2018届辽宁省沈阳市郊联体高三第一次模拟考试理数试题扫描版含答案
辽宁省沈阳市郊联体2018届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
2017—2018学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题数学(理) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。
已知集合}2|1||{<-=x x A ，}1log |{2>=x x B ，则=B A （）A ．)3,1(-B ．)3,0(C ． )3,2(D ．)4,1(-2.设向量),2(m a =，)1,1(-=b ，若)2(b a b +⊥，则实数m 等于（ ） A ． 2 B ．4 C ． 6 D ．-3 3。
i 为虚数单位,已知复数z 满足i z i+=+12,则=z ( ）A ．i +1B ．i +-1C ．i 21-D ． i 21+ 4.已知31)23sin(=+απ,则)2cos(απ-的值等于（ )A ． 97 B ．97- C. 92 D ．32-5.若⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=⎰1,321,ln )(02x dt t x x x x f m,且10))((=e f f ,则m 的值为（ )A ． 2B ． -1C 。
1D ．—26。
高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( )A ． 16种B ．18种 C. 37种 D ．48种 7。
一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“犯罪在乙、丙、丁三人之中"；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”;丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是（ ）A ． 甲、乙B ．甲、丙C 。
乙、丁D ．甲、丁8.一个直三棱柱的三视图如图所示,其中俯视图是一个顶角为32π的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的体积为( )A ．π3520 B ．π320 C.π25 D ．π5259。
2018年高三最新 东北三校2018届高三第一次联合模拟考试数学试题(理科) 精品
东北三校2018届高三第一次联合模拟考试数学试题（理科）哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学本试卷分选择题和非选择题两部分，共22小题，共150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ部分（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．α是第一象限角，43tan =α，则=αsin （ ）A ．54B ．53 C ．54- D ．53- 2．复数22)1(ii += （ ）A ．2B ．－2C ．－2iD ．2i 3．函数)62cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期是（ ） A ．2πB ．4πC ．π2D ．π4．已知向量等于则垂直与若a b a n b n,),,1(),,1(-==（ ）A ．1B ．2C ．2D ．45．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的A ．16322=-y xB ．132322=-y xC ．1964822=-y xD ．1241222=-y x6．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=ax a x ax x a x x f 2)(23是连续函数，则实数a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．1±D ．2-7．若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 （ ）A ．10B ．20C ．30D ．1208．设数列{}n a 的前n 项和S n ，且12+-=n a n ，则数列}{nS n的前11项为 （ ）A ．45-B ．50-C ．55-D ．66-9．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，3=AB ，在外接球面上A B ，两点间的球面距离是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π610．若,,R y x ∈则“()324l o g2=-+y x xy ”是“0258622=++-+y x y x ”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件11．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 （ ） A ．55 B ．56 C ．46 D ．45 12．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),21(),0(f c f b f a ===则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<第Ⅱ部分（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，……153—160号），若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是________。
辽宁省沈阳市2017-2018学年高三一模数学(理)试卷 Word版含解析
辽宁省沈阳市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z的共轭复数( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是( )A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=( ) A．5 B．6 C．7 D．86．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A．B．C．2cm3D．4cm37．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A．3 B．﹣3 C．1 D．8．若执行如图的程序框图，则输出的k值是( )A．4 B．5 C．6 D．79．由曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积为( )A．B．C．D．110．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=( )A．B．C．D．11．函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．812．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是__________．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=__________．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是__________．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值__________．三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．18．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD 上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．（Ⅰ）求证：对任意的λ=（0，1]，都有AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．19．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．20．如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0．时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e＜0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．辽宁省沈阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z的共轭复数( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则其共轭复数可求．解答：解：由（1﹣i）z=2i，得=，∴．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意可得5∈∁U M，且5∈∁U N；6∈∁U M，且6∈∁U N，从而得出结论．解答：解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}=（∁U M）∩（∁U N），故选：D．点评：本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题．3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是( )A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．解答：解：由题意知，y=4ax2（a≠0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．点评：本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．解答：解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A．B．C．2cm3D．4cm3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．解答：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．点评：本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A．3 B．﹣3 C．1 D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．若执行如图的程序框图，则输出的k值是( )A．4 B．5 C．6 D．7考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．解答：解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．9．由曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积为( )A．B．C．D．1考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积．解答：解：由曲线y=x2，y=，联立，因为x≥0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与y=所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=故选：B．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，属于基础题．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．解答：解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：压轴题；数形结合．分析：y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．解答：解：函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8，故选：D．点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．专题：计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：不等式f（x）＞+1可化为e x f（x）﹣e x﹣3＞0；令F（x）=e x f（x）﹣e x﹣3，从而利用导数确定函数的单调性，再由单调性求解．解答：解：不等式f（x）＞+1可化为e x f（x）﹣e x﹣3＞0；令F（x）=e x f（x）﹣e x﹣3，则F′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x（f（x）+f′（x）﹣1）；∵f（x）+f′（x）＞1，∴e x（f（x）+f′（x）﹣1）＞0；故F（x）=e x f（x）﹣e x﹣3在R上是增函数，又∵F（0）=1×4﹣1﹣3=0；故当x＞0时，F（x）＞F（0）=0；故e x f（x）﹣e x﹣3＞0的解集为（0，+∞）；即不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）；故选A．点评：本题考查了不等式的解法及构造函数的能力，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y=x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程．解答：解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x．故答案为：y=x．点评：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．解答：解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．点评：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．解答：解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．解答：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．故答案为：．点评：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由x的范围，可得2x﹣的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域．解答：解：（1）f（x）=2sinxsin（x+）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x﹣）则函数f（x）的最小正周期T==π，由2k≤2kπ+，k∈Z，解得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，则f（x）的值域为[0，1+]．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式，考查正弦函数的单调性和值域，考查运算能力，属于基础题．18．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD 上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．（Ⅰ）求证：对任意的λ=（0，1]，都有AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能证明AC⊥BE恒成立．（II）求出平面ABE的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出λ=1．解答：（I）证明：以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，λa），，…∴对任意λ∈（0，1]都成立，即AC⊥BE恒成立．…（II）解：设平面ABE的一个法向量为，∵，∴，取z1=1，则x1=λ，．…设平面BCE的一个法向量为，∵，取z2=1，则y2=λ，，…∵二面角C﹣AE﹣D的大小为120°，∴|cos＜，＞|=，∴λ=1为所求．…点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查使得二面角为120°的实数值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．19．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，由此能求出某节目的投票结果是最终获一等奖的概率．（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．解答：解：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：P（A）==．（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）==2．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．20．如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（II）运用向量共线的知识，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值．解答：解：（I）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，则x1=，x2=．又因为，，，所以，所以λ=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0．时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e＜0恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值；（Ⅱ）求函数的导数，利用导数法即可证明表达式；（Ⅲ）利用导数和函数最值之间的关系即可求解．解答：解：（I），，a=4．…（Ⅱ）令．…令g'（x）＞0，即，解得x＞1，所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．所以g（x）最小值为g（1）=0，所以．…（Ⅲ）由题意可知，化简得，a＞．…令h（x）=，则h′（x）=，∴．…由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx﹣1+＞0，∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＜h（e）=e﹣1．…，∴a≥e﹣1．…点评：本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及导数和不等式之间的关系，考查学生的运算和推理能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．解答：解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG点评：本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程；（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求．解答：解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2=16．…直线l的参数方程为，即（t为参数）…（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2=16，得（1+t）2+（2+t）2=16，即t2+（2+）t﹣11=0，…所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11．…点评：本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数最值的应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．解答：解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．点评：本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．。
2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科)
19.（12分）高中生在被问及 家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中 感到 最幸福的场所在哪里？ ”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况
是：家占占、朋友聚集的地方占
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家里感到最幸福)”是否与国别有关，构建了如下2X2列联表.
