八字形数学习题2
8字模型例题
8字模型例题
8字模型是一种数学模型，通常用于描述物理系统中的对称性或周期性。
以下是一个简单的8字模型例题：
题目：一个圆在平面内旋转一圈，经过的时间为T。
在这个圆上任取一点P，当圆旋转一圈时，点P在圆上移动的路径是一个8字形。
求这个8字形的
长度。
答案：8字形的长度等于圆的周长，即2πr，其中r是圆的半径。
解释：当圆旋转一圈时，点P在圆上移动的路径是一个8字形。
由于点P
在圆上任意取，因此这个8字形实际上是由无数个点P的轨迹组成的。
每个点P的轨迹都是一个圆周长，因此这个8字形的长度等于圆的周长，即2πr。
初二8字模型练习题
初二8字模型练习题作为初二学生，学习成绩的提高对于我们来说至关重要。
除了上课认真听讲、积极完成作业外，我们还可以通过一些针对性的练习题来巩固知识、提高能力。
接下来，我将为大家介绍一些初二的8字模型练习题，希望能够对大家有所帮助。
第一大题：数学考点：代数方程的运用1. 求解以下方程：(1) 3(x - 4) + 2 = 5x + 6(2) 2(3x + 2) = 5(x - 1) + 42. 解以下方程组：(1)x + y = 7x - y = 3(2)2x - 3y = 54x + y = 3第二大题：物理考点：光的反射、折射1. 一束光从空气射入玻璃，若光的入射角为30°，折射角为20°，求光的折射率。
2. 一束光从水射入玻璃，若光的入射角为45°，折射角为30°，求光的折射率。
第三大题：化学考点：元素的分类、化学反应式1. 将下列化合物分类：(1) H2O(2) CO2(3) Cu(4) CaCO32. 根据以下反应式回答问题：2H2 + O2 → 2H2O(1) O2的系数是多少？(2) 反应物有哪些？(3) 生成物是什么？第四大题：英语考点：语法、阅读理解1. 选择正确的单词填空：(1) The boy _______ a bicycle to school every day.a) ride b) rides c) rode d) riding(2) My sister _______ in that company for two years.a) working b) worked c) works d) has worked2. 阅读理解并回答问题：(1) What is the main topic of the passage?(2) How many people does the author mention in the passage?(3) What can we learn about the speaker?第五大题：语文考点：写作技巧、阅读理解1. 阅读以下短文，并回答问题：岳阳楼坐落在湖南省岳阳市君山之上，是中国古代建筑的杰出代表之一。
数学几何构建“A字型”8字型图解题
已解决问题收藏转载到空间转播到腾讯微博数学几何构建“A字型”8字型图解题80 [ 标签：数学几何, a字型, 字型图解题 ] 匿名 2011-08-24 23:291.如图，已知AD：DB=CE：EA=2：3，求FE：ED（用3种方法）2.如图，已知AF：FC=1：2，G是BF的中点，直线AG与BC相交于点E，求BE：EC（用3种方法）3.如图，△ABC中，E，F为BC的三等分点，M为AC的中点，AE、AF交BM于G，H两点，求BG：GH：HM的值4.在平行四边形ABCD中，O₁，O₂，O₃，为对角线BD上三点，且BO₁=0₁0₂=O₂O₃=O₃D，连AO₁并延长交BC于E，连EO₃并延长交AD于F，求AD：FD等于5.在平行四边形ABCD中，DE交AC于G，交BC于F，交AB的延长线于E，已知DG=6，GF=4⑴求EF的长⑵求证：DG²=GF×GE⑶证明：AG²：GC²=GE：GF6.AD为△ABC的边BC上的中线，E为AD上一点，BE交AC于点F，且AF：AC=1：9，求AE：ED7.如图，AB、EF，CD都垂直于AC，A、E、C为垂足，求证：⑴∠ECF=∠ACB⑵1/AB+1/CD=1/EF⑶当BFD在AC的同侧时，⑵的结论成立吗？⑷如图，AB平行CD平行EF，AB不垂直BC，求证：1/AB+1/CD=1/EF满意答案好评率：100%1、证明：∵∠ADC=120∠ACE=120△CDE为等边三角形，∴∠ACD+∠ECB=60∴∠DAC=∠CAB故∠ACD=∠ABC∴△ACD∽△CBE2.解：连接CO,则∠ACO=∠BCO=45故∠EOC=∠FOC=22.5°∴∠AOE=∠AEO=∠DFO=∠BOF=67.5°所以：△AOE∽△BFO由上面得AO=AE=BO=BF=2,所以AE×BF=2×2=43、证明：∠ACD=∠B，∠A=∠A△ACD∽△ABC故AC/AB=AD/AC即：AC²=AB×AD4、解：AE：DE=3：2故DE:AD=DE:BC=2:5又∠FDE=∠FBC,∠EFD=∠CFB△DFE∽△BFCDF/BF=DE/BCDF=15×2/5=6cm5、证明：FD⊥BC，∠BAC=90°故：∠B+∠C=∠B+∠F故∠C=∠F∠C+∠CED=90°，∴∠CED=∠B△CDE∽△FDBBD/DE=CD/DFBD×DF=DE×CD6、证明：AB=AC∠B=∠ACB，∠B=∠E故∠ACB=∠E故△CAF∽△DAC故CA/DA=AE/AC即：AC²=AD×AE故AB²=AD×AE7、证明：连结AF，则FA=FD，∴∠FDA=∠FAD，又∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠DAC+∠FAC ∠BAD=∠DAC∴∠B=∠FAC，又∠CFA=∠AFB∴△FAC∽△FBA∴FC：FA=FA：FB，又FA=FD，∴FD²=FB×FC。
8字型和燕尾模型 模型分析 经典例题
OD CBAODCBA模型20 “8”字型模型问题【模型分析】模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O 连接AD 、BC结论：∠A +∠D =∠B +∠C模型2 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 结论：AC +BD >AD +BC【经典例题】例1．（2020·全国九年级模型练习）如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I ＝__【分析】根据多边形的内角和，可得答案 【解析】连EF ，GI ，如图，∵6边形ABCDEFK 的内角和＝（6－2）×180°＝720° ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝720°－（∠1＋∠2） 即∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋（∠1＋∠2）＝720°∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H ＝180°∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ∠H ＋（∠3＋∠4）＝900°∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F （∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H ＝720°＋180° ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＝900°【小结】本题考查了n 边形的内角和定理：n 边形的内角和为（n －2）×180°（n ≥3的整数）例2．