千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第37炼 向量的数量积——坐标化解决向量问题
第37炼 向量的数量积——坐标法在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。
一、基础知识 1、向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量12,e e 不共线，则对于平面上的任一向量a ，存在,x y R ∈，使得12a xe ye =+，且这种表示唯一。
其中()12,e e 称为平面向量的一组基底，而有序实数对(),x y 称为在()12,e e 基底下的坐标（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底,i j ，在方向上它们分别与,x y 轴的正方向同向，在长度上，1i j ==，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量a ，均有a xi y j =+，其坐标为(),x y ，从图上可观察到恰好是将向量a 起点与坐标原点重合时，终点的坐标（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =-- （可记为“终”-“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求。
另外,,A B AB 三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标 2、向量的坐标运算：设()()1122,,,a x y b x y ==，则有： （1）加减运算：()1212,a b x x y y ±=±± （2）数乘运算：()11,a x y λλλ= （3）数量积运算：1212a b x x y y ⋅=+ （4）向量的模长：2a x =+3、向量位置关系的判定： （1）平行：1221a b x y x y ⇔=∥（2）垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= （3）向量夹角余弦值：2cos ,a b a b a bx ⋅==⋅+4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解。
但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解。
如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形 （2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形 （3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120等） 二、典型例题：例1：在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=__________思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题 ，如图建系：110,,,0,,0222A B C ⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下面求E坐标：令()11,,,22E x y CE x y CA ⎛⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭⎝⎭由3CA CE=可得：111322336x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ 1,36E ⎛∴ ⎝⎭350,,,6AD BE ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭14AD BE ∴⋅=- 答案：14AD BE ⋅=-例2：（2012江苏，9）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 中点，点F 在边CD上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是____________思路：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，以A 为坐标原点如图建系：)B,设(),F x y ,由F 在CD 上可得2y =,再由2A B A F⋅=解出x:()()2,0,,2AB AF x ==，21AB AF x x ∴⋅==⇒= ()1,2F ∴，)E()()2,1,1AE BF ∴==(212AE BF ∴⋅=+=答案：2AE BF ⋅=例3：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________思路：本题抓住60BAD ∠=这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由2AB =，1AD =可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解 解：以AB 为x 轴，过A 的垂线作为y 轴可得：()152,0,,,222BD C ⎛⎫⎛ ⎪⎝⎝⎭57,,,4488M P ⎛⎫⎛⎪ ⎝⎭⎝⎭73313,,,8888AP CP ⎛⎫⎛∴==-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭7131788888AP CP ⎛⎛⎫∴⋅=⋅-+⋅-=- ⎪⎝⎭⎝⎭答案：178-例4：已知直角梯形ABCD 中，,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠===∥是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为_____________思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出3PA PB +的图形。
所以考虑从代数方面入手，结合所给的特殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出B 坐标，可先设高为h 。
解：以,AD CD 为轴建立直角坐标系，设梯形高为h则()()2,0,1,A B h ，设动点()0,P y ，则()()2,,1,PA y PB hy =-=-()35,34PA PB h y ∴+=-(355PA PB ∴+=≥ （等号成立：3344h y y h =⇒=） 答案：5小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。
在使用坐标解题时有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。
要明确没有点的坐标，则坐标法无法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用例5：给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．思路：由3,2,3OB OC OB OC ==⋅=可计算出,OB OC 的夹角60BOC ∠=，则可按照这个特殊角建立坐标系，则由4OA =可知A 在以O 为圆心，半径4r =的圆上。
()(3,0,B C ，BC =若要求ABCS的最大值，只需找到A 到BC 的最大值，数形结合可得距离的最大值为O BC d r -+，进而可求出ABCS 的最大值。
解：()(3,0,B C ):32BC y x ∴=--即20y +-=()max 4A BC O BC d d r --∴=+=+11422ABCA BC Sd BC -⎫∴=⋅⋅=+=+⎪⎭答案：例6：如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC 内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______ 思路：直角三角形直角边已知，且P 为图形内动点，所求MP 不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。
设(),P x y ，从而可得1524AN MP x ⋅=-+，而P 所在范围是一块区域，所以联想到用线性规划求解 解：以,AC BC 为轴建立直角坐标系(()11,1,0,,,0222A B M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),P x y11,3,,222AN MPx y ⎛⎛⎫∴=-=--⎪⎝⎝⎭111522224AN MP x y x ⎛⎫∴⋅=---=-+ ⎪⎝⎭⎭数形结合可得：77,44AN MP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦答案：77,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例7：平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=-==，则a b ⋅的最小值是______ 思路：本题条件中有1e =，而1,2a e b e ⋅=⋅=可利用向量数量积的投影定义得到,a b 在e 上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以e 的起点为原点，所在直线为x 轴建立坐标系，则,a b 起点在原点，终点分别在1,2x x ==的直线上，从而,a b 可坐标化，再求出a b ⋅的最值即可解：如图建系可得：()()1,,2,a ab b == 由2a b -=()223a b=⇒-=而2a b ab ⋅=+，由轮换对称式不妨设a b >，则a b b a -=⇒=-(225522244a b a a a a ⎛⎫∴⋅=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭()min 54a b ∴⋅=答案：54例8：已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 . 思路：本题由于l 为过M 的任一直线，所以:,:A P A B A Q A C的值不确定，从而不容易利用三边向量将,BQ CP 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而,,,A B C M 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l 方程，与,AB AC 方程联立解出,P Q 坐标，从而BQ CP ⋅可解出最大值解：以,BC AM 为轴建立直角坐标系()()(1,0,1,0,,0,3B C A M ⎛- ⎝⎭设直线:3l y kx =+由()()(1,0,1,0,B C A -可得：)):1,:1AB y x AC y y x =+==-):31y kx P y x ⎧=+⎪∴⎨⎪=+⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩):31y kx Q y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5333153,,k k BQ CP⎛⎫⎛++ ⎪ ∴==()()22222257593162239333k k k BQ CP k k k --+∴⋅=+=+=--- ()222226221618401406333333k k k k k ⎛⎫+-+⎛⎫===⋅+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 若直线与,AB AC相交，则33k ⎡∈-⎢⎣⎦ 21401402266333039BQ CP k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-≤-=-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 答案：229-例9：如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，PQR 是圆O 的内接正三角形，当PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是（ ）A. 1⎡+⎣B. 11⎡--+⎣C. 1122⎡---+⎢⎣ D.1122⎡-+⎢⎣思路：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐标系，为了使坐标易于计算，可以O 为坐标原点如图建系：()()0,0,1,1O A --，确定,Q R 点的坐标是一个难点，观察两个点之间的关系，无论PQR 如何转动，23ROQ π∠=，如何从这个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢：考虑圆的参数方程（参数的几何意义为圆心角，与角度相联系），设()cos ,sin R θθ，从而[)()22cos ,sin 0,233Q ππθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，用θ的三角函数将两点坐标表示出来，从而可求出AQ OR ⋅的范围yx解：22cos 1,sin 133AQ ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()cos ,sin OR θθ=22cos cos 1sin sin 133AQ OR ππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴⋅=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11=cos cos 1sin sin 12222θθθθθθ⎡⎤⎡⎤-+++--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2211=cos cos cos sin cos sin 2222θθθθθθθθ-++--+11=sin cos 224πθθθ⎛⎫-++=-++ ⎪⎝⎭ [)0,2θπ∈ 1122AQ OR ⎡∴⋅∈---+⎢⎣答案：选C小炼有话说：在直角坐标系中涉及到圆上的点，除了想到传统坐标之外，还应想到圆的参数方程，尤其是题目中有关于圆心角的条件时（例如本题中的23ROQ π∠=），可依靠参数的几何意义将条件充分的利用起来。
10314向量坐标运算与数量积(答案)共9页word资料
向量的坐标表示及其运算、向量的数量积基本概念总结：一、 向量的坐标表示及其运算向量是既有大小又有方向的量。
在平面内可用带箭头的线段来表示，线段长表示大小，箭头表示方向。
两个向量可以根据平行四边形法则，三角形法则进行加，减运算，这始终是几何法。
为了使向量运算代数化，数形结合，我们在平面内建立直角坐标系后，可以把其放置于坐标系中考虑。
平面内任意的向量都可以把它的起点移到坐标原点，平移后的向量与原向量相同。
所以我们称所有始点为原点的向量为位置向量，这样就能将向量的位置确定下来，通过点的坐标，将向量的几何运算转化为代数运算，即坐标运算。
平面内任意的向量都唯一对应着与它相等的位置向量，位置向量由位置向量的终点确定。
每一个位置向量的终点与平面内的点是一一对应的。
1）把与X 轴正半轴同方向的单位向量记作i r ，把与Y 轴正半轴同方向的单位向量记作j r见图则12OA OA OA x y i j =+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r r u r即a OA x i y j ==⋅+⋅r u u u r r r 它们的系数,x y 恰为向量OA u u u r的终点A 的坐标，我们把有序实数对,x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =r2）有了向量的坐标，向量的运算可转化为向量的坐标运算设1122(,),(,),a x y b x y ==r r则（1）1212(,)a b x x y y +=++r r；（2）1212(,)a b x x y y -=--r r；（3）12(,)(a x x λλλλ=r为实数)3）设点P 和Q 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则1122(,),(,)OP x y OQ x y ==u u u r u u u r，则2121(,)PQ OQ OP x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r如图4） 已知P 是直线12P P 上的点，且12PP PP λ=u u u r u u u r（λ为任意实数，且1λ≠-），12,P P 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，求点P 的坐标(,)x y 。
高中数学考前百问扫描高三数学基础知识基本技能基本思想基本题型提醒 试题(共21页)
考前百问扫描(sǎomiáo)表数列道哪些性质？〔8条以上〕。
你知道有哪些通项公式吗？求和公式呢？你会把通项公式与求和公式写成函数形式吗？你会多少变式？如对于等差数列的求和公式有——3、你知道等比数列的定义、图象与性质吗？除了课本性质以外，你还知道哪些补充性质？〔8条以上〕。
你知道有那些通项公式吗？求和公式呢？你会把通项公式与求和公式写成函数形式吗？你知道“万能通项公式〞吗？〔an=Sn-=Sn-1，n≥2，a1=S1单列。
〕4、你会用函数观点处理数列问题吗？例如，把等差数列的通项公式以及求和公式写成函数形式是怎样的？这有什么好处？5、你有抓根本量的意识吗？你有用整体法处理数列问题的习惯吗？6、你知道从递推公式求数列的通项公式有哪些方法吗？〔9种左右〕口诀是什么？〔有套就套,没套就造, 待定系数猜后证；作差累加,作商累乘,同取倒对同平开〕7、你知道数列求和有哪些常见的方法吗？〔9种左右〕，口诀是什么？〔套、倒、错、拆、裂、猜、造〕8、你知道解数列题目容易犯的三个错误吗？〔1、无视n=1的情形；2、无视公比q=1的情形；3〕请自己写一个9、你会科学设元吗？Σ常用来简单得表示什么运算？10、 12+22+32+…+n2=？13+23+33+…+n3=？11、你知道无穷递缩等比数列的各项和的公式吗？怎样得来的？三1、你知道三角函数的知识体系吗？〔三角函数分为三大块，第一块是任意角的三角函数，包括三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数的关系，和差角的公式，倍角半角的公式，一一共是5组，都要分类记牢。
第二块是三角函数的图象和性质，这才是真正意义上的三角函数，包括正弦函数、角函数余弦函数正切函数以及余切函数的图象和性质，其性质当然也是从三性二域方面去研究。
第三块是三角形，包括三角形的各种性质，尤其是正弦定理、余弦定理、射影定理、正弦面积公式、五心及其性质〕2、你有“看角看名看构造〞的习惯吗？你知道升幂公式与降幂公式吗？你知道万能公式吗？三角不等式或者三角方程的解集你记得注明K∈Z吗？3、你会用凑角法求三角函数值吗？请举例说明常见的凑角形式。