的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积. 若在圆 内随机取一点，贝吐匕点取自该圆内接正六边形的概率是（
A.
6. （5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几 何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A.-15B.-9C.1D.9
8.（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的 位置，则共有（）种不同的站法.
17.（12分）在厶ABC中，已知内角A,B,C对边分别是a,b,c,且2ccosB=2<+b.
（I）求/C;
（U）若a+b=6,AABC的面积为-;，求c.
18.（12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中,平面PAD丄平面ABCD底面ABCD是正方形，且PA=PD/APD=90.
（I）证明：平面PABL平面PCD
其中n=a+b+c+d.
P(k>ko)
0.050
0.025
0.010
0.001
ko
3.841
5.024
6.635
10.828
(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题记分.［选修4-4：极坐标与参数方程］
22.(10分)设过原点0的直线与圆(X-4)2+y2=16的一个交点为P,M点为 线段0P的中点，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题Word版含答案
2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合(){}03<-=x x x A ，{}32101，，，，-=B ，则=B A （ ） A ．{}1- B ．{}21， C ．{}30， D ．{}3211，，，- 2.已知i 是虚数单位，复数i z i 21-=⋅，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知平面向量()3,4a =，1(,)2b x =，若→→b a //，则实数x 为（ ）A ． 32-B ．32C ．83D ．83- 4.命题”：“21)21(,N ≤∈∀+x x P 的否定为（ ）A ．+∈∀N x ，2121>x ）（B ．+∉∀N x ，2121>x ）（C.+∉∃N x ，2121>x ）（ D ．+∈∃N x ，2121>x ）（5.已知直线)3(:+=x k y l 和圆1)1(:22=-+y x C ，若直线l 与圆C 相切，则=k （ ） A ．0 B ．3 C. 33或0 D ．3或06.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（ ）A ．10636+B ． 10336+ C. 54 D ．277.将D C B A 、、、这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是（ ） A ．21 B ．41 C. 61 D ．818.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)mod (m n N ≡，例如mod3)211（=.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于 （ ）A ．21B ．22 C.23 D ．249.将函数0)ω)(4πsin(ω2)(>+=x x f 的图象向右平移ω4π个单位，得到函数)(x g y =的图象，若)(x g y =在]3π6π[，-上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．3B ．2 C. 23 D ．4510.已知C B A S 、、、是球O 表面上的不同点，⊥SA 平面ABC ，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，若球O 的表面积为π4，则=SA （ ）A ．22B ．1 C. 2D ．2311.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21F F 、，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于21F F 、的对称点分别为B A 、，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若12=-BN AN ，则=a（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．612.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=1,)1(log 1,222)(2x x x x f x ，则函数()()[]()232--=x f x f f x F 的零点个数是（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题纸上）13. 二项式6)21xx +（的展开式中的常数项为 ． 14. 若实数y x 、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥03010y x y x x ，则目标函数y x z -=3的最大值为 ．15. 已知ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，面积为S ，且满足22)(4c b a S --=，8=+c b ，则S 的最大值为 ．16. 设函数2)2()(x xg x f +=，曲线)(x g y =在点))1(1g ，（处的切线方程为019=-+y x ，则曲线)(x f y =在点))2(2f ，（处的切线方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421a a a 、、成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足n an n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下22⨯列联表：（单位：人）.（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布及数学期望.附：参考数据：（参考公式：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥C C AA 11底面ABC ，211=====BC AB AC C A AA ，且点O 为AC 中点.（Ⅰ）证明：⊥O A 1平面ABC ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左焦点为)0,6(1-F ，22+e .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，设),(00y x R 是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆4)()(2020=-+-y y x x 引两条切线，分别交椭圆于点Q P 、，若直线OQ OP 、的斜率存在，并记为21k k 、，求证：21k k 为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问22OQ OP +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.已知函数21)(ax x e x f x ---=. （Ⅰ）当0=a 时，求证：0)(≥x f ；（Ⅱ）当0≥x 时，若不等式()0≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若0>x ，证明2)1n(1)1x x e x >+-（.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线x y l =:，圆⎩⎨⎧+-=+-=ϕϕsin 2y cos 1:x C ，(ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线l 与圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 的交点为N M 、，求CMN ∆的面积.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数x a x x f 21)(--=，)0>a （. （Ⅰ）若3=a ，解关于x 的不等式0)(<x f ；（Ⅱ）若对于任意的实数x ，不等式2)()(2aa a x f x f +<+-恒成立，求实数a 的取值范围.2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题参考答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1-5: BCCDD 6-10: ABCCB 11、12：AA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.2514. 1 15. 8 16.062=++y x 三、解答题17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题设，4122a a a =， .................2分即d d 31)1(2+=+，解得01d d ==或 .................4分 又∵0≠d ，∴1d =，可以求得n a n =. .................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n n b 2+=123(12)(22)(32)(2)n n T n =++++++++2=(123222)nn ++++++++）（ .................8分222)1(1-++=+n n n . .................12分 （分别求和每步给2分） 18. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）635.65.12225302020303005030202030)33636(50222>==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯=χ .................2分 ∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关. .................4分 （Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为202505p == .............6分 X 的可能取值为3,2,1,0，由题意，得)52,3(~B X)3,2,1,0(,)53()52()(33===-k C k X P k k k∴随机变量X 的分布列为.................10分 ∴随机变量X 的数学期望56=）（X E . .................12分 19.