第三章 平面上直线的位置关系和度量关系
空间几何的平面与直线的位置关系
空间几何的平面与直线的位置关系平面与直线是空间几何中的重要概念，它们之间的位置关系在三维空间中具有多种可能性。
本文将就平面与直线的不同位置关系展开讨论，并分析它们之间的几何性质。
1. 平行关系当一个平面与一条直线在空间中没有任何交点时，它们被称为平行关系。
换句话说，平面与直线相互之间没有交点，无论如何移动都无法相交。
这种情况下，平面与直线之间的距离保持一致，且始终保持平行。
平行关系可以由以下两种情况出现：（1）平面与直线的法向量平行：若平面的法向量与直线的方向向量平行，则平面与直线平行。
在三维空间中，平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若直线的方向与平面的法向量平行，则平面与直线平行。
（2）平面内一条直线与直线平行：如果平面内的一条直线与给定直线平行，那么平面与直线平行。
直线平行意味着它们具有相同的方向或者方向相反。
2. 相交关系当一个平面与一条直线在空间中存在且唯一的交点时，它们被称为相交关系。
换句话说，平面与直线相互之间存在一个公共点。
相交关系可以有以下两种情况：（1）平面与直线的法向量不平行：若平面的法向量与直线的方向向量不平行，则平面与直线相交于一点。
在这种情况下，平面将直线分割成两个部分，其中一个部分在平面上方，另一个部分在平面下方。
（2）平面包含直线：当平面包含直线时，它们相交于直线上的所有点。
换句话说，直线上的每一个点都同时位于平面上。
3. 直线在平面上直线可能与平面有特殊的位置关系，如直线在平面上。
当直线的每一个点都在平面上时，我们称该直线在平面上。
这种情况下，直线与平面有无数个公共点，且直线不与平面相交。
4. 平面与直线的夹角平面与直线之间的夹角表示了它们之间的接触程度。
夹角的大小和类型对于两者的位置关系具有重要影响。
（1）直线与平面相交的夹角：当平面与直线相交时，我们可以定义平面不垂直于直线的夹角为直线与平面相交的夹角。
这个夹角可以通过平面的法向量和直线的方向向量之间的夹角来计算。
空间几何中的平面与直线的位置关系
空间几何中的平面与直线的位置关系在空间几何的研究中，平面和直线是最基本的几何元素之一。
它们之间的位置关系对理解空间几何的特性和性质起着至关重要的作用。
本文将探讨平面与直线的七种常见位置关系，并通过具体例子进行说明。
一、平面与直线相交于一点当一个平面与一条直线相交于一点时，我们称这两者的位置关系为相交于一点。
在这种情况下，平面可以被视为一个切平面，将直线切割成两段。
如图1所示，平面P与直线L相交于点A。
图1 平面与直线相交于一点二、平面与直线相交于多个点当一个平面与一条直线相交于多个点时，我们称这两者的位置关系为相交于多点。
这种情况下，平面将直线切割成多段，直线的起点和终点都在平面上。
如图2所示，平面P与直线L相交于点B、点C和点D。
图2 平面与直线相交于多个点三、直线在平面上当一条直线完全位于一个平面上时，我们称这两者的位置关系为直线在平面上。
换句话说，直线上的任意一点都落在平面上。
如图3所示，直线L完全位于平面P上。
图3 直线在平面上四、平面与直线相交当一个平面与一条直线有公共点，但该直线不完全位于平面上时，我们称这两者的位置关系为相交。
如图4所示，平面P与直线L相交于点E和点F，但直线L的一部分位于平面外。
图4 平面与直线相交五、直线平行于平面当一条直线与一个平面没有公共点，且直线与平面的方向相同或者相反时，我们称这两者的位置关系为平行。
如图5所示，直线L与平面P平行。
图5 直线平行于平面六、直线垂直于平面当一条直线与一个平面垂直且通过该平面的法线时，我们称这两者的位置关系为垂直。
如图6所示，直线L垂直于平面P。
图6 直线垂直于平面七、直线与平面重合当一条直线与一个平面重合，即二者完全重合时，我们称这两者的位置关系为重合。
如图7所示，直线L与平面P重合。