千题百炼- 函数的性质综合应用必刷100题(原卷版)
专题04函数的性质综合应用必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题一、单选题1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（ ）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭2．（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x 满足22()()326f x f x x x +-=++，则（ ）A ．()f x 的最小值为2B ．x R ∃∈，22432()x x f x ++>C ．()f x 的最大值为2D ．x R ∀∈，22452()x x f x ++>3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（ ）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0,1]D ．[1,1]-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x 2+1）＝x 4，则函数y ＝f （x ）的解析式是（ ） A ．()()21,0f x x x =-≥ B ．()()21,1f x x x =-≥ C ．()()21,0f x x x =+≥ D ．()()21,1f x x x =+≥5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数()f x 满足()()()222f a b f a f b +=+对,a b ∈R 恒成立，且(1)0f ≠，则(2021)f =（ ）A ．1010B ．20212C ．1011D ．202326．（2021·安徽·六安二中高三月考）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21x f x =-，则当0x <时，()f x =（ ） A ．21x -- B ．21x -+ C ．21x --- D ．21x --+7．（2021·河南·高三月考（理））||||2()x x x e f x e -=的最大值与最小值之差为（ ）A ．4-B ．4eC ．44e- D ．08．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞- D ．()3,-+∞9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数()(1ln 31xxa x f x x a +=+++-（0a >，1a ≠），且()5f π=，则()f π-=（ ） A ．5- B ．2C ．1D ．1-10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（ ）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数()()221xf x a a R =-∈+为奇函数，则实数a =（ ）. A ．2-B ．1-C ．0D ．112．（2022·上海·高三专题练习）函数()2020sin 2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(,1]-∞13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时，()2f x '>恒成立，若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足1(2)()f x f x +=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，则()2021f 等于（ ） A ．4 B ．2C ．2-D ．2log 716．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数()f x 是定义在[3,2]a --上的奇函数，且在[3,0]-上单调递增，则满足()()0f m f m a +->的m 的取值范围是（ ） A ．5,82⎛⎤⎥⎝⎦B ．5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[]2,3D ．[]3,3-17．（2021·浙江·高三期中）已知0a >，0b >，则“2ln39b a ab>-”是“a b >”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭19．（2021·全国·高三期中）已知()2f x +是偶函数，当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3b f =，()4c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()13f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（ ）A ．2022B ．0C ．3D ．2022-21．（2021·河北·高三月考）已知函数()3()21sin f x x x x =+++，则()(32)4f x f x -+-<的解集为（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,)+∞22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数()()12x x f x e e －＝+，记12a fπ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，1log 2b f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，()c f π＝，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．无法确定24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．425．（2021·江西·高三月考（文））若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且()30f =，则满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为（ ） A ．(][),15,-∞-+∞ B ．[][]3,05,-+∞ C ．[][]1,02,5-D ．(][),10,5-∞-26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（ ） A ．f 3()2<f 1()4-<f 1()4B ．f 1()4<f 1()4-<f 3()2C ．f 3()2<f 1()4<f 1()4-D ．f 1()4-<f 3()2-<f 1()427．（2022·全国·高三专题练习）函数()342221x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，则不等式()1f x ≥的解集是（ ） A ．()513⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，， B ．(]5133⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦，， C ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．533⎡⎤⎢⎥⎣⎦，28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数()f x 满足()()4f x f x =-+，若()23f =，则()2022f =（ ） A ．3 B ．-3 C ．6 D ．202229．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数2()ln(231)f x x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞30．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ）A ．404B ．804C ．806D ．40231．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则f (x 1)＋f (x 2)的值（ ） A ．可正可负 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．恒小于032．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈，则下列函数中，不是奇函数的为（ ） A ．()()11f x f x -+ B ．()()11f x f x +-C ．()()1f x f x -D ．()()1f x f x +33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2log 3 B ．1C ．1-D ．034．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（ ）． A ．2021 B ．1 C ．0D ．1-二、多选题35．（2021·全国·高三月考）()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()()2log 2f x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的一个周期为4B ．()20221f =C ．当[]2,3x ∈时，()()2log 4f x x =--D ．函数()f x 在[]0,2021内有1010个零点36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数()321x f x x +=-，正确的说法是（ ） A ．()f x 有且仅有一个零点 B ．()f x 在定义域内单调递减 C ．()f x 的定义域为{}1x x ≠ D ．()f x 的图象关于点()1,3对称37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（ ） A ．函数()f x x =与()2g x =是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．函数4sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值为4 D ．设函数22,0()2,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 在R 上单调递增38．（2021·福建·高三月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()13f x f x +=-，()()13f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为4 B ．()f x 的图象关于直线2x =对称 C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最大值为2 D ．当68x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12-39．（2022·全国·高三专题练习）设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（ ） A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称； B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称； C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称； D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称.40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数sin ()()x f x e x R =∈，则下列论述正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为e ，最小值为0 B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期函数，且最小正周期为2πD ．不等式()f x ≥5,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭41．（2021·全国·模拟预测）已知函数()21xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 在(),1-∞上是增函数 B ．函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称C ．函数()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得直线//AB x 轴D ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称第II 卷（非选择题）三、填空题43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数()f x =__________，使之同时具有如下性质： ①图象关于直线2x =对称；②x R ∀∈，(4)()f x f x +=．44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数()f x 满足()()416f x f x +-=，且当(]0,1x ∈时，()[]222()f x f x =，则()3f -=___________.45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R 上的函数f (x )满足()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，则23(log 8)2f +＝___．46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，2(2),[3,1)(),[1,3)x x f x x x ⎧-+∈--⎪=⎨∈-⎪⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n N =∈*，{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =_________．47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数()3121x f x m x⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭为偶函数，则m 的值为________．48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为______.49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________.50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359xf xg x x x +=-++，则()()13f g -+=______．任务二:中立模式(中档)1-30题一、单选题1．（2021·河南平顶山·高三月考（文））若函数2233()1x x f x x ++=+的最大值为a ，最小值为b ，则a b +=（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82．（2021·重庆南开中学高三月考）函数()1xf x x=+，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．()y f x =的图象关于点()1,1-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为()1,1-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点3．（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为（ ）A ．(),e -∞B ．(),1-∞C ．(),e +∞D ．()1,+∞4．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-5．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）已知,,(0,1)a b c ∈，且22ln 1a a e -+=，222ln 2b b e -+=，232ln 3c c e -+=，其中e 是自然对数的底数，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（ ） A ．2- B ．0C ．2D ．47．（2021·陕西·武功县普集高级中学高三期中（文））已知函数()()2020sin 2020f x x x =+，若()()21f x x f m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)2,+∞D ．(],1-∞8．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．14 B ．18C ．78-D ．38-9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61iji x y =+=∑（ ） A ．0 B ．6C ．12D ．2410．（2021·河南·高三月考（理））对于函数()f x ，122x x a +=时，()()122f x f x b += ，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称．探究函数()x f x =图象的对称中心，并利用它求12021()()()()202220222230222022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．4042 B．C ．2022 D ．202111．