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）证明:因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1， .................2分 又∵侧面11AAC C ⊥底面ABC ,交线为AC ,且⊂O A1平面C C AA 11， ∴⊥O A 1平面ABC . .................4分（Ⅱ）如图,以O 为原点,1,,OA OC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，1A ，1(0,C ，B∴(3,1,0)AB =，1(3,0,A B =，11(0,2,0)AC = .................6分 设平面1AA B 的一个法向量为),,(111z y xm =，则有111110000m AB y m A B ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⋅==⎪⎩令11=x ，得1y =，11z =∴)1,3,1(-=m . .................8分 设平面11BC A 的法向量为),,(222z y x =，则有21122120000y m AC m A B ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨=⋅=⎪⎩令12=x ，则20y =，21z =，∴)1,0,1(=n .................10分 ∴510102,cos =>=<n m ∴所求二面角的大小为)510arccos(-. .................12分20. (本小题满分12分) 解:（Ⅰ）由题意得，22,6==e c ，解得32=a ， .................1分 ∴椭圆方程为161222=+y x . (3)分（Ⅱ）由已知，直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，且与圆R 相切， ∴2121001=+-k y x k ，化简得()0424201002120=-+--y k y x k x同理()0424202002220=-+--y k y x k x ， .................5分 ∴12,k k 是方程22000240k x y k y -+-=的两个不相等的实数根∴2040x -≠，0∆>，44202021--=x y k k .................7分∵点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以16122020=+y x ，即2020216x y -= ∴21421220221-=--=x x k k ． .................8分 （Ⅲ）22OP OQ +是定值18．设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=1612,221y x x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212121212121122112k k y k x ∴()2121212121112k k y x ++=+ 同理，得()2222222221112k k y x ++=+． .................10分 由1212k k =-，∴2222221122OP OQ x y x y +=+++()()222221212111221112k k k k +++++= ()1821361821212111221112212121212121=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=k k k k k k综上：1822=+OQ OP ． .................12分 21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）0a =时，'()1,()1xxf x e x f x e =--=-. .................1分 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. .................2分 故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，00)(min ==）（f x f ，∴()0f x ≥ .................3分 （Ⅱ）方法一：'()12xf x e ax =--.由（Ⅰ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立. 故'()2(12)f x x ax a x ≥-=- 从而当120a -≥，即12a ≤时，在区间[0,)+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，()(0)f x f ≥，即()0f x ≥，符合题意. .................5分 又由1(0)xe x x >+≠，可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x xf x e a e e e e a --<-+-=--在区间(0,ln 2)a 上，'()0f x <，()f x 单调递减，()(0)f x f <，即()0f x <，不合题意. .................7分 综上得实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. .................8分方法二：()12x f x e ax '=--，令ax e x h x 21)(--=，则a e x h x2)(-='.1）当21a ≤时，在[)+∞,0上，()0h x '≥，)(x h 递增，)0()(h x h ≥，即0)0()(='≥'f x f)(x f ∴在[)+∞,0为增函数，0)0()(=≥∴f x f ，21≤∴a 时满足条件； .................5分 2）当12>a 时，令0)(='x h ，解得a x 2ln =，在当[)0,ln 2a 上，,0)(<'x h )(x h 单调递减，()a x 2ln ,0∈∴时，有0)0()(=<h x h ，即0)0()(='<'f x f ，∴)(x f 在区间)2ln ,0(a 为减函数，∴0)0()(=<f x f ，不合题意. .................7分综上得实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. .................8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当21=a 时，0>x ，212x x e x ++>，即212x x e x+>-欲证不等式2)1ln()1(x x e x>+-，只需证22)1ln(+>+x xx ..................10分 设22)1ln()(+-+=x x x x F ，则222)2)(1()2(411)(++=+-+=x x x x x x F ’0>x 时，0)('>x F 恒成立，且0)0(=F ，0)(>∴x F 恒成立.所以原不等式得证. .................12分 22. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为1)2()1(22=+++y x ， .................1分cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的极坐标方程为4πθ=（∈ρR ）， .................3分圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. .................5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ+++=，得04232=++ρρ解得1ρ=-，2ρ=，|MN |=1|ρ－2|ρ， .................8分因为圆C 的半径为1，则CMN ∆的面积o 11sin 452⨯=12. .................10分（用直角坐标求解酌情给分）23. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f 21|3|)(--=，即021|3|<--x x ， .................1分 原不等式等价于x x x 2132<-<-， .................3分 解得62<<x ，不等式的解集为}62|{<<x x . .................5分 （Ⅱ）2||||)()(ax a x a x f x f +--=+-，原问题等价于2||||a x a x <--，.................6分 由三角绝对值不等式的性质，得|||)(|||||a x a x x a x =--≤-- .. (8)分 原问题等价于2||a a <，又0>a ，2a a <∴，解得1>a . .................10分。
2018年辽宁省沈阳市高三数学模拟试卷(理科)Word版含解析
2018年辽宁省沈阳市高三模拟试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|0＜x＜1}，则∁AB=（）A．（0，1）B．（0，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（）A．B．C．D．4．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，且a11=S13=13，则a9=（）A．9 B．8 C．7 D．65．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0 C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=06．在如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A．B．C．D．7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．2 C．3 D．8．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm9．我们知道：在平面内，点（x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（ ）A ．3B ．5C ．D ．10．已知，则a 9等于（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣20D ．2011．已知点A 是抛物线M ：y 2=2px （p ＞0）与圆在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ．若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，则p 为（ ）A ．B ．2C ．D ．412．函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，关于k 不等式（k ﹣2）a ﹣k ＞0有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．a ＜﹣1D ．a ≥1二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设实数x ，y 满足，则2y ﹣x 的最大值为 ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，a 2=5，则S 6= ．15．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是．16．已知四面体ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知=（sinx，cosx），=（，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求sin2x﹣6cos2x的值；（Ⅱ）若f（x）=•，求函数f（2x）的单调减区间．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．