北师大版九年级上册数学 《应用一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件
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北师大版九年级上册2.6应用一元二次方程(1)课件(共22张PPT)
x +(21−x) =15 ， 解:设乔治得到x元，则少的一笔钱为(20−x)元.
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
x1
100 ， 49
x2 0
探究
10x 4.9x2 0
如果a·b=0，那么 a=0或b=0。
因式分解
x 10 4.9x 0
两个因式乘积为0，说明什么 降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
（2）3x(x 2) 5(x 2)
（3）x2－4=0 （4）(3x＋1)2－5=0
（1）2x2－4x＋2=0 解：因式分解，得 2 (x－1) =0
x－1=0 或 2x－1=0
∴x1= x2=1
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（2） 3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得 3x(x 2) 5(x 2) 0
因式分解，得 (x 2) (3x 5) 0
x＋2=0 或 3x－5=0
∴x1=－2，
5
x2=
3
（3）x2－4=0
解：因式分解，得 (x＋2) (x－2) =0
x＋2=0 或 x－2=0
∴x1=－2， x2=2
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
北师大版九年级上册数学《应用一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件(第2课时)
B.168(1-x)2=128
C.168(1-2x)=128
D.168(1-x2)=128
强化训练
3.某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税
的年平均增长率为x,根据题意，可得方程 40(1+x)2=48.4 .
4.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、
下面我们就通过解题来说明这个问题.
知识讲解
解：甲种贺年卡：设每张贺年卡应降价x元，
100 x
(0.3 x)(500
) 120，解得x1=0.1；x2=-0.3（不符题意，舍去）.
0.1
乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，
3
y
(
y )(200 136 y ) 120，
(0.75 y )(200
走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远?
解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得
(7x -
10)2 =
2
(3x) +10
2.
2x2 - 7x = 0.
A
10
解方程,得 x1=3.5, x2=0 (不合题意,舍去).
B
整理得
∴3x=3×3.5 =10.5 ,
7x = 7×3.5 = 24.5.
九年级数学北师版·上册
第二章一元二次方程
应用一元二次方程
第2课时
新课引入
1.商品的进价、售价、利润之间有怎样的关系？
售价=进价+利润
2.什么是平均增长率？什么是平均降低率？
在某个数据的基础上连续增长（降低）得到新的数据，
增长（降低）的百分率就是平均增长（减低）率
北师大版初中九年级上册数学课件 《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件
(2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(1)根据题意列方程。 (2)x可能小于0吗？说出理由. (3)x可能大于15吗？说出理由. (4)能否想一个办法求得长方形的长x?
x
15-x
x
1
2
3
4
5
6
7
x2 -15x+54
40
28
18
10
4
0
解：如果设花边的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：
(8-2x)
(5-2x)
(8-2x)(5 -2x) = 18.
整理, 得
8m
10m
解:设梯子底端滑动x米,则由题意可得方程：
问题2 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
当a=2，b≠0时是一元一次方程；
3、 关于x的方程ax2 -2bx＋a＝2x2 , 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
变式练习(1): (k+3)x|k|-1 -5x＋6＝0 是关于x的一元二次方程, 则k= .
变式练习(2):关于x的一元二次方程(m-1)x2 +5x＋m2-1＝0 的常数项是0, 则m= .
一元二次方程
没有未知数，不是方程
不是等式，不是方程
一元一次方程
二元一次方程
不是等式，不是方程
(1)2＋3＝5 (2)3x＋2 (3)5x＋3＝18 (4)x-2y＝5
一元一次方程、二元一次方程、分式方程
分式方程
北师大版九年级数学上册《一元二次方程——应用一元二次方程》教学PPT课件(2篇)
3. 如图，Rt△ ABC 中，AB＝6，BC＝8.点 P 从点 A 出发， 以 1 个单位/秒的速度向点 B 移动，同时，点 Q 从点 B 出发， 以 2 个单位/秒的速度向点 C 移动，运动 11 秒后，△ PBQ 的 面积为 5 个平方单位．
4. 一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警 报，台风中心正以 40 海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里 的圆形区域(包括边界)都属于台风区域，当轮船到 A 处时测得台风中心移 到位于点 A 正南方的 B 处，且 AB＝100 海里．若这艘轮船自 A 处按原速
A. 10
B. 12
C. 13
D. 20
4. 某鸡场有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有 169 只鸡患了禽流感，那么每轮传染中，平均一只鸡传染的 只数是 1122 ．
5. 水果店老板以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每 斤 4 元的价格出售，每天可售出 100 斤，通过调查发现，这种水果每 斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤，为保证每天至少售出 260 斤，老板决定降价出售．
(二)预习反馈
1. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 460 元降为
215 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每
次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是( B )
A. 460(1＋x)2＝215
B. 460(1－x)2＝215
C. 460(1－2x)2＝215
D. 460(1－x2)＝215
解：设该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率是 x. 根据题意得 2 500＋2 500(1＋x)＋2 500(1＋x)2＝9 100， 解得 x1＝0.2，x2＝－3.2(不合题意，舍去)． 因此，该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率是 20%.