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()()22,031log 1,3x x f x x x -+≤<⎧=⎨-+≥⎩，若对任意的[],1x t t ∈+，不等式()()()12f x f x t f -≤++-恒成立，则实数t 的最小值为( ) A ．-1 B ．23-C ．13-D ．1312．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，21,01()44,12x e x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩，若关于x 的不等式||()m x f x ≤的整数解有且仅有7个，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,53e e --⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,53e e --⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,75e e --⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,75e e --⎛⎤⎥⎝⎦13．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知2()sin 20211xf x x =++，其中()f x '为函数()f x 的导数.则(2021)(2021)(2022)(2022)f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2021D ．202214．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+<，若2211(),2(2),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<15．（2021·天津·南开中学高三月考）已知ln 22a =，1e b =，2ln39c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>16．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足1()()02f x f x '+>且有1(2)f e =，则()f x >的解集为（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞17．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．3618．（2021·北京十四中高三期中）函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()22f x f x ππ-=+，且当[0,)x π∈时，2sin ()xf x x πx π=-+，给出下列四个结论：①()0f π=；②π是函数()f x 的周期；③函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增；④函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和为3π． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．①③④ D ．①②③④19．（2021·江苏扬州·高三月考）已知32a >且33ln ln 22a a =，2b >且ln22ln b b =，52c >且55lnln 22c c =，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c << D ．a c b <<20．（2021·福建·福州四中高三月考）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥，则m 的取值范围是（ ） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多选题21．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2cos2x xf x x=+，则下列关于()f x 判断正确的是（ ）A ．()f x 是以π为周期的周期函数B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x的值域为⎡⎢⎣⎦D ．函数()f x 的图象可由函数cos242sin 2x y x =+的图象向右平移4π个单位长度获得22．（2021·全国·高三专题练习）函数()f x 对任意实数x 都有()()f x f x ππ+=-，若()()()2f x f x g x +-=，1()()()2g x g x f x π++=，2()(),(),2cos 2()0,(),2g x g x x k k Z x f x x k k Z πππππ-+⎧≠+∈⎪⎪=⎨⎪=+∈⎪⎩则以下结论正确的是（ ）A ．函数()g x 对任意实数x 都有()()g x g x ππ+=-B ．函数1()f x 是偶函数C ．函数2()f x 是奇函数D ．函数1()f x ，2()f x 都是周期函数，且π是它们的一个周期23．（2022·全国·高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数24．（2021·重庆·高三月考）定义域在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（ ）A ．()00f >B ．()421f e >-C ．()()()2021202021f ef e ->-D ．()()22202120201f e f e ->-25．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 对任意的实数x ，y 满足()()()()cos 222f x f y x y x y f π++-=⋅，且1(0)(1)0,()12f f f ===，并且当1(0,)2x ∈时，()0f x >，则下列选项中正确的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在11(,)22-上单调递增C ．函数()f x 是以2为周期的周期函数D ．5()02f -=第II 卷（非选择题）三、填空题26．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3x f x e >的解集为________________．27．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________.28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.29．（2021·广东·大埔县虎山中学高三月考）已知函数())2log f x x =，若任意的正数,a b ，满足()()410f a f b +-=.则19aa a b++的最小值_____.30．（2021·上海·格致中学高三月考）已知函数()f x 的定义域()0,D =+∞，且对任意12,x x D ∈，恒有()()()1212f x x f x f x =+，当1x >时，()0f x <，若()()2212f m f m ->-，则m 的取值范围是______________．任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x ≥时，有22()()f x xf x x +'>，则不等式()()()220182018420x f x f +++-<的解集为（ ） A ．(),2016-∞- B ．()2016,2012-- C ．(),2018-∞- D ．()2016,0-2．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））设函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，()f x '为()f x 的导函数，当0x >时，ln ()()0x x f x f x '⋅+>，则使得()2()01x f x x +≤-成立的x 的取值范围（ ）A ．(](),20,1-∞-B ．[)2,0(0,1)-C ．[)2,0(1,)-+∞D ．(](),21,-∞-+∞3．（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）已知()f x 是定(,0)(0,)-∞+∞的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f <，且满足：()()ln 0f x f x x x+'⋅<，则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)-∞ D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞4．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））定义在R 上的函数()f x ，满足对于任意0x ≠总有1()()f x f x =--成立，且当(1,1]x ∈-时2,01()1<<0x x x f x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-⎪⎩，函数,>1(),01,<0a x g x ax a x a x ⎧⎪=+≤≤⎨⎪-⎩.设两函数图像交点坐标为1122(),(,),(,)n n x y x y x y ⋅，当121n x x x =-时，实数a 的取值范围为（ ）A ．1(0,3(,1)4- B ．1(0,)(1,324+C ．1(3)(1,)4-+∞D ．1(3)(1,324-+5．（2021·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．186．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，1(1)3f -=-，对于任意的实数x 均有ln3()()f x f x '⋅<成立，且1()12y f x =-+的图像关于点（12，1）对称，则不等式2()30x f x -->的解集为（ ） A ．（1，+∞） B ．（-1，+∞） C ．（-∞，-1） D ．（-∞，1）7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，若()()1f x f x '>+，()(6)2f x f x +-=，(6)5f =，则不等式()210x f x e ++<的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(0,3)D ．(3,6)8．（2021·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．929．（2021·黑龙江大庆·高三月考（理））设()e 2ln e 2a +=+，2ln 2b =，2e 4ln 4c =-，其中e 是自然对数的底数，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<10．（2021·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ） A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭11．（2021·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ） ①()0,1m ∈；②()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ③函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③12．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，若()()1x f f x '+>，()()6f x f x ''=-，()31f =，()65f =，则不等式()ln 210f x x ++<的解集为（ ） A ．()0,1 B ．()0,3 C ．()1,3 D ．()3,6二、多选题13．（2021·江苏如皋·高三月考）已知函数()y f x =满足：对于任意实数,R x y ∈，都有()()2()cos f x y f x y f x y ++-=，且(0)0f =，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．R,()1x f x ∀∈≤D ．()f x 在ππ[,]22-上是增函数14．（2021·海南·高三月考）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当[0,3]x ∈时，21,[0,1]()(2),(1,3]x x f x f x x ⎧-∈⎪=⎨--∈⎪⎩，当3x >时，1()(4)2f x f x =-，则以下结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．任意()()1212,,2x x R f x f x ∈-≤C ．1(10)4f -=-D ．()f x 在区间[2,4]上单调递增15．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数sin cos ()e e x x f x =-，下列说法中正确的是（ ）A ．()()f x f x -=B ．()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数 C ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数 D ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一极值点第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.18．（2021·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =-有三个零点，则实数a 的范围为________．19．（2021·湖北·襄阳四中高三月考）已知()sin x x f x e e x x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围___．20．（2021·浙江·模拟预测）已知0a >，b R ∈，若()3242||2ax bx ax bx a b x b -+≤+++对任意122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则b a的取值范围是______．。
数学百炼 向量的数量积——坐标法
3 a2
3a 2 a
3
55
2 4 4
a b 5 min 4
答案： 5 4
例 8：已知点 M 为等边三角形 ABC 的中心， AB 2 ，直线 l 过点 M 交边 AB 于点 P ，交
边 AC 于点Q ，则 BQ CP 的最大值为
.
思路：本题由于 l 为过 M 的任一直线，所以
x
1 2
1 2
x
1 3
3y
3 2
y
3 6
E
1 3
,
3
6
AD 0,
3 2
,
BE
5 6
,
3
6
答案： AD BE 1 4
AD BE 1 4
例 2：（2012 江苏，9）如图，在矩形 ABCD 中， AB 2, BC 2 ， D
面上任一向量 a ，均有 a xi y j ，其坐标为 x, y ，从图上可观察到恰好是将向量 a 起
点与坐标原点重合时，终点的坐标 （3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设
A x1, y1 , B x2, y2 ，则 AB x2 x1, y2 y1 （可记为“终” “起”），所以只要确
P
:
y
kx
3 3
x
23
解得：
3 k 3
y
3 x 1
y
最新千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第33炼-向量的模长问题代数法(含模长习题)
第33炼 向量的模长问题——代数法一、基础知识：利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0a a a a =⋅=r r r r 可得：22a a =r r ，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。
要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若(),a x y =r ，则a =r 某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题例1：在ABC V 中，O 为BC 中点，若1,3,60AB AC A ==∠=o，则OA =u u u r_____思路：题目条件有1,3,60AB AC A ==∠=o，进而AB AC ⋅u u u r u u u r可求，且OA u u u r可用,AB AC u u u r u u u r 表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题解：O Q 为BC 中点 ∴可得：()12AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r()()2222211224AO AO AB AC AB AB AC AC ⎡⎤∴==+=+⋅+⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r代入可求出：213=4AO u u u rAO ∴=u u u r例2：若,,a b c r r r 均为单位向量，且()()0,0a b a c b c ⋅=-⋅-≤r r r r r r ，则a b c +-r r r的最大值为（ ） A.1- B. 1 C.D. 2思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将a b c +-r r r平方，转化为数量积问题，再求最值。
高考数学 热点题型和提分秘籍 专题20 平面向量的数量积 文
专题20 平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系热点题型一 平面向量的数量积运算例1、【2017课标II ，文12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】B【变式探究】 (1)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝__________。
(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →·CB →的值为__________，DE →·DC →的最大值为__________。
