大田二中2009届九年级集训班数学综合题

大田二中2009届九年级集训班数学综合题1、如图，已知抛物线L 1: y=x 2-4的图像与x 有交于A 、C 两点， （1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式； （2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D ，求证：点D 在l 2上；（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

2、如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图21点，M 经过原点）求抛物线的顶点）求M 的面积；CD 交AO 于点与M 相切，并请说明理由．5、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． (1)求点B 的坐标；(2)当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标； (3)当点P 运动什么位置时，使得∠C PD=∠OAB，且BD =5，求这时点P 的坐标。

轴上，P 交x 轴于并延长交P 于C ，过点D ，且P 的半径为）求点B P C ，，是P 的切线；（3）若二次函数6的图象经过点求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2(0)-，，以点A 为圆心，以AO 长为半径的圆交交A 于点F 是A 的切线；）有一个半径与A 的半径相等，且圆心在轴上运动的P ．若P 与直线两点，是否存在这样的点P 是直角三角形．若存在，求出点若不存在，请说明理由．xyＤ11、如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△P AB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合． (1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．x12、如图①，已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。

(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；(3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

13、已知圆P 的圆心在反比例函数ky x=(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．（1）求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式; （2）若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．（1）求b 、c 的值；（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．(第26题图)图①（第14题图）x参考答案1、（1）设l2的解析式为y=a(x-h)2+k∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）∴y=ax2+4∴0=4a+4 得 a=-1∴l2的解析式为y=-x2+4(2)设B(x1 ,y1)∵点B在l1上∴B(x1 ,x12-4)∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称∴B、D关于O对称∴D(-x1 ,-x12+4).将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4∴左边=右边∴点D在l2上.(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1|a.当点B在x轴上方时，y1＞0∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，∴S既无最大值也无最小值b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，∴当y1 =-4时，S由最大值16，但他没有最小值此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.∴AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形此时S最大=16.2、（1）解：依题意得216412y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解之得12126432x xy y==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩(63)(42A B∴--，，，（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C D，两点，交AB于M（如图1）由（1）可知：OA OB==AB∴=122OM AB OB ∴=-=过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足 由BEO OCM △∽△，得：54OC OM OC OB OE =∴=，， 同理：55500242OD C D ⎛⎫⎛⎫=∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠52045522k k b b b ⎧==+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩AB ∴的垂直平分线的解析式为：522y x =-． （3）若存在点P 使APB △的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线12y x m =-+上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G H ，两点（如图2）．212164y x m y x ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩2116042x x m ∴-+-=抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m ⎛⎫∴--⨯-= ⎪⎝⎭，2523144m P ⎛⎫∴=∴ ⎪⎝⎭， 在直线12524GH y x =-+：中， 25250024G H ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，GH ∴=设O 到GH 的距离为d ，11221125252224GH d OG OH d AB GH ∴=∴=⨯⨯∴=，∥P ∴到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．∴ S 最大面积111255224AB d ==⨯=．；M 过90A ，为O 的直径． 33OC =， 3AC=MS=π）当点与M 相切 tan ACO ∠6030ACO CAO ∴=∠，∠点30tan 301OC =，60中，2AF =，60CFO =∠ 为等边三角形6090又AC 为直径，∴当D 为OA 的中点时，GA 为M 的切线5、[解] (1)作BQ ⊥x 轴于Q.∵ 四边形ABCD 是等腰梯形, ∴∠BAQ ＝∠COA ＝60°在Rt ΔBQA 中,BA=4,∴BQ=AB ·sin ∠BAO=4×sin60°=32 AQ=AB ·cos ∠BAO=4×cos60°=2, ∴OQ=OA-AQ=7-2=5 ∵点B 在第一象限内, ∴点B 的的坐标为(5, 32)(2)若ΔOCP 为等腰三角形,∵∠COP=60°,此时ΔOCP 为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP 为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P 在x 轴的正半轴上, ∴点P 的坐标为(4,0)若ΔOCP 是顶角为120°的等腰三角形,则点P 在x 轴的负半轴上,且OP=OC=4 ∴点P 的坐标为(-4,0) ∴点P 的坐标为(4,0)或(-4,0) (3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP ∽ΔADP∴AP OC AD OP = ∵85=AB BD ∴2585==AB BD ,AD=AB-BD=4-25=23 AP=OA-OP=7-OP ∴OP OP -=7423 得OP=1或6∴点P 坐标为(1,0)或(6,0).6、[解] （1）如图，连结CAO PA B ∵⊥ 2OB OA ==∴ 222OP BO BP +=∵ 2541OP =-=∴，1OP = BC ∵是P 的直径90CAB ∠=∴（也可用勾股定理求得下面的结论） C PB P =∵，OB OA = 22AC OP ==∴(20)B ，∴，(01)P ，，(22)C -，（909090（也可用勾股定理逆定理证明）是P 的切线2(y x a =-+2(1)a ++⨯AE BF ∥13∴∠=∠又AB AF =34∴∠=∠12∴∠=∠又AO AF =AOE △≌△90AFE ∴∠=∠ FC 是O 的切线．）