高中数学北师大版必修4《平面向量应用举例》word导学案
北师大版必修四《平面向量应用举例》word教案
2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O为ABC重心,则OA+OB+OC=0（2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
高中数学必修四《平面向量应用举例》导学案
2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例课标要求:1.经历用向量方法解决某些简单平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程.2.在处理几何、物理等问题时体会向量的工具性,提高运算能力和解决实际问题的能力.3.掌握用向量方法解决实际问题的基本方法,向量方法解决几何问题的“三步曲”自主学习 构建知识¡¤探究疑惑【情境导学】 1.(教学备用)平面四边形ABCD 中,①若AB =DC ,则四边形ABCD 是平行四边形. ②若AB =DC 且AC ·BD =0,则四边形ABCD 是菱形. ③若AB =DC 且|AB +AD |=|AB -AD |,则四边形ABCD 是矩形.以上三个向量问题都是判定特殊四边形的重要方法.2.如图所示,在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|,|F 2|随θ角的变化而变化的情况;(2)当|F 1|≤2|G|时,求θ角的取值范围.答案:(1)F 2越大θ越大,同时为使|F 1+F 2|≥|G|,F 1也要变大.(2)|F 1|≤2|G|⇔1||||G F ≥12,cos θ≥12⇔0≤θ≤π3. 知识探究1.向量在平面几何中的应用(1)证明线线平行问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a ∥b(b≠0)⇔a=λb ⇔ .(2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:a ⊥b ⇔ ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. (3)求夹角问题,常常利用向量的夹角公式cos θ=||||a ba b ⋅=121222221122x x y y x y x y +++.(4)求线段的长度或证明线段相等,可以先转化为两向量的数量积,再利用向量的线性运算转化求解,若已知坐标可以利用|a|=22x y +求解.探究1:向量方法可解决平面几何中的哪些问题?提示:直线的平行、垂直及三点共线的证明问题;两点的距离(线段长度)、夹角的计算问题等.2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”3.向量在物理学中的应用(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法,其运算法则就是向量的三角形法则和平行四边形法则.探究2:在物理学中,你知道哪些知识与向量的线性运算有关系?提示:力、速度、加速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减运算.自我检测1.(平面几何中的向量方法)已知A,B,C,D 四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为( )(A)梯形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形2.(向量在物理中的应用)若向量1OF =(2,2),2OF =(-2,3)分别表示两个力F 1,F 2,则|F 1+F 2|为( )(A)(0,5) (B)(4,-1) (C)22 (D)53.(平面解析几何中的向量方法)已知直线l:mx+2y+6=0,向量(1-m,1)与l 平行,则实数m= .答案:-1或24.(用向量求解速度问题)河水从东向西流,流速为2 km/h,一艘船以23km/h 的速度垂直于水流方向向北横渡,则船实际航行的速度的大小是 km/h. 答案:4 课堂探究 剖析典例¡¤总结规律 题型一向量在平面几何中的应用 【例1】设P,Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点,试用向量证明:PQ ∥AB.证明:设DC =λAB (λ>0),因为PQ =AQ -AP =AB +BQ -AP=AB +12(BD -AC )=AB +12[(AD -AB )-(AD +DC )]=AB +12(CD -AB )=12(CD +AB )=12(-λ+1)AB ,所以PQ ∥AB ,又P,Q,A,B 四点不共线,所以PQ ∥AB.变式探究:在本例条件下,若AB=3CD,试求PQ AB 的值. 解:因为AB=3CD,所以λ=13.又PQ =12（-13+1）AB ,所以PQ =13AB ,所以PQ AB =13. 方法技巧 用向量法解平面几何问题的思路(1)用向量法证明平面几何问题需要首先选好一组基底,把各线段上的向量用这组基底表示.(2)要求某线段的长,需要先求相应向量的平方,再开方.(3)要证线段长相等,可统一到一组基底表示线段上的向量,再求模证明长度相等.(4)在平面几何问题中,常建系用向量的坐标计算求解. 即时训练1-1:在四边形ABCD 中,AC =(1,2),BD =(-4,2),则该四边形的面积为( )(A)5 (B)25 (C)5 (D)10解析:因为AC ·BD =(1,2)·(-4,2)=1×(-4)+2×2=0,所以AC ⊥BD ,且|AC |=2212+=5,|BD |=22(4)2-+=25, 所以S 四边形ABCD =12|AC ||BD |=12×5×25=5.故选C.【备用例题】 已知点A(2,-1).求过点A 与向量a=(5,1)平行的直线方程.解:设所求直线上任意一点P(x,y),则AP =(x-2,y+1).