【答案】（1）2 （2）1 1【解析】(1)由c ＝t a ＋(1－t )b 得，b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，整理得t |a ||b |c os60°＋(1－t )|b |2＝0，化简得12t ＋1－t ＝0，所以t ＝2。
(2)方法一：如图所示，以AB ，A D 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，设E (t ，0)，0≤t ≤1，则D (0，1)，B (1，0)，C (1，1)，DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝1。
【提分秘籍】向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos θ。
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2。
向量的数量积问题知识点专项练习含答案解析(高考数学提分)
第18讲 向量的数量积问题一．解答题（共16小题）1．已知圆22:2O x y +=交抛物线2:2(0)C y px p =>的准线于M ，N 两点(M 点在上方），且OM ON ⊥．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若MA MB ⊥，求直线l 的斜率．2．已知抛物线C 的焦点在x 轴上，顶点在原点且过点(2,1)p ，过点(2,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作y 轴的垂线交C 于点N ．（1）求抛物线C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．3．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)A -． （1）求抛物线C 的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于(OA O 为坐标原点）的直线l ，使得直线OA 与l 在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由．（3）过抛物线C 的焦点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，设1l 与抛物线C 相交于点M ，N ，2l 与抛物线C 相交于点D ，E ，求MD NE ⋅的最小值．4．已知(2,2)E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)D 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（不同于点)E ，直线EA ，EB 分别交直线2x =-于点M ，N （1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程； （2）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值．5．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =． （1）分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）经过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：AB MF ⊥； （3）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''，(M B A '''，B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出点M '及两切线方程，若不存在，试说明理由．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且满足2210PF F F ⋅=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且(OM ON O ⊥为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l 相切，并求该圆的方程．7．设A ，B 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN ∆为等腰直角三角形． （1）求双曲线C 的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点F 点距离的最小值为3， （ⅰ）求双曲线方程；（ⅱ）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过x 由．8．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点圆22212:(||2)O x y c F F c +==与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，已知1(0,)4M ，若MA MB ⋅为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．9．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线2y x =的交点分别为A ，B ，四边形12AF BF 的面积为4． （1）求双曲线C 的方程； （2）已知l 为圆224:3O x y +=的切线，且与C 相交于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅．10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，且离心率e ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1()x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．12．已知圆22:0G x y x +--=，经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点(m ，0)()m a >倾斜角为34π的直线l 交椭圆于C ，D 两点． （1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．13．设A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：MBP ∆为钝角三角形．14．设A ，B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，证明点B 在以MN 为直径的圆内．15．设A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线4x =是它的右准线． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线BP 于椭圆相交于两点B ，N ，求证：NAP ∠为锐角．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若△12BF F 的周长为6，且离心率12e =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设1A ，2A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于1A ，2A 的任意一点，直线1A P 交直线14x =于点M ，求证：以MP 为直径的圆过点2A ．第18讲 向量的数量积问题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．已知圆22:2O x y +=交抛物线2:2(0)C y px p =>的准线于M ，N 两点(M 点在上方），且OM ON ⊥．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若MA MB ⊥，求直线l 的斜率．【解答】解：（1）由题意可得22p⋅=2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）由（1）可知焦点F 的坐标为(1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 所以(1,2)A ，(1,2)B -，抛物线的准线方程为1x =-，联立圆O 的方程222x y +=，所以(1,1)M -，所以(2,1)MA =，(2,3)MB =-， 所以1MA MB ⋅=， 不满足MA MB ⊥，所以直线l 的斜率不存在不满足条件．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-， 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则212224k x x k ++=，121x x =，则124y y k+=，124y y =-， 又(1,1)M -，所以1(1MA MB x ⋅=+，121)(1y x -⋅+，22)y - 12121212()1x x x x y y y y =+++-++2224411410k k k+=++--+=，解得2k =，所以直线l 的斜率为2．2．已知抛物线C 的焦点在x 轴上，顶点在原点且过点(2,1)p ，过点(2,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作y 轴的垂线交C 于点N ．（1）求抛物线C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意可设抛物线C 的方程为22y px =，而(2,1)P 在抛物线上， 14p ∴=，即14p =， ∴抛物线C 的方程为：212y x =． （2）由题意可设:2l x ty =+，代入212y x =，得：2220y ty --=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则121y y =-，122t y y +=，212121212(2)(2)2()44x x ty ty t y y t y y ∴=++=+++=，2121212(2)(2)()442t x x ty ty t y y +=+++=++=+，2(8t N ∴，)4t ，21(8t NA x =-，1)4t y -，22(8t NB x =-，2)4t y -，若以AB 为直径的圆M 经过点N ，则221212()()()()08844t t t tNA NB x x y y =--+--=，24212121212()()0864416t t t t x x x x y y y y ∴-+++-++=，4212640t t ∴+-=，即24t =，2t =±． ∴存在直线l ，l 的方程：22x y =±+．3．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)A -． （1）求抛物线C 的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于(OA O 为坐标原点）的直线l ，使得直线OA 与l 在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由．（3）过抛物线C 的焦点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，设1l 与抛物线C 相交于点M ，N ，2l 与抛物线C 相交于点D ，E ，求MD NE ⋅的最小值． 【解答】解：（1）将(1,2)-代入22y px =，得2(2)21p -=⨯，解得2p =． 故所求抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-． （2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为2y x t =-+， 由224y x ty x=-+⎧⎨=⎩得2220y y t +-=． 直线l 与抛物线C 有公共点， ∴△480t =+，解得12t -，由直线OA 与l 的距离d =，解得1t =±． 11[,)2-∉-+∞，11[,)2∈-+∞，∴符合题意的直线l 存在，其方程为210x y +-=．（3）由题意可知：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，设直线1l 的斜率为0k ≠，则1l 的方程为(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，∴212224k x x k ++=，121x x =．12l l ⊥，∴直线2l 的斜率为1k -，方程为1(1)y x k =--，设3(D x ，3)y ，4(B x ，4)y ．联立21(1)4y x ky x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，化为22(24)10x k x -++=， ∴23424x x k +=+，341x x =．∴()()MD NE MF FD NF FE ⋅=+⋅+MF NF MF FE FD NF FD FE =⋅+⋅+⋅+⋅ ||||||||MF FN EF FD =+1234(1)(1)(1)(1)x x x x =+++++121234342x x x x x x x x =++++++224121242k k=++++++22184()84216k k =+++⨯，当且仅当1k =±时取等号． ∴当1k =±时，MD NE ⋅的最小值为16．4．已知(2,2)E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)D 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（不同于点)E ，直线EA ，分别交直线2x =-于点M ，N （1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程； （2）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值． 【解答】解：（1）将(2,2)E 代入22y px =，得1p =，∴抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(2，0)，准线方程12x =-；．⋯（3分）（2）证明：设21(2y A ，1)y ，22(2y B ，2)y ，(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y ，因为直线l 不经过点E ，则直线l 的斜率存在， 设直线l 方程为(2)y k x =-，与抛物线方程联立得到2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，整理得：2240ky y k --=，则由韦达定理得：122y y k+=，124y y =-，⋯（6分）直线AE 的方程为：12122(2)22y y x y --=--， 即12(2)22y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+，⋯（9分） 同理可得：22242N y y y -=+，⋯（10分）又(2,)M OM y =-，(2,)N ON y =-，则121224244422M N y y OM ON y y y y --=+=+⨯++， 1212121244(44)4[2()4]4404[2()4]44y y y y k y y y y k--+-++=+=+=⋯+++-++（13分）OM ON ∴⊥，即MON ∠为定值2π．⋯（14分）． 方法二：证明：设21(2y A ，1)y ，22(2y B ，2)y ，(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y ，设直线l 方程为2x my =+，于抛物线方程联立得222x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得：2240y my --=，则由韦达定理得：122y y m +=，124y y =-，⋯（6分） 直线AE 的方程为：12122(2)22y y x y --=--， 即12(2)22y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+，⋯（9分） 同理可得：22242N y y y -=+，⋯（10分）又(2,)M OM y =-，(2,)N ON y =-，则121224244422M N y y OM ON y y y y --=+=+⨯++， 121212124[2()4]4(424)440[2()4]424y y y y m y y y y m -++--+=+=+=⋯+++-++（13分）OM ON ∴⊥，即MON ∠为定值2π．⋯（14分） 5．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =． （1）分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）经过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：AB MF ⊥； （3）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''，(M B A '''，B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出点M '及两切线方程，若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）抛物线2:2C x py = (0)p >的焦点为(0,1)F ， 可得12p=，解得2p =， 可得抛物线C 的方程为24x y =；设椭圆E 的方程为22221x y a b+= (0)a >，半焦距为c ．由已知可得：c e a ==，1b =，222a b c -=， 解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）证明：显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意， 故可设直线l 的方程为1y kx =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 12()x x ≠，代入抛物线方程24x y =，消去y 并整理得2440x kx --=，124x x ∴=-． 