图7 直线与平面重合综上所述，空间几何中的平面与直线有七种常见的位置关系，分别为相交于一点、相交于多点、直线在平面上、相交、平行、垂直和重合。
湘教版七年级数学下册目录
湘教版七年级数学下册目录七年级数学教材中有丰富的文化价值与教育价值。
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湘教版七年级数学下册课本目录第1章二元一次方程组1.1建立二元一次方程组1.2二元一次方程组的解法1.3二元一次方程组的应用1.4三元一次方程组第2章整式的乘法2.1整式的乘法2.2乘法公式第3章因式分解3.1多项式的因式分解3.2提公因式法3.3公式法第4章相交线与平行线4.1平面上两条直线的位置关系4.2平移4.3平行线的性质4.4平行线的判定4.5垂线4.6两条平行线间的距离第5章轴对称与旋转5.1轴对称5.2旋转5.3图形变换的简单应用七年级数学下册期中考前复习目标：1. 通过复习第一章“一元一次不等式组”(1)会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，会用数轴定解集。
(2)能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式组，解决简单的问题。
(3)让学生在学习活动中体会“转化”的思想方法，进一步感受数形结合的作用，体会一元一次不等式组也是刻画现实世界数量关系的数学模型。
2. 通过复习第二章“二元一次方程组”(1)了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义。
(2)灵活运用代入法或加减法解简单的二元一次方程组。
(3)会列出二元一次方程组解简单的应用题，并根据实际意义检验它是否合理。
(4)了解二元一次方程组是反映现实世界量之间相等关系的一种有效的数学模型，强化学生对经历“问题情境–––建立模型––––应用拓展”过程的感受和体会。
(5)理解解方程组的“消元”思想，进一步体会“未知”向“已知”转化的思想。
3. 通过复习第三章“平面上直线的位置关系与度量关系”(1)进一步认识点、线、面，掌握有关直线与线段公理，会进行有关图形中的线段比较与长度计算。
(2)理解角的概念，会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，会进行度、分、秒的简单换算，了解角平分线的定义、性质。
高等数学平面与直线
注意事项：在使用点斜式方程时，需要确保已知点和斜率是正确的， 否则可能会得到错误的结果。
直线方程的应用
解析几何：用 于研究几何图 形的形状、大 小和位置关系
物理学应用：在 物理中，直线方 程可以用来描述 力、速度、加速 度等物理量的变
化规律
经济学应用：在 经济学中，直线 方程可以用来描 述成本、收益、 效用等经济变量
垂直关系
平面与直线垂直的定义： 直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则该直 线与该平面垂直。
垂直关系的判定定理： 如果一个平面内的两条 相交直线与另一个平面 垂直，则这两个平面垂 直。
垂直关系的性质：如 果两个平面垂直，则 其中一个平面内的直 线与另一个平面垂直。
垂直关系的ห้องสมุดไป่ตู้用：在几 何学、物理学和工程学 等领域中，垂直关系都 有着广泛的应用。
直线方程的表示： 点斜式、两点式和 截距式
直线方程的求解： 通过已知点坐标和 斜率求解直线方程
直线方程的应用： 求解交点、距离和 角度等问题
平面与直线的度量关系
距离公式
平面与直线之间的距离公式 公式推导过程 公式应用场景 公式注意事项
角度公式
平面与直线之间的夹角公式 直线与直线之间的夹角公式 平面与平面的夹角公式 直线与平面的夹角公式
面积公式
平面面积公式：A=πr²，其中r为圆的半径