由题意知AP ∥a,故5(y+1)-(x-2)=0,即x-5y-7=0. 故过点A 与向量a=(5,1)平行的直线方程为x-5y-7=0.题型二 和向量的应用【例2】 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20 km/h,此时水的流向是正东,流速为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.解:建立如图所示的直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度为|v 1|=20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v 2|=20(km/h),该帆船行驶的速度为v,则v=v 1+v 2.由题意,可得向量v 1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,103),向量v 2=(20,0),则帆船的行驶速度v=v 1+v 2=(10,103)+(20,0)=(30,103),所以|v|=2230(103)+=203(km/h).因为tan α=10330=33(α为v 和v 2的夹角,α为锐角),所以α=30°.所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为203km/h.方法技巧 利用向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题的向量,转化为数学问题;(2)建立以向量为主体的数学模型;(3)利用向量的线性运算或数量积运算,求解数学模型;(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.即时训练2-1:用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为 .解析:如图,由题意得|OA |=|OB |,∠AOB=120°,|OG |=10 N,以OA,OB 为邻边作平行四边形OACB,则四边形OACB 为菱形且∠CAO=60°, OC =OA +OB ,|OC |=|OG |=10 N,所以|OA |=|OB |=10 N. 答案:10 N 题型三用向量解答做功问题【例3】 (10分)已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20 m.问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少?(g=10 m/s 2)规范解答:如图所示,设木块的位移为s,则W F =F·s=|F||s|cos 30°=50×20×32=5003(J).………2分将力F 分解,它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|=|F|sin 30°=50×12=25 (N),………4分所以摩擦力f 的大小为|f|=|μ(G -F 1)|=(80-25)×0.02=1.1 (N),……………6分因此W f =f·s=|f||s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22 (J).……………8分即F 和f 所做的功分别为5003J 和-22 J.……10分方法技巧 物理中力F 所做功W 问题常运用向量的数量积解决.即时训练3-1: 如图所示,一力作用在小车上,其中力F 的大小为10牛,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米,则力F 做的功为( )(A)100焦耳 (B)50焦耳 (C)503焦耳 (D)200焦耳解析:设小车位移为s,则|s|=10米,W F =F·s=|F||s|·cos 60°=10×10×12=50(焦耳).故选B.。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的数量积
r r o 1.已知a, b均为单位向量，它们的夹角为60 , r r 求|a + 3b |= r r r r r r 2.已知a, b满足：a |= 1，b |= 2,| a − b |= 2, | | r r 求|a + b |= uuu r 3.已知平面上三点A, B, C满足：AB |= 2， | uuu r uuu r | BC |= 1,| CA |= 3, uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r 求 AB ⋅ BC + BC ⋅ CA + CA ⋅ AB = r r r r r 4.已知非零向量a, b满足 : (a − 2b) ⊥ a, r r r r r (b − 2a ) ⊥ b, 求a, b的夹角 =
重要性质: 重要性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 ， 位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e·a=a·e = |a| cosθ （2）a⊥b a·b=0 （3）当a与b同向时，a·b=|a||b| 当a与b反向时，a·b=－|a| |b| 特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。 （4）cosθ= a·b |a||b|
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
r r 即： 0 = 0 a⋅
复 习 引 入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b.
解：a·b=|a||b|cosθ
=5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10.