抛物线C 的方程为214y x =，求导得12y x '=，∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是1111()2y y x x x -=-，2221()2y y x x x -=-， 即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-， 解得两条切线1l ，2l 的交点M 的坐标为12(2x x +，12)4x x ，即12(2x x M +，1)-， 12(2x x FM AB +=，212)(x x --，2222212121111)()2()0244y y x x x x -=---=， AB MF ∴⊥．（3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上， 又直线1y =-与椭圆E 有唯一交点，故M '的坐标为(0,1)M '-， 设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为0001()2y y x x x -=-，其中点0(x ，0)y 为切点． 令0x =，1y =-，得2000111(0)42x x x --=-，解得02x =或02x =-，故不妨取(2,1)A '-，(2,1)B '，即直线A B ''过点F ． 综上所述，椭圆E 上存在一点(0,1)M '-，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），能使直线A B ''过点F ． 此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且满足2210PF F F ⋅=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且(OM ON O ⊥为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l 相切，并求该圆的方程．【解答】解：（1）满足2210PF F F ⋅=，可得P 的横坐标为c ，纵坐标为2b a ，再由P ，可得2c ==，2b a解得28a =，24b =，所以椭圆的方程为：22184x y +=； （2）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立2228y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：222(12)4280k x mkx m +++-=，则122412mkx x k +=-+，21222812m x x k -=+，2222222121212222(28)48()121212k m mk m k y y k x x km x x m km m k k k ---=+++=+⋅+=+++， 因为OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=， 则12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k --+=++， 可得22388m k =+，原点O 到直线l 的距离d === 所以可证：存在一个确定的圆2283x y +=与直线l 相切．7．设A ，B 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN ∆为等腰直角三角形． （1）求双曲线C 的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点F 点距离的最小值为3， （ⅰ）求双曲线方程；（ⅱ）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）由l x ⊥轴时，AMN ∆为等腰直角三角形， 可得||||||AF NF MF ==，所以2b ac a+=，即2220c ac a --=， 故220e e --=， 因为1e >， 解得2e =，故双曲线C 的离心率为2；（2）()i 由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点F 的距离最小， 最小距离为a c +， 即3a c +=，又2ce a==， 所以1a =，2c =， 所以2223b c a =-=，所以双曲线的方程为：2213y x -=，()ii 由题知直线l 的斜率不为0，设直线:2l x my =+， 1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 与双曲线的方程得22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得，22(31)1290m y my -++=，根据根与系数的关系得，1221231m y y m +=--，122931y y m =-，① 所以121224()431x x m y y m -+=++=-，②221212122342()431m x x m y y m y y m --=+++=-，③ 设直线11:(1)1y AM y x x =++， 直线22:(1)1y AN y x x =++， 令12x =，可得1(2P ，113)2(1)y x +，1(2Q ，223)2(1)y x +， 设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上的任意一点， 则0PG QG ⋅=，则以PQ 为直径的圆的方程为：21212331()[][]022(1)2(1)y y x y y x x -+--=++， 由对称性可得，若存在定点，则一定在x 轴上， 令0y =，可得21212331()022(1)2(1)y y x x x -+⋅=++，即212121291()024[()1]y y x x x x x -+=+++，将①②③代入，可得2222299131()034424(1)3131m x m m m ⨯--+=---++--， 即219()24x -=，解得1x =-或2，所以以PQ 为直径的圆过定点(1,0)-，(2,0)．8．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点圆22212:(||2)O x y c F F c +==与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，已知1(0,)4M ，若MA MB ⋅为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．【解答】解：（1）因为圆22212:(||2)O x y c F F c +==与椭圆C 有且仅有两个公共点， 所以b c =，由题意，得2222213124b ca b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(21)42(1)0k x kmx m +++-=，所以△222222164(21)2(1)8(21)0k m k m k m =-+⋅-=-+>， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由根与系数的关系可得，122421kmx x k -+=+，21222(1)21m x x k -=+， 而1(MA x =，11)4y -，2(MB x =，21)4y -，所以121211()()44MA MB x x y y ⋅=+--121211()()44x x kx m kx m =++-+-22121211(1)()()()44k x x k m x x m =++-++-222222(1)141(1)()()214214m km k k m m k k --=+⋅+-⋅+-++ 2222221111{[2(1)4()2()][2(1)()]}21444m m m m k m m k =---+-+-+-+ 22215131(3)821621k m m k -+--=+， 由MA MB ⋅为定值，可得2151313821621m m ---=，即2620m m --=， 解得12m =-或23m =（满足△0)>，所以直线l 的方程为12y kx =-或23y kx =+， 所以直线l 过定点1(0,)2-或2(0,)3，此时定值为1516-，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x n =，不妨令(A n，(,B n ，则2221153(1)162162n n MA MB n ⋅=+--=-+，又MA MB ⋅为定值，所以0n =， 直线l 的方程为0x =，此时直线l 过点1(0,)2-，2(0,)3，1516MA MB ⋅=-，符合题意，综上，若MA MB ⋅为定值，则直线l 过定点1(0,)2-或2(0,)3，且定值为1516-．9．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线2y x =的交点分别为A ，B ，四边形12AF BF 的面积为4． （1）求双曲线C 的方程； （2）已知l 为圆224:3O x y +=的切线，且与C 相交于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅． 【解答】解：（1）设122F F c =，由直线2y x =是双曲线C 的一条渐近线，可得2ba=①， 因为双曲线C 的准线方程为2a x c=±，则22a x c y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得22a y c =，所以222(,)a a B c c ， 由双曲线的对称性，可得21222124442BOF AF BF a S Sc a c==⨯⨯=四边形，结合四边形12AF BF 的面积为4，可得244a =，解得1a =， 结合①，可得2b =，所以双曲线C 的方程为2214y x -=；（2）①当直线l 的斜率存在时，对于圆224:3O x y +=，不妨考虑:l x ，则由2214x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P Q ， 所以0OP OQ ⋅=；②当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+， 因为这些l 与C 相交于P ，Q 两点，所以2k ≠±， 因为这些PQ 与圆O 相切，=224(1)(*)3m k =+， 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立方程组2214y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得222(4)2(4)0(2)k x kmx m k ---+=≠±，结合(*)，可得△222216(2)4(4)(4)(16)03km k m k =+-+=+>， 则212122224,44km m x x x x k k ++==---， 所以12121212()()OP OQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++221212(1)()k x x km x x m =++++2222222(1)(4)244k m k m m k k ++=-++-- 22234(1)4m k k -+=-， 结合(*)，可得22243(1)4(1)304k k OP OQ k ⨯+-+⋅==-． 综上所述，0OP OQ ⋅=．10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论． 【解答】解：（Ⅰ）依题意得12c a =，122432a b =，又222a b c =+，由此解得2a =，b =． 所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下： 方法1：由（Ⅰ）得(2,0)A -，(2,0)B ．设0(M x ，0)y ．M 点在椭圆上，2203(4)4y x ∴=-． ① 又点M 异于顶点A 、B ，022x ∴-<<． 由P 、A 、M 三点共线可以得006(4,)2y P x +． 从而0(2BM x =-，0)y ，006(2,)2y BP x =+． ∴2220000006224(43)22y BM BP x x y x x =-+=-+++． ②将①代入②，化简得05(2)2BM BP x =-．020x ->，∴0BM BP >，于是MBP ∠为锐角，从而MBN ∠为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内．方法2：由（Ⅰ）得(2,0)A -，(2,0)B ．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则122x -<<，222x -<<，又MN 的中点Q 的坐标为1212(,)22x x y y ++， 依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差222222*********1||||(2)()[()()]4224x x y y BQ MN x x y y ++-=-+--+-1212(2)(2)x x y y =--+ ③直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BP 的方程为22(2)2y y x x =--， 而两直线AP 与BP 的交点P 在直线4x =上， ∴12126222y y x x =+-，即21213(2)2x y y x -=+ ④ 又点M 在椭圆上，则2211143x y +=，即22113(4)4y x =- ⑤于是将④、⑤代入③，化简后可得221215||||(2)(2)044BQ MN x x -=--<．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，且离心率e．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1()x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解答】解法一：（1）由已知得222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪⎨==⎪⎩∴椭圆E 的方程为22142x y +=．（2）设点11()A x y ，2(B x ，2)y ，AB 中点为0(H x ，0)y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为22(2)230m y my +--=，12222m y y m ∴+=+，12232y y m -=+，022my m ∴=+． 9(,0)4G -，222222200000095525||()()(1)44216GH x y my y m y my ∴=++=++=+++． 222222212121212012()()(1)[()4]||(1)()444x x y y m y y y y AB m y y y -+-++-===+-， 故222222012222||52553(1)25172||(1)042162(2)21616(2)AB m m m GH my m y y m m m ++-=+++=-+=>+++．∴||||2AB GH >，故G 在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点11()A x y ，2(B x ，2)y ，则119(,)4GA x y =+，229(,)4GB x y =+．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为22(2)230m y my +--=，12222m y y m ∴+=+，12232y y m -=+，从而121299()()44GA GB x x y y ⋅=+++121255()()44my my y y =+++21212525(1)()416m y y m y y =++++22222253(1)2517202(2)21616(2)m m m m m m ++=-+=>+++． ∴0GA GB ⋅>，又GA ，GB 不共线，AGB ∴∠为锐角．故点9(,0)4G -在以AB 为直径的圆外．12．已知圆22:0G x y x +--=，经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点(m ，0)()m a >倾斜角为34π的直线l 交椭圆于C ，D 两点． （1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）圆22:0G x y x +-=经过点F ，B ．∴(1,0),F B ，∴1,c b ==24a ∴=．故椭圆的方程为22143x y +=，⋯（4分） （2）设直线l 的方程为()(2)y x m m =-->．由22143()x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩消去y 得2278(412)0x mx m -+-=， 设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则212128412,77m m x x x x -+==，⋯（6分） ∴212121212[()][()]()y y x m x m x x m x x m =--⋅--=-++．1(1FC x =-，1)y ，2(1FD x =-，2)y ，⋯（8分）∴212121212127817(1)(1))()17m m FC FD x x y y x x x x y y --⋅=--+=-+++=⋯（10分）点F 在圆G 的内部，∴0FC FD ⋅<，即2781707m m --<，m <<， 由△226428(412)0m m =-->，解得m <<． 又2m >，∴2m <⋯（12分）13．设A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：MBP ∆为钝角三角形．【解答】解：（Ⅰ）由题意：24a =，所以2a =，所求椭圆方程为22214x y b+=；又点在椭圆上，∴231414b +=，21b ∴=； 故所求椭圆方程为：2214x y +=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，(2,0)A -，(2,0)B ，设(4,)P t ，(M M x ，)M y ，则直线PA 的方程为：(2)6ty x =+，(0)t ≠；由22(2)644t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(9)44360t x t x t +++-=； 因为直线PA 与椭圆相交于异于A 的点M ，所以22429M t x t --+=+，所以222189M t x t -+=+；由(2)6M M t y x =+，得269M ty t =+，所以2222186(,)99t t M t t -+++；从而22246(,)99t t BM t t =-++，(2,)BP t =；所以2222228620999t t t BM BP t t t ⋅=-+=-<+++． 