高二数学平面向量数量积的坐标表示
高中数学 第1部分 第二章 §6 平面向量数量积的坐标表
[一点通] 1．向量数量积的坐标表示，可把向量的夹角问 题转化为向量坐标的计算问题．但要注意a·b>0(<0)与 夹角为锐(钝)角不是等价关系． 2．利用公式：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0来 判断两向量垂直，使向量问题代数化，判断方法简捷、 明了．
4．已知直线l1：x＋3y＋1＝0和l2：2x＋y＋3＝0，则直线l1 与l2的夹角为________．
1．平面向量数量积的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 . 2．几个重要结论
(1)向量模的坐标表示：若 a＝(x，y)， 则|a|＝ x2＋y2 .
(2)向量垂直的坐标表示：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
理解教材新知
第 二
§6
把握热点考向
考点一 考点二
章
考点三
应用创新演练
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 问题1：你能用a，b的坐标表示a·b吗？ 提示：能．a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， 而i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝ x1x2＋y1y2. 问题2：与数量积有关的性质可以用坐标表示吗？ 提示：可以．
解析：任取 l1 和 l2 的方向向量 m＝(1，－13)和 n＝
(1，－2)．
设 m 与 n 的夹角为 θ，
cos θ＝
1＋23 1＋19×
＝ 1＋4
5 3 310×
＝ 22，θ＝45°. 5
答案：45°
5．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂 直，求k的值． 解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵ka＋b与a－3b垂直，∴(ka＋b)·(a－3b)＝0， 即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，解得k＝19.
平面向量数量积的坐标表示
VS
计算力的合成与分解
利用向量的坐标表示，可以将多个力进行 合成与分解，方便对物体进行受力分析。
在工程中的应用
描述物体的运动
在工程中，物体的运动可以看作是向量的 变化过程，通过引入向量的坐标表示，可 以更精确地描述物体的运动轨迹。
向量场的旋度和散度
• 旋度的性质：旋度具有方向性，其方向与向量场在该点的旋转方向一致；旋度的模长等于向量场在该点的 旋转强度。
• 散度的定义：散度是一个标量，表示向量场中某点处的发散程度。对于一个向量场$\mathbf{F} = (u, v, w)$，其在某点$(x, y, z)$处的散度为$
• abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$。
坐标表示的意义
通过坐标系来表示向量的位置和方向，进而可以直观地理解数量积的几计算
通过坐标表示可以方便地计算向量的长度，即向量的模。
向量夹角的计算
通过坐标表示可以求出两个向量的夹角，进而可以计算出它们 的数量积。
向量投影的计算
通过坐标表示可以求出一个向量在另一个向量上的投影，进而 可以计算出它们的数量积。
曲线和曲面的切线方向
• 切线方向的确定：切线方向是指曲线或曲面上某一点处的最速上升方向或最速下降方向。在二维平面上， 曲线在某一点的切线方向是该点函数值变化最快的方向。
• 切线方向的计算：对于曲线$y = f(x)$，在某一点$(x_0, y_0)$处的切线方向向量为$(1, f'(x_0))$；对于曲面 $z = f(x,y)$，在某一点$(x_0, y_0, z_0)$处的切线方向向量为$(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), 1)$。
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
Office组件之word2007
1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
Office组件之word2007
AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
Office组件之word2007
uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
Office组件之word2007
2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
Office组件之word2007
1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
Office组件之word2007
例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
Office组件之word2007
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
数学-平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示高中数学 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．导语 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？一、平面向量数量积的坐标表示问题 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？提示 i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.知识梳理 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.例1 (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )A．10 B．－10C．3 D．－3答案 B解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于( )A．6 B．5 C．4 D．3答案 C解析 由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.反思感悟 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2＝a·a.(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2.(3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.跟踪训练1 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，＝2，AF → FD → 则·＝________.BE → CF → 答案 23解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,2)，E (2,1)，D (2,2)，B (0,0)，C (2,0)，因为＝2，所以F .AF → FD → (43，2)所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝，BE → CF → (43，2)(－23，2)所以·＝(2,1)·BE → CF → (－23，2)＝2×＋1×2＝.(－23)23二、平面向量的模知识梳理 1．若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝.x 2＋y 22．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝.(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2例2 设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( )A. B.56C. D.1726答案 A解析 ∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝.5反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量a 2x 2＋y 2运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝5，则|b |等于( )2A. B. C ．