分式求值的技巧点拨
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法1在分式运算中,若能认真观察题目结构特征,灵活运用解题技巧,选择恰当的运算方法,常常收到事半功倍的效果;现就分式运算中的技巧与方法举例说明;一、整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体,则可以整体通分,简捷求解; 解：21a a --a-1=21a a --a+1= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b+-3444b a b - 分析：注意到各分母的特征,联想乘法公式,适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3444b a b -=0 三、先约分,后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式,约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 四、整体代入法例4．已知1x +1y=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴xy ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57解法2：由1x +1y=5得,x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法例5．已知a 2-5a+1=0,计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =a 2+21a 2-2=a+1a 2-22-2=52-22-2=527 六、设辅助参数法例6．已知b c a += a c b += a b c +,计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k,则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2a+b+c= a+b+ck若a+b+c=0,a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0,则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时,原式= -1当k=2时,原式= 8七、应用倒数变换法例7．已知21a a a -+=7,求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=a+1a2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915八、取常数值法例8．已知：xyz ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.则y z x ++x z y ++x y z+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数; 九、把未知数当成已知数法例9．已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 222a b c ab bc ac++++ 解：把c 当作已知数,用c 表示a,b 得,a=3c, b=2c ∴222a b c ab bc ac ++++=221411c c =1411. 十、巧用因式分解法例10．已知a+b+c=0,计算222a a bc ++222b b ac ++222c c ab+ 解:∵a+b+c=0, ∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b∴2a 2+bc=a 2+a 2+bc=a 2+a-b-c+bc=a-ba-c同理可得2b 2+ac=b-cb-a,2c 2+ab=c-ac-b 222a a bc ++222b b ac ++222c c ab +=2a (a-b)(a-c)+2b (b-c)(b-a)+2c (c-a)(c-b)=2a (a-b)(a-c)-2b (a-b)(b-c)+2c (c-a)(c-b)=222a ()()()()()()b c b a c c a b a b a c b c ---+---- =22222a ()()()()b c b a b c c a c b a b a c b c --++----=2a ()()()()()()()b c a b c b c bc b c a b a c b c --+-+---- =2()()()()()b c a ab ac bc a b a c b c ---+---=()()()()()()a b a c b c a b a c b c ------=1。
条件分式求值的常用方法整理精选汇总
条件分式求值的常用方法整理精选汇总条件分式是一种数学表达式，具有形如$\frac{P(x)}{Q(x)}$的形式，其中$P(x)$和$Q(x)$是多项式。
在计算条件分式的值时，我们需要将$x$带入到分式中，首先计算分子$P(x)$及分母$Q(x)$的值，然后再计算两者的比值。
为了理解条件分式求值的常用方法，我们将从以下几个方面进行整理精选汇总：1.理解分子与分母的含义：分子$P(x)$是条件分式的分子部分，通常是一个与$x$相关的多项式。
分母$Q(x)$是条件分式的分母部分，也是一个与$x$相关的多项式。
理解分子和分母的含义对于正确进行求值非常重要。
2.找出分式的定义域：在进行条件分式求值之前，我们必须确定$x$的取值范围，即分式的定义域。
如果$x$的一些取值会导致分母等于0，那么这些值必须被排除在求值的范围之外。
因此，我们需要找出使得$Q(x)$等于0的$x$值，并将这些值从求值范围中排除。
3.化简分式：在求值之前，我们可以尝试对分子和分母进行化简。
通过因式分解、提取公因式等方式，将分子和分母简化为最简形式，可以使得计算更加简洁明了。
