2-7函数与导数
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
函数的导数是怎么算出来的[2]
![函数的导数是怎么算出来的[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/244c8128a417866fb84a8eba.png)
(3)取极限: y lim y lim (2x x) 2x x0 x x0
同理可得: (x n ) nx n1(n为正整数）
例2 求正弦函数 y sin x 的导数
解： 因为 y sin(x x) sin x 2cos(x x)sin x 22
(ln x) 1 x
d (ln x) 1 dx x
1 x
dx
ln
x
C
(e x ) e x
d (e x ) e xdx
exdx ex C
定积分是怎么计算出来的
（一）、定积分问题举例
1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
bx
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
采用类似的方法可以求得其他函数的导数.如下表
导数公式
(x n ) nxn1
微分公式
d (x n ) nxn1dx
积分公式
xndx 1 xn1 C n 1
(sin ) cos d(sin ) cosd sind cos C
(cos ) sin d(cos ) sind cosd sin C
i 1
f (i )xi
I
存在，且极限值I不依赖于 i 的选取，也不依
赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上
的定积分(简称积分)，记作
b f (x)dx,即 a
b
n
I f (x)dx lim
a
0
其中：f(x)叫做被积函数;
i 1
f (i )xi
中任意插入若干个分点：
基本初等函数的导数公式表
导数基本知识汇总试题 基本知识点：知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点）1、"02、 （乂7二心I （n 为正整数）3、 Ca x y=a x \na Ce x y=e x（long a xy=-^—4、 xina（lnxX=-5、 x6、 （sin Q 二 cos x7 （cos x ）‘二-sin x'（ly=-±8. x 对知识点二：导数的四则运算法则1、 （"土 v y=u ± v r2、 （nv ）r =u F v + //v r3、 （Cu7=Cu4、 v 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则1. 如果在广（力＞°,则/a ）在此区间是增区间，为/（X ）的单调增区间。
2、如果在（""），广（x ）v0,则/（x ）在此区间是减区间，（心）为/（X ）的单调减区间。
一、计算题1. 计算下列函数的导数: (1)y = x 15(2) y = x* (XH O)(3) 5y = x 4 (x a 0)(4) 2 y = x^(XA O)(5) 2y = x 3 (X A 0)(6) y = x 5(7) ＞，=v2 , 24)(7) y = sin x(8) y = cos x(9) y=r(10) y = In x(11) y = e x2、求下列函数在给泄点的导数:2(1)尸存，“167T . X =— (4) y = xsinx ,4xy = ---(6) 1+F ,兀=1(2) y = sinx (3)y = cosx x = 2TT 3 (5) ＞，=v3、讣算下列各类函数的导数:（1）y = X7+6-3/X（2）（3）y = x'_cosx（4）J = X2+2COSX（5）y =（3x~+2）（x*5）（6）>, = <5x3-7）（3x + 8）x（7）〉Fsinxy =（8）(9) >!=<3X +5)2(10) A =(5x_7)8(12) J = x3+sinx(13) J = x3sinx(14) y= Q+3x) (3-5x+x2)3-x2y = --- (15) 3+x2cosxy = ------(16) 1+sinx(17) y = cos3xsin2x(18) A = Q+cosx)sinx(19) >'=(x+l) (x+2) (x+3)(20)>'= Qx- 1)'(2-3窃(21)y = (3x+2)sin5x(22)y = "'cos3x(24)=(3—5)1°(25) yin(5x + 7)5(26)尸（28）『=（3兀一5）4(29) J=2(5X-4)2(30)二、解答题K求抛物线过点（］」）的切线斜率。
§2-7 函数的凸性
§2-7 函数的凸性·勾画函数图形的方法1.凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。
例如，曲线3x y =在O y 轴左边是向下弯曲的(称为上凸)，而在O y 轴右边是向上弯曲的(称为下凸)(图2-28).虽然说“弯曲方向”或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数理论在其他数学分支中也是很有用的.从图2-29中看出，向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(弦)AB 的中点C 在弧 AB 的上方；而从图2-30中看出，向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线(弦)AB 的中点C 在弧 AB 的下方.根据上面几何上的启示，我们引入下面的定义：【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸函数称为“凸函数”.