不可逆).且其逆也相似。
即 A ~ B A1 ~ B1
(6) 相似矩阵的迹相等。
A 的迹 主对角线元素之和 tr(A) ;
2020/2/11
(7) 若 P 1 A1P B1，P 1 A2 P B2，则
(a). A1 A2 ~ B1 B2;
(b).
A1 ~ B1;
(c). A1A2 ~ B1B2;
2020/2/11
(8) 相似矩阵的幂仍相似。
2020/2/11
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1 1 1
n 0 0
A
1
1
1,
B
1
0
0.
1 1 1
1 0 0
2020/2/11
思考题解答
解 因 det( A E ) (n )( )n1 , A的特征值为 1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆
矩阵相似成立条件
矩阵相似成立条件矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和应用中有着广泛的应用。
相似矩阵的概念源自于矩阵变换的相似性，两个矩阵如果相似，则它们表示着相同的线性变换，只是在不同的坐标系下进行表示。
本文将围绕着矩阵相似的定义、性质和成立条件展开详细的阐述。
一、矩阵相似的定义矩阵A和B是n阶的方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B成立，那么矩阵A和B就称为相似矩阵。
可以直观地解释为，如果存在一个可逆矩阵P，对矩阵A进行线性变换后得到的结果与矩阵B相同，那么这两个矩阵就是相似矩阵。
相似矩阵的概念使得我们可以在不同的坐标系下进行对同一线性变换的表示，从而对矩阵的特征值、特征向量等性质进行更深入的研究。
二、矩阵相似的性质1. 相似关系是一个等价关系相似矩阵的定义满足等价关系的三个条件，即自反性、对称性和传递性。
自反性是指矩阵A和自己相似，即存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=A成立。
对称性是指如果矩阵A和B相似，则矩阵B和A也相似。
传递性是指如果矩阵A和B相似，矩阵B和C相似，那么矩阵A和C也相似。
矩阵相似关系满足等价关系的性质。
2. 相似矩阵的特征值性质相同如果矩阵A和B相似，那么它们的特征多项式相同，从而有相同的特征值。
矩阵相似关系保持了矩阵特征值的性质，这一性质在矩阵的特征值分解、对角化等问题中具有重要的意义。
3. 相似矩阵的特征向量关系相似矩阵具有相同的特征向量，即如果矩阵A和B相似，它们的特征向量可以通过相同的线性变换关系得到。
这一性质在矩阵对角化和特征值问题的研究中有着重要的应用。
三、矩阵相似的成立条件1. 充分条件若n阶矩阵A与n阶矩阵B相似，即A∼B，则A与B有相同的特征值。
证明：设A与B相似，即存在非奇异矩阵P，使得P^{-1}AP=B，设x是A的一个特征向量，那么Px是B的一个特征向量。
A与B有相同的特征值。
2. 必要条件若n阶矩阵A与n阶矩阵B有相同的特征值，即A与B有相同的特征值。
线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件
(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的 特 征 值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
(2 )若 A 与 B 相 ,且 似 A 可 ,则 逆 B 也,可 且 A 1 与 逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则 似 k与 A k相 B,k 为 似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而 似 f(x)是一,多 则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3
【经典线代】线性代数课件第五章§3 相似矩阵
P1AEP
AE.
推论 若 n阶方阵A与对角阵
1
2
n
相 ,则 似 1 ,2 , ,n即 A 的 是 n 个特 . 征
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若 A PP B 1,则
k个
Ak PBP1 PBP1 PBP1PBP1PBkP1.
A的多项式
( A ) a 0 A n a 1 A n 1 a n 1 A a n E
对于对角矩阵 ,有
k 1
k
k 2
,
k n
(1)
()
(1)
,
(1)
利用上述结论可以很方便地计算矩阵A
的多项式 (A) .
定理 设 f()是矩 A 的 阵 特征 ,则 f(多 A )O .项
三、利用相似变换将方阵对角化
对n阶方A阵 ,若可找到可 P,使 逆矩阵 P1AP为对,角 这阵 就称为A对 把角 方 . 化 阵 定理4 n阶矩A阵 与对角矩阵 (即A相 能似 对角 ) 化 的充分必要A条 有n个 件线 是性无关的.特征
例3 设
0 0 1 A 1 1 x
1
0
0
问x为何值时，矩阵A能对角化？
解：
AE 1
1
0
1
0
1 x
(1)
1
1
(1)2(1)
得 11,21
由于 A可对角化所以 1二 2 1重 有根 两个
线 性 无 关 的 特 是R 征 (A向 E)量 1 于
所
以 AE11
0 0
1 1 0 1 x~0 0 x1
2 1 2 AE 5 3 3 13
1 0 2
所 A 的 以特 1征 2 值 3 1 为 . 把 1 代 A E x 入 0 ,解之得基础解系 (1,1,1)T,
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1717
第五章 相似矩阵及二次型
A可以对角化的充要条件 是对应于 1， 有 2个线性无关的特征向量
即R( A E ) 1
1 0 1 1 0 A E 1 0 x ~ 0 0 1 0 1 0 0 1 x 1 0
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2 2 1 1 , 0
A E x 0
解之得基础解系
0 2 0 . 1
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9 9
第五章 相似矩阵及二次型
1 由 P AP , 得 AP P ,
1 2 即 A p1 , p2 , , pn p1 , p2 , , pn n
P AP diag ( 1 ,, n ),
1
其中 i 为A的特征值，则 f (i ) 0.
f ( 1) f ( A) Pf ( ) P 1 P PO P 1 O .