4.将$x$带入分子和分母：一旦找到了适当的定义域，并将分式化简为最简形式，就可以开始将$x$的取值代入分子和分母。
对分子部分的多项式$P(x)$计算其值，再对分母部分的多项式$Q(x)$计算其值。
这样就得到了最终的条件分式。
需要注意的是，如果$x$的一些取值导致分母$Q(x)$等于0，那么这些取值必须被排除在求值范围之外。
5.检查结果的合理性：求得条件分式的值后，应当对结果进行检查，确保其在定义域范围内是合理的。
特别是需要注意的是，在进行有理函数求值时，有可能得到无理数或者是不可约分的分式，这些结果在定义域范围内可能是有效的，所以需要特别注意。
通过以上的步骤，我们可以正确地计算条件分式的值。
需要注意的是，在计算过程中要仔细检查每一步的操作，确保求值的正确性。
另外，如果定义域非常复杂或者分子、分母都有高次数的项时，求解条件分式可能需要更加复杂的技巧和方法，这就需要灵活运用数学知识来处理。
分式运算的几种技巧
分式运算的几种技巧分式是一个数值表达式，其中包含有数字和分数，并且可以进行各种数学运算，例如加法、减法、乘法和除法。
下面将介绍一些分式运算的技巧。
1.化简分式化简分式是将分子和分母中的公因式约简为最简形式的过程。
可以使用最大公约数来找到公因式。
例如，对于分式2/4，可以发现分子和分母都可以被2整除，所以可以约简为1/22.相同分母的分式相加或相减如果两个分式的分母相同，那么可以将它们的分子相加或相减，并保持分母不变。
例如，对于分式1/3和2/3，由于它们的分母相同，所以可以将它们的分子相加得到3/3，即13.分子和分母乘以相同的数可以将分子和分母同时乘以相同的数，使分式的整个值保持不变。
这种操作常用于消除分式中的分数。
例如，对于分式2/3，可以将分子和分母同时乘以3，得到分式6/94.反倒数分式的倒数是指将分子和分母互换位置。
例如，对于分式3/4，它的倒数是4/35.分式的乘法两个分式相乘时，可以先将分子和分母分别相乘，然后将所得结果作为新分子和新分母。
例如，分式2/3乘以3/4等于(2*3)/(3*4)=6/126.分式的除法两个分式相除时，可以通过将第二个分式取倒数，然后进行乘法运算。
即分式a/b除以c/d等于(a/b)*(d/c)=(a*d)/(b*c)。
7.分式的化简对于复杂的分式，可以通过先约简其中的分子和分母，然后再进行其他运算。
例如，对于分式10/15+5/6，可以先将分子和分母分别约简为2/3和5/6，然后再将它们相加。
8.分式运算的顺序在多个分式的运算中，需要按照先乘除后加减的顺序进行计算，可以用括号来改变运算的顺序。
例如，对于分式2/3+4/5-1/6，可以先计算4/5-1/6，再将结果与2/3相加。
这些技巧可以帮助我们在分式运算中更加迅速和准确地进行计算，提高数学问题的解决效率。
初中分式运算技巧及易错点解析
初中分式运算技巧及易错点解析一、技巧1.分式的化简：(1)将分式的分子和分母约分为最简形式，即分子和分母没有公共因数；(2)将整数、分数和小数互转；(3)利用公式简化表达式。
2.分式的加减法：(1)分子相同的分式相加或相减，只需将分数加或减即可，分母保持不变；(2)分母相同的分式相加或相减，只需将分子加或减即可，分母保持不变；(3)分母不同的分式相加或相减，需先找到它们的最小公倍数，将分式的分母都化为最小公倍数，然后进行加减。
注意：在化简和相加减时，要保持分式的基本性质不变。
3.分式的乘除法：(1)分式相乘时，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母；(2)分式相除时，将除法转化为乘法，即将除号后面的分式倒过来，然后进行相乘。
二、易错点1.正确理解负指数：在分式运算中，遇到负指数时，经常容易出现错误。
一般来说，对于有理数a，a的负指数表示a的倒数，并且指数为负数时等于1除以a的指数为相反数的数。
例如，a⁻²=1/a²。
2.注意相乘前的化简：在进行分式的乘法运算时，往往需要对分式进行化简。
如果在相乘前没有对分式进行化简，很容易导致最后的结果错误。
3.加减运算时的通分问题：在分式的加减运算中，遇到分母不同的情况，需将分母化为相同的形式才能进行运算。
这就涉及到通分的问题。
如果没有正确进行通分，就会导致最后的结果错误。
4.除数不为零：在分式的除法运算中，被除数和除数都不能为零。
如果出现零作为除数的情况，就会导致运算结果不存在。
5.乘法和除法的顺序问题：在分式的运算中，乘法和除法具有相同的优先级，按照从左到右的顺序进行运算。
通过掌握以上的技巧和注意点，可以提高分式运算的准确性，并避免常见的错误。
在学习过程中，可以通过大量的练习来加深对分式运算的理解和掌握。
另外，要注重思考和交流，及时纠正错题，加强对分式运算的认识和应用能力。
分式求值的技巧点拨
在分式运算中．常遇到求值问Array题，这类问题题型多样．技巧性强．若根据题目中分式的结构特点．采用适当方法．则可巧妙获解．冀麟垮角髓努法求值熊一，妒1仞，已知石2—5x+l=0．求菇4+三的值．菇4解：由石2—5x+1=0知搿≠O．由此得菇+土=5．．．矿+当=(矿+吉)2—2=忙÷)2_22】2_28意黧曩=527．棼矛筹、．。
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一土．，、、：'’“‘A“因式分解法是一种重要的数学方法j “躲决很多数学闻题都要甩●h_X 到它：尤其是在分式化简和分式的四则运算巾运用较多．阂此，希望’桫同学们对因式分解的各种方法熟练掌握．洛哆尊整体熊冬滞搴值紫+御了已知吉一i1_3，求专÷筹Z1．aO的值．二do8一一D解：由一1一_1：+3变荛得口一b ：一3ab ，代入所求式得：nD．原式：6兰!堡二垒i ±兰堂：二垒堂±兰尘。
～．一3ab 一2ab3，一=一．‘．．黛支≥喜篙姜簇篙焉篇篆勰霎裟釜_p 先把条件进行化筒荐采用上述方法求值。
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分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简是指将一个分式写成一个最简形式的过程。
下面列举一些分式化简的方法与技巧：