本书中的称呼与上面这些称呼恰好相反，但与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的.请读者注意到这些区别.【注2】通常说“函数)(x f 在区间),(b a 内是下(上)凸函数”，若对于),(b a 内任意两点1x 和2x )(21x x ≠与任意)1,0(∈t ，都满足琴生(Jesen)不等式[]1212()(1)()(1)()f tx t x t f x t f x >+-<+-它等价于不等式())()()(22112211x f t x f t x t x t f +<+>（其中1t 和2t 为正数且121=+t t ）显然，不等式(2-9)是琴生不等式的特殊情形.不过，对于连续函数来说，不等式(2-9)与琴生不等式是等价的.因此，我们就用简单的不等式(2-9)定义函数的凸性.关于两者等价性的证明，有兴趣的读者可登陆网站去看专题选讲（ )【注3】若函数)(x f 在区间),(b a 内可微分，则从图2-31看出，下凸(上凸)函数的图形上，每一点处的切线都在图形的下面(上面)，而且导函数)(x f '是增大(减小)的.我们也可以证明这个结论(有的教科书中就把这个结论作为凸函数的定义).图2-29图2-30x图2-28定理2-3 设函数)(x f 在区间),(b a 内可微分.若导数)(x f '在),(b a 内是增大(减小)的，则函数)(x f 在区间),(b a 内是下凸(上凸)的.从图2-31看出，逆命题也成立(在上面指出的网站上有证明).证 设1x 和2x 为区间),(b a 内任意两点(不妨认为1x <2x ).根据微分中值定理，当导数)(x f '增大(减小)时，1212121212()()1()()22222f x f x x x x x x x f f x f f x f ⎧⎫⎡⎤⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭121211221()()222x x x x f c x f c x ⎧⎫++⎛⎫⎛⎫''=-+-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭0)]()()[(41)(1212<>'-'-=c f c f x x 其中2221112x c x x c x <<+<<，即)(2)()()2(2121)(21x x x f x f x x f <+<+>因此，函数)(x f 在区间),(b a 内是下凸(上凸)的.假若函数)(x f 在区间),(b a 内有二阶导数，那么根据定理2-3和判别函数单调性的方法（定理2-2），就有下面判别函数凸性的方法.定理2-4 设函数)(x f 在区间),(b a 内有二阶导数)(x f ''. ⑴ 若()0()f x a x b ''><<，则)(x f 在区间),(b a 内是下凸函数； ⑵ 若()0()f x a x b ''<<<，则)(x f 在区间),(b a 内是上凸函数.对于函数)(3+∞<<-∞=x x y ，由于⎩⎨⎧+∞<<><<-∞<=''x x x y 0,00,06 所以，它在区间)0,(-∞内是上凸的，而在区间),0(+∞内是下凸的(图2-28).2.拐点(变曲点) 函数图形可能在这一段上是上凸的，而在相邻的另一段上又是下凸的(如图2-28中原点的两边).这样两段弧的连接点，就称为函数图形(曲线)的拐点(曲线拐弯的点)或变曲点(曲线改变弯曲方向的点).同时，也把函数图形的拐点的横坐标称为这个函数的拐点或变曲点.若点∈0(,)x a b 是函数()f x 的拐点且有二阶导数0''()f x ，则''=0()0f x .这是因为，例如函数)(x f 在点0x 的左边近旁下凸时，由于00()()()f x f x x x ''<<，所以图2-31(1) 下凸切线(2) 上凸切线0)()(lim)(0000≥-'-'=''-→x x x f x f x f x x且函数)(x f 在点0x 的右边上凸时，由于)()()(00x x x f x f <'>'，所以0)()(lim)(0000≤-'-'=''+→x x x f x f x f x x因此0()0f x ''=. 同理，若函数)(x f 在点0x 的左边上凸且在点0x 的右边下凸时，也有0)(0=''x f .但是要注意，仅有．．0)(0=''x f 时．，点．0x 不一定是函数．．．．．．)(x f 的拐点．．．.例如函数4()f x x =，尽管有(0)0f ''=，但0不是函数4()f x x =的拐点， 因为2()120(||0)f x x x ''=>>，即函数4()f x x = 在原点0的两边都是下凸的(图2-32).特别，假若函数()f x 在区间-+00(,)x x δδ内有二阶导数,且''()f x 在点0x 的两边有相反的符号,则0x就是函数()f x 的拐点.此时，显然有0()0f x ''=.3.勾画函数图形的方法 在中学数学中，绘制函数图形时，用的是描点法.它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态.下面的绘图方法称为解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷.因此，把两者结合起来就是最好的绘图方法.例29 勾画出函数3231y x x =+-的略图.解 2363(2)y x x x x '=+=+, 666(1)y x x ''=+=+用驻点2-和0(它们有可能是极值点)，与二阶导数等于0的点1-(它有可能是拐点)，将函数的定义区间),(+∞-∞划分为四个小区间：),0(),0,1(),1,2(),2,(+∞-----∞，再把函数)(x f 在这些小区间内有关)(x f '和)(x f ''的信息，填在下面的表格中.我们利用导数的有关信息所画出的略图 (见图2-33)，使我们能够看出函数的变化状 态.