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数 （2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP =12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解 （2）根据角平分线的定义可得∠ADP =∠PDF ，∠CBP =∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A +∠ADP =∠P +∠ABP ，∠C +∠CBP =∠P +∠PDF ，所以∠A +∠C =2∠P ，即可得解 【解析】（1）∵DP 平分∠ADC ，∵∠ADP =∠PDF =12ADC ∠ ∵60ADC ∠=︒，∵30ADP ∠=︒，∵304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒ （2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∵∠ADP =∠PDF ，∠CBP =∠PBA ∵∠A +∠ADP =∠P +∠ABP ，∠C +∠CBP =∠P +∠PDF ，∵∠A +∠C =2∠P ∵∠A =42°，∠C =38°，∵∠P =12（38°+42°）=40° 【小结】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．【巩固提升】1．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·八年级期中）如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点C 落在边AB 上的点H 处，点D 落在点G 处，若111GEF ∠=︒，AHG ∠度数为（ ）A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°【分析】根据翻折的性质，及矩形的性质，求出AEG ∠，再利用“8”字模型求解即可 【解析】由图形翻折的性质可知，111GEF DEF ∠=∠=︒180111AEF ∴∠=︒-︒=69︒，1116942AEG GEF AEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 90A G ∠=∠=︒，利用“8”字模型 42AHG AEG ∴∠=∠=︒，选A【小结】本题考查了矩形翻折问题，能够根据图形翻折的性质推理出AEG ∠是解决问题的关键，熟练运用“8”字模型是求最终结果的关键2．（2020·九年级练习）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I +∠K 度数为__【分析】连KF ，GI ，根据n 边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK 的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠K ＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H ＝180°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠K ＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H ＝900°＋180°，即可得到∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＋∠K 的度数 【解析】连KF ，GI ，如图，∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080【小结】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）3．（2020·全国九年级模型练习）阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把∵AOD和∵BOC叫做对顶三角形结论：若∵AOD和∵BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2在∵ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°∵∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°,即五角星的五个内角之和为180°解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；（3）连接B H、DE，由对顶角三角形可知∠EB H＋∠B H D＝∠H DE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠N GH＋∠E HG，再由六边形的内角和定理得出结论．【解析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）连接B H、DE，∵由对顶角三角形可知∠EB H＋∠B H D＝∠H DE＋∠BED，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEF G的内角和＋∵AB H的内角和＝540°＋180°＝720°；（4）连接ND、NE，∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠N GH＋∠E HG，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCF GH M的内角和＋∵AND的内角和＋∵NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．【小结】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用∵AOD和∵BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．4．（2020·全国九年级模型练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K度数．【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJ L，∠C＋∠D＝∠ML J，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠G ML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【解析】如图所示：由三角形外角性质：∠A＋∠B＝∠IJ L，∠C＋∠D＝∠ML J，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠G ML∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJ L＋∠ML J＋∠G ML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【小结】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键5．