直线长度公式：L=|x1-x2|，其中x1、x2为直线上两点的横坐标
平面方程的应用
描述几何图形
计算距离和角 度
解决实际问题
辅助设计
直线方程
一般式方程
定义：一般式方程是直线方程的一种形式，表示直线上任意一点的坐标都满足该方程。 形式：一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为零。 特点：一般式方程包含了所有斜截式、点斜式和两点式方程的特殊情况，可以表示任意直线。 应用：在几何学、物理学、工程学等领域中，一般式方程被广泛应用于描述直线的位置关系和性质。
湘教版数学七年级(下册)几何(③⑤章)基本知识点与方法总结1
湘教版七年级下册几何（③⑤章）基本知识点与方法总结第三章平面上直线的位置关系和度量关系一、知识结构图：二、知识点：1.线段、直线、射线：①线段的形象描述：一条拉紧的绳子.一段笔直的铁轨。
特征：两个端点、两个方向。
②直线：一条线段向两端无限延伸后的几何图形。
特征：没有端点.有两个方向。
③射线：一条线段向某一方向无限延伸后的几何图形。
特征：只有一个端点.一个方向。
④点与直线的位置关系：a:点在直线外. b:点在直线上。
⑤两个公理：直线公理：过两点有且仅有一条直线。
线段公理：连接两点的所有线段中.线段最短。
⑥线段长短的比较：a:度量方法。
b:截取的方法2.角：①角的定义：一条射线绕它的端点旋转到另一位置时所形成的图形。
②角的进制：1º=60′=3600″③角的分类：锐角 (0º<α<90º)直角=90º 角 钝角 （90º<α<180º)平角=180º 周角=360º④两个角的概念：a. 补角：若 ∠A+∠B=180º,则 ∠A 与∠B 互为补角。
b. 余角：若 ∠A+∠B=90º,则 ∠A 与∠B 互为余角。
结论：同角或等角的余角相等.同角或等角补角相等。
⑤角的度量与比较：a.用量角器度量之后用数值比较。
B.用截取的方法比较。
⑥角平分线的定义：以一个角的顶点为端点的一条射线.如果把这个角分成两个相 等的角.这条射线叫该角的平分线。
3.同一平面上直线的位置关系：平行 两直线没有公共点 ①位置关系： 相交 两直线有且仅有一个公共点 重合 两直线有两个公共点②直线的平行关系的传递性：设a, b, c 是三条直线.如果 a ∥b,b ∥c,那么a ∥c③平行公理：经过一条直线外的一点有且仅有一条直线和已知直线平行。
④两相交直线产生的角：a. 对顶角结论：对顶角相等b. 邻补角 结论：邻补角互补⑤两直线被第三条直线所截所产生的角：同位角：∠1与∠5,∠3与∠7等内错角：∠4与∠6.∠3与∠5同旁内角：∠4与∠5.∠3与∠64.图形的平移：定义：把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离。
直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系直线与平面是几何学中常见的两个基本概念，它们之间存在着一种特殊的位置关系。
在本文中，我们将探讨直线与平面的相互关系，并分析不同情况下它们之间可能存在的几种位置关系。
一、直线与平面的基本定义在几何学中，直线是由一系列连续的无限延伸的点组成的，它没有宽度和厚度，可以用来表示一个方向。
平面则是由无数个共面的点组成的，它有无限的长度和宽度，但没有厚度。
二、直线在平面上的位置关系2.1 直线在平面内的情况当一条直线完全位于一个平面内部时，我们说直线在平面上。
这意味着直线上的任意一点都可以找到与平面内点之间的最短距离，而且直线与平面的交点个数可以是无限的。
当直线与平面相交时，它们的交点在平面内。
2.2 直线与平面的平行关系如果一条直线与一个平面不相交，且在该平面上不存在与这条直线平行的直线，则称这条直线与这个平面平行。
在这种情况下，直线与平面之间的距离是恒定的，且这个距离是由这条直线所在的平行于该平面的直线到平面的最短距离所确定的。
