经典函数单调性及奇偶性习题

1.函数()x f 对任意的R y R x ∈∈,，()()()y f x f y x f +=+恒成立，且0>x 时，()0>x f . （1）求()0f 的值；（2）判断并证明()x f 的奇偶性； （3）判断并证明()x f 的单调性.解析：题目中的等式()()()y f x f y x f +=+对一切R y R x ∈∈,都成立，这意味着可以取一些特殊值代入等式，以“探测”下等式中蕴含的信息，这是这一类题的通法。

（1）解：令0y ==x ，得()()()000f f f +=，()00=f .（或者令0y =，得()()()0f x f x f +=，得()00=f 。

）（2）分析：判断并证明()x f 的奇偶性，必定需要求()x f -，所以在等式()()()y f x f y x f +=+中令x -y =，而（1）中已求出()00=f ，故可得出()x f -。

解：令x -y =，得()()()x f x f f -0+=，()()x f x f -=-，所以()x f 是奇函数.（3）分析：根据单调性的定义，任取21x x <，判断()1x f 和()2x f 的大小关系即可，一般用作差法()()12x f x f -，而题目中条件()()()y f x f y x f +=+是“+”不是“-”，如何用呢？根据（2）中得到的奇偶性将作差转化为求和。

同时兼顾另一个条件，且0>x 时，()0>x f .解：任取21x x <，()()()()()121212x x f x f x f x f x f -=-+=-（或者()()()()()()12212121-x x f x x f x f x f x f x f -=-=-+=-），因为21x x <，所以012>-x x ，所以()012>-x x f ，所以()()21x f x f <，故()x f 在R 上单调递增.注意：这里最后都转化为求()12x x f -而不是求()21x x f -，是为了利用条件“且0>x 时，()0>x f .”，让括号内是一个大于0的数，括号内012>-x x 。

2.函数()x f 对任意的R y R x ∈∈,，()()()y f x f y x f =+恒成立，且0>x 时，()1>x f . （1）求()0f 的值；（2）判断并证明()x f 的单调性；（3）若()22=f ，求()x f 在区间[]81，的值域.（1）分析：若令0y ==x ，得()()()000f f f ⋅=，()()()01-00=f f ，得()00=f ，或()10=f ，两个解可能有个是多余解，需排除。

解：()()()y f x f y x f =+中令0y =，得()()()0f x f x f =恒成立，即()()[]00-1=f x f 恒成立，而0>x 时，()1>x f ，这说明()x f 不恒为0。

所以()10=f 。

（2）分析：根据定义，任取21x x <，判断()1x f 和()2x f 的大小，若用作差法()()12x f x f -，显然条件等式()()()y f x f y x f =+没有涉及到加减运算，故而用不上，思维进入了死胡同。

本题的关键在于破除思维惯性！判断()1x f 和()2x f 的大小关系未必只能用作差法，还可以用作商法（前提是二者同号），作商法就可以顺利用上题目的等式条件，积和商互为逆运算，只要稍加变化即可。

如何将积转化为商？充分利用（1）中的条件()10=f 。

解：在()()()y f x f y x f =+中令x -y =，得()()()x f x f f -0=，由（1）知()10=f ，所以()()x f x f 1-=，()()x f x f -和同号，又0>x 时，()1>x f ，所以()()x f x f -和均为正。

任取21x x <，则0-12>x x ，()()()()()1121212>-=-=x x f x f x f x f x f ，所以()()12x f x f >，故()x f 为增函数。

（3）因为()22=f ，()()()1111f f f =+，且由（2）知()()x f x f -和均为正，所以()21=f ，()()()()42222224=⨯==+=f f f f ，()()()()164444448=⨯==+=f f f f ；又()x f 为增函数，所以()x f 在区间[]81，的值域为[]16,2.3.若()f x 为R 上的奇函数，且(2)0f -=，若()f x 在(,0)-∞上是减函数，则0≤)(x xf 的解集为(][)∞+∞，，2U{0}U 2--；解析：()f x 为R 上的奇函数，且()f x 在(,0)-∞上是减函数，则()f x 在()∞+，0上也是减函数。