例如在哪个区间内，它是增大的或减小的， 是下凸的或上凸的；又在哪个点上取到极大值 或极小值.图2-324.函数图形的渐近线 不管是描点法，还是上面用导数的方法(即解析法)，都只能画出函数图形的有限部分.对于那些能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直线(称它为渐近线).例如，函数x y arctan =的图形就有两条渐近线2y π=±(图2-34).因为它们与Ox 轴平行，所以称它们为水平渐近线.求水平渐近线的方法很简单.若存在有穷极限b x f x =+∞→)(lim或 b x f x =-∞→)(lim则曲线)(x f y =就有水平渐近线b y =.函数图形也可能有垂直渐近线.例如函数x y tan =的图形（图2-35）有两条垂直渐近线2x π=±.求垂直渐近线的方法也很简单.观察函数)(x f y =，若它有无穷间断点a ，即∞=-→)(lim x f ax 或 ∞=+→)(lim x f ax则曲线)(x f y =就有垂直渐近线a x =.函数图形还可能有斜渐近线b kx y +=)0(≠k .如图2-36，设曲线)(x f y =上的点(,)P x y 到直线b kx y +=的距离为d .在直角三角形PAN 中，()()f x kx b P A -+==sec d θ=按照渐近线的定义，直线b kx y +=是曲线)(x f y =的渐近线，当且仅当点P 沿曲线伸向无穷远时，有0→d ；而0→d ，当且仅当有常数k 和b ，使[]lim ()()0x f x kx b →∞-+= 或 []lim ()x f x kx b →∞-=.图2-34图2-36于是，当条件满足时，可以按下面的方法求常数k 和b ： 第一步，先求斜率.k 因为xx f kx xx f k )()(-+=且 ()lim0x kx f x x→∞-=,所以 ()limx f x k x→∞=.第二步，再求截距b , 即 []lim ()x b f x kx →∞=-. 例30 求曲线1222-+-=x x x y 的渐近线.解 因为∞=→y x 1lim ，所以它有垂直渐近线1=x . 又 222limlim1(1)x x y x x k xx x →∞→∞-+===-，222lim ()lim 1x x x x b y kx x x →∞→∞⎡⎤-+=-=-⎢⎥-⎣⎦2lim11x x x →∞-+==--,所以它有斜渐近线1-=x y (图2-37).例31 勾画函数1222-+-=x x xy 的图形. 解 2)1()2(--='x x x y ，3)1(2-=''x y像例29那样，用函数的驻点0和2(没有二阶导数等于0的点)，把函数的定义域分成若干小区间(注意,1=x 是间断点)，并把有关信息填入下表格中：【注】 有垂直渐近线1=x 和斜渐近线1-=x y . 根据表格中提供的信息，可勾画出函数的略图(见图2-37). 习 题1.验证下列函数在所示区间内是下凸的：⑴(1),(0,)y x αα=>+∞； ⑵),(,e +∞-∞=xy ； ⑶),0(,ln +∞=x x y ； ⑷)0(,∞+=x x y . 2.验证函数)10(<<=ααx y 与x y ln =在 区间),0(+∞内是上凸的.3.求下列函数的下凸区间与上凸区间：⑴323x x y -=； ⑵x x y sin +=； ⑶2e x y -=； ⑷)1ln(2x y +=. 答案：⑴在)1,(-∞内下凸，在),1(+∞内上凸；⑵在(2,2)k k ππ+π内上凸，在(2,22)k k π+ππ+π内下凸； ⑶在,⎛-∞-⎝与⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内下凸，在⎛⎝内上凸；⑷在)1,(--∞与),1(+∞内上凸，在)1,1(-内下凸.4.设函数)()(+∞<<-∞x x f 为偶函数.若在区间)0,(-∞内有0)(>'x f 且 0)(<''x f则在区间),0(+∞内，下列哪一种情形是对的？⑴0)(,0)(<''<'x f x f ； ⑵0)(,0)(>''>'x f x f ； ⑶0)(,0)(>''<'x f x f ； ⑷0)(,0)(<''>'x f x f .提示：)()(x f x f -=. 答案：⑴ 又问：若函数)()(+∞<<-∞x x f 为连续奇函数且在区间)0,(-∞内有0)(>'x f 且 0)(<''x f那么上述情形中哪一种是对的？点0是它的拐点吗？ 答案：⑵；0是拐点.5.证明下列不等式：⑴ )1,,0,0(22>≠>>+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααααy x y x y xy x ；⑵ )(2ee e2y x yxyx ≠+<+；⑶ ),0,0(ln ln 2ln)(y x y x y y x x y x y x ≠>>+<++.提示：选择适当的下凸函数.【注】勾画函数图形之前，要注意以下事项：①确定函数的定义域；②函数是否具有奇偶性或周期性；③求出函数的连续区间，并查明它是否有间断点；④若有零值点，求出函数的同号区间；⑤求出函数的极值点、最大(小)值点和拐点；⑥确定函数的增大或减小区间、下凸或上凸区间；⑦查明是否有渐近线；⑧查明函数是否还有其他特性.6.勾画下列函数的图形.⑴ x x y 33-=； ⑵ 2e x y -=； ⑶ 21xx y +=；⑷ xxy +=12； ⑸ x x y 1e )6(+=； ⑹ sin2x y π=.7.证明：若)(x f 在区间),(b a 内是下凸函数，则有n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+++≤⎪⎭⎫⎝⎛+++ 提示：先考虑k n 2=的情形(k 为正整数).对于其他情形，可取正整数m 使k m n 2=+. 8.证明：若),,2,1(0n i x i =>，则有nx x x x x x nnn +++≤2121 (几何平均值不超过算术平均值)提示：考虑下凸函数)0(ln )(>-=x x x f .。