5 D ．25510答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5，又|a ＋b |＝5，∴(a ＋b )2＝50，2即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.三、平面向量的夹角、垂直问题知识梳理 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.1．cos θ＝＝.a·b |a||b|x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 22．a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.注意点：(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆．(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角．例3 已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝＝5，|b |＝＝，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.42＋32(－1)2＋225a ·b |a ||b |2552525(2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝.529反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.a ·b |a ||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 2(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为a ·b|a ||b |180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.跟踪训练3 (1)已知向量a ＝(1，)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为，则实数m 等于( )3π6A ．2 B. C ．0 D ．－333答案 B解析 因为a ＝(1，)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝，a ·b ＝3＋m ，39＋m 23又a ，b 的夹角为，所以＝cos ，即＝，所以＋m ＝，解得m ＝.π6a ·b |a ||b |π63＋3m 29＋m 23239＋m 23(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m ，1)，∴a ＋b ＝(－1＋m，2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.1．知识清单：(1)平面向量数量积的坐标表示．(2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b为非零向量)．(3)cos θ＝(θ为非零向量a ，b 的夹角)．x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 22．方法归纳：化归与转化．3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错．1．若向量a ＝(x ，2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( )A ．3B ．－3 C. D ．－5353答案 A 解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.2．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( )A.B. 636565C.D.13513答案 A解析 |a |＝＝5，|b |＝＝13.32＋4252＋122a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝＝.635×1363653．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2C ．2D ．4答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝＝2.12＋n 24．已知点A (0,1)，B (1，－2)．向量＝(4，－1)，则·＝________，||＝________.AC → AB → AC → BC → 答案 7 13解析 ＝(1，－3)，AB → ∴·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，AB → AC → ＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3,2)，BC → AC → AB → ∴||＝＝.BC → 32＋2213课时对点练1．(多选)设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝b 2B ．a ·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b答案 AD解析 |a |＝b 2＝2，故A 正确，B ，C 显然错误，a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .故D 正确．2．已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |等于( )A.B. 510C ．2D ．105答案 B解析 由题意可得a ·b ＝x ·1＋1×(－2)＝x －2＝0，解得x ＝2.再由a ＋b ＝(x ＋1，－1)＝(3，－1)，可得|a ＋b |＝.103．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 A解析 由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，所以·＝2×8＋(－4)AB → AC → BC → AB → AC → ×4＝0，即⊥.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．AB → AC → 4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. B ．2 C ．4 D ．1233答案 B解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝＝2.a 2＋4a ·b ＋4b 235．设点A (4,2)，B (a ，8)，C (2，a )，O 为坐标原点，若四边形OABC 是平行四边形，则向量与的夹角为( )OA → OC → A. B. C. D.π3π4π6π2答案 B解析 ∵四边形OABC 是平行四边形，∴＝，即(4－0,2－0)＝(a －2,8－a )，OA → CB → ∴a ＝6，∵＝(4,2)，＝(2,6)，OA → OC → 设向量与的夹角为θ，OA → OC → ∴cos θ＝＝＝，OA → ·OC → |OA → ||OC → |4×2＋2×642＋22×22＋6222又θ∈(0，π)，∴与的夹角为.OA → OC → π46．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝3，则b 等于( )5A ．(－3,6) B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)答案 A 解析 由题意，设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝＝|λ|＝3，λ2＋(－2λ)255又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．7．已知a ＝(－1,1)，b ＝(1,2)，则a ·(a ＋2b )＝________.答案 4解析 ∵a ＋2b ＝(1,5)，∴a ·(a ＋2b )＝4.8．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.答案 －1解析 由题意得m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝3，且c ∥a ，求向量c 的坐标；2(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解 (1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝3，c ∥a 可得2Error!