千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第37炼 向量的数量积——坐标化解决向量问题

第37炼 向量的数量积——坐标法在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。

一、基础知识 1、向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量12,e e 不共线，则对于平面上的任一向量a ，存在,x y R ∈，使得12a xe ye =+，且这种表示唯一。

其中()12,e e 称为平面向量的一组基底，而有序实数对(),x y 称为在()12,e e 基底下的坐标（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底,i j ，在方向上它们分别与,x y 轴的正方向同向，在长度上，1i j ==，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量a ，均有a xi y j =+，其坐标为(),x y ，从图上可观察到恰好是将向量a 起点与坐标原点重合时，终点的坐标（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =-- （可记为“终”-“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求。

另外,,A B AB 三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标 2、向量的坐标运算：设()()1122,,,a x y b x y ==，则有： （1）加减运算：()1212,a b x x y y ±=±± （2）数乘运算：()11,a x y λλλ= （3）数量积运算：1212a b x x y y ⋅=+ （4）向量的模长：2a x =+3、向量位置关系的判定： （1）平行：1221a b x y x y ⇔=∥（2）垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= （3）向量夹角余弦值：2cos ,a b a b a bx ⋅==⋅+4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解。

但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解。

如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形 （2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形 （3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120等） 二、典型例题：例1：在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=__________思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题 ，如图建系：110,,,0,,0222A B C ⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下面求E坐标：令()11,,,22E x y CE x y CA ⎛⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭⎝⎭由3CA CE=可得：111322336x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ 1,36E ⎛∴ ⎝⎭350,,,6AD BE ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭14AD BE ∴⋅=- 答案：14AD BE ⋅=-例2：（2012江苏，9）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 中点，点F 在边CD上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是____________思路：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，以A 为坐标原点如图建系：)B,设(),F x y ,由F 在CD 上可得2y =,再由2A B A F⋅=解出x:()()2,0,,2AB AF x ==，21AB AF x x ∴⋅==⇒= ()1,2F ∴，)E()()2,1,1AE BF ∴==(212AE BF ∴⋅=+=答案：2AE BF ⋅=例3：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________思路：本题抓住60BAD ∠=这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由2AB =，1AD =可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解 解：以AB 为x 轴，过A 的垂线作为y 轴可得：()152,0,,,222BD C ⎛⎫⎛ ⎪⎝⎝⎭57,,,4488M P ⎛⎫⎛⎪ ⎝⎭⎝⎭73313,,,8888AP CP ⎛⎫⎛∴==-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭7131788888AP CP ⎛⎛⎫∴⋅=⋅-+⋅-=- ⎪⎝⎭⎝⎭答案：178-例4：已知直角梯形ABCD 中，,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠===∥是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为_____________思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出3PA PB +的图形。

所以考虑从代数方面入手，结合所给的特殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出B 坐标，可先设高为h 。

解：以,AD CD 为轴建立直角坐标系，设梯形高为h则()()2,0,1,A B h ，设动点()0,P y ，则()()2,,1,PA y PB hy =-=-()35,34PA PB h y ∴+=-(355PA PB ∴+=≥ （等号成立：3344h y y h =⇒=） 答案：5小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。

在使用坐标解题时有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。

要明确没有点的坐标，则坐标法无法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用例5：给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．思路：由3,2,3OB OC OB OC ==⋅=可计算出,OB OC 的夹角60BOC ∠=，则可按照这个特殊角建立坐标系，则由4OA =可知A 在以O 为圆心，半径4r =的圆上。

()(3,0,B C ，BC =若要求ABCS的最大值，只需找到A 到BC 的最大值，数形结合可得距离的最大值为O BC d r -+，进而可求出ABCS 的最大值。

解：()(3,0,B C ):32BC y x ∴=--即20y +-=()max 4A BC O BC d d r --∴=+=+11422ABCA BC Sd BC -⎫∴=⋅⋅=+=+⎪⎭答案：例6：如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC 内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______ 思路：直角三角形直角边已知，且P 为图形内动点，所求MP 不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。

