2016年期末考试精彩试题解析(导数下)

2016年全国各地高三年级期末考试数学精彩试题集锦（导数下）戴又发最近各校高三年级期末考试陆续举行．这是高中阶段最后一次期末考试，相信考生、学校及命题人都会高度重视，试题的质量也相对较高．正是因为这次期末考试重要，不少学校采取多校联考，有些地区还组织了统一的质量检测．本人将陆续从众多试卷中，选择具有一定难度的经典试题或有新意精彩试题，做详细解析．希望能作为考生寒假休整期间参考材料．（题号为试卷中的题号）湖南省株洲市2016年高三统一测试文科题21．（本小题满分12分）设函数32()222()f x x ax x a R =--+∈.(1) 若2a =，求函数的极值；(2)设1()2x g x xe -=，若对于任意给定的0[0,]x e ∈，方程0()()f x g x =在[0,2]x ∈内有两个不同的实数根，求a 的取值范围．（其中e 是自然对数的底数） 解析： (1) 2a =时，设2121'()6420,,13f x x x x x =--==-=，1(,1),()3x f x ∈-单调递减，1(,)3x ∈-∞-和(1,),()f x +∞单调递增，所以：()f x 的极大值为164()327f -=，()f x 的极小值为(1)0f =．（2）1'()2(1)x g x e x -=-，当时，，是增函数； 当时，，是减函数． 可得函数在区间[0,]e 的值域为[0,2]．()f x (0,1)x ∈()0g x '>()g x (1,e)x ∈()0g x '<()g x ()g x而2'()622f x x ax =--，由2'()6220f x x ax =--=， 可知，方程'()0f x =有一正一负的根， 设其在上有一个实数根2x ，若22x ≥，则()f x 在[0,2]上单调递减，不合题意，所以：202x <<， 故'(0)20,'(2)24420f f a =-<=-->．解得：112a <． 因为0[0,]x e ∀∈，方程0()()f x g x =在[0,2]x ∈内有两个不同的实数根， 所以(2)2,(0)2f f ≥≥,且min 2()0f f x =<．由(2)2,(0)2f f ≥≥解得：3a ≤由2222'()6220f x x ax =--=，得2213a x x =-所以：32322222222221()2222(3)22f x x ax x x x x x x =--+=---+ 32220x x =--+<显然21x =时，3222()20f x x x =--+=设3222()2h x x x =--+，则222'()310h x x =--<恒成立， 所以3222()2h x x x =--+是减函数， 所以3222()20f x x x =--+<得解集是21x >所以2213312a x x =->-=． 综上：23a <≤．(0,)∞重庆市巴蜀中学2016年高三一诊模拟考试理科题 21．（本小题满分12分） 已知函数1ln )(+-=kx x x f .（1）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）证明：)2,(410)11(1ln 154ln 83ln 32ln 22≥∈++<++-+⋅⋅⋅+++*n N n n n n n n n ．解析：（1）由0)(≤x f 有：1ln +≥x kx ， 即：x x k 1ln +≥，令x x x h 1ln )(+=， 0ln )(2=-='xxx h ，解得x=1，在(0,1)上，0)(>'x h ；在),1(+∞上，0)(<'x h . 所以h(x)在x=1时，取得最大值h(1)=1，即1≥k . （2）证明：由（1）知，当k=1时，1ln -≤x x ， 当且仅当x=1时，取等号.令)2,(2≥∈=*n N n n x ，有1ln 22-≤n n ，即2211ln 2nn n <<-， 4)2)(1()32(211ln 154ln 83ln 32ln 2+-=+⋅⋅⋅++<-+⋅⋅⋅+++n n n n n ，① 令n x 11+=，有3)11(1)11ln(<<+⇒<+e nn n n ，②① +② 有)2,(410)11(1ln 154ln 83ln 32ln 22≥∈++<++-+⋅⋅⋅+++*n N n n n n n n n ．山东省青岛市高三上学期期末考试理科题21. （本小题满分14分）已知函数()2ln f x a x x bx =++（a 为实常数）. （I ）若()2,3a b f x =-=-，求的单调区间；（II ）若202b a e =>-，且，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 值； （III ）设b=0，若存在[]1,x e ∈，使得()()2f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围.解析：(Ⅰ)2,3a b =-=-时，2()2ln 3f x x x x =-+-，定义域为(0,)+∞，22232(2)(21)()23x x x x f x x x x x---+'=-+-==在(0,)+∞上，'(2)0f =，当(0,2)x ∈时，'()0f x < 当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >所以，函数()f x 的单调增区间为(2,)+∞；单调减区间为(0,2)． (Ⅱ)因为0b =，所以2()ln f x a x x =+22()(0)x af x x x+'=>，[1,]x e ∈，222[2,2]x a a a e +∈++(i) 若2a ≥-，)(x f '在[1,]e 上非负（仅当2,1a x =-=时，()0f x '=）， 故函数)(x f 在[1,]e 上是增函数， 此时min [()](1)1f x f ==(ii)若222 2 , 20, 20e a a a e -<<-+<+>，22[()]2()ax f x x --'==[1,]x e ∈当x =()0f x '=,22 2 ,1e a e -<<-<<当1x ≤<()0f x '<，此时()f x 是减函数；x e <≤时，()0f x '>，此时()f x 是增函数．