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
复 习 引 入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾 例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°， r r 则， b上的投影为 a在 r r b在a上的投影为
北师大版高一数学必修4第二章第四节平面向量基本定理说课课件
平面向量的基本定理
5
3、重点和难点
（1）重点 1、对平面向量基本定理的探究； 2、利用平面向量基本定理进行向量的分解。
（2）难点 平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解。
1、教学方法
以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的 模式，展开所要学习的数学主题，突出探索式学习方 式。
2、教学手段
利用多媒体等手段，通过观察、建模、合作与交流 等数学活动，进行探究性学习。
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平面向量的基本定理
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A
» 例题练习、变式演练
B
D
C
图1
(1)如图1，D 是ABC 中BC边的中点，AB a，
AC b，试用 a 、b 表示 AD 。
（2）如图2，如果点 F 在线段 AD上，且
AF 2 FD，试用 a 、b 表示 AF。
（3）如图3，如果点 E 是线段 BD的中点，
（3）情感、态度与价值观目标
1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生 不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意 识；
2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般 的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研 精神和科学态度；
3、培养学生“理论来源于实践并应用于实践”的辩 证思想。
2021/4/18
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平面向量的基本定理
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» 创设情境、提出问题
问题1 如果 e1 和 e2 是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一
平面内的任一向量，那么 种关系？
a
与
e1
、e2
之间有关系吗？怎样探求这
给出四种不同形式的向量位置，学生分组探讨三者之间关系， 教师利用几何画板演示学生成果，形成定理：
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从力、速度、位移到向量
A（起点） A（起点）
有向线段的三个要素：起点、方向、 有向线段的三个要素：起点、方向、长度
1、向量的几何表示：用有向线段表示。 、向量的几何表示：用有向线段表示。 向量AB的大小，也就是向量 的 向量 的大小，也就是向量AB的长度 的大小 或称模），记作 记作|AB|。 （或称模），记作 。 长度为0的向量叫做零向量，记作0。 长度为0的向量叫做零向量，记作0。 的向量叫做零向量 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。 长度等于 个单位的向量，叫做单位向量。 个单位的向量 单位向量
规定：0与任一向量平行。 与任一向量平行。 规定： 与任一向量平行 C OA = a A B l
. o
OB = b
OC = c
的向量的起点平移到直线l上的 问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线 上的 把一组平行于直线 的向量的起点平移到直线 一点O 这时它们是不是平行向量？ 一点 ，这时它们是不是平行向量？ 各向量的终点与直线l之间有什么关系 之间有什么关系？ 各向量的终点与直线 之间有什么关系？
D C
) D. 3
C D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c ，
A B B
时成立。 当b ≠ 0时成立。 时成立
A
3.某人从 点出发向东走了 米到达 点，然后改变方向 某人从A点出发向东走了 米到达B点 某人从 点出发向东走了5米到达 米到达C点 到达C点后 点后又 按东北方向走了10 2米到达 点，到达 点后又改变方 向西走了10米到达 米到达D点 向向西走了 米到达 点（1）作出向量 ）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模 的模
1.判断下列命题是否正确，若不正确， 1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 判断下列命题是否正确 简述理由. 简述理由. v uuuv uuu 是共线向量， ①向量 AB 与 CD是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上； 四点必在一直线上； (×) × ②单位向量都相等； 单位向量都相等；
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：2.3.2 平面向量基本定理 Word版含答案
3．2 平面对量基本定理明目标、知重点 1.理解平面对量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面对量基本定理解决有关平面对量的综合问题．平面对量基本定理(1)定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底．[情境导学] 在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？探究点一 平面对量基本定理的提出思考1 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答 通过观看，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.思考2 依据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？答 若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.思考3 上述定理称为平面对量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？平面对量的基底唯一吗？答 同一平面内可以作基底的向量有很多组，不同基底对应向量a 的表示式不相同．不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解 ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4.解得x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何学问．要留意将平面几何学问中的性质、结论与向量学问有机结合，具体问题具体分析解决．跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. 解 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，①AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b ，②由①②得⎩⎨⎧12a ＋b ＝c ，a ＋12b ＝d ，解得⎩⎨⎧a ＝－23c ＋43d ，b ＝43c －23d ，即AB →＝－23c ＋43d ，AD →＝43c －23d .探究点二 平面对量基本定理的证明及应用 (1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系．答 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a ，过点C 分别作平行于OB ，OA 的直线，交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，有OM →＝λ1OA →，ON →＝λ2OB →，∵OC →＝OM →＋ON →，∴a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．