所以Error!或Error!故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，2即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝＝，a ·b |a |·|b |22因为θ∈[0，π]，所以θ＝.π410．已知向量a ＝(1，)，b ＝(－2,0)．3(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1,1]时，求|a －t b |的取值范围．解 (1)因为向量a ＝(1，)，b ＝(－2,0)，3所以a －b ＝(1，)－(－2,0)＝(3，)，33设a －b 与a 之间的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.(a －b )·a |a －b |·|a |64332因为θ∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为.π6(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝42＋3.易知当t ∈[－1,1]时，|a －t b |2∈[3,12]，(t ＋12)所以|a －t b |的取值范围是[，2 ]．3311．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案 B解析 由m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.12．(多选)在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为AB → AC → ( )A ．－B.23113C. D.3±13223答案 ABC解析 ∵＝(2,3)，＝(1，k )，AB → AC → ∴＝－＝(－1，k －3)．BC → AC → AB → 若∠A ＝90°，则·＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－；AB → AC → 23若∠B ＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，AB → BC → ∴k ＝；113若∠C ＝90°，则·＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，AC → BC → ∴k ＝.3±132故所求k 的值为－或或.231133±13213．已知O 为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使得·有最小OA → OB → AP → BP → 值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)答案 C解析 设点P 的坐标为(x ，0)，则＝(x －2，－2)，AP → ＝(x －4，－1)．BP → ·＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)AP → BP → ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，·有最小值1.AP → BP → 此时点P 的坐标为(3,0)．14.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝2，点E 在边CD 上，且＝2，则·2DE → EC → AE → 的值是________．BE →答案 329解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝，BC ＝2，2∴A (0,0)，B (，0)，C (，2)，D (0,2)，22∵点E 在边CD 上，且＝2，DE → EC → ∴E .∴＝，＝，(223，2)AE → (223，2)BE → (－23，2)∴·＝－＋4＝.AE → BE → 4932915．已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >，π2即＞A ＞－B ＞0，π2π2又因为函数y ＝sin x 在上单调递增，(0，π2)所以sin A >sin ＝cos B ，(π2－B )所以p ·q ＝sin A －cos B >0，设p 与q 的夹角为θ，所以cos θ＝＞0，p ·q|p ||q |又因为p 与q 不共线，所以p 与q 的夹角是锐角．16．已知向量＝(6,1)，＝(x ，y )，＝(－2，－3)．AB → BC → CD → (1)若∥，求x 与y 之间的关系式；BC → DA → (2)在(1)的条件下，若⊥，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．AC → BD → 解 (1)∵＝＋＋＝(x ＋4，y －2)，AD → AB → BC → CD → ∴＝－＝(－x －4,2－y )．DA → AD → 又∥，且＝(x ，y )，BC → DA → BC → ∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)＝＋＝(x ＋6，y ＋1)，AC → AB → BC → ＝＋＝(x －2，y －3)．BD → BC → CD → ∵⊥，∴·＝0，AC → BD → AC → BD → 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.由(1)知x ＋2y ＝0，与上式联立，化简得y 2－2y －3＝0，解得y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)；AC → BD → 当y ＝－1时，x ＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)；AC → BD → ∴S 四边形ABCD ＝||·||＝16.12AC → BD →。
平面向量数量积的坐标表示说课稿通用二篇
平面向量数量积的坐标表示说课稿通用二篇平面向量数量积的坐标表示说课稿 1一、教材分析1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的__。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
教学重点平面向量数量积的坐标表示及应用教学难点探究发现公式二、教学方法和__1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生__思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。
在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 ( x x ) ( y y ) | a | _________________. 1 2 1 2 2.若 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) ，则 x1 x2 y1 y2 0 a b _____________.
例5.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状， 并给出证明。
解： ∵AB =（2－1，3－2）=（1，1） AC =（－2－1，5－2）=（－3，3） ∴AB· AC =1×（－3）+1×3=0 ∴ AB⊥AC ∴ △ABC是直角三角形
设 a, b 都是非零向量， ， a ( x , y ), b ( x , y ) 1 1 2 2 θ是 a 与 b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表
解：a· b=5×（－6）+（－7）×（－4） =－30+28
=－2
|a|= 5 7 74
2 2
2 2 ( 6 ) ( 4 ) 52 |b|=
∴cosθ≈－0.03
θ≈1.6 rad=92°
练习： P119
1 、2 、 3
建议课后练习： P119 5、9、10、11
;
/ PS 学堂
2.4.2平面向量数量积的
坐标表示、模、夹角 目标导学：
1、掌握向量数量积的坐标表达式，会进 行向量数量积的坐标运算。 2、能运用数量积表示两个向量的夹角， 计算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系。
平面向量的数量积：
已知非零向量 a 与 b ，我们把数量 | a || b | cos 叫作 a 与 b 的 数量积（或内积），记作 a b ，即规定
a b | a || b | cos
其中θ 是 a 与 b 的夹角，| b | cos (| a | cos ) 叫做向量 b 在 a 方向上（ a 在 b 方向上）的投影.
