高等师范院校数学分析习题课教学探讨_张婧

高等师范院校数学分析习题课教学探讨张婧（太原大学教育学院，山西太原030001）〔摘要〕数学分析习题课是《数学分析》课程必不可少的教学环节，它既是课堂教学的延伸与提高，又为学习新知识打下基础，起着承前启后、融会贯通的桥梁作用。

文章针对目前高等师范院校学生数量多，基础较弱，授课时数少的客观情况探讨了传统讲授型、分层教学型和互动研究型等习题课教学模式，并根据数学分析课程的教学大纲要求和教学内容特点，提出了数学分析课程的改革意见。

〔关键词〕数学分析；习题；教学；数学教育〔中图分类号〕G424.21〔文献标识码〕B〔文章编号〕1673-7016（2012）02-0089-03数学分析作为高等师范院校数学与应用数学(师范类)专业的必修课，是一门非常重要的专业基础课程.它不仅是培养学生分析、观察和处理问题能力的重要工具，而且向学生传授必须的基础理论知识，为进一步学习复变函数论、微分方程、概率论与数理统计以及普通物理学等后续课程打好必不可少的理论基础.对于高师院校来说，数学分析还承担着发展师范生的思维能力，培养学生养成良好的思考习惯，提高学生解决实际问题的能力，培养他们用数学分析的有关理论和知识居高临下地分析和处理中学教材的任务.但是，目前高师院校的学生学习数学分析大多都是课堂听课效果不好，课后解题能力差，有的学生甚至不知道如何应用课堂的理论知识解题，存在严重的“学”、“用”脱节现象，使得《数学分析》如同空中楼阁一样停留在高空中，而不能落地、生根、发芽，充分发挥其对师范生应有的职能作用.因此，探索数学分析习题课的教学革新显得紧迫而必要.本文就目前的高师院校教学体制的改革发展情况，考虑学生毕业后走上社会岗位的需要，同时结合我校数学教育专业数学分析习题课的教学实践，提出以下几点改革意见.一、科学合理安排数学分析理论知识教学与习题课教学时间数学分析主要包括理论知识教学和习题课教学两大部分.传统的数学分析教学都是比较侧重理论知识的讲解，尤其是一些从事科研工作的学者在教学时往往只是一本书讲到底，而练习巩固的任务则交给学生自己在课后完成.很多学生上课甚至没有明白其中的意思，做习题更是只能模仿甚至抄袭.而近年来高校持续扩招，不少学生的数学基础较差，学习数学的方法不当，加上高师的课程体系在盲目追随社会需求下不断调整而导致的基础课程课时缩减，使得数学分析的教学受到严重考验，讲课教师为了完成教学进度而不得不减少习题课的教学时间.因此，学生不能通过解答习题进一步理解相关的理论知识，更无法通过解答习题来内化所学理论知识，以致于学生很难实现从中等数学的直观性到高等数学抽象性的认识的飞跃，从而对该课程的学习感到困难，甚至怀疑其学习的必要性而失去继续学习的信心.针对这些情况，许多学校都积极探索数学分析习题课的教学改革，进一步优化理论知识教学与习题课教学时间.如山西大学除每周六课时的数学分析课之外，还加了两节习题课，使得理论教学与习题课教学的比例达到了3比1；而复旦大学则将数学分析理论教学与习题课教学的比例增至3比2；还有一些院校则将这个比例保持在1比1.我校也从2009年专门设立了数学分析的习题课，将习题课明确记入课程设置.经过三届学生的教学实践，取得了明显的教学效果，如学生对知识的理解和巩固收稿日期：2012￣03￣27作者简介：张婧（1982-），女，山西五台人，太原大学教育学院讲师。