19．传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A的人数X的分布列与数学期望．20．已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当x≥1时，求证：不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=x，曲线C的参数方程为（φ是参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线=0，直线l1与曲线C的交点为A，直线l1与l2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．2018年辽宁省沈阳市高三数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.B=（）1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|0＜x＜1}，则∁AA．（0，1）B．（0，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】补集及其运算．【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出B的补集即可．【解答】解：A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|0＜x＜1}，B={x|x≥1}，∁A故选：D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数==1+i，∴复数对应的点的坐标是（1，1）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．3．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的数量积公式与夹角公式，求出cos θ与θ的值．【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]由•（+）=3可得•+=3，代入数据可得2×1×cos θ+22=3，解得cos θ=﹣，∴θ=．故选：C ．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 11=S 13=13，则a 9=（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 11=S 13=13，∴a 1+10d=13a 1+d=13，解得a 1=﹣17，d=3． 则a 9=﹣17+8×3=7． 故选：C ．5．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣2x ﹣3=0B ．x 2+y 2+4x=0C ．x 2+y 2+2x ﹣3=0D ．x 2+y 2﹣4x=0 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在x 轴的正半轴上设出圆心的坐标（a ，0）a 大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+4=0的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（a ，0）（a ＞0），由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d===r=2，解得a=2，所以圆心坐标为（2，0）则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4，化简得x2+y2﹣4x=0故选D6．在如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图转化为几何概型进行计算即可．【解答】解：程序框图对应的区域的面积为1，则“恭喜中奖！满足条件为y≤，平面区域的面积S=dx==，则能输出“恭喜中奖！”的概率为，故选：D．7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ）A ．B ．2C ．3D ．【考点】类比推理．【分析】根据正弦定理：由a 2sinC=4sinA 得ac=4，则由（a+c ）2=12+b 2得a 2+c 2﹣b 2=4，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由a 2sinC=4sinA 得ac=4，则由（a+c ）2=12+b 2得a 2+c 2﹣b 2=4，则．故选A ．8．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则10﹣r+10﹣r=10cm ，∴r=10﹣5≈3cm ．故选：A ．9．我们知道：在平面内，点（x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（ ）A ．3B ．5C ．D ．【考点】类比推理．【分析】类比点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，d==5【解答】解：类比点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P （x 0，y 0，z 0）到直线Ax+By+Cz+D=0的距离d=点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离d==5．故选B ．10．已知，则a 9等于（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣20D ．20【考点】二项式定理的应用．【分析】（1+x ）10=[2﹣（1﹣x ）]10=210﹣+…﹣+（1﹣x ）10，即可得出．【解答】解：（1+x ）10=[2﹣（1﹣x ）]10=210﹣+…﹣+（1﹣x ）10，可得a 9=﹣2=﹣20．故选：C ．11．已知点A 是抛物线M ：y 2=2px （p ＞0）与圆在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ．若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，则p 为（ ）A ．B ．2C ．D ．4【考点】圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得P．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，2），半径为a，|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点M到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，点M在A处取最小值，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点由D（0，2），F（，0），可得A（，），代入抛物线的方程可得2=2p×，解得p=2．故选：B12．函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，关于k不等式（k﹣2）a﹣k＞0有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a＜﹣1 D．a≥1【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数的图象得出k的范围，分离参数得出a＜，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．【解答】解：作出y=kx+2与y=的函数图象，如图所示：联立方程组，得kx2+2x﹣1=0（x＞0）或﹣kx2﹣2x﹣1=0（x＜0），当x＞0，令△=4+4k=0得k=﹣1，当x＜0时，令△=4﹣4k=0得k=1．∴k=±1时，直线y=kx+2与y=的函数图象相切，∵函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，∴﹣1≤k≤1．∵（k﹣2）a﹣k＞0有解，∴a＜有解，设f（k）==1+，∴f（k）在[﹣1，1]上是减函数，（k）=f（﹣1）=．∴fmax∴a．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设实数x，y满足，则2y﹣x的最大值为 5 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至A时纵截距最大，z最大．【解答】解：画出，的可行域如图：将z=2y ﹣x 变形为y=x+z 作直线y=x 将其平移至A 时，直线的纵截距最大，z 最大，由可得A （﹣1，2），z 的最大值为：5． 故答案为：5．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，a 2=5，则S 6= 722 ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】=，可得a n+1+1=3（a n +1），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴a n+1+1=3（a n +1），∴5+1=3（a 1+1），解得a 1=1．∴数列{a n +1}是等比数列，公比为3，首项为2． ∴a n +1=2×3n ﹣1，解得a n =2×3n ﹣1﹣1，则S 6=﹣6=722．故答案为：722．15．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是跑步．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论．【解答】解：由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛．故答案为跑步．16．已知四面体ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V= ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作∠CAD的平分线AE，交CD于E，作BO⊥平面ACD，交AE于O，作BM⊥AD，交AD 于M，作BF⊥AC，交AC于F，连结OM，OF，由三垂线定理得OM⊥AD，OF⊥AC，由此能求出四面体ABCD的体积．【解答】解：作∠CAD的平分线AE，交CD于E，作BO⊥平面ACD，交AE于O，作BM⊥AD，交AD于M，作BF⊥AC，交AC于F，连结OM，OF，∵四面体ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，，AC=3，AD=4，∴CD=5，由三垂线定理得OM⊥AD，OF⊥AC，∴AM=AF==，BM=BF==，OM=OF==，BO==，∴四面体ABCD的体积：V===．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知=（sinx，cosx），=（，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求sin2x﹣6cos2x的值；（Ⅱ）若f（x）=•，求函数f（2x）的单调减区间．【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据向量的平行和角的三角函数的关系即可求出答案，（Ⅱ）先求出f（x），再得到f（2x）的解析式，根据正弦函数的性质即可得到函数的单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinx，cosx），=（，﹣1），∥，∴﹣sinx=cosx，∴tanx=﹣，∴sin2x﹣6cos2x====﹣，（Ⅱ）f（x）=•=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（2x）=2sin（2x﹣），∴+2kπ≤2x﹣≤π+2kπ，k∈Z，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（2x）的单调减区间[+kπ， +kπ]，k∈Z．