方法①由（1AE BF ∥11OC +∴=又2OE OC +由①②解得直线方法②：CF切A于点F90∴△OCE=∠，COE方法③AEFC切A于点F90∴∠=∠，ACE OCEOE CO90，过点90MPN ∠=，PM 2452=AF FC ⊥PH CPAF CA ∴=90，过点）直线又抛物线过）y x =-+3．又抛物线y ax =xx45PB ，45，45时，△又3BO =，②当QB PB AB BC=45时，△3OB =∴，2Q ∴的坐标是180********PBx BAC PBx =-=<∴≠，，∠∠∠∴点Q 不可能在m 为正整数，解法二：由题意知，当（以下同解法一）解法三：(m ∆=-1)(2m m -±又120x x <，2m <．（以下同解法一．（Ⅱ）解法一：11x x <，21)0x -<，即12x x +=(2)m ∴-+解得 m <11x x <，1m ∴<．m ∴的取值范围是（Ⅲ）存在．OA OB ， ，2AB x =m BD ∴=．直线．直线故所求直线l 的解析式为：27y x =+，或27y x =-+．11、解：(1)由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°．又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ．∴Rt △POE ∽Rt △BP A ．……………………………………………………………………2分 ∴PO BA OE AP =．即34x y x =-．∴y =2114(4)333x x x x -=-+(0＜x ＜4)． 且当x =2时，y 有最大值13．………………………………………………………………4分 (2)由已知，△P AB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)．……6分设过此三点的抛物线为y =ax 2＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴1,23,21.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩y =213122x x -+．……………………………………………………………………………8分 (3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件．………………………………9分 直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)． 将PB 向上平移2个单位则过点E (0，1)，∴该直线为y =x ＋1．………………………………………………………………………10分由21,131,22y x y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得5,6.x y =⎧⎨=⎩∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件．……………………………………12分解：(1)连结PC 、PA 、PB ，过P 点作PH ⊥x 轴，垂足为H ． …………………1分∵⊙P 与y 轴相切于点C (0，1)， ∴PC ⊥y 轴．∵P 点在反比例函数ky x=的图象上， ∴P 点坐标为（k ，1）． …………………2分∴PA=PC=k ．在Rt△APH 中，AH， ∴OA=OH —AH =k． ∴A（k－，0）． ……………………………………………………………………3分∵由⊙P 交x 轴于A 、B 两点，且PH ⊥AB ，由垂径定理可知， PH垂直平分AB ．∴OB=OA +2AH = k=k， ∴B (k+，0)． ……………………………………………………………………4分故过A 、B 两点的抛物线的对称轴为PH 所在的直线解析式为x=k ． 可设该抛物线解析式为y=a 2()x k -+h ． …………………………………………………5分 又抛物线过C (0，1)， B (k，0)， 得：221;()0.ak h a k k h ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 解得a =1，h =1－2k ． …………………7分∴抛物线解析式为y =2()x k -+1－2k ．……8分（有更简单的方法即用韦达定理） （2）由(1)知抛物线顶点D 坐标为（k ， 1－2k ） ∴DH =2k －1． 若四边形ADBP 为菱形．则必有PH=DH ．………………………………………………10分∵PH =1，∴2k －1=1． 又∵k＞1，∴k=…………………………………………………………11分∴当k 取时，PD 与AB 互相垂直平分，则四边形ADBP 为菱形． …………………12分[注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]解：（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－32x 2+b x +c 经过点A （0，－4）， ∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=23b ， x 1x 2=－23c =6 ·········································································· 2分 由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x 1x 2=49b 2－24 ∴49b 2－24=25 解得b =±314···················································································································· 3分当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b =－314． ··················································································································· 4分 解法二：∵x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c=0的两个根， 即方程2x 2－3b x +12=0的两个根．∴x =4969b 32-±b ， ·················································································· 2分∴x 2－x 1=2969b 2-=5，解得 b =±314 ········································································································ 3分 （以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， ··········································································································· 5分又∵y =－32x 2－314x －4=－32（x +27）2+625 ····································· 6分 ∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． ·········································· 7分 （3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与抛物线y =－32x 2-314x -4的交点， ·································································· 8分 ∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4， ∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ··················· 9分 四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上．。