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与C相似.
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3 3
第五章 相似矩阵及二次型
定理1
若n阶矩阵A与B相似， 则A与B的特征多
从而A与B的特征值也相同. 项式相同， 证明 因为A与B相似
使得 P 1 AP B 所以存在可逆矩阵P，
所以 B E P 1 AP P 1 E P
x 1
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1818
第五章 相似矩阵及二次型
小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：
(1) A与B相似, 则det( A) det(B );
( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; ( 3) A与B相似, 则kA与kB相似, k为常数;
1 0 0 则有 P 1 AP 0 1 0 . 0 0 2
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1515
第五章 相似矩阵及二次型
注意
1 2 0 若令 P 3 , 1 , 2 1 2 0 , 1 0 1
相似，则 1 , 2 , , n 即为A的n个特征值.
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5 5
第五章 相似矩阵及二次型
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若 A PBP 1 , 则
A PB P 1 PB P 1 PB P 1PB P 1 P Bk P 1 .
P
1
A E P
P 1 A E P A E .
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4 4
第五章 相似矩阵及二次型
推论 若n阶矩阵A与对角阵
1 2 n
k
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 a n1 A a n E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1 a n1 PB P 1 a n PE P 1
P ( a 0 B n a 1 B n 1 a n 1 B a n E ) P 1 P ( B ) P 1 .
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
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2020
第五章 相似矩阵及二次型
利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式 ( A).
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7 7
第五章 相似矩阵及二次型
定理2 设 f ( ) 是矩阵A的特征多项式， f ( A) O. 则 证明 只证明A与对角矩阵相似的情形
若A与对角矩阵相似，则有可逆矩阵P，使
2 1 则有 P 1 AP . 1
即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
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1616
第五章 相似矩阵及二次型
例2
设
0 0 1 A 1 1 x 1 0 0
1414
第五章 相似矩阵及二次型
当 3 2 时，解方程 A 2 E x 0 得基础解系
3 1,1,1T .
由于1 , 2 , 3 线性无关， 所以 A 可对角化. 令
2 0 1 P 1 , 2 , 3 1 0 1 0 1 1
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1 1 A 1
1 1 n 0 0 1 1 1 0 0 , B . 1 0 0 1 1
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解
问x为何值时，A能对角化？ 0 1 1 A E 1 1 x 1 1 1 0
(1 )(2 1) (1 ) 2 ( 1)
1时，R A E 2
对应于 1有一个线性无关的特征 向量
பைடு நூலகம்
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
所以 A p1 , p2 , , pn Ap1 , Ap2 , , Apn
1 p1 , p2 ,, pn
于是有 Api i pi
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推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等， 则A与对角阵相似.
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1111
第五章 相似矩阵及二次型
说明
如果A的特征方程有重根，此时不一定有
n个线性无关的特征向量， 从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化．
1 1
还可求得 det( B E ) ( n ) ( )
n 1
,
即B与A有相同的特征值.
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2222
A E 3
0 1 2
2
1
所以A的全部特征值为：1 2 1, 3 2.
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1313
第五章 相似矩阵及二次型
当 1 2 1 时， 解方程 即
i 1, 2, , n .
1010
第五章 相似矩阵及二次型
可见 i 是A的特征值，而P的列向量 pi 就是
A的对应于特征值 i 的特征向量.
又由于P可逆，所以 p1 , p2 , , pn 线性无关.
反之， 由于A有n个线性无关的特征向量， 这n个
特征向量即可构成矩阵P, 使AP P. 所以有 P-1 AP . 又P可逆， 命题得证.
第三节 相似矩阵
相似矩阵与相似变换的概念 相似矩阵与相似变换的性质 利用相似变换将方阵对角化
1
第五章 相似矩阵及二次型
一、相似矩阵与相似变换的概念 若有可逆矩阵P， 定义1 设A,B都是n阶矩阵， 使得
P AP B
1
则称矩阵A与B相似， 并称B是A的相似矩阵，
1 对A进行运算 P AP 称为对A进行相似变换，
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1212
第五章 相似矩阵及二次型
例1
4 6 0 A 3 5 0 设 3 6 1
A能否对角化？ 若能对角化， 求出可逆矩阵P， 使 P 1 AP 为对角阵. 解
4 3 6 5 6 0
(4)若A与B相似, 而f ( x )是一多项式, 则f ( A)与 f ( B )相似.
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1919
第五章 相似矩阵及二次型
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 AP，而可逆矩阵 P 称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.
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第五章 相似矩阵及二次型
二、相似矩阵与相似变换的性质
相似关系为等价关系
(1)反身性： A与A相似. (2)对称性：若A与B相似，则B与A相似.
(3)传递性： 若A与B相似，B与C相似，则A