第2课时 三角形三边的垂直平分线及尺规作图
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2020版八年级数学下册第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线(第2课时)课件(新版)北师大版
(2)∵MD⊥AC,NE⊥BC, ∴∠ACB=180°-∠MFN=110°, ∴∠A+∠B=70°, ∵MA=MC,NB=NC, ∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B, ∴∠MCN=40°.
【母题变式】 【变式一】(变换条件) 如图,在△ABC中,AB边的垂直 平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1 与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为6 cm, △OBC的周长为16 cm.
1.三角形三条边的垂直平分线的性质
探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝 角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置,
并测量各个交点到三角形顶点的距离.
结论:①锐角三角形三边的垂直平分线交点在___三__角__ __形__内___;直角三角形三边的垂直平分线交点在___斜__边__ __上___;钝角三角形三边的垂直平分线交点在___三__角__形__ __外___.②三角形三边的垂直平分线交点到三个顶点的 距离____相__等___.
【规范解答】∵P为△ABC三边垂直平分线的交点, ∴PA=PC=PB,
……………………三角形三条边的垂直平分线的性质
∴∠PAC=∠PCA=20°, …………等边对等角 ∠PBC=∠PCB=30°, …………等边对等角
∵∠PAB=∠PBA, ∴∠PAB= 1(180°-2×20°-2×30°)
2
……………………三角形内角和等于180°
2
交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC 的周长为 ( C )
A.7
B.14
C.17
D.20
【学霸提醒】
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.解题时要注 意数形结合思想的应用.
八年级数学三角形三边的垂直平分线及作图
A
B
(3)过两交点作直线 l ',此直线为
l 过P的垂线.
D
当堂练习
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段 AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则 ∠CBE等于（ C ）
A．80° C．60°
B．70° D．50°
A
DE
B
C
2.下列说法错误的是 ( D )
A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点 与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
课堂小结
1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,
并且这一点到三个顶点的距离相等.
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三
角形. aA
c
b P
B
C
2．作线段AB的垂直平分线PC．
C
直线PC就是所求 l 的垂线．
P A
l B
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它 经过点P.
作法：
(1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂 直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B. C
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长 P ●
为半径作圆，相交于C、D两点.
做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，
你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角
形都全等吗? 已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A
A
A
h
Ba
C
D
尺规作图(画线段的垂直平分线)课件
如桥梁、建筑等。
应用2
解决几何问题：通过构造垂直平分 线，可以将复杂的几何问题转化为 简单的几何问题，从而方便求解。
应用3
设计图纸：在工程设计和建筑图纸 中，常常需要画出各种垂直平分线 ，以确保结构的稳定性和对称性。
03
尺规作线段垂直平分线的方法
确定线段的两个端点
总结词
确定线段两个端点是尺规作图的基础 ，需要使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。
详细描述
首先，使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。确保这两个端点位于 同一直线上，并且距离适中，以便于 后续作图。
以线段中点为圆心，半长为半径画圆
总结词
以线段中点为圆心，半长为半径画圆是垂直平分线作图的关键步骤，需要使用 直尺和圆规进行操作。
详细描述
使用直尺和圆规，以线段的中点为圆心，线段长度的一半为半径画圆。这个圆 将通过线段的两个端点，并且与线段相切于中点。
在思考过程中，可以尝试使用其他工具或方法来作线段的垂 直平分线。例如，可以使用折纸法、三角形法等不同的方法 。通过比较不同方法的优缺点，可以更好地理解作图的本质 和原理。
总结与归纳作图过程中的注意事项
总结
总结归纳作图过程中的注意事项，有助于提高作图的准确性和效率。
在作图过程中，需要注意以下几点
首先，要确保使用的工具是准确和可靠的；其次，要遵循尺规作图的规则和步骤；最后，要认真检查和修正作图 结果。通过总结归纳这些注意事项，可以更好地掌握尺规作图的技巧和方法。
线段垂直平分线的性质
01
02
03
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
性质2
线段垂直平分线上的点到 线段两端点的连线与垂直 平分线垂直。
应用2
解决几何问题：通过构造垂直平分 线，可以将复杂的几何问题转化为 简单的几何问题，从而方便求解。
应用3
设计图纸：在工程设计和建筑图纸 中，常常需要画出各种垂直平分线 ，以确保结构的稳定性和对称性。
03
尺规作线段垂直平分线的方法
确定线段的两个端点
总结词
确定线段两个端点是尺规作图的基础 ，需要使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。
详细描述
首先，使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。确保这两个端点位于 同一直线上，并且距离适中，以便于 后续作图。
以线段中点为圆心，半长为半径画圆
总结词
以线段中点为圆心，半长为半径画圆是垂直平分线作图的关键步骤，需要使用 直尺和圆规进行操作。
详细描述
使用直尺和圆规，以线段的中点为圆心，线段长度的一半为半径画圆。这个圆 将通过线段的两个端点，并且与线段相切于中点。
在思考过程中，可以尝试使用其他工具或方法来作线段的垂 直平分线。例如，可以使用折纸法、三角形法等不同的方法 。通过比较不同方法的优缺点，可以更好地理解作图的本质 和原理。
总结与归纳作图过程中的注意事项
总结
总结归纳作图过程中的注意事项，有助于提高作图的准确性和效率。
在作图过程中，需要注意以下几点
首先，要确保使用的工具是准确和可靠的；其次，要遵循尺规作图的规则和步骤；最后，要认真检查和修正作图 结果。通过总结归纳这些注意事项，可以更好地掌握尺规作图的技巧和方法。
线段垂直平分线的性质
01
02
03
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
性质2
线段垂直平分线上的点到 线段两端点的连线与垂直 平分线垂直。
三角形三边的垂直平分线及作图(课堂PPT)
A
B
(3)过两交点作直线 l ',此直线为
l 过P的垂线.