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z 轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos ＜，＞===， 又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．19．传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A的人数X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，即可得出该校高二年级学生获得成绩为B的人数．（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）．（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人．由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为．…则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150．…（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…且59＜60，因此该校高二年级此阶段教学未达标…（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人…则由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.10分）所以EX=0+1×+2×+3×=.10分）20．已知椭圆上的动点P 与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当OM ∥PA ，ON ∥PB 时，求△OMN 的面积． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点设P （x 0，y 0），从而可得直线PA 与PB 的斜率乘积为（Ⅱ）设方程为y=kx+m ，由两点M ，N 满足OM ∥PA ，ON ∥PB 及（Ⅰ）得直线OM ，ON 的斜率乘积为﹣，可得到m 、k 的关系，再用弦长公式及距离公式，求出△OMN 的底、高，表示：△OMN 的面积即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：设P （x 0，y 0），则．所以直线PA 与PB 的斜率乘积为．…（Ⅱ）依题直线OM ，ON 的斜率乘积为．①当直线MN 的斜率不存在时，直线OM ，ON 的斜率为，设直线OM 的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN 的面积为．②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程是y=kx+m ，由得（3k 2+2）x 2+6kmx+3m 2﹣6=0．因为M ，N 在椭圆C 上，所以△=36k 2m 2﹣4（3k 2+2）（3m 2﹣6）＞0，解得3k 2﹣m 2+2＞0．设M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），则，．=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得3k2+2=2m2…②由①②，得．综上所述，．…21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当x≥1时，求证：不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出答案（Ⅱ）f（x）﹣=f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，F′（x）=，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）原不等式等价于e x﹣1≥xlnx+1，设φ（x）=e x﹣1﹣xlnx﹣1，x≥1，利用导数求出函数的最小值大于等于0即可【解答】解：（Ⅰ）∵x＞0，f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a，f（1）=0，∴切点是（1，0），∴切线方程为y=（1﹣a）（x﹣1），（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，∴F′（x）=，①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）上递增，从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．③若a≥，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，综上所述，a的取值范围是[，+∞）．（Ⅲ）不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1等价于e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xlnx﹣a（x2﹣x）+1，等价于e x﹣1≥xlnx+1，设φ（x）=e x﹣1﹣xlnx﹣1，x≥1，∴φ′（x）=e x﹣1﹣（1+lnx），x≥1，再设m（x）=e x﹣1﹣（1+lnx），∴m′（x）=e x﹣1﹣≥0恒成立，∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴m（x）min=m（1）=1﹣1=0，∴φ′（x）≥0，在[1，+∞）上恒成立，∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增，∴φ（x）min=φ（1）=1﹣0﹣1=0，故e x﹣1≥xlnx+1，故当x≥1时，不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1成立请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=x，曲线C的参数方程为（φ是参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线=0，直线l1与曲线C的交点为A，直线l1与l2的交点为B，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据tanθ=可得直线l1极坐标．利用x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得曲线C 的极坐标方程．（2）由题意，设A（ρ1，θ1），联立方程组求解，同理，设利用直线的极坐标的几何意义求解即可．【解答】解：（1）直线l1的方程为y=x，可得：tanθ==，∴直线l1的极坐标方程为．曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=3，又∵x=ρcos θ，y=ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ﹣2ρcos θ﹣2=0（0≤θ≤π）（2）由题意，设A （ρ1，θ1），则有，解得：设B （ρ2，θ2），则有，解得： 故得|AB|=|ρ1﹣ρ2|=5．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|，（1）若关于x 的不等式f （x ）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若关于t 的一元二次方程有实根，求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用绝对值的几何意义求出|2x+1|+|2x ﹣3|的最小值，得到a 的不等式求解即可．（2）通过△≥0，得到|2m+1|+|2m ﹣3|≤8，去掉绝对值求解即可．【解答】解：（1）因为f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x ﹣3）|=4，所以|1﹣3a|＜4，即，所以实数a 的取值范围为．…（2）△=32﹣4（|2m+1|+|2m ﹣3|）≥0，即|2m+1|+|2m ﹣3|≤8，所以不等式等价于或或所以，或，或，所以实数m 的取值范围是． …。
东北三省三校2018届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题Word版含解析
东北三省三校2018届高三第一次联合模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B =I （ ） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x ≤< C ．{|11}x x -<≤ D ．{|21}x x -<≤ 【答案】B 【解析】试题分析：∵集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤{|02}x x =≤≤，∴{|01}A B x x =≤<I ， 故选：B ．考点：交集及其运算．2.=（）A ．iB ．i -C ．)i +D ．1i +【答案】A 【解析】i ==，故选：A ．考点：复数代数形式的乘除运算．3.点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．14 B ．112- C ．14或112- D ．14-或112 【答案】C 【解析】试题分析：抛物线2y ax =化为：21x y a =，它的准线方程为：14y a=-，点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，可得1|1|24a +=，解得11412a =-或．故选：C ．考点：抛物线的简单性质．4.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A ． 6 B ． 7 C ． 10 D ． 9 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得9567890S S a a a a -=+++=，∴782()0a a +=，∴780a a +=， 又10a >，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最大时，n=7，故选：B. 考点：等差数列的前n 项和．5.执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ）A ． 2012B ． 2016C ． 2014D ． 2015 【答案】A 【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求2sinsinsin 333t S πππ=+++L 的值，因为sin 3t π的取值以6为周期，且(1)(6)sinsin sin 0333k k k πππ+++++=L ， 由201233562=⨯+，所以输入的t 值是2012时，2sin sin3133S ππ=+=>， 201433564=⨯+，所以输入的t 值是2014时，2343sinsinsin sin 13333S ππππ=+++=<，201533565=⨯+，所以输入的t 值是2015时，2345sin sinsin sin sin 0133333S πππππ=++++=<， 201633566=⨯+，所以输入的t 值是2016时，2345sinsinsin sin sin sin 20133333S ππππππ=+++++=<， 故选：A ． 