1. 因式分解法：如果分子和分母都可以被一个公因子因式分解，可以先进行因式分解，然后约去公因子。
2. 公约法：将分子和分母的公因子约去，使分子和分母无公因子。
3. 分子与分母分别除以最大公约数法：先求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，使得分子和分母互质。
4. 乘法逆元法：如果分子和分母互为乘法逆元，即分子和分母互为倒数关系，可以将分式化简为整数。
5. 积化和差法：对于有相同分子或分母的分式，可以将其化为积或差的形式，然后进行约分或运算。
6. 公倍数法：如果分式的分子和分母都是整数，可以找到一个公倍数使得分子和分母变为整数，然后约去公倍数。
7. 有理化法：对于含有根号的分式，可以通过有理化的方法将其转化为整数或分数。
8. 倒数法：对于一个分式，可以将其倒数的分子和分母对换位
置，然后约分。
以上是一些常见的分式化简的方法与技巧，根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
分式的求值技巧
分式的求值技巧先说一下解题的思路吧，分式的求值技巧是考试中常考的一种题型，这类题目主要考察考生对于基础知识点的掌握情况，但是只要我们多做练习，并且深刻理解每一个知识点，这种题型也不是很难的。
我在考试前经过老师的讲解，再加上平时自己的做题，发现有一些题目并没有规定解答的方法，或者是明确的解题步骤，这样就给了我们一些灵活运用的空间，需要我们在考场上遇到的时候仔细推敲、慎重判断，以便从中获取更多的信息，快速解答出来。
另外有些题目只有几句话，比如某种分式满足等号左右两边的分子和分母同时乘以一个不为零的数，那么就可以用两边同时除以该数，得到一个比较简单的式子，而分子分母同时乘以任意实数都是错误的。
1。
求分式的值2。
分式的值不为0最后，我再提醒大家一点，当你解题时，选项中出现： a/b/c……选择A、 B、 C时，先把它们转化成单项式（包括等于号中的单项式），再进行解答。
若选项中出现： 0/0/……、 0/x/y……选择D、 E时，先把它们转化成分式，再进行解答。
当你拿到这类题目时，先不要慌张，弄清楚题目的条件，然后冷静分析问题，充分发挥自己的思维能力，仔细认真地阅读题干，寻找与之相关的信息。
2分式的计算问题一般是由整式的计算转化而来，所以我们在解决分式的计算问题时，必须熟悉整式的运算法则，灵活应用这些法则来进行简便计算，以节省时间。
3根据同类项去分母这个公式看似简单，却极易引起解题错误。
正确的步骤应该是：（ 1）先将同类项系数相乘，然后把所得的积作为系数；（ 2）按照顺序逐项进行合并同类项。
4在应用一次或二次分式的乘法公式时，应注意几点：①分式的分子和分母同时乘或除以相同的数（ 0除外），分式的值不变；②一次或二次分式的值是一个常数（指常数项）；③整式乘分式，分母不变，分子乘或除以整式，被乘数不变。
5分式的分子、分母同时乘或除以相同的数（ 0除外），分式的值不变。
6在解决分式的计算问题时，要认真审题，弄清楚题目已知的数量关系，即被除式各部分的关系。
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分式求值的技巧点拨
在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。
一、巧用配方法求值
例1 已知01x 5x 2=+-求44x
1x +的值。
解：由0x 01x 5x 2≠=+-知，由此得5x 1x =+
∴2)x
1x (x 1x 22244-+=+ 527
2]2)x
1x [(22=--+= 说明：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。
二、巧用因式分解法求值
例2 先化简，再求值：
1n mn )n m n mn n mn 2m n m (22222--+-+--。
其中231m -=，2
31n +=。
解：原式=1n mn ])n m )(n m ()n m (n )n m (n m [
2--++--- n m mn 1
n mn n m n 11
n mn )n m n n m 1(
--=-⋅--=----= ∵23231
m --=-=，23231
n +-=+=
∴1)23)(23(mn -=+---=，4)23()23(n m -=+----=- ∴4
1n m mn -=--=原式 说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。
因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。
三、巧用整体代入法求值
例3 已知3b 1a 1=-，求b
ab 2a b 2ab 3a 2---+的值。
解：由3b
1a 1=-变形得ab 3b a -=-，代入所求式得： 原式ab 2)b a (ab 3)b a (2--+-= 53ab 2ab 3ab
3ab 6=--+-=
说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。
四、巧设参数（辅助未知数）求值
例4 已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-y
x y x 3__________。
解：设k 2y 1x ==，则k x =，k 2y =，故原式3
1k 2k k 2k 3=+-= 说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法。
五、巧用方程（或方程组）求值
例5 已知0c b 3a 2=+-，0c 6b 2a 3=--，a 、b 、c 均不为0，求2223
33ac 3c b 2b a c 4b 2a +-+-的值。
解：解方程组⎩⎨⎧=--=+-0c 6b 2a 30c b 3a 2，得⎩⎨⎧==c
3b c 4a ∴原式2
223
33c c 12c )c 3(2c 3)c 4(c 4)c 3(2)c 4(⋅+⋅-+-= =3