导数综合讲义
导数综合讲义(含答案)(总55页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数综合讲义第1 讲导数的计算与几何意义 (3)第2 讲函数图像 (4)第3 讲三次函数 (7)第4 讲导数与单调性 (8)第5 讲导数与极最值 (9)第6 讲导数与零点 (10)第7 讲导数中的恒成立与存在性问题 (11)第8 讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式） (13)第9 讲导数中的距离问题 (17)第10 讲导数解答题 (18)10.1导数基础练习题 (21)10.2分离参数类 (24)10.3构造新函数类 (26)10.4导数中的函数不等式放缩 (29)10.5导数中的卡根思想 (30)10.6洛必达法则应用 (32)10.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式 (33)10.8极值点偏移问题 (35)10.9多元变量消元思想 (37)10.10导数解决含有ln x 与e的证明题（凹凸反转） (39)10.11导数解决含三角函数式的证明 (40)10.12隐零点问题 (42)10.13端点效应 (44)10.14其它省市高考导数真题研究 (45)导数【高考命题规律】2014 年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015 年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2016 文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017 年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。
近四年的高考试题基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。
高职高等数学7-导数定义及公式
条 件
研究导数的意义
1 即时速度 v(t0 )
经过 ∆ t 时间
∆s s (t0 + ∆t ) − s (t0 ) v= = ∆t ∆t
t0 + ∆t时刻
t0时刻
走了 ∆ s 路程
∆t → 0
t0时刻
s (t0 + ∆t ) − s (t0 ) v(t0 ) = lim ∆t →0 ∆t t0 + ∆t时刻
△x
2 x + ∆x = lim = 2x ∆x →0 1 f ′(1) = f ′( x) | x =1 = 2 ×1 = 2
′ = [12 ]′ = 0 PS : [ f (1)]
基本初等函数的求导公式
c′ = 0 ( x a )′ = n ⋅ x a −1 ( a为任意实数 ) ( a x )′ = a x ln a ( (e x )′ = e x ) 1 1 (log a x )′ = ( (ln x )' = ) x ln a x (sin x )' = cos x ; (cos x )' = − sin x (tan x )' = sec 2 x ; (cot x )' = − csc 2 x (sec x )′ = sec x ⋅ tan x ; (csc x )' = − csc x ⋅ cot x
s (t )
s′(t0 )
2 函数f ( x)在x0处切线的斜率
B A C
l
l
∆x → 0
x0
klAB = tan(∠BAC ) =
x0 + ∆x
x0
x0 +∆x
BC f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = AC ∆x f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) kl = lim = f ′( x0 ) ∆x →0 ∆x
高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！
高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！导数，也叫导函数值。
那么，高中数学导数公式及运算法则有哪些呢？高中数学导数公式有哪些1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2根据导数定义证明数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算方法函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
【跟踪训练 2】 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，求 与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．
解 因为 y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′| x＝x0＝2x0. 又因为 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，而切线平行于 PQ，
3．曲线 y＝cosx 在点 Aπ6， 23处的切线方程为________．
答案 解析
x＋2y－ 3－π6＝0 因为 y′＝(cosx)′＝－sinx，所以 k＝－sinπ6＝－12，所以在点 A