第30卷第2期2012年6月太原大学教育学院学报JOURNAL OF EDUCATION INSTITUTE OF TAIYUAN UNIVERSITYVol.30No.2Jun.201289——2012年第2期程度大幅提高，应用数学分析知识解决问题的能力有了明显提高.二、习题的设置难易结合，根据学生需求系统搭配，设置必做题和选做题随着国家教育方针的变革，高师院校的毕业生走向社会、服务社会的形式也呈现多元化的态势，学生不再局限于走上教育教学岗位，一些学生从进入大学校门起就立志要参加专升本考试以求升入高一级院校接受教育，有的学生在工作两年以后直接参加研究生入学考试继续读取硕士研究生学位，有的则通过参加各种考试进入政府机关或者企事业单位，还有一些学生则是进入各种企业或者公司工作.而《数学分析》课程在专升本、研究生入学考试以及一些招聘考试中已经成为了必考科目，针对学生毕业后不同发展方向的需求，数学分析习题课的教学应该与时俱进，变革原来传统、呆板、单一的习题课布置模式，实行习题课分层教学，针对各类学生的需求，布置相应的必做题和选做题，让学生明确自己的学习重点和方向，锻炼相应的问题解答能力，以适应学生将来就业、升学的不同需要.例如，在有关微分学的教学课后，可以将教材中的课后题重点布置为必做题.而选做题的布置可以从以下方面考虑：针对将来要走上中学教师岗位的学生，给他们再多安排一些有关导数概念和导数公式与法则的习题，培养他们应用导数解决有关函数单调性、极值、最值、渐近线、凸性等问题的能力，同时注意这部分习题的难度与广度要与中学教材相匹配，这是因为导数的基本概念、运算法则、求导公式以及这些知识的初步应用已经被编写进中学教材，成为高考的必考内容；针对将来进一步深造学习的学生应当再布置一些高阶导数与高阶微分的习题，多练习一些有关隐函数求导、阶的比较与泰勒公式的题目，这样才能更深地理解微分学的思想，为将来更高层次的学习打好基础；针对将来准备参加公务员考试、事业单位考试的学生应当多布置一些《高等数学》教材中的题目，为将来的招聘考试做好训练准备工作；针对将来进入公司从事与数据分析相关工作的学生，应当多布置一些估值、近似代替等方面的习题.这样的习题安排，一方面学生的学习积极性会大幅提高，在学习的过程中做到有的放矢，为将来的就业做好充分的准备工作.另一方面，可以有效地促进教学相长，不仅促进讲课教师不断提高其教学水平和教学能力，同时也让教师更加了解学生的学习需求，可以给学生的择业与就业提供正确的指导.三、教学形式多样化，变革传统讲授型的教学模式，实施分层教学型和互动研究型等习题课教学模式数学分析本身是一门相对比较抽象的课程，由初等数学的思维跨越到高等数学的思维非常困难，这也就对数学分析习题课的教学形式提出了更高的要求.如何让数学分析习题课不再是学生谈之色变的课程，让学生体会到学习这门课的意义将是数学分析习题课教学改革首要解决的问题.近年来多媒体教学逐渐走进了课堂，发挥了很大的作用，将课堂气氛活跃了起来.随着素质教育的逐步推进，让学生学以致用是数学分析习题课肩负的重任.而在数学分析习题课中引入实践课不时为一个很好的方法，这不仅实现了教学形式的多样化，同时也变革了传统的讲授型教学模式，实施分层教学，借助实践课的形式实现了互动研究型的习题课教学模式.在每章开始之前可以布置关于本章数学史方面的作业，并通过学生做报告的形式完成.学生在收集资料形成报告的过程中感触到数学的发展脉络，了解数学历史并对该段数学史产生兴趣，最终以先入为主的方式对本章教学内容产生兴趣.例如，在极限教学章节开始前学生的报告是：国内外极限思想的产生、发展、现状；在导数章节开始前学生的报告是：微积分历史.在习题的讲解上，以传统的讲解方式为主，同时加入探索课，并且探索课由学生和教师共同完成.该探索课主要是针对一些典型的习题探索多种解题方法，体会不同解题方法的异同点及应用技巧.例如第三章第二节连续函数的例题：求极限limx→01+x+x2姨-1x.