设(),P x y ，从而可得1524AN MP x ⋅=-+，而P 所在范围是一块区域，所以联想到用线性规划求解 解：以,AC BC 为轴建立直角坐标系(()11,1,0,,,0222A B M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),P x y11,3,,222AN MPx y ⎛⎛⎫∴=-=--⎪⎝⎝⎭111522224AN MP x y x ⎛⎫∴⋅=---=-+ ⎪⎝⎭⎭数形结合可得：77,44AN MP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦答案：77,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例7：平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=-==，则a b ⋅的最小值是______ 思路：本题条件中有1e =，而1,2a e b e ⋅=⋅=可利用向量数量积的投影定义得到,a b 在e 上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以e 的起点为原点，所在直线为x 轴建立坐标系，则,a b 起点在原点，终点分别在1,2x x ==的直线上，从而,a b 可坐标化，再求出a b ⋅的最值即可解：如图建系可得：()()1,,2,a ab b == 由2a b -=()223a b=⇒-=而2a b ab ⋅=+，由轮换对称式不妨设a b >，则a b b a -=⇒=-(225522244a b a a a a ⎛⎫∴⋅=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭()min 54a b ∴⋅=答案：54例8：已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 . 思路：本题由于l 为过M 的任一直线，所以:,:A P A B A Q A C的值不确定，从而不容易利用三边向量将,BQ CP 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而,,,A B C M 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l 方程，与,AB AC 方程联立解出,P Q 坐标，从而BQ CP ⋅可解出最大值解：以,BC AM 为轴建立直角坐标系()()(1,0,1,0,,0,3B C A M ⎛- ⎝⎭设直线:3l y kx =+由()()(1,0,1,0,B C A -可得：)):1,:1AB y x AC y y x =+==-):31y kx P y x ⎧=+⎪∴⎨⎪=+⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩):31y kx Q y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5333153,,k k BQ CP⎛⎫⎛++ ⎪ ∴==()()22222257593162239333k k k BQ CP k k k --+∴⋅=+=+=--- ()222226221618401406333333k k k k k ⎛⎫+-+⎛⎫===⋅+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 若直线与,AB AC相交，则33k ⎡∈-⎢⎣⎦ 21401402266333039BQ CP k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-≤-=-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 答案：229-例9：如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，PQR 是圆O 的内接正三角形，当PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是（ ）A. 1⎡+⎣B. 11⎡--+⎣C. 1122⎡---+⎢⎣ D.1122⎡-+⎢⎣思路：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐标系，为了使坐标易于计算，可以O 为坐标原点如图建系：()()0,0,1,1O A --，确定,Q R 点的坐标是一个难点，观察两个点之间的关系，无论PQR 如何转动，23ROQ π∠=，如何从这个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢：考虑圆的参数方程（参数的几何意义为圆心角，与角度相联系），设()cos ,sin R θθ，从而[)()22cos ,sin 0,233Q ππθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，用θ的三角函数将两点坐标表示出来，从而可求出AQ OR ⋅的范围yx解：22cos 1,sin 133AQ ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()cos ,sin OR θθ=22cos cos 1sin sin 133AQ OR ππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴⋅=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11=cos cos 1sin sin 12222θθθθθθ⎡⎤⎡⎤-+++--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2211=cos cos cos sin cos sin 2222θθθθθθθθ-++--+11=sin cos 224πθθθ⎛⎫-++=-++ ⎪⎝⎭ [)0,2θπ∈ 1122AQ OR ⎡∴⋅∈---+⎢⎣答案：选C小炼有话说：在直角坐标系中涉及到圆上的点，除了想到传统坐标之外，还应想到圆的参数方程，尤其是题目中有关于圆心角的条件时（例如本题中的23ROQ π∠=），可依靠参数的几何意义将条件充分的利用起来。