2019届高三数学备考冲刺140分问题21复杂数列的求和问题含解析

问题21 复杂数列的求和问题
一、考情分析
数列求和是历年高考命题的热点，可以以客观题形式考查，也可以以解答题形式考查数列，公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题. 二、经验分享
1.分组转化法求和的常见类型
(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．
(2)通项公式为a n ＝⎩⎨⎧
b n ，n 为奇数，
c n
，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求
和法求和．
【小试牛刀】【福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查】已知数列{}n b 满足
，则该数列的前23 项的和为（ ）
A. 4194
B. 4195
C. 2046
D. 2047 【答案】A
(三) 裂项相消法
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．注意：○1余下的项前后的位置前后是对称的．○2余下的项前后的正负性是相反的．常用的裂项方法： 【 例3】在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，17a =，且2a ，5a ，10a 成等比数列. ⑴求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ； ⑵若1
5
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【分析】⑴由2510 a a a ，，成等比数列⇒()7d +⇒2d =⇒25n a n =+
⇒；⑵由⑴可得
⇒
.
【点评】(1)裂项相消法求和的原理及注意问题
①原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． ②注意：在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．
③一般地，若{a n }为等差数列，则求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和可尝试此方法，事实上，1a n a n ＋1＝d da n a n ＋1＝a n ＋1－a n da n a n ＋1＝1d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a n －1a n ＋1.
则；
故选：C ．
2．【江西省南昌市第二中学2019届高三第六次考试】已知数列
满足：
，则
的前40项的和为（ ）
A ．860
B ．1240
C ．1830
D ．2420 【答案】B
3．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末】设数列
满足，，且
，若
表示不超过的最大整数，则
（ ）
【答案】C
【解析】
∵a n+2﹣2a n+1+a n＝2，∴a n+2﹣a n+1﹣（a n+1﹣a n）＝2，
a2﹣a1＝4．
∴{a n+1﹣a n}是等差数列，首项为4，公差为2．
∴a n+1﹣a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2．
∴n≥2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1
＝2n+2（n﹣1）+……+2×2+2n（n+1）．
∴．
∴1．
∴2+2018＝2020．
故选：C．
4．【江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测】已知函数（其中）的图像经过点，令，则
A．2019 B．C．6057 D．
【答案】B
5．【广东省华南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知函数，且
，则( )
【答案】B
【解析】，
由
，
可得：
9．【广西南宁市第二中学2018届高三1月月考】已知函数，且
，记
n
S表示{}n a的前n项和，则100S=__________．
【答案】100
10.数列{}n a的通项为，前n项和为n S，则100S= ．
【答案】200
【解析】由已知可得；；；
；；；；分析可知偶数项均为1，所以前100项中偶数项的和为15050
⨯=．
分析可知相邻两项奇数项的和为6，所以前100项中奇数项的和为．
．
11.已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N*)，则S2 012=.
【答案】3
2
31006-
⋅
【解析】a1＝1，a2＝2
a1＝2，又a n＋2·a n＋1
a n＋1·a n＝
2n＋1
2n＝2.
∴a n＋2
a n＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，
∴S2 012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 011＋a2 012＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 012)
＝1－21 006
1－2＋
21－21 006
1－2＝3·21 006－3.
12．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，点
()()，记的面积为，则____________.
【答案】
【解析】结合题意,得到,所以该三个点组成的三角形面积为
,对面积求和设得到
,
,
两式子相减,得到,解得
.
13．【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.
若，，则数列的前项和__________．
【答案】
14．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考】已知数列
的首项
，函数
为奇函数，记为数列
的前项和，则
的值为_____________． 【答案】
【解析】
是奇函数
，
，，
，
，
，如此继续，
得，
.
15．【2018届广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，
，
．
（1）求λ的值； （2）求数列11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
（2） 由（1）可得21n a n =-，所以
所以，
所以
19．【福建省漳州市2018届高三上学期期末】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31n n S a =+ ()
*
n N ∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n b 满足
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【解析】 (Ⅰ)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3a n ＋1－3a n －1－1， 即2a n ＝3a n －1，所以
13
2
n n a a -=，
当n ＝1时，a 1＝3a 1＋1，解得112
a =-. 所以数列{a n }是以12-
为首项， 3
2
为公比的等比数列， 即
.
20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
2,,n n S a +成等比数列()
n N *∈.
（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若
，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【答案】（1）1
2n n a -=；（2）
.
【解析】（1）12,,n n S a +成等差数列，∴
，
当1n =时，， 当2n ≥时，
，
{}n a 是等比数列，∴11a =，则42a +=，得2a =-，
∴数列{}n a 的通项公式为.
（2）由（1）得， ∴
21
n
n =
+.。