考点：程序框图．6.下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:P x R ∃∈，使得210x x +-<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x +->； ②p 是q 的必要不充分条件，则P ⌝是q ⌝的充分不必要条件； ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④“1m =-”是“直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的充要条件． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【答案】B 【解析】试题分析：①对于命题:P x R ∃∈，使得210x x +-<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x +-≥，因此不正确； ②p 是q 的必要不充分条件，则P ⌝是q ⌝的充分不必要条件，正确；③由于命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；④当0m =时，直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直；0m ≠时，若两条直线垂直，则3()121m m m-⨯-=--，解得1m =-，可知：“1m =-”是“直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的充分不必要条件，因此不正确．综上可得：正确命题的个数为：2． 故选：B ．考点：命题的真假判断与应用．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ． 6B ． 8C ． 10D ． 12 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB ⊥面ABC ，VE ⊥AB ，CD ⊥AB ，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积1111543103232V AB CD VE =⨯••=⨯⨯⨯⨯=，故选：C 考点：由三视图求面积、体积．8.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若||3FB d ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．[2,)+∞C ．(1,3]D ．[3,)+∞ 【答案】A考点：双曲线的简单性质． 9.不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P ∈B 的概率为（ ） A ．932 B ．732C ．916D ．716【答案】A 【解析】试题分析：分别画出点集A ，B 如图，A 对应的区域面积为4×4=16，B 对应的区域面积如图阴影部分面积为2223211119(2)(2)232x x dx x x x --+-=+-=⎰， 由几何概型公式得，在A 中任取一点P ，则P ∈B 的概率为9921632=；故选A ．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．10.设二项式1()2n x -（*n N ∈）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b +++=+++L L （ ） A ．123n -+ B ．12(21)n -+ C ．12n + D ． 1【答案】C 【解析】试题分析：由于二项式1()2n x -（*n N ∈）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则2nn a =，2nn b -=，所以1212n n a a a b b b +++=+++L L 12111212(12)2221222(12)22212n nn n n+-------+++-==-+++-L L ，故选：C ． 考点：二项式定理的应用；数列的求和．11.已知数列{a n }满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．14- D ．13-【答案】B 【解析】试题分析：数列3215334n a n n m =-++，令3215()334f x x x m =-++，（1x ≥）．'25()2f x x x =-， 由'()0f x >，解得52x >，此时函数()f x 单调递增；由'()0f x <，解得512x ≤<，此时函数()f x 单调递减．∴对于()f n 来说，最小值只能是(2)f 或(3)f 中的最小值．458(3)(2)9(5)043f f -=--->，∴(2)f 最小，∴185313m ⨯-++=，解得13m =．故选：B ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．12.已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，0x ≥，()f x =2241y x -=在第一象限的部分，渐近线方程为12y x =±；当1k =时，由ln(1)y x =--，可得'111y x==-，可得0x =，即ln(1)y x =--在0x =处的切线方程为y x =，此时函数()()F x f x kx =-有且只有1个零点，∴若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为1(,1)2，故选：C ． 考点：函数的零点与方程根的关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量,a b r r 满足||1a =r，||b =r ()(2)a b a b +⊥-r r u u r r，则向量a r 与b r 的夹角为 ．【答案】090 【解析】试题分析：因为||1a =r，||b =r ，()(2)a b a b +⊥-r r u u r r ，所以22()(2)20a b a b a a b b +•-=+•-=r r u u r r r r r r ，则220a b +•-=r r ，即0a b •=r r ，所以a b ⊥r r ，则向量a r 与b r的夹角为90°，故答案为：90°．考点：平面向量数量积的运算．14.三棱柱111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，0120ACB ∠=，CA CB ==14AA =，则这个球的表面积为 ．【答案】64π 【解析】试题分析：在ABC ∆中，0120ACB ∠=，CA CB ==6AB =，由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r =，设此圆圆心为O′，球心为O ，在'Rt OAO ∆中，得球半径4R ==，故此球的表面积为2464R ππ=．故答案为：64π． 考点：球的体积和表面积．15.某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）． 【答案】84 【解析】试题分析：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为246C =种，四个学生选这两种课共有4216=中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有241484C =种．故答案为：84．考点：排列、组合及简单计数问题．16.已知函数sin()2cos()y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线x=1对称，则sin 2ϕ= ．【答案】45- 【解析】试题分析：sin()2cos()y x x πϕπϕ=+-+)x πϕα=+-，其中sinα=，cos α=． ∵函数的图象关于直线x=1对称，∴2k ππϕαπ+-=+，即2k πϕαπ=-+，则sin 2sin 2()sin(22)2k k πϕαπαππ=-+=-+sin(2)sin 22sin cos απααα=-=-=-425=-=-，故答案为：45-.考点：两角和与差的正弦函数．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）已知△ABC 的面积为2，且满足04AB AC <•≤u u u r u u u r ，设AB u u u r 和AC u u ur 的夹角为θ．（1）求θ的取值范围； （2）求函数2()2sin ()24f πθθθ=+的取值范围．【答案】（1）[,)42ππ；（2）1[,2]2. 【解析】试题分析：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域等基础知识，属中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由数量积和三角形的面积公式可得tan θ的范围，进而可得θ的取值范围；第二问，利用倍角公式和两角和与差的正弦余弦公式，化简可得()12sin(2)3f πθθ=+-，由θ的范围和三角函数公式，结合三角函数图象可得三角函数的值域．试题解析：（1）由题意可得cos AB AC cb θ•=u u u r u u u r，∵△ABC 的面积为2，∴1sin 22bc θ=， 变形可得4sin bc θ=， ∴4cos 4cos sin tan AB AC cb θθθθ•===u u u r u u u r ， 由04AB AC <•≤u u u r u u u r ，可得404tan θ<≤，解得tan 1θ≥，又∵0θπ<<， ∴向量夹角θ的范围为[,)42ππ； （2）化简可得2()2sin ()24f πθθθ=+1cos(2)2222πθθ-+=⨯1sin 22θθ=+12sin(2)3πθ=+-∵由（1）知[,)42ππθ∈，∴22[,)363πππθ-∈-，∴1sin(2)[,1]32πθ-∈-， ∴11sin(2)[,2]32πθ+-∈，∴()f θ的取值范围为：1[,2]2考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．18.（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2， 频率分布表Ⅰ（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）33.5（岁）；（2）分布列详见解析；12EX =. 【解析】试题分析：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．第一问，利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的①②位置应填什么数，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图能统计出这500名志愿者得平均年龄；第二问，由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．试题解析：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：300.30100=．补全频率分布直方图，如图所示．平均年龄估值为：12（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）．（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，21522021(0)38CP XC===，1151522015(1)38C CP XC===，252201(2)19CP XC===，∴X的分布列为：2115110123838192EX=⨯+⨯+⨯=．