故min [()]ln()222a a a f x f ==-- (Ⅲ)0b =，2()ln f x a x x =+不等式()(2)f x a x ≤+，即2ln (2)a x x a x +≤+ 可化为2(ln )2a x x x x -≥-．因为[1,]x e ∈, 所以ln 1x x ≤≤且等号不能同时取，所以ln x x <，即ln 0x x ->，因而22ln x xa x x -≥-（[1,]x e ∈）令22()ln x x g x x x -=-（[1,]x e ∈），又2(1)(22ln )()(ln )x x x g x x x -+-'=-，当[1,]x e ∈时，10,ln 1x x -≥≤，22ln 0x x +->，从而()0g x '≥（仅当1x =时取等号），所以)(x g 在[1,]e 上为增函数， 故()g x 的最小值为(1)1g =-，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．河北省邯郸市高三一轮收官考试理科题 21．已知函数.),ln ()(2R a x x a x x f ∈++= （1）若当1-=a 时，求)(x f 的单调区间； （2）若,)1(21)(a e x f +>求a 的取值范围．解析：（1）由题意得),0(+∞∈x ，当1a =-时，xx x x x x x f x x x x f )12)(1(12)(,ln )(2'2+-=--=--=； )1,0(∈∴x 时，),1(,0)('+∞∈<x x f 时，0)('>x f ，)(x f ∴的单调减区间是（0，1），单调增区间是[1，+∞）； ①当0a =时，0)(2>=x x f ，显然符合题意； ②当0a >时，当aex 110--<<时；a e a a a x a a x f )1(210)11(1ln 1)(+<=--++<++<，不符合题意；③当0a <时，则xaax x x f ++=2'2）（；对于;08,0222>-=∆=++a a a ax x ∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在),0(0+∞∈x ，使得02020=++a ax x ；即0)(0'=x f ；∴22min 00000000111()()(ln )[(1)2ln ]22f x f x x a x x x ax a a x x a==++=+++-+=]ln 2)1[(2100x x a +-； ∵a e x f )1(21)(+>，∴0)2(ln 200<+-+e x x ；∴e x <<00；由02020=++a ax x 得，12020+-=x x a ；设12020+-=x x y ，0)1(4220020'<++-=x x x y ； ∴函数1202+-=x x y 在),0(e 上单调递减；∴)0,12(122020+-∈+-e e x x ；综上所述，实数a 的取值范围是]0,12(2+-e e ．北京市西城区2016年高三期末考试题18．(本小题14分)已知函数)(log )(2t a x f x a +=，其中0>a 且1≠a .(Ⅰ)当2a =时，若x x f <)(无解，求t 的范围；(Ⅱ)若存在实数,m n （n m <），使得[]n m x ,∈时，函数()x f 的值域都也为[]n m ,，求t 的范围.解析：(Ⅰ)222log (2)log 2x x t x +<= ，222xx t ∴+<无解，等价于222xxt +≥恒成立，即222()x x t g x -+=≥恒成立，即max ()t g x ≥， 求得21max 1()(1)224g x g --=-=-+=，14t ∴≥．(Ⅱ) 2()log ()x a f x a t =+是单调增函数.(()()f m m f n n=∴=⎧⎨⎩，即22m mn na t a a t a +=+=⎧⎪⎨⎪⎩， 问题等价于关于k 的方程20k k a a t -+=有两个不相等的解， 令0k a u =>，则问题等价于关于u 的二次方程20u u t -+=在(0,)u ∈+∞上有两个不相等的实根，即1212000u u u u +>⋅>∆>⎧⎪⎨⎪⎩，即014t t ><⎧⎪⎨⎪⎩，得104t <<．辽宁省沈阳市高三上学期名校质量检测理科题 21.（本小题满分12分）已知函数()ln 22a f x x x x x a =--+（a ∈R ）在其定义域内有两个不同的极值点. (Ⅰ)求a 的取值范围；(Ⅱ)记两个极值点分别为1x ，2x ，且12x x <.已知0λ>,若不等式112e x x +<⋅λλ恒成立,求λ的范围.解析：(Ⅰ)依题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根. 即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根． （解法一）转化为，函数ln y x =与函数y ax = 的图像在(0,)+∞上有两个不同交点.可见，若令过原点且切于函数ln y x =图像的直线斜率为k ，只须0a k <<. 令切点00A(,ln )x x ，所以001|x x k y x ='==，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =， 解得，0x e =，于是1k e =，所以10a e <<．