1 说明：将已知的等式看成方程（或方程组），先用其中的一个字母表示出其他的两个字母，并代入所求的分式进行运算是本题求解的关键。
六、巧用变形方法求值
例6 已知0z y x =++，且0xyz ≠，则222222222z y x 1y x z 1x z y 1-++-++-+ =______________。
解：由已知条件可得)z y (x +-=，)z x (y +-=，)y x (z +-=，代入所求式，得： 原式2
22222222)y x (y x 1)z x (x z 1)z y (z y 1+-+++-+++-+= 222222222222y
xy 2x y x 1z xz 2x x z 1z yz 2y z y 1---++---++---+= 0xyz
2z y x )xy
21xz 21yz 21(
=++-=++-= 说明：当题目中所提供的式子有等于0的条件出现时，通过把所求分式进行变形，使之出现相应的式子是解答此类问题的关键。
七、挖掘隐含条件，巧妙求值
例7 若09x 2
=-，则3x 6x 5x 2++-=___________。
解：∵09x 2=-，∴3x ±=
但考虑到分式的分母不为0，故x=3 所以，原式03
x )3x )(2x (=+--= 说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。
八、巧用特值法求值
例8 已知6z 5y 4x ==，则z
3z 4y 3x 2+-=_____________。
解：此题可直接令x=4，y=5，z=6，代入得： 原式6
3645342⨯⨯+⨯-⨯= 18
17= 说明：根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。
九、利用倒数法求值
例9 已知1
2312x 3x ++=++，求)2x 2x 5(4x 23x ---÷--的值。
解：原式)2
x 4x 2x 5(4x 23x 2----÷--= )
3x (21)
x 3)(x 3(2x )2x (23x 2
x x 9)2x (23x 2
+-=-+-⋅--=--÷--= ∵
12312x 3x ++=++ ∴1233
x 2x ++=++ ∵
3x 113x 2x +-=++
∴233
x 1+=+- ∴原式=223)3x (21+-=+-
说明：在进行某些分式求值时，有时会出现条件或所求分式不易化简变形的问题，但如果把该式的分子、分母颠倒后，变形就会容易了，此类问题通常采用倒数法来解决。
在解题时要注意灵活掌握。
在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变
形方法大致有以下几种：
1、 应用分式的基本性质
例1 如果12x x +=，则2
421
x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.
22221111112131()1x x x x
===-+++-. 2、倒数法
例2 如果12x x +=，则2
421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得
42222221111()1213x x x x x x x
++=++=+-=-= ∴原式=13
. 3、平方法
例3 已知12x x
+
=，则221x x +的值是多少？ 解：两边同时平方，得
22221124,42 2.x x x x
++=∴+=-= 4、设参数法
例4 已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===.
∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353
k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5 已知
,a b c b c a
==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===
∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=，
∴31,1k k ==
∴a b c ==
∴原式= 1.a b c a b c
+-=-+ 5、整体代换法
例6 已知113,x y -=求2322x xy y x xy y
+---的值. 解：将已知变形，得
3,y x xy -=即3x y xy -=-
∴原式=2()32(3)333.()23255
x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===----- 6、消元代换法
例7 已知1,abc =则
111
a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab
= ∴原式=1
11111a b ab ab a b ab b a ab ab
++++⋅++⋅++ 1111a ab ab a ab a a ab
=++++++++ 1 1.1
ab a ab a ++==++ 7、拆项法
例8 若0,a b c ++=求111111()()()3a b c b c a c a b ++++++的值. 解：原式=111111()1()1()1a b c b c a c a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111111111()()()a b c a b c a b c a b c =++++++++ 111()()a b c a b c
=++++ 0a b c ++=∵
∴原式=0.
8、配方法
例9 若13,13,a b b c -=+-=-求2221a b c ab ac bc
++---的值. 解：由13,13,a b b c -=+-=-得2a c -=.
∴2222a b c ab ac b ++--- 2221()()()2
a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦
11202
=⨯= ∴原式=16
.。