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．19.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为55？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明详见解析；（2）满足条件的Q存在，是EF中点.【解析】试题分析：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，取PD中点M，连接MF、MA，通过中位线定理可得EF∥AM，利用线面平行的判定定理即得结论；第二问，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为55，计算即可．试题解析：证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴1//2MF DC==，正方形ABCD中E为AB中点，∴1//2AE DC==，∴//AE MF==，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P （0，0，2），B （0，1，0），C （1，1，0），E （0，12，0），F （12，12，1）， 由题易知平面PAD 的法向量为n r=（0，1，0）， 假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ=u u u r u u u r ，∵1(,0,1)2EF =u u u r ，∴1(,,)22Q λλ=，1(,,)22AQ λλ=u u u r ，λ∈，设平面PAQ 的法向量为(,,)x y z ∏=u u r，由10220x y z z λλ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，可得(1,,0)λ∏=-u u r ， ∴2cos ,||||1m n m n m n λ•<>==+u r ru r r u r r ，251λ=+12λ=，所以满足条件的Q 存在，是EF 中点．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．20.（12分）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，点A 2)在椭圆上，且2AF 与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求△AOB 面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2）22. 试题解析：（1）有已知：2c =，22b a =22a =24b =， 故椭圆方程为22184x y +=； （2）当AB 斜率不存在时：1222222AOB S ∆=⨯= 当AB 斜率存在时：设其方程为：22(2)(2y k x k =-≠， 由22(22)28y kx k x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得222(21)22)22)80k x k kx k +++-=， 由已知：2222216(22)8(21)[(22)4]8(22)0k k k k k ∆=-+-=>，即：22k ≠-， 2222|22||121k AB k k -+=++，O 到直线AB 的距离：221d k =+，∴214||22|221AOB S AB d k ∆==-+， ∴221[1,2)(2,)k +∈+∞U ， ∴242[2,0)(0,2)21k -∈-+U ，∴此时(0,22]AOB S ∆∈，综上所求：当AB 斜率不存在或斜率存在时：△AOB 面积取最大值为． 考点：椭圆的简单性质．21.（12分）已知a 是实常数，函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点A （0，﹣2），求实数a 的值； （2）若()f x 有两个极值点12,x x （12x x <）， ①求证：102a -<<； ②求证：211()()2f x f x >>-． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．第一问，求出()f x 的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a ；第二问，①依题意：'()0f x = 有两个不等实根12,x x （12x x <），设()ln 21g x x ax =++，求出导数，讨论当a≥0时，当a ＜0时，求得函数g （x ）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：()f x ，'()f x 变化，求得()f x 的增区间，通过导数，判断1(0,1)x ∈，设1()(ln )2h x x x x =-（0＜x ＜1），求得h （x ）的单调性，即可得证． 试题解析：（1）由已知可得，'()ln 12f x x ax =++（x ＞0），切点(1,)P a ，()f x 在x=1处的切线斜率为12k a =+，切线方程：(21)(1)y a a x -=+-， 把(0,2)-代入得：a=1；（2）证明：①依题意：'()0f x = 有两个不等实根12,x x （12x x <）， 设()ln 21g x x ax =++ 则：'1()2g x a x=+（x ＞0） 当a≥0时，有'()0g x >，所以()g x 是增函数，不符合题意； 当a ＜0时：由'()0g x =得：102x a=->，列表如下：依题意：11()ln()022g a a -=->，解得：102a -<<， 综上可得，102a -<<得证；②由①知：()f x ，'()f x 变化如下：由表可知：()f x 在上为增函数，所以：21()()f x f x > 又'(1)(1)120f g a ==+>，故1(0,1)x ∈，由（1）知：111ln 2x ax --=，211111111()ln (ln )2f x x x ax x x x =+=-（101x <<） 设1()(ln )2h x x x x =-（01x <<），则'1()ln 02h x x =<成立，所以()h x 单调递减，故：1()(1)2h x h >=-，也就是11()2f x >-,综上所证：211()()2f x f x >>-成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-1：几何证明选讲】（10分）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边上的中点，连接OD 交圆O 与点M ．（1）求证：DE 是圆O 的切线； （2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．第一问，连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线；第二问，1()2DM OD OM AC AB=-=-，从而DM•AC+DM•AB=1()()2AC AB AC AB-•+212BC=，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．试题解析：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OEE=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴1()2DM OD OM AC AB =-=-，∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）1()()2AC AB AC AB-•+221()2AC AB=-212BC=DE BC=•．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明． 23.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是312x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值． 【答案】（1）222x y x +=，3x π=+；（2）12m =±【解析】试题分析：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第一问，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程．直线L 的参数方程是3212x t m y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），把2t y =代入3x m =+消去参数t 即可得出；第二问，把3212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程：222x y x +=化为：22(33)20t m t m m ++-=，由△＞0，得13m -<<．利用12||||PA PB t t •=，即可得出．试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：222x y x +=．直线L 的参数方程是312x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 可得3x y π=+． （2）把312x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程：222x y x +=化为：22(33)20t m t m m +-+-=， 由△＞0，解得13m -<<．∴2122t t m m =-．∵12||||1PA PB t t •==， ∴221m m -=，解得12m =±．又满足△＞0． ∴实数12m =±．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 24.【选修4-5：不等式选讲】 设函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x+2|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＞0；（Ⅱ）若∃x 0∈R ，使得f （x 0）+2m 2＜4m ，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1{|3}3x x x <->或；（2）1522m -<<. 试题解析：（Ⅰ）不等式()0f x >，即|21||2|x x ->+，即2244144x x x x -+>++， 即23830x x -+>，求得它的解集为1{|3}3x x x <->或．（Ⅱ）3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=---≤<⎨⎪⎪->⎪⎩，故()f x 的最小值为15()22f =-，根据0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，可得25422m m ->-，即24850m m --<，求得1522m -<<． 考点：绝对值不等式的解法．。
辽宁省沈阳市交联体2018届高三上学期期中考试理数试题+扫描版含答案
