简单的二阶微分方程
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
二阶常系数微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程
由上面分析可知，要求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，关 键是寻找它的两个线性无关的特解.为此，首先找一个函数y，使 y″+py′+qy=0(p,q为常数).而指数函数erx(r为常数)就具备这种性质， 因为erx的一阶、二阶导数都是erx的常数倍，也就是说，只要适当选取 r，就可以使erx满足方程y″+py′+qy=0.于是，设y=erx (r为待定常数) 为方程y″+py′+qy=0的特解，将y=erx,y′=rerx,y″=r2erx代入方程中得 erx(r2+pr+q)=0.
一、二阶常系数齐次线性微分方程
定理6 如果y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，而Y是其对应齐 次方程的通解，则y=Y+y*是非齐次方程(12-20)的通解.
证 因y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，所以 y*″+py*′+qy*=f(x).又因Y是其对应齐次方程的通解，所以 Y″+pY′+qY=0.于是，对y=y*+Y有
y″+py′+qy=(Y+y*)″+p(Y+y*)′+q(Y+y*) =Y″+pY′+qY+y*″+py*′+qy* =0+f(x)=f(x) 所以，y=Y+y是非齐次方程(12-20)的解.又因为Y中含有两个任意常数， 从而，y=Y+y中也含有两个任意常数，所以y=Y+y是非齐次方程(1220)的通解.
定理5
如果y1与y2是齐次方程y″+py′+qy=0的两个特解，而且y1/y2不等 于常数，则y=C1y1+C2y2是齐次方程的通解，其中C1,C2为任意常数.
二阶常系数微分方程解法
二阶常系数微分方程解法微分方程是数学中一个非常重要的部分，它描述了很多现实生活和科学问题。
其中，二阶常系数微分方程是应用广泛的一种类型的微分方程，其解法也相对较为简单，下面将详细介绍解这类微分方程的方法。
一、二阶常系数微分方程的定义和形式二阶常系数微分方程指的是形如 y''+ay'+by=f(x) 的微分方程，其中 y、f(x)均为函数，a和b均为常数。
这类微分方程中，y”表示 y 对自变量 x 的二次导数，y'表示 y 对 x 的一次导数。
二、特征方程法解二阶常系数微分方程最常用的方法是特征方程法。
根据 y=Ae^{mx} 这种形式，我们可以将 y" 和 y' 带入 y 中，得到以下等式：(Ae^{mx})''+a(Ae^{mx})'+bAe^{mx}=0化简后可得：m^2+am+b=0以上所得到的方程式称为特征方程，解特征方程的根 m_{1}, m_{2} 就可以得到二阶常系数微分方程的通解。
1、特征方程有两个不相等的实根如果特征方程有两个不相等的实根 m_{1} 和 m_{2}，那么通解为：y=C_{1}e^{m_{1}x}+C_{2}e^{m_{2}x}其中，C_1、C_2 为任意常数，分别由初始值条件所决定。
2、特征方程有两个相等的实根如果特征方程有两个相等的实根 m，那么通解为：y=(C_1+C_2x)e^{mx}其中，C_1、C_2 为任意常数。
3、特征方程有两个共轭复根如果特征方程有两个共轭复根α+iβ 和α-iβ，那么通解为：y=e^{αx}(C_1\cos βx+C_2\sin βx)其中，C_1、C_2为任意常数。
三、拉普拉斯变换法除了特征方程法外，拉普拉斯变换法也可以用来求解二阶常系数微分方程。
我们将 y、y' 和 y" 进行拉普拉斯变换，得到：L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)L\{y'\}=sY(s)-y(0)L\{y\}=Y(s)将以上三个式子带入二阶常系数微分方程中，消去 Y(s)，就可以得到：s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+a(sY(s)-y(0))+bY(s)=F(s)其中 F(s) 为右侧函数的拉普拉斯变换。
二阶微分方程数值求解
二阶微分方程数值求解
要数值求解二阶微分方程，首先需要将其转化为一个一阶微分方程组。
假设待求解的二阶微分方程为：
y''(x) = f(x, y(x), y'(x))
将其转化为一阶微分方程组：
z(x) = y'(x)
z'(x) = f(x, y(x), z(x))
然后，可以选择数值求解方法，如欧拉方法、改进的欧拉方法、四阶龙格-库塔方法等等，对这个一阶微分方程组进行数值求解。
以欧拉方法为例，假设已知初始条件 y(x0) = y0，z(x0) = z0，
选择步长 h。
则可以按照以下步骤进行数值求解：
1. 初始化步数 n = 0，设置初始条件 y(x0) = y0，z(x0) = z0。
2. 计算下一步的值：y(x + h) = y(x) + h * z(x)，z(x + h) = z(x) +
h * f(x, y(x), z(x))。
3. 将 x 增加 h，即 x = x + h。
4. 将步数 n 增加 1，即 n = n + 1。
5. 重复步骤 2-4，直到达到目标位置的 x 值（如终点 x 结束条
件 x >= x_end）。
需要注意的是，数值求解方法的精度和稳定性都会受到步长的影响，过大的步长可能导致数值不稳定，过小的步长可能导致
计算量过大。
因此，选择合适的步长是很重要的。
值得一提的是，当二阶微分方程为边值问题时，可以采用有限差分法、有限元法等数值方法进行数值求解。
这些方法会更为复杂，并涉及到边界条件的处理。
二阶微分方程
解法
(r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
上述方程称为微分方程的特征方程, 其根称 为特征根. 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程(代数方程)之根
y p y q y 0 ( p, q为常数 )
特征方程: r 2 pr q 0 , 特征根 实根 通 解
定理2 如果函数 y1 与 y2 是二阶齐次线性方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则 y = C1 y1 + C2 y2
是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数.