又M ，B ，P 三点不共线，所以MBP ∠为钝角；所以MBP ∆为钝角三角形．14．设A ，B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，证明点B 在以MN 为直径的圆内．【解答】解：（Ⅰ）依题意得2a c =，24a c=， 解得2a =，1c =，从而b 故椭圆的方程为22143x y +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)A -，(2,0)B ．设0(M x ，0)y ． M 点在椭圆上，22003(4)4y x ∴=-（1） 又点M 异于顶点A 、B ，022x ∴-<<，由P 、A 、M006(4,)2y P x +． 从而0(2BM x =-，0)y ，006(2,)2y BP x =+． ∴2220000006224(43)22y BM BP x x y x x ⋅=-+=-+++．（2） 将（1）代入（2），化简得05(2)2BM BP x ⋅=-． 020x ->，∴0BM BP ⋅>，则MBP ∠为锐角，从而MBN ∠为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．15．设A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线4x =是它的右准线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线BP 于椭圆相交于两点B ，N ，求证：NAP ∠为锐角．【解答】解：（Ⅰ）依题意得224a c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，从而b ==． 故椭圆的方程为22143x y +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)A -，(2,0)B ，设0(N x ，0)y ， N 点在椭圆上，∴22003(4)4y x =-① 又N 点异于顶点A 、B ，022x ∴-<<，00y ≠由P 、B 、N 三点共线可得002(4,)2y P x -， 从而00(2,)AN x y =+，002(6,)2y AP x =-． 200026122y AN AP x x =++-② 00039612(2)(2)22AN AP x x x =+-+=+． 020x +>，00y ≠，∴0AN AP >于是NAP ∠为锐角．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若△12BF F 的周长为6，且离心率12e =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设1A ，2A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于1A ，2A 的任意一点，直线1A P 交直线14x =于点M ，求证：以MP 为直径的圆过点2A ．【解答】（Ⅰ）解：设1(,0)F c -、2(,0)F c ，由已知可得226a c +=①， 12c a =②又222a b c =+③， 由①②③可求得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （Ⅱ）证明：由题意知1(2,0)A -，2(2,0)A ．设0(P x ，0)y ， 则直线1A P 的方程为00(2)2y y x x =++，当14x =时，00162y y x =+， 所以0016(14,)2y M x +， 又点0(P x ，0)y 在椭圆C 上， 所以22003(1)4x y =-， 因为22(12A M A P =，00016)(22y x x -+，0)y 220000000001612(4)12(2)(2)12(2)12(2)0222y x x x x x x x x --+=-+==--=+++ 所以22A M A P ⊥，因此以MP 为直径的圆过点2A ．。
【高考冲刺押题】高考数学三轮 基础技能闯关夺分必备 向量的数量积(含解析).pdf
向量的数量积 【考点导读】 理解平面向量数量积的含义及几何意义. 掌握平面向量数量积的性质及运算律. 掌握平面向量数量积的坐标表达式. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题. 【基础练习】 1.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 2.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值个数为2个 3.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的垂心（填重心、垂心、外心、内心）。
4. 若,，与的夹角为，若，则的值为 若，且，则向量与的夹角为 120°与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值。
分析:利用及求解. 解：由题意，，且与的夹角为，所以，，，同理可得 而，设为与的夹角，则 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例2.已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：⊥；（2）若，的取值范围. 分析:问题（1）通过证明证明,问题（2）可以利用 解：（1）∵ ，且、、之间的夹角均为120°， ∴ ∴ （2）∵ ，即 也就是 ∵ ，∴ 所以 或． 解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决. 例3.如图，在直角△ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值 分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得 ,再结合直角三 角形和各线段长度特征法解决问题 解： 点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算. 例4.平面上有以O为圆心，以1为半径的圆，圆上有三点A, B,C,向量满足等式,这里. 若证明：； 若证明：为正三角形. 分析:对于问题（1）,抓住所证结论的特征,可将题目所给表达式两边同平方证得, 对于问题（2）,由于是有关三角形形状的问题可以结合余弦定理解决. 解：（1）由两边平方得=,又,∵∴,∴ 由（1）知，而∴， ∴=3,∴,同理可得，,即AB=BC=CA,∴为正三角形. 点拨:要注意平面向量与三角、平几、解几等知识的综合运用，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
高考妙招平面向量常见题型分类汇编
高考妙招平面向量常见题型分类汇编一、利用平面向量待定系数求参数值
二、向量基本定理与不等式,、三角函数相结合
三、坐标系法处理平面向量的数量积
在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。
1、数量积的定值问题
2、数量积的最值问题
3、数量积的范围问题
四、平面向量的投影问题
数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。
（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）
（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题
1、定值问题
2、范围问题
3、综合问题
五、几何法处理平面向量的模长
利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长
六、平面向量与三角形的四心三角形“四心”的向量表示
3、三角形外心与向量
4、三角形内心与向量
七、平面向量的范围最值问题
1、面向量数量积的范围、最值问题
2、平面向量模的取值范围、最值问题
3、平面向量夹角的取值范围、最值问题
4、平面向量系数的取值范围、最值问题
八、共线定理的应用
九、一个向量等式的应用
十、平面向量与三角形面积综合。
高中数学考前100问(最终版)
“ .高中数学考前回归教材资料亲爱的高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下 100 个问题，您是否有清醒的认识？1．集合中的元素具有无序性和互异性.如集合{a,2}隐含条件 a ≠ 2 ，集合 {x | ( x -1)(x - a) = 0}不能直接化成{1,a }.2.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如:{ x | y = lgx }与{ y | y = lgx }及{ (x, y)| y = l gx }三集合并不表示同一集合；再如： 设 A={直线}，B={圆}，问 A ∩B 中元素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？”与“A={(x, y)| x + 2y = 3},B={(x, y)|x 2 + y 2 = 2}, A ∩B 中元素有几个？”有无区别？过关题：设集合 M = {x | y = x + 3}，集合 N ＝ {y | y = x 2 + 1, x ∈ M }，则 MN = ___（答： [1, +∞) ）3 .进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行求解；若 AB= φ ，则说明集合 A 和集合 B 没公共元素，你注意到两种极端情况了吗？ A = φ 或 B = φ ；对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、和非空真子集的个数分别是2n 、 2n - 1 和 2n - 2 ，你知道吗？你会用补集法求解吗？A 是B 的子集 ⇔ A ∪B=B ⇔ A ∩B=A ⇔ A ⊆ B ，你可要注意 A = φ 的情况.过关题：已知集合 A={-1, 2}, B={x| m x + 1 = 0}，若 A ∩B=B ，则所有实数 m 组成的集合为.1答： m = {0,1,- }2已知函数 f ( x ) = 4 x 2 - 2( p - 2) x - 2 p 2 - p + 1 在区间 [-1,1] 上至少存在一个实数 c ，使 f (c) > 0 ，求实数 p 的取值范围.答： (-3, 3 2) ）4 .（1）求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合或区间的形式了吗？（2）你会求分式函数的对称中心吗？过关题：已知函数 f ( x ) = a - x x - a - 1的对称中心是(3, -1)，则不等式 f (x) > 0 的解集是 .答：{x | 2 < x < 3}5 .求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？6 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果 原命题: p ⇒ q ;逆命题: q ⇒ p ;否命题: ⌝p ⇒ ⌝q ；逆否命题: ⌝q ⇒ ⌝p ；互为逆否的两个命题是等价的.如：“ sin α ≠ sin β ”是“ α ≠ β ”的条件.（答：充分非必要条件）若 p ⇒ q 且 q ≠ p ;则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件）;| 注意命题 p ⇒ q 的否定与它的否命题的区别:命题 p ⇒ q 的否定是 p ⇒⌝ q ；否命题是 ⌝p ⇒ ⌝q命题“p 或 q ”的否定是“┐P 且┐Q ”，“p 且 q ”的否定是“┐P 或┐Q ”注意：如 “ a, b ∈ Z ，若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数，则 a + b是奇数”；否定是“若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是奇数”7.绝对值的几何意义是什么？不等式ax + b |< c ，| ax + b |> c (c > 0) 的解法掌握了吗？过关题：| x | + | x – 1|<a 的解集非空，则 a 的取值范围是，| x | – | x – 1|<a 恒成立，则 a 的取值范围是.有解，则 a 的取值范围是.答： a > 1 ； a > 1 ； a > -18.如何利用二次函数求最值？注意对 x 2 项的系数进行讨论了吗？若 (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 1 < 0 恒成立，你对 a - 2 =0 的情况进行讨论了吗？若改为二次不等式 (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 1 < 0 恒成立，情况又怎么样呢？9. （1）二次函数的三种形式：一般式、交点式、和顶点式，你了解各自的特点吗？（2）二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗？你能相互转化吗？（ 3）方程有解问题，你会求解吗？处理的方法有几种？过关题：不等式 a x 2 + b x + 2 > 0 的解集为{x | - 1 1< x < } ，则 a + b = .2 3答： -14过关题：方程 2sin 2 x – sinx + a – 1 = 0 有实数解，则 a 的取值范围是.9答： [-2, ]8特别提醒：二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两根即为不等式 ax 2 + bx + c > 0 (< 0) 解集的端点值，也是二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标.对二次函数 y = ax 2 + bx + c ，你了解系数 a, b , c 对图象开口方向、在 y 轴上的截距、对称轴等的影响吗？对函数 y = lg( x 2 - 2ax + 1) 若定义域为 R ，则 x 2 - 2ax + 1 的判别式小于零；若值域为 R ，则 x 2 - 2ax + 1 的判别式大于或等于零，你了解其道理吗？例如：y = lg(x 2 + 1)的值域为，y = lg(x 2 – 1) 的值域为 ，你有点体会吗？答： [0, +∞);( -∞, +∞)10 求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数 y = log (x 2 - 2x -3)的单调增区间？再如已知函数2y = log (x 2 - 2ax -1)在区间 [2,3] 上单调减，你会求 a 的范围吗？答： 0 < a <a34若函数 y = x 2 - 2ax + 2 的单调增区间为[2, +∞)，则 a 的范围是什么？答： a = 2若函数 y = x 2 - 2ax + 2 在 x ∈ [2, +∞)上单调递增，则 a 的范围是什么？答： a ≤ 2两题结果为什么不一样呢？y 11.函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合函数法等. 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗？（⑴ 比较大小；⑵ 解不等式；⑶ 求参数的范围.）如已知 f ( x ) = 5sin x + x 3 ， x ∈ (-1,1)， f (1- a) + f (1- a 2 ) < 0 ，求 a 的范围. 答： (1, 2)求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间是区间不能用集合或不等式表示.12.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的必要非充分条件）.1过关题：f (x) = a x 2 + b x + 3 a + b 是偶函数，其定义域为[a – 1, 2a]，则 a = , b =.答： ;0313.常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换）函数的图象不可能关于 x 轴对称，（为什么？）如：y 2 = 4x 是函数吗？函数图象与x 轴的垂线至多一个公共点，但与 轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个； 函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆；图象关于 y 轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数.指数函数与对数函数关于直线y = x 对称，你知道吗？过关题：函数 y = 2f (x – 1)的图象可以由函数 y = f (x)的图象经过怎样的变换得到？过关题：已知函数 y = f (x) (a ≤x ≤b )，则集合{(x, y)| y = f (x) ,a ≤x ≤b } ∩{(x, y)| x = 0}中，含有元素的个数为（ ）A. 0 或 1B. 0C. 1D. 无数个答： A14.由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = f (- x ) 的图象？答：以 y 轴为对称轴翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = - f ( x ) 的图象？答：以 x 轴为对称轴翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = - f (- x ) 的图象？答：以 (0,0) 为对称中心翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = f (| x |) 的图象？答：去左翻右⑴ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于 x 轴的对称的曲线 C 是： . 答： f ( x , - y) = 0 1⑵ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于 y 轴的对称的曲线 C 是：.答： f (- x , y) = 0 2 ⑶ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = x 的对称的曲线 C 是： . 答： f ( y , x) = 0 3⑷ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = - x 对称的曲线 C 是：.答： f (- y , - x ) = 04⑸ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = x + m 的对称的曲线 C 是：.答： f ( y - m , x + m ) = 0 5⑹ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = -x + m 的对称的曲线 C 是：.