（解法二）转化为，函数ln ()xg x x=与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点. 又21ln ()xg x x-'=，即0x e <<时，()0g x '>，x e >时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减.从而()()g x g e =极大1e=又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()0g x →，所以()g x 的草图如下， 可见，要想函数ln ()xg x x=与函数y a =的 图像在(0,)+∞上有两个不同交点， 只须10a e<<. （解法三）令()ln g x x ax =-，从而转化为函数()g x 有两个不同零点， 而11()ax g x ax x x-'=-=（0x >） 若0a ≤，可见()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调增， 此时()g x 不可能有两个不同零点. 若0a >，在10x a <<时，()0g x '>，在1x a>时，()0g x '<， 所以()g x 在1(0,)a 上单调增，在1(,)a +∞上单调减，从而1()()g x g a =极大1ln 1a=-又因为在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()g x →-∞，于是只须：()0g x >极大，即1ln 10a ->，所以10a e <<.综上所述，10a e<<． （Ⅱ）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x +<+λλ.由（Ⅰ）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根， 即11ln x ax =，22ln x ax =所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+，因为0>λ，120x x <<， 所以原式等价于121a x x +>+λλ.又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-.所以原式等价于121212ln1x x x x x x +>-+λλ， 因为120x x <<，原式恒成立，即112212(1)()lnx x x x x x +-<+λλ恒成立. 令12x t x =，(0,1)t ∈， 则不等式(1)(1)ln t t t +-<+λλ在(0,1)t ∈上恒成立.令(1)(1)()ln t h t t t +-=-+λλ，又221(1)()()h t t t +'=-+λλ22(1)()()t t t t --=+λλ, 当21λ≥时,可见(0,1)t ∈时,()0h t '>,所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增,又(1)0h =，()0h t <在(0,1)t ∈恒成立,符合题意.当21λ<时, 可见2(0,)t λ∈时,()0h t '>,2(,1)t λ∈时()0h t '<, 所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增,在2(,1)t λ∈时单调减, 又(1)0h =, 所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述, 若不等式112e x x +<⋅λλ恒成立,只须21≥λ,又0>λ,所以1≥λ．江西省赣州市2016年高三期末考试理科题 21.(本小题满分12分)已知函数()ln f x x x =-（1）求函数()()2g x f x x =--的图像在1x =处的切线方程（2）证明：()ln 12x f x x >+ （3）设0m n >>，比较()()1f m f n m n-+-与22m m n +的大小，并说明理由. 解析：(1)因为()()ln 21g x x x =-+所以()12x g x x-'=，()11g '=-． 又因()14g =-，所以切点为()1,4-．故所求的切线方程为：()41y x +=--，即30y x ++=．（2）因为()1x f x x-'=，故()f x 在()0,1上是增加的，在()1,+∞ 上是减少的， ()()max 1ln111f x f ==-=-，()min ||1f x =．设()G x =ln 12x x +，则()'21ln x G x x -=，故()G x 在()0,e 上是增加的， 在(),e +∞ 上是减少的，故()()max 1112G x G e e ==+<， ()()min max ||G x f x <所以()ln 12x f x x >+对任意()0,x ∈+∞恒成立． （3）()()lnln ln 111,1m f m f n m n m n n m m n m n n n---++=+=⨯--- 而 2211m n m m n n m n =⨯++．0m n >> ，10m n ∴->,故只需比较ln m n 与1m n n m m n-+的大小． 令()1m t t n =>，设()()211ln ln 11t t t G t t t t t t--=-=-++， 则()()()()()3243'222222*********t t t t t t t t G t t t t t t t -+++--++=-==+++． 因为1t >，所以()0G t '>，所以函数()G t 在()1,+∞上是增加的， 故()()10G t G >=．所以 ()0G t >对任意1t >恒成立． 即1ln m m n n mn m n ->+，从而有()()221f m f n m m n m n -+>-+．。