2.3 直线与平面的垂直关系当一条直线与一个平面相交，并且与平面上的任意一条直线所成的角都是直角时，我们说这条直线与平面垂直。
在这种情况下，直线与平面只有一个交点，并且与平面上的直线所成的角度都是90度。
三、直线与平面的特殊情况3.1 直线在平面上的情况有时候，一条直线可能与一个平面相切，这意味着直线上的一点与平面内的点之间的最短距离为零。
在这种情况下，直线与平面的交点个数为1，且这个交点就是直线上的切点。
3.2 直线与平面的重合关系在某些情况下，一条直线可能与一个平面重合，这意味着除了直线上的所有点之外，平面上的其他点也包含在直线上。
在这种情况下，直线与平面有无限个交点，且它们之间的位置是完全重合的。
四、应用举例直线与平面的位置关系在许多实际问题中都能得到应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要确定一条直线是否与一个平面平行，以便进行正确的定位和测量；在计算机图形学中，直线与平面的位置关系常用于计算模型的投影效果等。
湘教版数学七年级学法大视野
湘教版数学七年级学法大视野一、指导思想在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神。
以“面向每一个学生，一切为了学生的发展”为知道思想，在教学的同时，渗透情感教育。
二、教学目标1、让学生学到的知识技能是社会对青少年所需求的；2、必须使学生晓得这就是自己终身自学和发展所须要的；3、贴近生活实际让学生爱数学，自主的学教学；4、使学生掌控数学基本知识和技能三、教材分析：本册教材就是在崭新《课标》的指导下，撰写的一本全新教材。
无论其教学理念，目标建议，教材框架，教材的资源整合跟以往教材比，都存有非常大的变化。
本次教材更名为《义务教育课程标准试验教科书・数学・七年级上册》这样更名体现了九年义务教育的一贯制，教学时要注意九年数学教学的连贯性。
本册教材共分为六章26节。
具体内容章节如下：第一章一元一次不等式组1.1一元一次不等式组与1.2一元一次不等式组的数学分析1.3一元一次不等式组的应用领域第二章二元一次方程组2.1二元一次方程组2.2二元一次方程组的数学分析2.2.1代入窭元法2.2.2提减消元法2.3二元一次方程组的应用第三章平面上的边线关系和度量关系3.1线段、直线、射线3.2角3.3平面直线的位置关系3.4图形的位移3.5平行线的性质与认定3.6垂线的性质与认定第四章多项式4.1多项式4.2多项式的以此类推4.3多项式的乘法4.4乘法公式第五章轴对称图形5.1轴反射与轴对称图形5.2线段的垂直平分线5.3三角形5.4三角形的内角和5.5角平分线的性质5.6等腰三角形5.7等边三角形第六章数据的分析与比较6.1加权平均数6.2极差、方差6.3两组数据的比较每一节备有a、b两组习题，每一章备有a、b、c三组复习题。
c组与习题通常为探究题。
全书备有两个课题自学和两则数学与文化科学知识。
以拓宽学生的知识面。
整个教材体现了如下特点：1．现代性――更新科学知识载体，扩散现代数学思想方法，导入信息技术。
第三章 平面与空间直线
第三章平面与空间直线本章以矢量为工具推导平面和空间直线各种形式的方程，讨论两平面，直线与平面，两直线的相互位置关系，并以矢量为工具推导两平面，直线与平面，两直线间的夹角公式以及点到平面，点到直线，两异面直线间的距离公式，最后又讨论了平面束方程及其应用。
本章的基本要求如下：A.掌握1.基本概念：平面的方位矢量和法矢量，量，方向角，方向余弦，方向数。
有轴平面束和平行面束。
点与平面间的离差，直线的方向矢量2.平面方程矢量形式的方程：点位式，一般式，参数式，点法式。
坐标形式的方程：点位式，三点式，截距式，一般式，参数式，点法式，法线式。
根据平面的方程画出平面的图形。
3.直线方程矢量形式的方程：点向式，参数式。
坐标形式的方程：对称式，两点式，参数式，一般式，射影式。