答： f (m - y , m - x) = 06⑺ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 x = m 对称的曲线 C 是： .答： f (2m - x, y) = 0 7⑻ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = m 对称的曲线 C 是： .答： f ( x ,2 m - y) = 08 ⑼ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于原点的对称的曲线 C 是：.答： f (- x , - y) = 09过关题： f (x) = log x 关于直线 y = x 的对称函数（反函数）.答： y = 2x或 [ b 的单调区间吗？（该函数在 (-∞,-. y指数式、对数式：a n = n a m ，a - n = 1 ，a 0 = 1 ，log 1 = 0 ，log a = 1 ，lg 2 + lg5 = 1 ，log x = ln x ，215.函数 y = x + kx(k > 0) 的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式求最值的联系是什么？若 k ＜0 呢？ 你知道函数bab b,+∞) 上单调递增；在 (0, ] 或 [- ,0) 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！a a a求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值.16.(1)切记：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质]过关题： y = log1 (-x2+ 2x )的单调递增区间是________(答：（1,2）).2已知函数 f (x) = log 3 x + 2, x ∈[1, 9]，则函数 g (x) = [f (x)] 2 + f (x 2)的最大值为 . 答：13求解中你注意到函数 g (x)的定义域吗？(2)抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？（即找函数原型）过关题 12：已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T ，则 f (-（答：0）几类常见的抽象函数 ：①正比例函数型： f ( x ) = kx(k ≠ 0) --------------- f ( x ± y ) = f ( x ) ± f ( y ) ；T2) = __x ②幂函数型： f ( x ) = x 2 -------------- f ( x y) = f ( x ) f ( y) ， f ( ) =y f ( x ) f ( y)；③指数函数型： f ( x ) = a x ---------- f ( x + y) = f ( x ) f ( y) ， f ( x - y) =f ( x ) f ( y)；x ④对数函数型： f ( x ) = log x --- f ( x y) = f ( x ) + f ( y) ， f ( ) = f ( x ) - f ( y) ；a⑤三角函数型： f ( x ) = tan x ----- f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) 1 - f ( x ) f ( y).17．解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？对指数函数 y = a x ，底数 a 与 1 的接近程度确定了其图象与直线 y = 1 接近程度；对数函数 y = log x 呢？ 你 a还记得对数恒等式（a log a N = N ）和换底公式吗？知道： n m log N = log aa m N n吗？mmm a a eana b = N ⇔ log N = b (a > 0, a ≠ 1, N > 0) ， a log a N = N .a如 ( )log 28的值为________(答： 1 2 - β + 2k π ,( k ∈ Z )sin x > ； ⎨2 由三角函数线，我们很容易得到函数 y = sin x ， y = cos x 和 y = tan x 的⎪ tan θ ≥ 1函数 y =2sin(π15︒,75[ 2 ) 时，x, sinx, tanx 的大小关系如何？cos ϕ = ⎨ ⎩ϕ 1 2 64 )18.你还记得什么叫终边相同的角？若角α 与 β 的终边相同，则α = β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边共线，则：α = β + k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称，则：α = -β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则：α = π - β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于原点对称，则：α = β + (2 k + 1)π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于直线 y = x 对称，则：α =π各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦； ︒ 角的正弦、余弦、正切值还记得吗？ 19.什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如：⎧ 3 2 ⎪cos θ < 2 ⎩单调区间；三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对称中心、对称轴及其取得最值时的 x 值的集合吗？（别忘了 k ∈ Z ）ππ– 2x)的单调递增区间是- + k π ,+ k π]( k ∈ Z ) 吗？你知道错误的原因吗？663y = tan x 图象的对称中心是点 ( k π 2,0) ，而不是点 (k π ,0) (k ∈ Z ) 你可不能搞错了！你会用单位圆比较sinx 与 cosx 的大小吗？当x ∈ (0, π过关题:函数 y = tan x 与函数 y = sin x 图象在 x ∈[-2π,2π]上的交点的个数有个？ 答： 520 ．三角函数中，两角 α、β 的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？⎧⎪ a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin(x + ϕ ) 中 ϕ 角是如何确定的？（可由 ⎪ ⎪ s in ϕ =⎪ aa 2 +b 2ba 2 +b 2确定，也可由tan= b a及 a , b 的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？重要公式： sin 2α = 1- cos2α ； cos 2α = 1 + cos2α ．；nat α = ± 1-osc α = nis α = 1-osc α ;222 1+osc α 1+osc α nis α1± sin θ = (cos ± sin )2 = cos ± sin12 ,k π + 2 ， α + βα + β = 2 ⋅ α + β (αβ ) (αβ )2-等），（答： y = - 3A.π函数 y = sin ⎛ 5π- 2 x ⎪ 的奇偶性是______（答：偶函数）y A 、 “ θ θ θ θ2 2 2 2等，你还记住哪些变形公式？特殊角三角函数值你记清楚了吗？如：函数 f ( x ) = 5 s in x cos x - 5 3 c os 2x +53( x ∈ R ) 的单调递增区间为___________（答：2[ k π - π5π 12]( k ∈ Z ) ）巧变角：如 α = (α + β ) - β = (α - β ) + β ， 2α = (α + β ) + (α - β ) ， 2α = (β + α) - (β -α) ，2=- -2如（1）已知 tan(α + β ) = 25π 1 π 3， tan( β - ) = ，那么 tan(α + ) 的值是_____（答： ）；4 4 4 22（2）已知 α , β 为锐角， sin α = x,cos β = y ， cos(α + β ) = -4 3 1 - x 2 + x( < x < 1) ）5 5 53 5，则 y 与 x 的函数关系为______（3）若 x =π6是函数 y = a sinx – b cosx 的一条对称轴，则函数 y = b sinx – a cosx 的一条对称轴是ππ B.C.D. π （ ）答： B63221.会用五点法画 = A s in( ωx + ϕ ) 的草图吗？哪五点？会根据图象求参数 ω、ϕ 的值吗？什么是振幅、初相、相位、频率？ 答： A,ϕ, wx + ϕ, | ω |2π22.同角三角函数的三个基本关系，你记住了吗？三角函数诱导公式的本质是： 奇变偶不变，符号看象限”⎫ ⎝ 2 ⎭23.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角互化？（用：面积公式，正弦定理，余弦定理，大角对大边等实现转化），三角形解的个数题型你熟悉吗（一解、两解、无 解）？24.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？（1）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化；（2）名的变换：见切化弦；, 且 < α < ，则 cos α -sin α的值为.答： -过关题: sin α = 5 ,sin β = , 且α ,β为锐角, 则 α + β =.答：y = sin x −左−或−平−−|Φ|→ y = sin( x + Φ) −横−坐−伸−到−原来−的−倍→ y = sin(ω x + Φ)1 ω− 右 移 y = sin x −横−坐−伸−到−原来−的−倍→ y = sin ωx −左−或−平−−|→ y = sin(ωx + Φ)1 Φω−−−−− 原来的− → y = A s in(ωx + Φ) −−−平−−→ y = A s in(ωx + Φ) + b 2 ]（3）次的变换：降幂公式；π π（4）形的变换：通分、去根式、1 的代换1 = sin 2 α + cos 2 α = tan =sin =cos0）等，这些统称为 1 的代换.4 225.在已知三角函数中求一个角时，你（1）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函数值）（2）注意考虑到函数的单调性吗？过关题： sin α cos α = 1 π π8 4 23210π 5 10426.形如 y = Asin(ωx + ϕ) +b ，y = A t an(ωx + ϕ) 的最小正周期会求吗？有关周期函数的结论还记得多少？周期函数对定义域有什么要求吗？求三角函数周期的几种方法你记得吗？怎么证明函数为周期函数？27、 y = Asin(ωx + ϕ) +b 与 y =sinx 变换关系:φ正左移负右移；b 正上移负下移;标 缩标 缩 右 移 | ω标 缩 下 移28.在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？过关题：已知 s in α cos β = 12 1 1 ，求 sin β cos α 的变化范围.答： [- , ]2 2提示：整体换元，令 s in β cos α = t ，然后与 sin α cos β 相加、相减，求交集.29.请记住(sin α ± cos α )与 sin α cos α 之间的关系.5过关题：求函数 y = sin2x + sinx + cosx 的值域.答： [- , 2 + 1]430 常见角的范围①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是(0,②直线的倾斜角、 与的夹角的取值范围依次是[0, π ) ， [0,π31 以下几个结论你记住了吗？π π] ， [0, ] ， [0, π ] ； 2 2⎩y=2sinθB=b+c⑷面积公式：S=1a⑴如果函数f(x)的图象关于直线x=a对称，那么函数f(x)满足关系式为，且函数f(x)若为奇函数，则函数f(x)的周期为.答：f(a+x)=f(a-x),4|a|⑵如果函数f(x)满足关于点（a,b）中心对称，那么函数f(x)满足关系式为；答：f(a+x)+f(a-x)=2b⑶如果函数f(x)的图象既关于直线x=a成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，那么f(x)是周期函数，周期是T=4|a-b|.（4）f(x+a)=f(b-x)，则f(x)的图象关于x=a+b2对称.过关题：已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且满足g(x)=f(x–1)，则f(2006)+f(2007)+f(2008) =.答：0132.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？l=|α|r,S=lr若α是角度，公式又是什么形式2呢？过关题:已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.（答：2cm2），⎧x=2cosθ曲线⎨π（θ为参数,且-π≤θ≤-）的长度为.答：34π333.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？A B+C⑴内角和定理：三角形三内角和为π,sinA=sin(+C),cosA=-cos(B+C),s in=cos()22⑵正弦定理：a b c===2R（R为三角形外接圆的半径）, sin A sinB sinC注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解⑶余弦定理：a222-2bc cos A，cos A=定三角形的类型.b2+c2-a2(b+c)2-a2=-1等，常选用余弦定理鉴2bc2bc1abcah=ab sin C=224R，内切圆半径r=2S∆ABC a+b+c（5）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？sinA>sinB⇔A>B，你会证明吗？（6）已知a,b,A时三角形解的个数的判定：bCh a其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a<h时，无解；②a=h时，一解（直角）；③h<a<b时，两解（一锐角，一钝角）；④a≥b时，一解（一锐角）.⑵A为直角或钝角时：①a≤b时，无解；②a>b时，则b36.倒数法则还记得吗？（指ab>0,a>b⇒1）(x>③正数x,y满足x+2y=1，则1+的最小值为______（答：3+22）；（7）三角形为锐角三角形满足什么条件？34．常见的三角换元法：已知x2+y2=a2，可设x=a cosθ,y=a sinθ；已知x2+y2≤1，可设x=r cosθ,y=r sinθ(0≤r≤1)；已知x2y2+a2b2=1，可设x=a cosθ,y=b sinθ；35.重要不等式的指哪几个不等式？若a,b>0，（1）a2+b2≥a+b≥ab≥2（当且仅当a=b时取等号）；221+1a b（2）a、b、c∈R，a2+b2+c2≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；（3）若a>b>0,m>0，b+m<a a+m（糖水的浓度问题）.111<，常用如下形式：a>b>0⇒0<<，a b a b11a<b<0⇒0>>）用此求值域的注意点是什么？a b如求函数y=12x-11的值域，求函数y=2x-1的值域呢？37.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法及放缩法（a2+b2≥(a+b)22≥2|ab|）等号成立的条件是什么？基本变形：①a+b≥；(a+b2)2≥；38利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？如：①函数y=4x-91)的最小值2-4x2.（答：8）②若若x+2y=1，则2x+4y的最小值是______（答：22）；1x y39.二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用基本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜率型）过关题：若正数a,b满足a b=a+b+3,则a+b的取值范围是.（答：[6,+∞)）40不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？a + b， .“ x - 1 - . 答： ( 2, 3)过关题：已知 a > b > 0，且 a b = 1，设 c = 2, P = log a, N = log b , M = log ab ，c cc则 A. P < M < NB. M < P < NC. N < P < MD. P < N < M ( )答： A41 不等式解集的规范格式是什么？（一般要写成区间或集合的形式） 另外“序轴标根法”解不等式的注意事项是什么？将不等式整理成一边为零的形式，将非零的那边因式分解，要求每个因式中未知量 x 的最高次数项的系数均为正值，求各因式的零点，画轴，穿线，注意零点的重数，在写解集时还得考虑解集中是否包含零点 如:解不等式 ( x + 3)( x - 1)3 ( x + 2)2 ≥ 0 .（答：{x | x ≥ 1或x ≤ -3 或 x = -2} ）；42.解分式不等式f ( x )g ( x )> a(a ≠ 0) 应注意什么问题？（在不能肯定分母正负的情况下，一般不能去分母而是移项通分）43.解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上： 综上，原不等式的解集是…”解不等式ax 2 ax - 1> x(a ∈ R)（综上，当 a = 0 时，原不等式的解集是{x | x < 0} ；当 a > 0 时，原不等式的解集是{x | x > 1 a或 x < 0} ；当 a < 0 时，原不等式的解集是{x | 1 a< x < 0 } ）过关题：解关于 x 的不等式：ax + 1> 1 ，（| a |≠1） x + 1答： a > 1,{x | x > 0或x < -1}； a =1,∅； 0 < a < 1,{x | -1 < x < 0}44.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）45.解对数不等式应注意什么问题？（化成同底，利用单调性，底数和真数都大于零）过关题：解关于 x 的不等式： log ( x 2- x - 2) > log1 1 421246.