（2020·全国九年级练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H ＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案【解析】∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2∵∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°∵∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°【小结】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和6．（2019·全国九年级模型练习）如图，在直角ABC ∆中，BD 是ABC ∠的平分线，3BAO OAD ∠=∠,AO 的延长线与BDC ∠的平分线交于点F ，求F ∠的度数.【分析】设OAD x ∠=︒，则3BAO x ∠=︒，452ABO x ∠=︒-︒，22.5ODF x ∠=︒+︒ 根据三角形ABO 与三角形DFO 的内角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案 【解析】设OAD x ∠=︒，则3BAO x ∠=︒ 在直角ABC ∆中，904ABC x ∠=︒-︒ ∵BD 是ABC ∠的平分线 ∵452ABO x ∠=︒-︒在直角DBC ∆中，22.5ODF x ∠=︒+︒∵180OAB OBA AOB ODF F FOD ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ 又∵AOB FOD ∠=∠∵OAB OBA ODF F ∠+∠=∠+∠ 即345222.5x x x F ︒+︒-︒=︒+︒+∠ ∵22.5F ∠=︒【小结】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理及其推论等知识.根据对顶三角形构建方程是解题的关键模型21 燕尾角模型问题【模型分析】如图所示，有结论：∠D =∠A +∠B +∠C 。
2020年中考数学几何复习课件：八字模型模型(19张ppt)
八字形模型秒杀技巧
4.如图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
构造“8”字形
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
5：如图，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，求证：∠P= 1 (∠A+∠C) 2
构造“8”字形
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
构造“8”字形
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
8.如图，BP平分∠ABC交CD于F，DP平分∠ADC交AB于E，AB与CD相交于G，如果 ∠A=42°，∠C=38°，求∠P的度数
构造“8”字形
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D ∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
1.如图，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB. （1）求证：∠A+∠D=∠C+∠B； （2）若∠A=40°，∠C=60°，则∠D-∠B= ； （3）若∠C=α，∠A=β（α＞β），则∠D-∠B= .
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D ∠D-∠B=∠C-∠A
A
D O
C B
若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”， 显然△AOD∽△BOC，添油加醋—连接 AB、DC， △AOB∽△DOC相似吗？为什么？
八字倒角（共边等角，一等三等、四点共圆）： 如图：如果∠BAC与∠BDC； ∠DAC与∠DBC； ∠ABD与∠ACD ∠BDA与∠ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。 思考：为什么叫“共边等角”？ （学了圆，理解、记忆更容易）
八字模型模型
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D ∠D-∠B=∠C-∠A
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6：如图，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∠A=46°，∠P=55°，求∠C
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D ∠D-∠B=∠C-∠A
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7 ： 如 图 , 已 知 B P 平 分 ∠ A B C 、 D P 平 分 ∠ A D C , D P 与 B P 交 于 点 P, A B 与 C D 交 于 点 O, 若 ∠A=40°,∠C=36°,求∠P的度数.
专注于中小学数学辅导教育
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第一讲
“8”字模型
主讲人：吴 笛
中小学数学辅导课堂
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
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Part 1
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如图：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BD、CE（手拉手），延长BD交CE于F，连接AF。
≌ 求证：⑴ △ABD △ACE
⑵∠BFC=60° ⑶AF平分∠DFE
怎么解？
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“8”字模型秒杀技巧
诀曰：歪八套，和歪 A，形影不离似孪生。 特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生）
A
D O
C B
若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”， 显然△AOD∽△BOC，添油加醋— ∠A+∠D=∠B+∠C