D
15
当堂练习
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段 AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连0° C．60°
B．70° D．50°
A
DE
B
C
16
2.下列说法错误的是 ( D )
A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点 与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
GF
∴EG＝EC.
B
D
EC
19
4.已知：线段a. 求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.
作法： （1）作直线l. （2）在直线l上任取一条线段DE. （3）作线段DE的垂直平分线MN交DE于C. （4）在射线CE上截取CA=a, 在射线CM上截取CB=a. （5）连接AB. △ABC就是所求作的三角形.
9
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三 角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形有无数多个.根 据线段垂直平分线上的点到线段两个端 点的距离相等，只要作底边的垂直平分 线，取它上面除底边的中点外的任意一 点，和底边的两个端点相连接，都可以 得到一个等腰三角形．
发现：三角形三边的垂直平 分线交于一点．这一点到三 角形三个顶点的距离相等．
怎样证明这 个结论呢?
4
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中
两条直线的交点在第三条直线上即可.
思路可表示如下：
l
嘉定区五中八年级数学下册 第一章 三角形的证明 4角平分线第2课时 三角形三个内角的平分线课件新版北
求证 : P 点在∠BAC 的角平分线 B 上.
A
ND
P
M F
EC
证明 : ∵BM 是△ABC 的角平分线 , 点 P 在 BM 上 ,
且 PD⊥AB , PE⊥BC , 垂足分别为 D , E ,
∴PD = PE〔角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等〕.
A
同理 : PE = PF. ∴PD = PE = PF.
三角形的三个内角的角 平分线交于一点．这一点到 三角形三边的距离相等．
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
12.2 三角形全等的判定(ASA AAS)
复习
1.什么是全等三角形 ？ 2.判定两个三角形全等方式有哪些?
边边边 :
三边対应相等的两个三角形全等。
边角边 :
有两边和它们夹角対应相等的两个
复习引入
1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么 条件?
边边边 : 三边対应相等的两个 三角形全等。
边角边 : 有两边和它们夹角対应
创设情景
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了 , 如下图 , 你能制作一张与原来 同样大小的新教具 ？能恢复三角形 的原貌吗 ？
2
部相交于点C.
〔3〕画射线OC.射线OC即为所求.
作角平分线是最基本 的尺规作图,大家一定 要掌握噢!
已知 : 平角∠AOB. 求作 : 平角∠AOB的角平分线.
C
B
O
A
结论 : 作平角的平分线的方式就是过直线上一点作这条直 线的垂线的方式.
二 角平分线的性质 实验 : OC是∠AOB的平分线 , 点P是射线OC上的
A
ND
P
M F
EC
证明 : ∵BM 是△ABC 的角平分线 , 点 P 在 BM 上 ,
且 PD⊥AB , PE⊥BC , 垂足分别为 D , E ,
∴PD = PE〔角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等〕.
A
同理 : PE = PF. ∴PD = PE = PF.
三角形的三个内角的角 平分线交于一点．这一点到 三角形三边的距离相等．
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
12.2 三角形全等的判定(ASA AAS)
复习
1.什么是全等三角形 ？ 2.判定两个三角形全等方式有哪些?
边边边 :
三边対应相等的两个三角形全等。
边角边 :
有两边和它们夹角対应相等的两个
复习引入
1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么 条件?
边边边 : 三边対应相等的两个 三角形全等。
边角边 : 有两边和它们夹角対应
创设情景
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了 , 如下图 , 你能制作一张与原来 同样大小的新教具 ？能恢复三角形 的原貌吗 ？
2
部相交于点C.
〔3〕画射线OC.射线OC即为所求.
作角平分线是最基本 的尺规作图,大家一定 要掌握噢!
已知 : 平角∠AOB. 求作 : 平角∠AOB的角平分线.
C
B
O
A
结论 : 作平角的平分线的方式就是过直线上一点作这条直 线的垂线的方式.
二 角平分线的性质 实验 : OC是∠AOB的平分线 , 点P是射线OC上的
八年级数学《尺规作图-角平分线、垂线和中垂线》课件
2、试把一个钝角四等分。
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角 平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的 垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论， 应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
2题的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交
于A、B两点； （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2 （4）过C、D两点作直线CD。
所以，直线CD就是所求作的。
练习
1、如图，过点P画∠O 两边的垂线.
2、如图，画 △ABC 边 BC 上的(第高1 题.)
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画 图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺 规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
（第 2 题）
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
1、平分已知角
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角 平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的 垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论， 应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
2题的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交
于A、B两点； （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2 （4）过C、D两点作直线CD。
所以，直线CD就是所求作的。
练习
1、如图，过点P画∠O 两边的垂线.
2、如图，画 △ABC 边 BC 上的(第高1 题.)
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画 图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺 规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
（第 2 题）
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
1、平分已知角
沪科版八上数学 第2课时 角平分线的性质及判定
角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分
别为 E，F. 求证：EB = FC. 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，
A
DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF，
BD = CD，
E
F
B
D
∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为__4___； (2) 求 △APB 的面积.
B D
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
P
故
S△APB
1 2
AB
·PD
=
28.
A
C
温馨提示：存在一条垂线段 — — 构造应用
知识与方法
1. 应用角平分线的性质：
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
A
试说明：PD = PE.
D C
解：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
P
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
O
在 △PDO 和 △PEO 中，
E
B
∠PDO = ∠PEO， ∠POD = ∠POE，
∴ △PDO≌△PEO(AAS).
OP = OP，
∴ PD = PE.
B
∴△AED 的周长为AE + ED + DA＝2 + 6＝8. 8
C
5. 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线 的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间的距离. 解：过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6， 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明说课教学课件复习
三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线 相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线