假如e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法) 答 假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a ＝λ′1e 1＋λ′2e 2成立，则λ′1e 1＋λ′2e 2＝λ1e 1＋λ2e 2. ∴(λ′1－λ1)e 1＋(λ′2－λ2)e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0， ∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a ＝λ1e 1＋λ2e 2成立的实数对λ1，λ2是唯一的．例2 如图，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a 、b 表示OM →，ON →，MN →.解 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →.∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先认真观看所给图形．借助于平面几何学问和共线向量定理，结合平面对量基本定理解决．跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →. 解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .例3 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b 为基底表示OM →. 解 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b由于A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，由于C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .反思与感悟 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，留意方程思想的应用； (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应依据条件机敏应用，娴熟把握． 跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意，得A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.1．假如e 1、e 2是平面α内全部向量的一组基底，那么下列命题正确的是( ) A ．若实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．对空间任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不愿定在平面α内，λ1、λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有很多对 答案 A解析 A 正确，B 错，这样的a 只能与e 1、e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；C 错，在平面α内任一向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2确定在平面α内；D 错，这样的λ1、λ2是唯一的，而不是有很多对．2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内全部向量的一组基底的序号是______．(写出全部满足条件的序号) 答案 ①②④解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．3.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →. 解 连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC → ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . [呈重点、现规律] 1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内全部向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．精确 理解平面对量基本定理(1)平面对量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面对量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础过关1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面对量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2答案 D2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面全部向量的基底；②一个平面内有很多多对不共线向量可作为该平面全部向量的基底；③零向量不行作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③答案 B3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B4．在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( ) A ．1 B.12C.14D.18 答案 C解析 AN →＝12()AD →＋AE →＝12⎝⎛⎭⎫14AB →＋14AC → ＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，即x ＋y ＝18＋18＝14. 5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________(用a ，b 表示)．答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 7.如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →. 解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .二、力气提升8．已知M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD →答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9.如图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________. 答案 34a ＋34b解析 AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12×12DB →＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b .10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，假如E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，假如O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .12.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明 设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →， 又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →， ∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线．∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展13.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值． 解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例课堂导学案 北师大版必修4