当0<x 时，原不等式等价于0)(≥x f ，等价于()2)(-≥f x f ，因为()f x 是(,0)-∞上的减函数，所以2-≤x ；当0>x （0-<x ）时，原不等式等价于0)(≤x f ，等价于()20)(-)-(-=≥=f x f x f ，因为()f x 是R 上的减函数，所以2--≤x ，2≥x 。

0=x 时，显然满足0≤)(x xf 。

故解集为：(][)∞+∞，，2U{0}U 2--。

4.已知定义域为()(),00,-∞+∞ 的偶函数()g x 在(),0-∞内为单调递减函数，且()()()g x y g x g y ⋅=+对任意的,x y 都成立，()21g =。

①求()4g 的值；②求满足条件2)1()(++>x g x g 的x 的取值范围。

①()()()()222224=+=⨯=g g g g ；②()()()()()()144121+=++=++>x g g x g x g x g ，()g x 是定义域为()(),00,-∞+∞ 的偶函数，在(),0-∞内为单调递减，所以()g x 在()∞+，0上单调递增。

所以()14+>x x ，不等式等价于()22116+>x x 解得154116154116+-<<--x 。

5..函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是(][)∞+∞，，2U 2-。

解析：()x f 是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，所以()x f 在[)+∞,0上是减函数。

所以()()()()2f a f a f a f ≤=-=，2≥a ，得2≥a ，2-≤a 。

6. 用定义判断并证明函数()xx x f 1-=的单调性. 证明：()x f 的定义域为()∞+，0，任取210x x <<，则0-21<x x 。

()()0)11()11())(()11)(()()11()()1()1(2121212121212121212112212121221121<++-=+++-=+-=---=---=---=-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f 所以()()21x f x f <，故()x f 在()∞+，0上单调递增。

6.讨论函数()x x x f -=的单调性，并求值域.()x f 的定义域为[)∞+，0。

()())1-1)(()()()()()()(2121212121212121221121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f +-=++---=---=---=-）（当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈，41x 时，，任取2141x x <≤，则0-21<x x ，2112≥>x x ，所以121>+x x ， 1121<+x x ，所以01-121>+x x ，所以()()021<-x f x f ，即()()21x f x f <，故()x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，41单调递增； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈410，x 时，任取41021≤<≤x x ，则0-21<x x ，21021≤<≤x x ，所以121<+x x ，1121>+x x ，所以01-121<+x x ，所以()()021>-x f x f ，即()()21x f x f >，故()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈410，x 单调递减；所以函数()x f 在41=x 取得最小值为41-41=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，无最大值，故值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+，41-。

事实上，令t x =，则0≥t ，()()t g t t t x x x f =--=-=-=41)21(22，显然由二次函数特性知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈210，t （即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈410，x ）时，()x f 单调递减；⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+∈，21t 时，()x f 单调递增；且易知()()41-41)21(2≥--==t t g x f ，故()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+，41-。

7.当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋ax ＋4<0恒成立，则a 的取值范围是________．（单调性原题） 法一：令()42++=ax x x f ，结合二次函数图像知，题目条件等价于()()⎩⎨⎧≤≤0201f f ，解出5-≤a ；法二：题目条件等价于⎩⎨⎧≤<≤>∆21210x x ，即()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>∆0-2-20-1-102121x x x x ，展开用韦达定理代入解出即得；法三：因为x ∈(1,2)，可分离变量得)4(xx a +-<；因双钩函数x x 4+在(1,2)上单调递减，则()）（xx 4-x g +=在(1,2)上单调递增，故()x g 最小值>()5-1g =，故5-≤a 。

8.已知()()()()⎩⎨⎧-≤-->++=113a -21122x x x x ax x f 是R 上的增函数，试求a 的取值范围。

解析：()x f 是R 上的增函数，①0=a 易知符合题意；②当0≠a 时，由()x f 在区间[)∞+，1-单调递增，结合二次函数图像知⎪⎩⎪⎨⎧-≤->1220a a ，由()x f 在(]1--，∞上单调递增知03-2>a ，且12)(2++=x ax x g 在()∞+，1-上的最小值大于1)1-(-=a g ，)1-(g 须大于等于()132)(--=x a x h 在(]1--，∞的最大值33-a ，即331-≥-a a ；综上得10≤≤a 。