函数思想在解题中的应用
函数思想在中学数学解题中的应用
函数思想在中学数学解题中的应用数学科组 周晓兰函数是中学数学中最为重要的内容。
函数思想更是中学数学的一种基本思想，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
下面我就结合近几年全国各地高考题来具体谈谈函数在解题中的应用。
1 利用函数的单调性证明不等式例1 （2010年高考数学辽宁卷﹒文）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-. 分析：（1）略；（2）当我们看到要证明的不等式时，有绝对值，就要利用第（1）问分析出的单调性却绝对值，转化后再引入辅助函数帮助证明。
解：(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x当x ∈(0, 时, ()f x '＞0；x ∈+∞)时，()f x '＜0故f (x )在（0,+∞）单调减少. (Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f (x )在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于12()()f x f x -≥4x 1－4x 2,即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ,则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x+++. 于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0. 从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-. 2 利用函数的单调性求参数的取值范围例2 （2011年高考数学北京卷﹒理）18.已知函数k xe k x xf 2)()(-=.(1)求)(x f 的单调区间； (2)若对0(∈∀x ，)∞+，都有ex f 1)(≤，求k 的取值范围。
浅谈函数思想在解数学题中的应用
蔬 菜 烟 叶
每亩地所需 职工数 每亩地预计产值
１
２
例 已 知 。 ， 尺 ， 求 证 ： 斟 ≤ Ｔ ＋ ．
证明： 从不等式的结构上看， 易构造函数 ， （ ） ＝ — ．
易证 ） 在 ＋ 上是增 函数 。
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浅谈函数思想在解数学题中的应用
江西省南康市 中英文学校 函数思想是 解决这些数学 问题 的最常用 、最 有利的工具 。 目前 ， 有许多专 家学者对 函数思想进行过研 究 ， 并且取得 了很多 的成果 。本文精选一些实例 ， 通过对例题的分析 、 探讨 、 梳理 、 归 纳出函数思想在 中学数学 中的应用。
１
３
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小麦
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Ｉ 叶６ Ｉ ≤Ｉ 。ｌ ＋ Ｉ ６ Ｉ ，
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从 而 有 钳 ≤ 打
＝ 可 研 ＋ 可
即 一 ≤ ＋
工都有工作 ， 且使农作物 预计 总产值最大 。 解： 设种植蔬菜 亩 ， 种植 烟叶 Ｙ亩 ， 则小麦为 ５ ０ 一 亩 。
解 ：设 Ｐ在 Ｂ Ｃ上 ， ｐ在 Ｂ Ｄ
上．
首先 ， 在应用函数 思想 之前 ， 要掌握 函数 的概念 。什么是 函 数？ 函数 的定义有哪几种？ 它们的区别 和联 系有 哪些 ？ 只有真正
掌握了函数 的概念 ， 才能深入理解 函数思想 ， 进 而能很好地应用 函数思想来解题 。其次 ， 在应用 函数思想解题的过程中 ， 要时刻 将函数的单 调性 ， 有界性等性质 置于脑海 中， 并灵 活地应用这些 性质 。再次 ， 应用 函数思想解题 时 ， 要有意识地与函数图象结合 起来。函数图象的直 观性可 以很好地将抽象问题直观化 ，使解 题思路更广阔而清晰。另外 ， 应用函数思想解题 时 ， 要有开阔的
例谈函数思想在化学解题中的应用
例谈函数思想在化学解题中的应用函数思想在化学解题中的应用