≌ 求证：⑴ △ABD △ACE ⑵∠BFC=60° ⑶AF平分∠DFE
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
共边等角，一等三等、四点共圆
八字形数学题
八字形数学题在日常生活中，我们经常会遇到各种形状的物体，其中八字形是一种非常特殊的形状。
八字形不仅仅是一个简单的几何图形，它还包含了一系列有趣的数学问题和应用。
本文将会介绍一些与八字形相关的数学题目，帮助读者了解和探索这个神奇的形状。
首先，让我们来认识一下八字形。
八字形由两个相交的圆组成，形状类似数字"8"。
它的特点是拥有两个独立的弧形，可以看作是两个圆的部分区域。
现在，我们来探讨一个有关八字形的数学问题：如何计算八字形的面积？首先，我们需要知道八字形的半径（记为r）和两个圆心的距离（记为d）。
八字形的面积可以通过以下公式计算：S = 2πr² - πr² = πr²其中，S表示八字形的面积，π约等于3.14。
除了计算八字形的面积，我们还可以通过八字形来解决一些有趣的几何问题。
例如，给定一个八字形，如何确定它的对称轴？对称轴是指将八字形分为两个对称的部分的直线。
根据八字形的对称性，很容易得出结论：八字形的对称轴即为连接两个圆心的直线。
在实际生活中，八字形也有一些实际应用。
例如，在建筑设计中，八字形的特殊性质可以用来构建具有良好结构稳定性的建筑物。
同时，八字形还可以用作艺术和装饰的元素，赋予设计作品更加独特的魅力。
总结一下，八字形是一个具有特殊性质的几何图形，它在数学上有着丰富的问题和应用。
通过计算八字形的面积、确定其对称轴等问题，我们可以深入了解和探索这个神奇的形状。
无论是在数学领域还是实际应用中，八字形都有着重要的地位和价值。
希望通过本文的介绍，读者对八字形有了更深入的认识，并能够在日常生活中运用相关的数学知识和技巧。
八字形作为一个充满魅力的几何图形，将继续为我们带来更多的惊喜和发现。
八字模型例题
八字模型例题八字模型是一种用于求解椭圆、双曲线、抛物线等数学对象的几何模型。
在八字模型中，八个顶点的代表字母分别为 A、B、C、D、E、F、G 和 H，它们分别对应着椭圆、双曲线、抛物线等数学对象的不同方面。
例如，椭圆的代表字母为 A、B，双曲线的代表字母为 C、D，抛物线的代表字母为 E、F 等。
以下是一些八字模型例题:1. 求解椭圆的方程:将已知条件转化为代数式，得到:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a 和 b 分别为椭圆的长轴和短轴长度。
将上述方程转化为八字模型的几何形式，得到:(x/a)^2 + (y/b)^2 = 12. 求解双曲线的方程:将已知条件转化为代数式，得到:x/a = y/b,其中a和b分别为双曲线的长短轴。
将上述方程转化为八字模型的几何形式,得到:(x/a)^2 - (y/b)^2 = 13. 求解抛物线的方程:将已知条件转化为代数式，得到:x^2 = 2py，其中 p 为抛物线的焦距。
将上述方程转化为八字模型的几何形式，得到:(x/p)^2 - y^2 = 14. 求解椭圆和双曲线的交点:将已知条件转化为代数式，得到:x = y，其中 a 和 b 分别为椭圆和双曲线的长轴和短轴。
将上述方程转化为八字模型的几何形式，得到:(x/a)^2 - (y/b)^2 = 15. 求解抛物线和双曲线的交点:将已知条件转化为代数式，得到:x = py，其中 p 为抛物线的焦距。
将上述方程转化为八字模型的几何形式，得到:(x/p)^2 - (y/b)^2 = 16. 求解椭圆和抛物线的交点:将已知条件转化为代数式，得到:x^2/a^2 - y^2/p^2 = 1，其中a 和 p 分别为椭圆和抛物线的长短轴。
将上述方程转化为八字模型的几何形式，得到:(x/a)^2 - (y/p)^2 = 1这些例题涵盖了椭圆、双曲线、抛物线等数学对象的求解，展示了八字模型在求解几何问题中的应用。
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1.(1)在图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；
(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数是个；
(3)在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求∠P的度数；
(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠B与∠P、∠D之间数量关系．
2.观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
3.如图，在长方形ACDF中，AC=DF，点B在CD上，点E在DF上，BC=DE=a，AC=BD=b，AB=BE=c，且AB ⊥BE.
(1)用两种不同的方法表示四边形形ACDE ．．．．
的面积S
方法一：S=
方法二：S=
（2）求a,b,c 之间的等量关系（需要化简）
（3）请直接．．
运用（2）中的结论 求当c=10,a=6,S 的值
如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形
BCDE 的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )
A ．3212A ∠=∠-∠? ?
B ．32(12)A ∠=∠-∠
C ．212A ∠=∠
-∠ ? D ．12A ∠=∠-∠
如图，△ABC 的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到△A1B1C1．再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律要使得到的三角形的面积超过2010，最少经过 次操作
（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
8．（本题12分）探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢
已知：如图，∠FDC 与∠ECD 分别为△ADC 的两个外角，试探究∠A 与∠FDC ＋∠ECD 的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系
已知：如图，在△ADC 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ，试探究 ∠P 与∠A 的数量关系．
探究三：若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢
已知：如图，在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，试利用上述结论探究∠P 与∠A ＋∠B 的数量关系．
探究四：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF 呢
请直接写出∠P 与∠A ＋∠B ＋∠E ＋∠F 的数量关系：______________________________． 探究四2360P A B E F ∠+=∠+∠+∠+∠。