处的切线方程为 y－ 23＝－12x－π6，即 x＋2y－ 3－π6＝0.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·ln a，当 a＝e 时，ex 的导数是(ax)′
的一个特例．
(4)
第
四
类
为
对
数
函
数
，
y′
＝
(logax)′
＝
1 x·ln
a
，
也
可
记
为
(logax)′
＝
1x·logae，当 a＝e 时，ln x 的导数也是(logax)′的一个特例．
课后课时精练
随堂达标自测
1．已知函数 f(x)＝5，则 f′(1)等于( ) A．5 B．1 C．0 D．不存在
答案 C 解析 因为 f(x)＝5，所以 f′(x)＝0，所以 f′(1)＝0.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 3. （导函数的图像问题） 设函数 f(x)在定义域内可导， y＝f(x) 的图象如图所示，则导函数 y＝f′(x)的图象可能是( )
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
例 4.已知函数 y＝xf′(x)的图象 如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x) 的导函数 ) ．下面四个图象中 y ＝f(x)的图象大致是( )
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
当 x 变化时， f′(x)便是f(x)的导函数 fx＋Δx－fx 数)，记为 f′(x)＝y′＝Δ lim . x→0 Δx
( 简 称 导
3．导数的物理意义
S＝S(t)是位移函数，则 S′(t0) 瞬时速度 ． V＝V(t)是速度函数，则 V′(t0) 的 瞬时加速度 ． 表示物体在 t ＝ t0 时刻 表 示 物 体 在 t ＝ t0 时 刻 的
(3)商的导数
f′xgx－fxg′x fx [ ]′＝ (g(x)≠0)． 2 gx [gx]
(理科)7.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数 和函数 y＝f(u)，u＝g(x) 的导 y′x＝y′u·u′x
数间的关系：
.
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
4．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的 导数f′(x0) 点P(x0，y0)处的 切线的斜率 ． 为 y－y0＝f′(x0)(x－x0) ，就是曲线 y ＝ f(x) 在
．曲线在点 P 处的切线方程
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数 5．常用函数导数基本公式
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
1．(2009·广东卷)函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4)
)
D．(2，＋∞)
2.已知 f(x)=2x3-6x2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值 3， 那么在［-2，2］上 f(x）的最小值是 .
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
2．函数的瞬时变化率与函数的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的 瞬时变化率 fx0＋Δx－fx0 lim . Δ x→0 Δx Δf 是Δ lim x→0 Δx＝
瞬时变化率
就是函数 y＝f(x)在
x＝x0 处 导数 ，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝y′|x fx0＋Δx－fx0 Δf ＝x0＝Δ lim lim . x→0 Δx＝Δ x→0 Δx
第二章 函数与基本初等函数
例 7. （ 2011 广 东 文 19 ）
设 a0 ,讨论函数
f ( x) ln x a(1 a) x2 2(1 a) x 的单调性．
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
（三） 、导数的实际应用 例 1. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为 y＝ 1 3 2 x － x＋8(0< x ≤120)，已知甲、乙两地相距 100 千米． 128000 80 (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要 耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到 乙地耗油最少？最少为多少升？
第二章 函数与基本初等函数
例 3.（导数的几何意义）(改编自人教 A 版 22，习题 1.2A 组第 6 题)已知函数 y＝xlnx＋x2;(1)求这个函数的导数； (2)求这个函数在点 x＝1 处的切线方程．
பைடு நூலகம்
1 4 练习 2：1、已知曲线 y= 3 x3+ 3 .(1)求曲线在 x=2 处的切线
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
练习：1.（2011 福建卷 11）如果函数 y=f (x)的图象如右图，那 么导函数 y=f /(x)的图象可能是( )
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
例 5.（用导数研究不等式问题）当 x＞0 时，证明不等式：1＋ 2x＜e2x.