例 验证 y1 cos x, y2 sin x 是方程 y y 0 的 两个解，并写出该方程的通解
y p ( x) y q ( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)也是该方程的解.
(叠加原理)
注意 叠加起来的解从形式上看含有 C1 与 C2 两 个任意常数，但它还不一定是方程的通解．
例如
y1 2 y2
定义 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间I 上 的n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
例1 写出下列方程的特解形式.
例2 求微分方程
的通解
思考题
1 设函数 y(x) 满足
y(0) 1, 求 y(x)
2 求以 y (C1 C2 x x 2 )e 2 x 为通解的线性微分 方程（其中C1, C2为任意常数）
* * 且 y1 与 y2 分别是
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)， 和 y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)
二阶微分方程
是线性非齐次方程的解， 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 是二阶线性齐次方程的通解， 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数 即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 ， 均为常数， ′ 形式的解， 为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数 将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程的根称为特征根 特征根. 程的根称为特征根 由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 ，因此， r2 + pr + q = 0， ， 设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
二阶电路微分方程
二阶电路微分方程电路是电子学的基础，而二阶电路微分方程是描述电路中电压和电流随时间变化的重要工具。
本文将通过生动、全面的方式，详细介绍二阶电路微分方程的相关知识，并提供一些指导意义。
首先，我们需要了解什么是二阶电路和微分方程。
二阶电路是指电路中含有二阶导数的电压和电流成分的电路。
而微分方程是描述函数导数与函数自身之间关系的方程。
在电路中，我们通过电压源和电流源来驱动电路元件，如电阻、电容和电感等。
这些元件在电路中的组合形成了各种各样的电路结构，包括LC电路、RL电路和RC电路等。
当电路中的元件数量增多，结构复杂度增加时，我们需要使用二阶微分方程来描述电路的动态行为。
二阶电路微分方程的一般形式为：\[L\frac{{d^2q(t)}}{{dt^2}}+R\frac{{dq(t)}}{{dt}}+\frac{{ 1}}{{C}}q(t)=V(t)\]其中，\(L\)代表电感的值，\(R\)代表电阻的值，\(C\)代表电容的值，\(q(t)\)代表电路中的电荷，\(V(t)\)代表电路中的电压源。
这个微分方程描述了二阶电路中电路元件之间的电压和电流的动态变化关系。
通过求解这个微分方程，我们可以获得电路中电压和电流随时间的变化规律。
解二阶电路微分方程的方法有多种，常见的有物理方法、拉普拉斯变换方法和复数方法等。
不同的方法适用于不同的电路结构和求解要求。
在解法选择上，我们可以根据实际情况和数学技巧进行抉择。
在实际应用中，求解二阶电路微分方程可以帮助我们分析电路的稳定性、频率响应和系统动态特性等。
通过对电路的动态行为进行研究，我们可以优化电路设计、改善电路性能，甚至可以实现系统的自动控制和信号处理等功能。
总结起来，二阶电路微分方程是分析电路动态行为的重要工具。
通过求解这些微分方程，我们可以了解电路中电压和电流的变化规律，并在实际应用中进行电路设计和性能优化。
因此，对于电子工程师和电路设计者来说，掌握二阶电路微分方程的求解方法和应用技巧是非常重要的。
二阶微分方程解法
二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。
特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。
两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。
两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。
先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。
则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。
求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。
②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。
令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。
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例如 y 2 y 3 y 0 是二阶常系数齐次线性微分
方程； y 2 y y xex 是二阶常系数非齐次线性微分 方程．
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
1．二阶常系数齐次线性微分方程解法
y C或 cot (y C1 )dy
dx
该微分方程的通解是 y C1 ) C2e x sin(
y C或ln(sin(y C1 )) x ln C2
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶的通解是 2 1 x 3
0
1 x y ' 1 y ' 2 dx a 0
取原点O到点A的距离为定值 a 于是有
1 y' ' 1 y '2 a y (0) a, y (0) 0
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
a 2C1 2 1 p 将初始条件 y ' (0) p(0) 0 代入①式，解得
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
3．二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
*
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
*
( 2) 的 一 个
特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么
y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
课题二十一 简单的二阶微分方程
3. y f ( y, y) 型的微分方程 方程的特点：右端不显含自变量 x .