传统的讲解方式是教师仅仅给出其一个解题方法，该题的传统解法是分子有理化：解法一：分子有理化.limx→01+x+x2姨-1x=limx→0（1+x+x2姨-1)(1+x+x2姨+1)(1+x+x2姨+1)x=limx→0x（x+1)(1+x+x2姨+1)x=limx→0（x+1)1+x+x2姨+1=1张婧：高等师范院校数学分析习题课教学探讨90——太原大学教育学院学报2012年第2期（总第103期）而在习题课上教师引导学生进行其它方法的探索.解法二：应用重要极限limx→0（1+x）α-1x=α（此例题中x为（x+x2）).lim x→01+x+x2姨-1x=limx→0［1+（x+x2）］12-1x=limx→0［1+（x+x2）］12-1·x＋x2=limx→0［1+（x+x2）］12-1x＋x2·limx→0x＋x2x=12·1=12解法三：应用等价因子（1+x）α=1+αx+o(x)(x→0)（此例题中x为（x+x2）).lim x→01+x+x2姨-1x=limx→0［1+（x+x2）］12-1x=limx→0［1+12（x+x2）+o（x+x2）］-1x=limx→012（x+x2）+o（x+x2）x=limx→0[12（1+x）+o（x+x2）x]=12·(1+0)+012=12这样，通过探索多种方法解题，打开学生的思路，发展学生的发散思维，使得数学分析理论知识在学生头脑中逐渐融会贯通.在导数的应用一节还可以布置这样一个实际应用题目：易拉罐为什么做成圆柱体最省料？该题通过比较正方体、长方体、六棱柱、圆柱体、圆锥体、球体、棱台等常见形状体在体积一定情形下的表面积大小，得到所需结论.具体解答思想是在体积一定的情况下设置相应的变量，从而表示出表面积公式，应用导数得到每个形状体的表面积最小值，发现球体的表面积最小，其次是圆柱体，而饮料做成球体显然不易摆放，从而选择圆柱体作为易拉罐的包装形状.在习题课的教学中注意与中学课程衔接，及时与学生交流本节数学分析教学内容与中学数学的衔接点，某些简单的习题教师可以指导学生进行讲解，让学生在讲课的过程中逐步内化所学知识，变被动接受为主动理解.例如，《导数在研究函数的应用》的课后习题主要有函数的单调性、函数的极值与最值、不等式、函数的凸性、曲线的渐近线、描绘函数的图像六个板块的作业，这些课后习题可以由六个学生完成讲解，每个学生完成一个模块的习题讲解，要求学生在讲解习题前先讲解该类习题解答方法和步骤，然后再讲解相应的课后习题，每个模块的习题讲完后，教师组织学生讨论习题解答的方法、技巧及注意事项，并对该学生的讲课提出意见和建议，最后由教师作出总结评价.数学教育本质上是一种素质教育，其主要目标是帮助学生学会数学地思维.也就是说,学习数学的目的，不仅仅在于学到一些数学的概念、定理、公式和结论，更重要的是要了解数学的思想方法和精神实质，真正掌握数学这门学科的精髓.只有这样，所学的数学知识才不至于成为教条的知识堆砌，而是显示出其无穷无尽的威力和魅力，使人终身受用不尽.数学分析习题课正是这样一门辅助课程，它是课堂教学的延伸与提高，起着承前启后、融会贯通各章节内容的桥梁作用，有助于加深学生对新概念、新理论的理解与掌握，有助于培养学生的逻辑推理能力，有助于提高学生的运算技能技巧.数学分析习题课的教学实践证明，一节好的习题课，集知识掌握和技能训练为一体，对培养和提高学生的能力起着不可低估的作用，积极推进数学分析习题课的教学革新，探索更科学的教学处理方法任重道远.参考文献：[1]常敏慧，杨建雅.新建本科院校数学分析习题课教学模式探讨[J].运城学院学报，2010，（2）.[2]谭秋月.数学分析习题课教学探讨[J].内江师范学院学报,2009，（4）.[3]章绍辉，翁佩萱.数学分析习题课的教学原则[J].华南师范大学学报自然科学版，2000，（3）.[4]赵兴杰.对高师数学分析教学的几点意见[J].遵义师范学院学报，2005，（2）.[5]刘玉琏等.数学分析讲义上、下[M].北京：高等教育出版社，2009.91——。