北师大版九年级上册数学《用公式法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件
（3） ( x - 2 ) ( 3x - 5 ) = 1 ；（4） 0.2x2 + 5 =
3 2
x
；
解：（3）将方程化为一般形式，得 3x2-11x+9=0
a = 3，b = -11，c = 9.
∵ b2 - 4ac = (-11)2 - 4×3×9= 13 > 0，
∴
x
(11) 23
13 11 13 ，
7. 长方体木箱的高是 8 dm，长比宽多 5 dm，体积是 528 dm3，求这个木箱的长和宽.【选自教材
解: 设这个木箱的宽是 x dm． x(5＋x)×8＝528，解得 x1＝－11 (舍去)，x2＝6． 所以，这个木箱的宽是 6 dm，长是 11 dm．
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
a = 2，b = -15，c = 50.
∵ b2 - 4ac = (-15)2 - 4×2×50= -175 < 0，
∴ 方程没有实数根.
6. 《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广
六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”
大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对
探究新知
用配方法解方程：ax2+bx+c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0） 方程两边都除以 a，得 x2 b x + c 0
aa
配方，得 x2 b x + ( b )2 ( b )2 + c 0
a 2a 2a a
移项，得
(x
+
b 2a
)2
b2 4ac 4a 2
0
(x
+
b )2 2a
北师大版九年级数学上册课件：2.6 应用一元二次方程(二) (共13张PPT)
答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
练一练:
某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销 售定价为52元时，可售出180个．定价每增加1元，销售量净减 少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响， 每批次进货个数不得超过180个．商店若将准备获利2000元，则 应进货多少个？定价多少元？
a (1 那么一年后的销售收入将达到__ __ _ x) _万元（用代数式表示）
（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，
x) 万元（用代数式表 那么两年后的销售收入将达到__a (1 ____
2
示）
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 二次增长后的值为 依次类推n次增长后的值为
列一元二次方程的一般步骤：
习题2.10
解：设这个增长率为x 根据题意得，20（1+x） 20 （1+x） = 4.8
2
解得x1 =0.2，x 2 = 1.2 （不合题意，舍去） 而0.2=20% 答：这个增长率为20%
试一试
某工厂一种产品2014年的产量是100万件，计 划2016年产量达到121万件．假设2014年到2016年 这种产品产量的年增长率相同． (1)求2014年到2016年这种产品产量的年增长率； (2)2015年这种产品的产量应达到多少万件．
展示自我
1.月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂， 现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个 支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支 的总数是73.求每个支干长出多少小分支.
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件， 每天盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽Байду номын сангаас减少 库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现， 如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2 件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价 多少元？
北师大版九年级上册 2.6 一元二次方程的应用 课件(共21张PPT)
练习：课本53页练习2、3、4
二、利用一元二次方程解决增降率问题
平均增长率公式为b＝__a(1＋x)n__，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率， n为增长次数．平均降低率公式为b＝__a(1－x)n__，其中a为起始量，b为终止量， x为平均降低率，n为降低次数．
例1、目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389 元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确 的是( B ) A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438 C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389
一元二次方程的应用
本讲为一元二次方程的应用，约需2-3课时。主要内容为： 一、列一元二次方程解应用题的方法和步骤 二、利用一元二次方程解决增降率问题 三、利用一元二次方程解决几何问题 四、利用一元二次方程解决利润问题 五、设计了不同类型的检测题，既有和语文学科的结合， 也有与当前疫情有关的题目。
通过已经学过的一元一次方程和二元一次方程组我 们知道，方程是解决实际应用问题的重要方法，利 用一元二次方程怎样解决实际应用问题呢？
(2)设小路宽为 y m，依题意得：(16－y)(12－y)＝12×16×12，解得：y1＝4，y2＝24(不合 题意，舍去)．故小路的宽为 4 m
4、市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间 都赛一场)，计划安排 28 场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
解：设要邀请 x 支球队参加比赛，由题意，得21x(x－1)＝28，解得：x1＝8，x2＝－7(舍 去)．答：应邀请 8 支球队参加比赛．
列：列代数式表示题中的量，找等量关系，根据等 量关系列方程；
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(2) 上网计算机总台数2001年12月31日至2003年12月31日与2000 年12月31日至2002年12月31日相比,哪段时间年平均增长率较大?