2017-----2018学年度下学期沈阳市郊联体期中考试题高三数学理科答案考试时间120分钟 试卷总分150分一、选择题：1--5 A D D B C 6--10 D C B B C 11-12 DA二、填空题：13、2 14、π34 15、3())4g x x π=- 16、22 三、解答题： 17、（1）解：(1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n∈N *)．两式相减，得a n ＝2a n －1＋1 .……2分所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列 ……3分．因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1 .……5分(2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n .……6分所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ， ①2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1， ②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1……8分＝6＋2×－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1. ……12分18、解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下…………………………2分762.430702080)20101060(10022≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K 因为4.762 3.841>，( 3.841)0.05p k ≥=所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．……………………………………………………………………………………4分（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率.由题意知ξ的取值可能有0,1,2,3，………………………………………………5分 3~(3,)10B ξ， 003337343(0)()()1010100p C ξ==⨯=，……………………………………6分 112337441(1)()()1010100p C ξ==⨯=， ……………………………………7分 221337189(2)()()1010100p C ξ==⨯=，……………………………………8分 33033727(3)()()1010100p C ξ==⨯=，……………………………………9分从而ξ的分布列为………………………10 3()30.910E np ξ==⨯=，……………………………………………11分 37()(1)30.631010D np p ξ=-=⨯⨯=………………………………12分19、解：（Ⅰ）取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥．因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．O DO EO =所以⊥AB 平面EOD ． 所以 ED AB ⊥．……3分（Ⅱ）因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥． 由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O - ……………4分因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -． 所以 )1,1,1(-=，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD = ．…………5分设直线EC与平面ABE 所成的角为θ，所以||sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉== ， 即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦．…7分（Ⅲ）存在点F ，且13EF EA =时，有EC // 平面FBD ．…………8分证明如下：由)31,0,31(--==EF ，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=FB ． 设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ v v 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ……………10分．因为 ⋅v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC // 平面FBD ．…………12分 注意：其它方法酌情给分，如（Ⅲ）中设)10(≤≤=λλEA EF 求出平面FBD 的法向量得2分，解出λ得2分，总结得1分 。
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两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，
即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an=2，…3分
∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=﹣1（舍）或a1=3，
∴曲线E是以坐标原点为中心，C（﹣1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2 的椭圆．…2分
设曲线E的方程为 =1，（a＞b＞0）．
∵c=1，a= ，∴b2=2﹣1=1．
∴曲线E的方程为 ．…4分
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立 消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．
∴PC2+BC2=PB2．∴PC⊥BC．
同理PC⊥DC．∴PC⊥面ABCD．…1分
如图以点C为原点，CD，CB，CP，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，1，0），B（0，1，0），D（1，0，0），P（0，0，2）
∴ ．
设E（0，0，a），则 ，
∵ ，∴DB⊥AE．…3分
（Ⅱ） ， ．
∴△MON面积的最大值为 ．…12分
21、（本小题满分12分）
解：（1）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，
则f′（x）=﹣ +1．
令f'（x）=0，得x=0．…2分
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1，f（x）的最小值为1．…4分
（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0（*）
令g（x）=ex+ax+ln（x+1）﹣1，则 …5分
①若a≥﹣2，由（1）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，…6分
故ex≥1+x
∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0．
∴（*）式成立．…8分
由图可知β为钝角，二面角D﹣AE﹣B的大小为 ．…12分
19、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，
则 ，
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为
；…3分
（Ⅱ）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2；
则. ，
，
；…6分
从而X的分布列为：
②若a＜﹣2，令 ，则
∴函数ϕ（x）在区间[0，+∞）上单调递增，由于φ(0)＝2＋a<0， ．
故∃x0∈（0，﹣a），使得φ(x0)＝0…10分
则当0<x<x0时，φ(x)<φ(x0)＝0，即g′(x)<0
∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减，
∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．
1 0、B 11、C 12、B
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.)
13、___252x5___.14、__ ___15、[ ，4]_16、 ___
三、解答题：（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）
17、（本小题满分12分）
所以圆心坐标为（1，1），半径r=2，…2分
∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣2=0．…5分
（2）将 （t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=4，
即t2+2t（cosα+sinα）﹣2=0．
∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣2．…7分
∴ ．…8分
∵ ，∴ ，
则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，
∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：…4分
∴ ，…5分
∴ ．
…（7分）
（Ⅱ）∵tTn＜an+11，即 ，
∴ ，…9分
又 ≥6，当且仅当n=3时，等号成立，
∴ ≥162，…11分
∴t＜162．…12分
18、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵在△PBC中，PB= ，PC=2，BC=1，
X
0
1
2
p
…7分
数学期望为 ；…8分
（Ⅲ）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名，
相应的频率为 ，
由题意知，Y～ ；…10分
所以事件“Y≥2”的概率为
．…12分
20、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．
又|CP|=|CQ|+|QP|=2 ，∴|CQ|+|QA|=2 ＞|CA|=2．
2017-----2018学年度下学期沈阳市郊联体第一次模拟考试题
高三数学（理科）答案
考试时间120分钟试卷总分150分
命题人：沈阳市第八十三中学兰义兴
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1、B 2、D 3、D 4、B 5、A 6、A 7、C 8、C 9、A
设平面DBE的法向量
由 ，可取 ．
∵PA∥面BDE，∴ ，即 ，解得a=1．…5分
∴ ，
设直线AE与平面BDE所成角的为θ
sinθ=|cos＜ ＞|= ．
直线AE与平面BDE所成角的正弦值为 ．．…8分
（Ⅲ） ， ， ．
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为 ，
由 ，可取 ，
同理可得 ．…10分
设二面角D﹣AE﹣B的大小为β，|cosβ|= ，…11分
综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22、（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
解：（1）∵点 的直角坐标为（1，﹣1），射线的方程为y=x（x＞0），
此时有△=16k2﹣8m2+8＞0．
由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2= ，x1x2= ，．…5分
∴|MN|= = …7分
∵原点O到直线l的距离d= ﹣，…8分
∴S△MON= = ． ，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．
又m≠0，…9分
∴据基本不等式，得S△MON= ． ≤ = ，…11分
当且仅当m2= 时，不等式取等号．