方程的解法：求解这类方程可令 y p ( y ) 则 dy dp ( y ) dy dp y p, dx dy dx dy dp 于是,方程 y f ( y, y) 可化为 p f ( y, p ) . dy 这是关于 y 和 p 的一阶微分方程,如能求出其解 dy p ( y, C1 ) ,则可由 ( y, C1 ) 求出原方程的解. dx
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
[例 3] 求方程yy
解
y 0的通解.
2
设 y P( y ),
dP 则 y P , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , dy
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个 线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
例如 y y 0的两个特解是y1 cos x, y2 sin x,
y2 且 tan x 常数, 则其通解是y C1 cos x C2 sin x. y1
ln(1 p 2 ) ln x ln C1 ，得1 p 2 C1 x .
即 p C1 x 1, 也即 y C1 x 1 .
2 y (C1 x 1) dx (C1 x 1) C2 . 3C1
1 2
3 2
第七章
微 分 方 程
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2 ,
y sin x 1 C1x2 C2 x C3. 2
y ( cos x C1 x C2 )dx,
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
2. y f ( x, y ) 型的微分方程
问题: y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
定义：设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 I 内的 n 个函数． 如果存在 n个不全为零的常数， 使得当 x 在 该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0，
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
1. y ( n) f ( x) 型的微分方程
方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解.
[例 1] 求方程 y ( 3) cos x 的通解.
解
y
( 3)
cos x, y cos xdx sin x C1,
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
【授课时数】 总时数：6学时. 【学习目标】 1、知道二阶微分方程的概念； 2、会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性 齐次和非齐次微分方程的通解或特解。 【重、难点】 重点：可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微 分方程的定义和解法，由微积分知识引出。 难点：正确求解可降阶的二阶微分方程和二阶常系 数线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法。
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
三、二阶常系数线性微分方程
形如 y py qy 0, ( p, q均为常数) 这样的 微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程．
形如 y py qy f ( x), ( p, q为常数, f ( x) ／ 0)
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
y 1 ( y ) 2 的通解. [例 2] 求方程 2 xy 解 令 y p (x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方 2 xpp 1 p 2 , 程,得
2 pd p d x , 两边积分得 分离变量得 2 1 p x
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f (x), 由题意得 T sin S , T cos H , 将此两式相除，得
1 tan S , ( a H ) a x tan y' , S 1 y' 2 dx
2． y 1 y2 的通解是
C1 x y C1 x C2 3
；
y ln cos( x C1 ) C2
．
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
二、二阶线性微分方程
[引例] 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有 一个初始速度 v 0 0,物体便离开平衡位置,并在平 衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规律
方程的特点：方程右端不显含未知函数y. 方程的解法： 令 y p(x) ,则 y p(x), 将它们
代入方程得
p( x) f ( x, p( x))
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p (x) 的 一阶微分方程,若可以求出其通解 p (x,C1) ,则 y ( x, C1 ) 再积分一次就能得原方程的通解.
那么称这 n个函数在区间 I 内线性相关；否则 称线性无关．
例如 当x ( , )时， e x， x , e 2 x 线性无关; e
1， 2 x , sin2 x 线性相关. cos
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
y1 ( x ) 特别地: 若在区间 I 上有 常数， 则函 y2 ( x ) 数 y1 ( x )与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
1 1 p 2 ，并分离变量得 将 y ' p ， y p 代入得， p' a x x 1 a C1 a dp 1 e e ① dx ，两端积分，得 p 2
x x
1 a 1 C1 1或C1 1(舍). 再将 C1 代入①式，得 p (e e a ), x x 2 a a 将 p y ' 代入上式，并积分得 y (e e a ) C2 ② 2 将初始条件 y (0) a 代入②式，解得 C2 0,
若受到铅直干扰力 F h sin pt, 则
d 2x dx 2n k 2 x h sin pt 强迫振动的方程 dt 2 dt
对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
1．二阶线性微分方程的定义
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 这样的微分方程 形如 2 dx dx
解得曲线方程为 将 C 2 0 代入②式，
a y (e e ). 2
x a
x a
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
f ( x)
小结
1.可降阶的高阶微分方程
y
(n)
两边同时积分n次
2.不显含y的二阶微分方程
y f ( x, y)
令y p , y p
3.不显含x的二阶微分方程
y f ( y, y)
2
dy d y dp 令 p( y ) , 则 p( y ) 2 dx dx dy
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
思考题
y ( y ) 3 y 的通解. 求微分方程
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
dy C1 y , dx
由 P y 0, 得 y C ,
C x 原方程通解为 y C2e 1 .
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
[例 4] 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳 索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时 是怎样的曲线．
分析
设绳索的最低点为 A，取 y 轴过点 A 且垂 直向上，取 x 轴水平向右，且|OA|等于某个定 值．设绳索曲线的方程为 y f (x) ，现在考察 绳索上点 A 到另一点 M(x,y)间的一段弧 AM， 设其长 S．假定单位长绳索的重量为ρ ，则弧 AM 的重量为ρ S．由于绳索是柔软的，因而在 点 A 处的张力沿水平切线方向，其大小设为 H． 在点 M 处的张力沿该点处的切线方向， 与水 平线成θ 角，其大小设为 T，因作用于弧段 AM 的外力相互平衡。下面给出解法．