会用不等式 || a | - | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | 证一些简单问题吗？取等号需满足什么条件的？47.不等式恒成立问题有哪几种处理方式？（特别注意一次函数型和二次函数型，还有恒成立理论）过关题：对任意的 a ∈[-1, 1]，函数 f (x) = x 2 + (a – 4) x + 4 – 2a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是.答： (-∞,1) (3, +∞)过关题：当 P(m, n )为圆 x 2 + ( y – 1) 2 = 1 上任意一点时，不等式 m + n + c ≥0 恒成立，则 c 的取值范围是.答： [ 2 - 1,+∞)48.等差、等比数列的重要性质你记得吗？证明方法是什么？}{公式法（利用等差、等比数列的通项公式或利用a=⎨直接写出所求数列的通项公式）S-S n≥2⎩nna2+(2n-1)=n2，（等差数列中的重要性质：若，则；等差数列的通项公式：a=kn+b型前n项和：S=An2+Bn型n n等比数列中的重要性质：若，则用等比数列求前n项和时一定要注意公比q是否为1？（过关题：求和：S=x+2x2+3x3++nx n要注意什么？n时，；时，）49.等差数列、等比数列的重要性质：an+1-an-1=d(a为常数)的数列有什么性质？若{a}为等差数列，n则{a2n-1，ka +b }也是等差数列，它们的公差是什么？n50.数列通项公式的常见求法：观察法（通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第项a与项数n之间的关系）n⎧S n=11nn-1叠加法（适用于递推关系为an+1-a=f(n)型）n连乘法（适用于递推关系为an+1=f(n)型）an构造新数列法（如递推关系n+1=pa+q;an n+1=pa+b(b为等差数列或等比数列)型）n n n51.数列求和的常用方法：公式法：⑴等差数列的求和公式（两种形式），⑵等比数列的求和公式⑶1+2++n=n(n+1)，1+3+5+1+3+5++(2n+1)=(n+1)2；12+22+32+1+n2=n(n+1)(2n+1)6分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含(-1)n因式，周期数列等等）倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）错位相减法：（“差比数列”的求和）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：⑴1111111 =-⑵=(-)n(n+1)n n+1n(n+k)k n n+k⑶11111<=(-)k2k2-12k-1k+11111111-=<<=-k k+1(k+1)k2k(-1)k-1kk kn (n + 1)(n + 2) 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2)(n + 1)!n ! (n + 1)!裂项法求和：如求和：1 + 1 1 + 2 1 + 2 + 3 +① a n+1-a n =…… ⎨= 0如 a n = -2n 2+29n-3 ⎪< 0n +1 = ⎨= 1 (a n >0) 如 a n = ⎪< 1 ⎩ 求通项常法: （1）可利用公式: a = ⎨ ⎩S n - S n -1 n ≥ 22 22 22n n 14, n = 1n + 1 + n (n ≥ 2) ，则 a =________（答：a = n + 1 - 2 + 1） a n ＝ an －1 an －2 a⑷⑹ 2( n + 1 - n ) < 1 n< 2( n - n - 1) ⑺ a = S - S n nn -1 (n ≥ 2)⑻ C m -1 + C m = C m ⇒ C m = C m - C m -1 （理科）nnn +1nn +1n分组法求数列的和：如 a n =2n+3n 、错位相减法求和：如 a n =(2n-1)2n 、1 + + 11 +2 +3 + + n =（答：2nn + 1）、倒序相加法求和：如①求证： C 0 + 3C 1 + 5C 2 +nnn+ (2 n + 1)C n = (n + 1) 2n ；（理科）nx 2 1 1 1 7②已知 f ( x ) = ，则 f (1)+ f (2) + f (3) + f (4) + f ( ) + f ( ) + f ( ) ＝___（答： ）1 + x2 234 2求数列{a n }的最大、最小项的方法（函数思想）：⎧> 0⎪ ⎩②a ⎪ an ⎧> 19 n (n + 1)10 n③ a n =f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 a n =nn 2 + 156⎧S n = 1 1 n如：数列{a } 满足 n1 1 a +a + 1+ 1a= 2n + 5 ，求 a （答： a =n n{2n +1, n ≥ 2 ）（2）先猜后证（3）递推式为 an ＋1＝ a ＋f(n) (采用累加法)； a nn ＋1 ＝ a ×f(n) (采用累积法)；n如已知数列{a } 满足 a = 1 ，a - a n1nn -1 =1nn（4）构造法形如 a = kann -1+ b 、 a = kann -1+ b n （k , b 为常数）的递推数列如已知 a = 1,a = 3a1nn -1+ 2 ，求 a （答： a = 2 3n -1 - 1 ）；n n（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下 2 个公式的合理运用a n ＝（a n －a n-1）+(a n-1－a n-2)+……＋（a 2－a 1）＋a 1 ；aa a n ⋅ n －1 2a 11（ a ≠ 0）i+ 13n - 24 + 1 1 , 数列{a n }的前 n 项和为 Sn , 点 P n (a n , - a答：（1） a = 4n - 3 4n - 3 2 4n - 3 4n - 3 + 4n + 1 = >，求数列通项时注意到 n ≥ 2 了吗？一般情况是： a= ⎨ ⎩S - S 常用定理:①线面平行 b ⊂ α ⎬ ⇒ a //α ; ⎬ ⇒ a //α ; a ⊥ β ⎬ ⇒ a //α a ⊄ α⎪⎭ a ⊄ α ⎪⎭ ②线线平行: a ⊂ β ⎬ ⇒ a //b ; ⎬ ⇒ a // b ; α ⋂γ = a ⎪ ⇒ a //b ; a // b ⎫ ⇒ c // bα ⋂ β = b ⎭β ⋂γ = b ⎭③面面平行: a ⋂ b = O ⎬ ⇒ α // β ; ⎬ ⇒ α // β ; ⎬ ⇒ α // γa // β ,b // β ⎪⎭④线线垂直: a ⊥ α⎫⎬ ⇒ a ⊥ b ;所成角 90；a ⊂ α ⎪ (三垂线);逆定理?b ⊂ α ⎭α // β ⎫ α // β ;; α//β ⎫⎬ ⇒a ⊥ β ; a // b ⎫⎬ ⇒ b ⊥ αa ⋂b = O ⎬ ⇒l ⊥α α ⋂β = l ⎬ ⇒ a ⊥ β l ⊥ a,l ⊥ b ⎪⎭ a ⊂α, a ⊥ l ⎪⎭⑥面面垂直：二面角 900; a ⊂ β ⎫ a // β ⎫（6）倒数法形如 a =nan -1的递推数列都可以用倒数法求通项.ka + bn -1如①已知 a = 1,a =1n②已知数列满足 a =1， a1n -1- a = a an n n -1，求 a （答： a = n n 1 n 2），已知函数 f (x) = -x 2 a n +1)(n ∈N*)在曲线 y = f (x)上, 且 a 1 =1, a n > 0.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证: S n >2n4n + 1 + 1 (n ∈N*);(3)若数列{b n }的前 n 项和为 T n , 且满足 Tn +12 n= Tnan +12+ 16n 2 - 8n - 3 , 试确定 b 1 的值, 使得数列{b n }是等差数列.n1 12 2（2）提示： a = （3） b = 1n 1 由 a = S - Sn n n -1n ⎧ S1 n n -1 n = 1 n ≥ 252.立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α 、a ∩α =A (a ⊄ α ) 、a ⊂ α③平面与平面:α ∥β 、α ∩β =a线//线 ⇔ 线//面 ⇔ 面//面，线⊥线 ⇔ 线⊥面 ⇔ 面⊥面.a //b ⎫ α ⊥ β⎫⎪ ⎪a ⊂ β ⎭a //α⎫ ⎫⎪ a ⊥ α⎫ ⎬ ⎬ ⎪ b ⊥ α ⎭ ⎪ a // c ⎭a ⊂ α,b ⊂ α ⎫⎪a ⊥ α ⎫ α // β ⎫ a ⊥ β ⎭ γ // β ⎭PO ⊥ α ⎫⎬ ⇒ a ⊥ P Aa ⊥ AO ⎪⎭⑤线面垂直: a ⊂α,b ⊂α⎫ α⊥β ⎫⎪ ⎪ a ⊥α⎭ a ⊥ α⎭⎬⇒ α ⊥ β ; ⎬⇒ α ⊥ β a ⊥ α ⎭ a ⊥α ⎭两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的平面角的取值范围依次是： (0, π ] 、 [0, ] 、， 53.异面直线所成的角如何求？（异面问题相交化，即转化到同一平面上去求解） 范围是什么？过关题：在正方体 ABCD – A 1B 1C 1D 1 中，点 P 在线段 A 1C 1 上运动，异面直线 BP 与 AD 1 所成的角为θ ，则 角θ 的取值范围是 .π22[0, π ] .(3)在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题？“作、证、算”三个步骤可一个都不能少啊！（理科）求空间角①异面直线所成角θ 的求法：π（1）范围： θ ∈ (0, ] ；2（2）求法：平移以及补形法、向量法.如（1）正四棱锥 P - ABCD 的所有棱长相等， E 是 PC 的中点，那么异面直线 BE 与 P A 所成的角的余弦值等于____（答：3 3）；（2）在正方体 AC 1 中，M 是侧棱 DD 1 的中点，O 是底面 ABCD 的中心，P 是棱 A 1B 1 上的一点，则OP 与 AM 所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围 [0,π2] ；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如（理）（1）在正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，已知 AB=1，D 在棱 BB 1 上，BD=1，则 AD 与平面 AA 1C 1C所成的角正弦为______（答：64）；（2）正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别是 AB 、C 1D 1 的中点，则棱 A 1B 1 与截面 A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：3 3）；如（1）正方形 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，二面角 B-A 1C-A 的大小为________（答： 60 ）；（2）正四棱柱 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中对角线 BD 1＝8 BD 1与侧面 B 1BCC 1 所成的为 30°，则二面角 C 1—BD 1—B 1的正弦为______（答：6 3）；（3）从点 P 出发引三条射线 PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是 60°，则二面角 B-P A-C 的余弦值是______（答： 13）；54.（1）有关长方体的性质和结论，你记得吗？过关题：平面α 、 β 、 γ 两两互相垂直，直线 l 与平面 α 、 β 所成的角分别为 30o 、45o ，则直线 l 与平面 γ 所成的角为 .答： 30︒; r = ; R = aa | ! （2）有关正四面体的性质和结论，你记得吗？正方体中有一个正四面体的模型，你知道吗？你能灵活运用吗？侧棱与底面所成的角的余弦值为；侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ；正四面体的内切球半径 r 与外接球的半径 R 之比为 ，它们与正四面体的高 h 之间的关系分别为、 .答：3 ; 1 ; 1 h 3h 3 3 34 4（3）正三棱锥、正四棱锥的性质，你记得吗？它们的特征直角三角形，你会应用吗？（4）求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）（5）求多面体体积的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、割补法）55.球的表面积、柱、锥、球的表面积会求吗？体积公式都记得吗？过关题：一个四面体的所有棱长都是 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为. 答： 3π56．平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ⇔ 顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ⇔ 顶点在底面射影为底面垂心 ;斜高相等(侧面与底面所成相等 ) ⇔ 顶点在底面射影为底面内心 ;正棱 锥各侧面与底面所成角相等为θ ,则 S 侧 cos θ =S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?;57.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征⑴ 几个概念：零向量、单位向量、与同方向的单位向量，平行向量，相等向量，相反向量，以及一个向量在另一向量上的投影（ 在 b 方向上的投影是 a | cos θ =a ⋅b , θ为向量a 与 b 的夹角）一定要记住 | b |过关题：在直角坐标平面上，向量 OA = (4,1) 与 OB = (2, -3) 在直线 l 上的射影长度相等，则 l 的斜率为. 答： -12⑵ 0 和 0 是有区别的了， 0 的模是 0，它不是没有方向，而是方向不确定；0 可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直.⑶ 若 a = 0 ，则 a ⋅ b = 0 ，但是由 a ⋅ b = 0 ，不能得到 a = 0 或 b = 0 ，你知道理由吗？还有： a = c 时， a ⋅ b = c ⋅ b 成立，但是由 a ⋅ b = c ⋅ b 不能得到 a = c ，即消去律不成立.58.向量中的重要结论记住了吗？如：在三角形 ABC 中，点 D 为边 AB 的中点，则 CD =12(CA + CB) ；已知直线 AB 外一点 O ，点 C 在直线 AB 上的充要条件为 O C = tOA + (1- t )OB .（三点共线）59 你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？60.向量运算的有关性质你记住了吗？数乘向量，向量的内积，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法，两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗？（不等价）向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量是－ a .)、共线向量、相等向量②当 a ， b 同向时， a • b ＝ a b ，特别地， a 2= a • a = a , a = ③ | a • b |≤| a || b |.如已知 a = (λ,2λ)，b = (3λ ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ 的取值范围是b b 或 λ > 0且 λ ≠ ）； b 1 2如（1）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) , B(-1,3) ,若点 C 满足 OC = λ OA + λ OB ,（2）在 ∆ABC 中，① PG = 1 ( P A + PB + PC ) ⇔ G 为 ∆ABC 的重心，特别地 P A + PB + PC = 0 ⇔ P 为e e , →a e e 注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）61、加、减法的平行四边形与三角形法则: AB + B C = A C ; AB - AC =CB ; a - b ≤ a ± b ≤ a + b62、向量数量积的性质：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为θ ，则：① a ⊥ b ⇔ a • b = 0 ；2 a 2 ；当 a 与 b 反向时， a • b ＝－ a b ；当θ 为锐角时， a • b ＞0，且 a 、 不同向， a ⋅ b > 0 是θ 为锐角的充要条件；当θ 为钝角时， a • b ＜0，且 a 、 不反向， a ⋅ b < 0 是θ 为钝角的充要条件；→ →→ →______（答： λ < -4133④向量 b 在 a 方向上的投影︱ ︱cos θ ＝a ⋅ ba⑤ →和 →是平面一组基底则该平面任一向量 = λ →+ λ →( λ , λ 唯一)121 12 212特别： OP ＝ λ OA + λ OB 则 λ + λ = 1 是三点 P 、A 、B 共线的充要条件，向量基本定理是什么？12−−→ −−→ −−→12其中 λ , λ ∈ R 且 λ + λ = 1,则点 C 的轨迹是___（答：直线 AB ）1 2123∆ABC 的重心；② P A ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ P A ⇔ P 为 ∆ABC 的垂心；③向量 λ ( AB + AC )(λ ≠ 0) 所在直线过 ∆ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线)；| AB | | AC |如：（1）若 O 是 △ABC 所在平面内一点，且满足 OB - OC = OB + OC - 2OA ，则 ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（2）若 D 为 ∆ABC 的边 BC 的中点，∆ABC 所在平面内有一点 P ，满足 P A + BP + CP = 0 ，设 | AP | | PD |= λ ，则 λ 的值为___（答：2）；（3）若点 O 是 △ABC 的外心，且 OA + OB + CO = 0 ，则 △ABC 的内角 C 为__（答：120 ）；63.任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率，直线的斜率公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式记住了吗？直线的倾斜角的范围是什么？有关直线的倾斜角及范围，你会求吗？。