2.7 向量应用举例课堂导学三点剖析1.用向量解决简单的几何问题【例1】 如右图平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决. 解：设AD =a ,AB =b ,则BD =a -b ,AC =a +b . 而|BD |=|a -b |=b a b a b b a a •-=•-+=+•-25241||2||22,∴|BD |2=5-2a ·b =4.① 又|AC |2=|ab |2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=1+4+2a ·b .由①得2a ·b =1，∴|AC |2=6，∴|AC |=6，即AC=6. 友情提示在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.各个击破类题演练 1已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M 、N 分别是AB 、AC 的中点,D 是BC 的中点,MN 与AD 交于F,求DF .解析：∵A(7,8),B(3,5),C(4,3)，∴AB =(3-7,5-8)=(-4,-3),AC =(4-7,3-8)=(-3,-5).又∵D 是BC 的中点,∴AD =21(AB +AC )=(-3.5,-4).又M 、N 分别是AB 、AC 的中点,∴F 为AD 的中点.∴DF =-21AD =(1.75,2). 变式提升 1如右图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足OE =OA +OB +OC ,求证：AE ⊥BC .∵BC =OC -OB ， AE =OE -OA =（OA +OB +OC ）-OA =OB +OC ，∴AE ·BC =（OC -OB ）·（OC +OB ）=|OC |2-|OB |2. ∵O 为外心，∴|OC |=|OB |，即AE ·BC =0，AE ⊥BC .2.用向量解决物理问题【例2】 一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释.思路分析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,建立数学模型： |F 1|=)cos 1(2||θ+G ,θ∈［0,π］来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.解：设小孩的体重为G ,两胳膊受力分别为F 1、F 2,且F 1=F 2,两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如右图(不计其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F 1|=)cos 1(2||θ+G ,θ∈［0,π］,当θ=0时,|F 1|=2||G ；当θ=32π时,|F 1|=|G |；又θ∈(0,π)时,|F 1|单调递增,故当θ∈(0,32π)时,F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈(32π,π)时,|F 1|＞|G |.此时,欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.友情提示在解决力的合成、力的分解问题，一般是利用向量的平行四边形法则解决.类题演练 2在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如下图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解析：作OACB （左上图），使∠AOC=30°，∠BOC=60°.在△OAC 中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，||=||cos30°=3150(N),||=||sin30°=150(N),|OB|=|AC|=150(N).150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是3N.变式提升 2如右图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.解析：如右图，物体受三个力：重力w,支持力p,摩擦力f.由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0.①由①，得w+p+f=(mgcosα,mgsinα)+(-p,0)+(0,-f)=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).故mgsinα-f=0,f=mgsinα.3.在实际问题中怎样用向量【例3】已知两恒力F1(3,4)、F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.思路分析：本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F·s公式即可.解：AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1·AB=（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦)W2=F2·AB=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦)（2）W=F·AB=（F1+F2）·AB=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).友情提示力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.本题最易弄错符号，特别是当力与位移夹角为钝角时.类题演练 3如右图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.解析：设f 1=(a 1,a 2),f 2=(b 1,b 2),则a 1=300cos30°=259.8,a 2=300sin30°=150,b 1=-200cos45°=-141.4,b 2=200sin45°=141.4,∴f 1=(259.8,150),f 2=(-141.4,141.4)f =f 1+f 2=（259.8,150）+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),|f |=22)4.291()4.118( =314.5.设f 与x 轴的正向夹角为θ，则 tanθ=4.1184.291=2.461 1. 由f 的坐标知θ是第一象限的角，∴θ=67°53′.答：两个力的合力是314.5 N,与x 轴的正方向的夹角为67°53′，与y 轴的夹角为22°7′. 变式提升 3已知一物体在共点力F 1=（lg2,lg2）,F 2=(lg5,lg2)的作用下产生位移s =(2lg5,1),则共点力对物体做的功W 为（ ）A.lg2B.lg5C.1D.2解析：合力F 1+F 2=（lg2,lg2）+(lg5,lg2)=(1,lg4).W =F ·s =(1,lg4)·（2lg5,1）=lg25+lg4=2.答案：D。
高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)
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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。
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2015高中数学北师大版必修4《平面向量应用举例》w o r d导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第8课时平面向量应用举例1.能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.2.会用向量知识解决一些物理问题.向量概念有明确的物理背景和几何背景,物理背景是力、速度、加速度等,几何背景是有向线段,可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的,正因为如此,利用向量可以解决一些物理和几何问题,在平面几何中,平行四边形是大家熟悉的重要的几何图形,而在物理中,受力分析则是其中最基础的知识,那么在本节的学习中,借助同学们非常熟悉的内容来学习向量在几何与物理问题中的应用.问题1:利用向量法解决几何问题的一般步骤如何?向量法解决几何问题的“三步曲”.(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,把平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.问题2:向量法可以解决几何中的哪些问题?