B
| OB1 || b | cos
O
b
θ B1
思考：已知是非零向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) ， 怎样用 a 与 b 的坐标来表示 a b 。
a b x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.
2 2 2 2 2 x y x y 1.若 a ( x, y) ，则 | a | ________;| a | _________.
a
A
数量积的几何意义：
数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与 b 在 a 的方向上的 投影 | b | cos 的乘积。
B
b
O θ B1
a
A
练习：下列选项正确的是 （
A.若 a b 0(a 0)，则 b 0 ；
示可得：
Hale Waihona Puke a b cos | a || b |
x1 x2 y1 y2
2 2 x12 y12 x2 y2
b 间的 例6.设 a (5, 7), b (6, 4) ，求 a b 及 a、 夹角θ 。 （精确到1º ）
B.若 a b b c(b 0) ，则 a c ；
）
C.对任意向量 a, b, c ，总有 (a b)c a(b c) ；
D.对任意向量a, b ，总有 | a b | a b .
vfg21wiv
说有事要找你。”听罢，我赶紧起了床，以迅雷不及掩耳之势收拾好细软，并穿好衣裳，然后就走出屋子。只见傅三已经在门外等着我，我抱 歉得走前去说道，“傅大爷，不好意思，让你久等了。”傅三也没说我什么，只是脸色有点凝重。我见状，也不知怎么回事，正准备开口问个 情况，傅三先开口道，“傅莲啊，这回要辛苦你了。”我听罢，顿时觉得会有不好的事情将要发生在我身上，果然，傅三继续说道，“是这么 一回事，傅家大少奶奶所住的院子里头刚死了一个家丁，听说是积劳成疾突然暴毙的，那个家丁是专为大少爷和大少奶奶干活的，如今他们那 里少了一人，便向我这要一个人补回去。也不知怎么地，傅大少奶奶指定要你去她那，这”听到这，我的小心脏不知咋的就停止跳动了，那消 息犹如沼气一样让我窒息；全身僵硬不能动弹，脸蛋发白，顿时脚一软坐倒在地。傅三见状，连忙扶我一把，又添话道，“其实你也不用太害 怕，虽说大少奶奶脾气不好，但是也不至于无故骂人打人。”不是吧？傅三你在开玩笑吧？那二货可是把别人给活生生弄死了啊，那她还不算 是杀人凶手吗？人长得丑就不说了，现在她可是弄死了人啊，这是要我去送死吗？心中一阵狂想。傅三见状，也不知道说些什么，把我扶起来 后无奈的说道，“傅莲，有些事情不是你想不做就可以不做的，人啊，就是要学会在逆境中生存，甚至在逆境中锻炼自己。”听到这话，我从 惊恐的神情中缓了过了，傅三说得对。这是一个对我的考验，我已经是傅家的家丁了，会遇上一些倒霉事情也是注定的，至于我究竟是不是跟 着倒霉那就是看自己的造化了。想到这里，我也就没这么害怕了，于是跟着傅三走去傅大少奶奶的住处。我知道傅三是个老好人，我也不怕说 错什么，于是我问道，“傅大爷，其实这个大少奶奶是”没得我问完，傅三就接着我的话说道，“傅家大少奶奶是大少爷傅宗哲的妻子，出阁 前原是当今大臣李善的长女李欣丽，她今年也有38岁了，只比大少爷少了2岁。傅大老爷已经辞去朝中职务回家养老，而大少爷则替大老爷继续 在朝中为皇上办事，所以他位高权重，在府上除了大老爷，也没人敢议论他什么，这样一来，傅大少奶奶也是仗夫之势，在傅家做起女主人。 大少爷和大少奶奶生有一女儿，今年也18了，别看夫人长这样，他们的女儿可漂亮了，像极了我们大少爷”不知怎地，傅三开始扯起了那一房 人的家常。也罢，起码我了解了这大房的人物还有他们的地位，得出的结论就是我一丁点儿都惹不起。傅三唠叨完他们家的一些事情后，我们 已经来到了傅大少爷的大院子门外。傅三走前对我说道，“傅莲啊，你今后就在这里帮忙干活吧，等做完全部的活并得到大少奶奶的同意，你 就可以回去你的房间