(1)若f(x)＝C，则 f′(x)＝0
；
(2)若f(x)＝xn，(n∈Q*)，则 f′(x)＝nxn－1 ；
(3)若f(x)＝sinx，则 f′(x)＝cosx
(4)若f(x)＝cosx，则 f′(x)＝－sinx ；
x (5)若f(x)＝ex，则 f′(x)＝e
；
； ；
(6)若f(x)＝ax，则
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
（一） 、导数的概念及运算 例 1. （与导数的概念有关）在曲线 y=x2+1 的图象上取一点（1，2）
y 及附近一点（1+Δ x，2+Δ y） ，则 x 为
.
例 2.求下列函数的导数：
2 x＋3 x 3 (1)y＝x ＋sinx；(2)y＝ ；(3)y＝ 2 . sinx x ＋3
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
1 例 5. （含参数的切线问题） 设函数 f(x)=ax+ x b（a,b∈Z） ，
曲线 y=f(x)在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y=3. （1）求 f（x）的解析式； （2）证明：曲线 y=f(x)上任一点 的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值， 并求出此定值.
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
练习 1：1、求下列函数的导数：
1 2 1 (1)y＝xx ＋x＋x3 ；(2)y＝(
1 x＋1)( －1)； x
x x cos2x (3)y＝x－sin · cos ；(4)y＝ ； 2 2 sinx－cosx
SniperCXB制作
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
3．求函数单调区间的一般步骤
(1)确定f(x)的 定义域 ．
(2)求导数 f′(x)
(3)由 f′(x)>0时
．
． 当
f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围
，f(x) 在相应区间内是增函数 ；当 f′(x)<0
时，
f(x) 在相应区间内是减函数 ．
1．(2009·广东卷)函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4)
)
D．(2，＋∞)
2.已知 f(x)=2x3-6x2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值 3， 那么在［-2，2］上 f(x）的最小值是 .
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
例 6.（分类讨论的思想） (2010· 全国Ⅰ，21)已知函数 f(x) 1 4 2 ＝3ax －2(3a＋1)x ＋4x.(1)当 a＝ 时，求 f(x)的极值；(2) 6 若 f(x)在(－1,1)上是增函数，求 a 的取值范围．
SniperCXB制作
；(2)解方程
f′(x)＝0
； (3) 检 查 f′(x)
左右的符号
， 判断极值 ．
4．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤：
(1)求y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ．
(2)将y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其
中 最大的一个为最大值 ， 最小的一个为最小值 ．
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
练习 4：偶函数 f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过 点 P（0，1） ，且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2，求 y=f（x）的解析式.
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
（二） 、导数的应用 例 1. （ 单 调 性 问 题 ） 函 数 y=3x2-2lnx 的 单 调 增 区 间 为 ，单调减区间为 .
1．函数单调的一个充分条件 如果f′(x)>0，则f(x)为 设函数y＝f(x)在某个区间内可导， 增函数 ； 如果f′(x)<0，则f(x)为减函数 ．
2．函数单调的必要条件 设 函 数 y ＝ f(x) 在 某 个 区 间 内 可 导 ， 如 果 f(x) 在 该 区 间 内 单调递增(或递减) ，则在该区间内 f′(x)≥0(或f′(x)≤0) ．
左正右负 ”，则x0是 在x0两侧满足“ 点，f(x0)是 极小值 ． 极大值点 ，f(x0)是 左负右正 ”，则x0是 极大值f′(x) ；如果 极小值点 的极小值
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数 3．求函数y＝f(x)极值的步骤：
(1)求导数 f′(x)
在方程f′(x)＝0的根的
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数
1．函数极值的定义 一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的 所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是 f(x)的极大值 做 f(x)的极大值点 ． ， x0 叫
如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说
例 2. （极值、最值问题）已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲
2 线 y=f(x）在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0，若 x= 3 时，
y=f(x）有极值.（1）求 a,b,c 的值； （2）求 y=f(x）在［-3， 1］上的最大值和最小值.
SniperCXB制作
第二章 函数与基本初等函数