平面几何中的距离(线段长度)、夹角、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积运算求得.问题3:向量在物理中的应用,其步骤如何?(1)建模:把物理问题转化为问题;(2)解模:解答得到的数学问题;(3)回答:利用解得的数学答案解释现象.问题4:如何应用向量知识解决力学问题和速度问题?应用向量知识解决力学问题,首先要对物体进行正确的分析,画出受力分析图形,在此基础上转化为向量问题;应用向量知识解决速度问题,首先要对物体运动的速度进行合理的合成与,结合运动学原理,转化为数学问题.1.已知点O为三角形ABC所在平面内一点,若++=0,则点O是三角形ABC的().A.重心B.垂心C.内心D.外心2.如图所示,用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10 N,则每根绳子的拉力大小是().A.5 NB.5 NC.10 ND.10 N3.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|=.4.求证:平行四边形对角线互相平分.利用向量证明线段垂直在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,D是BC的中点,E是AB上的点,且AE=2BE,求证:AD⊥CE.利用向量证明长度相等如图,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量法证明PA=EF.向量在物理中的应用如图所示,重力为300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PFCE是矩形,求证:PA⊥EF.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.1.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有().A.a⊥bB.a∥bC.|a|=|b|D.|a|≠|b|2.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形的形状为().A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形3.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y,则x=,y=.4.一轮船欲横渡某条江,到达起始点的正对面岸边,已知江水流速为3 km/h,船的静水速度为6 km/h.(1)求轮船的航行方向;(2)若江面宽 2 km,求轮船到达对岸所需要的时间.(2010年·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.考题变式(我来改编):答案第8课时平面向量应用举例知识体系梳理问题3:(1)数学(3)物理问题4:受力分解基础学习交流1.A设AB的中点为D,由已知得=-(+)=-2,即||=2||,故点O 是三角形ABC的重心.2.D如图,两力相等,夹角为120°,以两力所在向量为边作平行四边形ABCD,则可得它是有一内角为60°的菱形,合力与灯具的重量大小相等、方向相反,故每根绳子的拉力为10 N.3.5∵F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),∴|F1+F2|==5.4.解:在平行四边形ABCD中,M为对角线AC与BD的交点.设=x,=y(x,y∈R),∵=+,∴=x+x.又=+=+y=+y(-)=(1-y)+y.∵与不共线,由平面向量基本定理知,解得∴=,=.故点M为AC、BD的中点,即平行四边形对角线互相平分.重点难点探究探究一:【解析】(法一)(基向量的方法)·=(+)·(+)=(-)·(+-)=(-)·(+)=-·-.∵BC⊥CA,∴·=0,又BC=CA,∴||=||,∴·=(||2-||2)=0,∴⊥,即AD⊥CE.(法二)(坐标的方法)以CA、CB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设||=||=a,∴A(a,0),B(0,a),E(,),D(0,),∴=(,),=(-a,).∴·=-+×=-+=0,∴⊥,即AD⊥CE.【小结】使用向量方法证明平面几何问题时,就是要把平面几何中的问题用向量的知识来表达,如证明两条线段垂直,就是证明这两条线段所表示向量的数量积等于零,证明两条直线平行可以使用共线向量定理等.在使用向量知识时,既可以使用基向量的方法,也可以使用坐标的方法.探究二:【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,||=λ(0<λ<),则A(0,1),P(λ,λ),E(1,λ),F(λ,0),∴=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ),∴||==,||==,∴||=||,∴PA=EF.【小结】用向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,并利用向量的数量积和公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入向量的模的公式即可.探究三:【解析】如图,作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,所以||=||cos 30°=300×=150(N),||=||sin 30°=300×=150(N),||=||=150(N).即与铅垂线成30°的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°的绳子的拉力是150 N.【小结】力是向量,几个分力形成的合力符合向量加法的平行四边形法则,在解决与力有关的问题时要注意力的合成与分解.思维拓展应用应用一:(法一)(基向量的方法)设=a,=b,根据已知|a|=|b|且a·b=0.设=λa,则=λ=λ(a+b),=λb,所以=-=λa-(a+λb)=(λ-1)a-λb,=-=λ(a+b)-b=λa+(λ-1)b.所以·=[λa+(λ-1)b]·[(λ-1)a-λb]=(λ2-λ)a2-(λ2-λ)b2=0.所以PA⊥EF.(法二)(坐标的方法)以点D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,||=λ(0<λ<),则A(0,1),P(λ,λ),E(1,λ),F(λ,0),于是=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ),∵·=(-λ)·(λ-1)+(1-λ)·(-λ)=-λ·(λ-1+1-λ)=-λ×0=0.∴PA⊥EF.应用二:设=a,=b,则=a+b.由与共线,因此存在实数m,使得=m(a+b).又由与共线,因此存在实数n,使得=n=n(b-a).由=+=+n,得m(a+b)=a+n(b-a).整理得(m+n-1)a+(m-n)b=0.由于向量a、b不共线,所以有解得所以=.同理=.于是=.所以AR=RT=TC.应用三:=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),(1)W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=-99,W 2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=-3.(2)W=F·=(F1+F2)·=(9,-1)·(-13,-15)=-102.基础智能检测1.A f(x)=(x a+b)·(a-x b)=-a·b x2+(|a|2-|b|2)x+a·b,若函数f(x)的图象是一条直线,即其二次项系数为0,∴a·b=0,∴a⊥b.2.B∵+=0,∴=,∴四边形ABCD为平行四边形,∵·=0,∴⊥,∴对角线垂直,∴四边形为菱形.3.作DF⊥AB,设AB=AC=1⇒BC=DE=,∵∠DEB=60°,∴BD=.由∠DBF=45°解得DF=BF=×=,故x=1+,y=.4.解:(1)设江水、船在静水中的速度向量分别为、,如图,以OA、OB为边作平行四边形,则由平行四边形法则知船的横渡江的速度向量为.∵⊥,∴sin∠BOC===,∴∠BOC=30°,∴∠AOB=120°,即轮船的航行方向与江水流速的方向成120°角.(2)由(1)知轮船速度向量为,且||=||cos ∠BOC=6×cos 30°=3,则所求轮船到达对岸所需的时间t== h.全新视角拓展(1)|BC|==4.线段BC的中点坐标为E(0,1).∴2|AE|=2=2.以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长为4,2.(2)=(-2,-1),=(3,5).∵(-t)·=·-t,易求·=-11,=5,由(-t)·=0,得t=-.。