随着工程技术的进步，函数思想已经被广泛应用到各种学科中，尤其是化学领域。
函数思想在化学解题中不仅可以帮助我们揭示化学宏观行为，而且也可以用来解决众多复杂的化学问题。
首先，函数思想可以帮助我们探究化学的宏观行为。
将具有某种抽象对应关系的各种实验结果表示为各种函数，可以准确地描述变化的规律，从而使用户能够深入了解化学反应的形成和过程。
同时，函数统计学也可以帮助用户深入了解物质性质之间的关系，以及如何改变物质性质，从而满足各种工程技术需求。
再者，在调查和研究分子和原子之间的行为时，函数思想也有其重要作用。
通过对现有实验结果的函数分析，用户可以深入地探索分子和原子的作用机理，并且通过函数处理和计算分子和原子的性质，从而可以轻松地得出一系列我们所期望的结果。
最后，函数思想也大大提高了用传统的概率方法、统计方法和数值计算方法解决现实问题的效率。
函数方法可以让科学家们在更短的时间里得出更精确的结果并且更为清晰地表现出化学反应的全貌，从而使化学实验朝着高效精确的目标发展。
总之，函数思想在化学研究中起着重要作用，不仅可以帮助我们了解化学反应的宏观行为，还可以帮助我们更有效率地解决复杂的化学问题。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用在高中数学教学中，函数思想是一个非常重要的概念。
函数不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
在高中数学解题中，函数思想的应用几乎无所不在，它可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
本文将从几个具体的数学问题入手，探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
一、函数思想在代数问题中的应用代数是高中数学中一个非常重要的部分，而函数思想在代数问题的解决中起着至关重要的作用。
以一道典型的代数题目为例：已知函数f(x) = 2x-1，g(x) = x^2+3x，求f(g(x))。
在这道题目中，我们需要先计算出g(x)，然后将g(x)的结果代入f(x)中去，以求出f(g(x))。
这就是典型的函数嵌套运算，也是函数思想在代数问题中的应用。
通过这种方式，我们可以将复杂的代数运算分解成简单的函数运算，更好地理解和解决问题。
在高中代数中，还有很多其他类型的问题可以通过函数思想来解决，比如函数的复合、反函数的求解、函数的范围与值域等。
函数思想可以帮助学生更好地理解代数问题的本质，从而更好地解决各种代数题目。
已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标是（1，2），求a、b、c的值。
在这道题目中，我们可以将顶点坐标（1，2）代入抛物线的一般式方程中去，得到一个方程组。
然后通过函数思想，将方程组中的未知数a、b、c进行化简和求解，最终得到a、b、c的值。
这就是函数思想在几何问题中的应用，通过将几何问题转化为函数问题，更好地解决了几何问题。
已知数列{an}满足an+1 = an + 2n，a1 = 1，求a10的值。
在这道题目中，我们可以通过递推关系式来计算数列的各项，也可以建立与数列{an}对应的函数f(x)来求解。
通过函数思想，我们可以将数列问题转化为函数问题，从而更好地解决了数列问题。
函数思想在解题中的应用
【 ６ 已知 （ 例 】 ＋２ ）＋ｚ ＋２ ＋２ ｚ 一０ 求 ｚ ， ＋ 的值 ．
解 ： 方程变为 原 （ ＋２ ）＋（ ＋２ ） ｚ ｚ 一一（ ）① ｚ ＋ｚ ，
令 ｓ （ ）一 １ Ｏ。 ＋ＣＳ ｚ＋ ｓ ｘ一 一（ｓ 一÷）＋ ｉ ｎ ｉ 眦
号｛ ≤．
则② 对 ｘ Ｒ Ｅ 恒成立等价于。一 ≥孚． 。。 ④
设 ， ＝ｔ＋ 则 厂 ￡在 Ｒ上 是奇 函数 且为 增 函 （） ， （）
易、 化繁为简 的 目的．
一
（ 日 （ 有解 等价于 日 （ 的最 大值． ４ ＜厂 ） ） ＜厂 ）
二、 用函数思想求解方程 问题 运
【 ３ 若关于 的方程 ２ 一ｘｌ ×５ 例 】 ５Ｉ ｌ ＋ ～４ 一
：０有实根 ， ｍ 的取值范 围． 求
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运 用 函数 思 想解 不 等 式 问题
的解为 ｘ ２ － ，
＋寺， 化简ｌ－２ Ｉ ／ ２ ＋ ￣ｙ－４ ￣４ ｙ ＋， ＋２ ＋１ ／。－ｙ ． １ ２ ．ｔ