2001年12月31日总台数为1254万台， 2003年12月31日总台数为3089万台
(2)解：设2001年12月31日至2003年12月31日上网计 算机总台数的年平均增长率为y，由题意得
依次类推n次降低后的值为
a •(1 x)n 10
问题:截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为 892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总 数以达2083万台. （1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计 算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.
设 设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用 未知数字母的代数式表示其他相关量。
列 根据等量关系列出方程
解 解方程并检验根的准确性及是否符合实际意义并作答。
2020/11/08
15
练一练:
某单位为节省经费,在两个月内将开支从 每月1600元降到900元,求这个单位平均每 月降低的百分率是多少?
8290220/(111/0+8 x)2=2083
1月1日 12月31日 12月31日 12月31日 12月31日11
问题: （2）上网计算机总数2001年12月31日至2003年
12月31日的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12
月31日的年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较
大？
思考:(1)若设年平均增
长率为x,你能用x的代 上网计算
数式表示2002年的台
数吗?
3200
机总台数
(万台)
(2)已知2002年的 台数是多少?
(3)据此,你能列出 方程吗?
2400
1600
. 800 350
0
2000年
.892
2000年
.
1254
2001年
. .3089
2083 年份
2002年 2003年
2020/11/08
12
问题1：截止2000年12月31日，我国的上网计算机 总台数为892万台；截止2002年12月31日，我国的 上网计算机总台数为2083万台；
（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国计 算机上网总台数的年平均增长率（精确到0.1%）
解：设2000年12月31日至2002年12月31日我
2020/11/08
5
（５）学校准备在图书馆后面的场地边建 一个面积为50平方米的长方形自行车棚 .一边利用图书馆的后墙，并利用已有总 长为25米的铁围栏.请你设计，如何搭 建较合适？
2020/11/08
6
（６）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，
BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B
以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿
2020/11/08
8
（1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，
那么一年后的销售收入将达到__a__•(1_ x)_万元（用代数式表示）
（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，
那么两年后的销售收入将达到__ a •( 1__x__)2万元（用代数式表
示）
2020/11/08
1254（1+y)2=3089
解这个方程，得
y1
3089 1≈56.9%
1254
y2
3089 1 1254
(不合题意，舍去）
56.9%＞ 52.8%
答2：0202/0110/018年12月31日至2003年12月31日上网计算机总台数的年平均增长率较大1。4
列方程解应用题的步骤有:
审 即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量， 哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关 系。
BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q
分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形
APQCD的面积为64cm？
P
B
A
2020/11/08
Q
D
C7
三、小结：
• 1、列一元二次方程解应用题的步骤。
(审) (设) (列) (解) (检) (答)
• 2、关键之处：分析题意，找出等量关系，列 出方程。
• 3、如何验方程的解。
第二章 一元二次方程
应用一元二次方程
2020/11在一块长为92m，宽为60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相 等，水渠把耕地分成面积均为885m2的6 个矩形小块，水渠应挖多宽？
2020/11/08
2
(2) 如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景 画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制 成一幅挂画.如果要求挂画的面积是整个 面积的72%,那么金边的宽应是多少?
想一想:
(1)已知哪段时 间的年平均增 长率?
(2)需要求哪个 时间段的年平 均增长率?
上网计算 机总台数
(万台)
3200
2400
1600
. 800 350
.892
.
. .3089 2083
1254
年份
0 2000年 2000年
2001年
2002年 2003年
1月1日 12月31日 12月31日 12月31日 12月31日
9
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 a •(1 x)
二次增长后的值为 依次类推n次增长后的值为
a •(1 x)2 a •(1 x)n
（2）降低率问题
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为a •(1 x)
二次降低后的值为 a •( 1 x )2
2020/11/08
2020/11/08
3
（３） 在长方形钢片上冲去一个长方形， 制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方 形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的 长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框 的框边宽。
X
X
30cm
2020/11/08
4
（４）如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米 的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等 的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽， 使它的底面积为800平方米.求截去正方形的 边长.
国计算机上网总台数的年平均增长率为x，由题 意得 892（1+x)2=2083
(1+x)2= 2083
892
x 2083 1
892
x1
2083 1≈52.8%
892
x2
2083 1(不合题意，舍去） 892
答：2从0202/1010/008年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均1增3 长