解： 考查 函数 厂（ ） 、 ｚ一 ＋２ ＋ 的定
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函 数 思 想 解 题 的 应 用 在 中
重庆 市第 十一 中学校 （ ０ ０ １ 周 ４０ ６ ）
函数 的思想是运用 运动和变 化 的观 点 、 集合 与对 应 的思想去分析和研究数 学问题 中的数量 关 系 ， 立 函数 建 关 系式或 构造 函数 ， 用 函数 的图 象 和性 质 去 分 析 问 运 题 、 化问题 ， 转 可使 问题 获得解决． 函数思 想是 中学数 学
函数思想在高考数学中的应用
热点解读函数思想在高考数学中的应用■王贵兰摘要：高中理科教学中处处渗透着逻辑性思维，其中以函数思想为代表，几乎贯穿于整个高中理科教学。
在物理、数学、化学等学科中的应用十分广泛，重要性不言而喻。
本文将主要围绕函数思想在高考中的应用，结合实际情况给出一些合理化建议。
关键词：函数思想；高考；应用引言：由于高中理科教学的逻辑性比较强，对学生的理科思维要求比较高，对一些知识点容易产生理解困难的现象。
函数思想具有直观易懂的特点，因此将函数思想应用于高考解题中势必会做到事半功倍的效果，所以说对于这方面的研究意义重大，应该引起教师的重视。
一、函数思想在高考数学中的应用在目前的高中数学教学中，函数作为一个重要的知识领域，不仅仅被单独列为重要的考点，其思想也渗透在其他各种类型题目的解题过程中，成为一种重要的解题思维。
因此，教师应该加强对函数思想在高考题目中的具体应用的讲解，主要包括函数本身的知识与应用题相结合这两部分。
教师应该结合教学实际，加强对函数思想在高考数学中的应用分析，从而提高学生的实际解题能力。
例如，在对2018年高考全国卷新课标I数学试题第21题的讲解中，教师首先应该让学生理解题目所给的函数表达式，即函数f（x）=1/x-x+aln x。
教师首先应该把这个函数表达式抄在黑板上，并向学生明确这是一个复合型函数，且这道题考查的是对于函数本身性质的应用，之后再进行题目的讲解。
首先第一问要求讨论函数的单调性，对于此，教师应该通过强调函数定义域的方式来加强学生做题的规范化，可以这样发问“平时解函数题第一步我们需要做的是什么？”来提高学生规范函数定义域的意识。
在这道题中，由于y=ln x的定义域是（0，+∞），所以整个函数的定义域也为（0，+∞）。
之后再引导学生当函数形式不好进行分解时，应该通过求导的方式进行单调性的讨论。
对此教师应该这样说“求复合函数的单调性，我们通常用的方法是什么？”学生必然会异口同声地说出“求导”，然后再进行函数求导之后，进行a所在的二次函数的值域讨论。
浅谈函数思想在高中数学解题中的应用
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(三 )函 数 思 想 在 高 中 数 学 数 列 中 的 应 用 对 于 高 中 数 学 而 言,数 列 算 是 一 种 特 殊 函 数,可 以 将 其 看成方程 或 者 是 方 程 组,也 就 是 函 数 解 析 式. 对 于 数 列 而 言,其主旨指 的 是 通 过 自 变 量 得 到 离 散 数 值 的 一 种 特 殊 函 数.所以,在对数列 问 题 进 行 解 答 时,可 以 合 理 应 用 函 数 性 质以及函数模式,进 而 增 强 学 生 对 数 列 含 义、等 差 数 列 单 调 性以及等比数列中的通项和中项等 的 理 解. 比 如:在 等 差 数 列{bn }中,d＝bn －bp/n－p,公差d 的几何意义 在 于 坐 标 中 表明这个等差数列的每一项点所处 直 线 的 斜 率. 再 比 如,对 于等差数列的求和公式:Sn ＝ (a１＋an )n/２,在 进 行 解 题 时, 可以对这个等式做 出 相 应 变 化:Sn ＝dn２/２＋ (a１ －d/２)n, 这个时候再进 行 解 答 时,就 可 以 转 换 成 有 关 与 n 的 二 次 函 数 ,使 解 答 变 得 更 加 容 易 . (四 )函 数 思 想 在 高 中 数 学 实 际 优 化 问 题 中 的 应 用 函数思想对于解答高中数学中的实际优化问题也具有 重要作用,因此在解答过程中应充分 应 用 函 数 思 想. 函 数 思 想可用于解决实际 问 题,使 数 学 问 题 变 得 更 加 简 单、更 加 系 统.在我们的现实 生 活 当 中,具 有 很 多 量 与 量 之 间 的 关 系, 比如对于路程而言,应 该 考 虑 路 程、速 度 以 及 时 间 三 者 之 间 的 关 系;对 于 生 产 问 题,应 该 考 虑 单 价、总 数 以 及 时 间 的 关 系,而对于价格问题或者是采购问题等也 都 应 用 到 了 函 数 的 变量.对于高考数 学 试 卷 而 言,实 际 问 题 占 有 重 要 比 重,应 用函数思想解决高中数学里的实际优化 问 题,有 利 于 提 升 学 生答题的准确率. 比 如,在 解 答 路 程 问 题 过 程 中,可 以 将 总 路程设成y,将速 度 变 量 或 者 是 时 间 变 量 设 成 x,将 实 际 问 题转换成函数问题.通过数量之间的 关 系,构 造 一 个 数 学 函 数模型,再将相应数 值 带 入 到 函 数 当 中,最 后 通 过 数 学 知 识 算出正确结果.另外,多数高中数学的 实 际 问 题 都 需 要 通 过 函数图像进行分析、解 答,所 以,在 解 题 过 程 中,也 可 以 用 图 像形式将变量关系描绘出来.并且在 算 出 结 果 之 后,要 将 其 带入到问题当中进行验证.对于高中 数 学 问 题 而 言,有 许 多 问题在解答过程中会出现两个结果,所以 学 生 应 该 仔 细 阅 读 题 目 ,并 根 据 题 目 要 求 选 取 最 合 适 的 结 果 . 四 、结 论 总而言之,函数思想对于解决高中数 学 问 题 具 有 重 要 意 义,不仅可以培养学 生 的 逻 辑 思 维 能 力,提 升 学 生 学 习 数 学 的兴趣,还可以提高 学 生 解 决 数 学 问 题 的 速 度 以 及 准 确 率, 进而提升他们的 数 学 成 绩. 因 此,对 于 高 中 数 学 教 师 而 言, 应该增强对学生函数思想的培养,将函数 思 想 融 入 到 课 堂 教 学当中,用函数思想为学生讲解数学 问 题. 而 对 于 高 中 生 而 言,应该增强对函数思想的重视,在教 师 正 确 引 导 之 下,培 养 自己的函数思想,并 将 其 应 用 到 数 学 解 题 中 去,进 而 提 高 自 己的数学成绩.
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文将探讨函数思想在高中数学解题中的重要性和应用。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们理解和解决复杂的方程，提高解题效率。
在几何问题中，通过函数图像的分析，我们可以深入理解几何形状的性质，从而更好地解决几何难题。
函数思想在数列与数论中的应用也不可忽视，通过函数的性质可以发现数列中的规律，解决数论中的难题。
使用函数思想解决数学建模问题和简化解题过程都是本文要探讨的内容。
通过本文的学习，读者将更好地认识到函数思想在高中数学解题中的广泛应用和重要性，为未来高中数学教学提供思路和方法。
【关键词】函数思想、高中数学、解题、代数方程、函数图像、几何问题、数列、数论、数学建模、函数性质、广泛应用、教学、重要性。
1. 引言1.1 介绍函数思想在高中数学解题中的重要性函数思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。
函数是数学中非常基础且重要的概念，它是描述自变量和因变量之间关系的工具。
在高中数学学习中，函数思想可以帮助我们更好地理解和解决各种数学难题。
通过函数思想，我们可以将问题抽象化，找到问题之间的关联，从而更好地解决问题。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们建立数学模型，将复杂的代数方程化简为函数的表示形式，进而更容易解决问题。
在几何问题中，函数图像可以帮助我们直观地理解问题，进而找到解题的方法。
在数列与数论中，函数思想可以帮助我们研究数列的性质及规律，从而更好地掌握数学知识。
1.2 概述本文内容本文将重点探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
通过引入函数的概念和性质，我们可以更加灵活地解决各种数学难题。
本文将从代数方程问题、几何问题、数列与数论、数学建模以及函数性质等方面展开讨论，阐述函数思想在这些领域中的作用和意义。
通过具体的例题和解题方法，读者可以更深入地理解函数思想在高中数学中的实际运用。
本文将总结函数思想在数学解题中的广泛应用，并展望未来在高中数学教学中的重要性。