4.点，直线，平面的相关位置①用矢量方法讨论两平面的位置关系（相交，平行，重合），并求两平面间的夹角。
②点和平面的位置关系（点在或点不在平面上），利用平面的法线式方程求点与平面的离差和距离。
③用矢量方法讨论直线和平面的位置关系（相交，平行，直线在平面上），并求直线和平面间的夹角。
④点和直线的位置关系（点在直线上或点不在直线上），利用矢量方法求点到直线的距离。
⑤用矢量方法讨论两直线的位置关系（异面，相交，平行，重合）并求两直线间的夹角。
⑥平面束方程，利用平面束方程求空间直线在任一平面上的射影。
⑦空间圆的方程，圆心和半经的求法。
5.基本理论平面基本定理及其证明（定理3，1，1）有轴平面束方程及其证明（定理3，8，1）B.理解利用矢量方法求两异面直线的公垂线和两异面直线间的距离。
知识要求：1.知道决定平面的几何条件及矢量条件，会根据几何条件求出平面方程；2.掌握平面的参数方程、一般方程、法式方程、截距式方程；3.会求点到平面的距离；4.会用矢量条件判断平面与平面的位置关系；5.知道决定空间直线的几何条件及矢量条件，会根据几何条件求出直线方程；6.掌握空间直线的参数方程、两点式方程、一般方程、标准方程，会将参数方程、一般方程转化成标准方程；7.会用矢量条件判断直线与直线、平面与直线的的位置关系； 8.会求两直线之间的夹角；9.会求两异面直线之间的距离与公垂线方程； 10.了解平面束的概念。
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第三章平面上直线的位置关系和度量关系
【知识归类】
1、通过两点有且只有条直线。
2、线段有个端点，射线有个端点，直线端点。
3、过一点可以画条直线。
过两点可以画条直线。
4、角的定义是：。
5、1周角= 平角= 直角= °；1平角= 直角= °；
1直角= °．
6、同角或等角的相等；同角或等角的相等。
7、经过一条直线外一点有且只有条直线与已知直线平行。
8、设a、b、c是三条直线，如果a∥b，b∥c，那么。
9、两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其它几对也相等，并且相等，互补。
10、两条直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那一对也相等，并且相等，互补。
11、两条直线被第三条直线所截，如果有一对同旁内角互补，那么另一对也互补，并且相等，也相等。
12、把直线变成与它平行的直线；两条平行直线中的一条，可以通过
与另一条重合。
13、平行线的三条性质：（1）、；（2）、；（3）、。
14、平行线的判定方法：（1）、
；（2）、
；（3）、。
15、垂线的性质：在平面内，垂直于的两条直线平行。
16、垂线的判定：在平面内，如果一直线垂直于两平行线中一条，那么。
17、在平面内，通过一点有且只有条直线与已知直线垂直。
18、直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，最短。
19、与两条平行直线都垂直的直线，叫作，这时连结两个垂足的线段，叫作。
20、两平行线的所有都相等。
【知识运用】
1、线段上取1个点有条线段；取2个点有条线段；取3个点有
条线段；取n个点有条线段。
2、三条线段，两两相交，有个交点。
3、线段AB=14cm，点C在线段AB上，E、F分别是AC、BC的中点，则线段
EF= cm。
4、线段AB=8cm ，延长AB 到点C 使BC=4cm ，则AC= BC ，若反向延长线段 AB 到点D 使BD=10cm ，则AD= BD 。
5、如果线段AB=5cm ，BC=4cm ，那么AC 两点的距离是 cm 。
6、如图，已知∠AOB:∠BOC=3:5，又OD 、OE 分别是∠AOB ¸∠BOC 的角平分线， 若∠DOE=60°，则∠AOB= ，∠BOC= 。
A C B
D
O B O E
E
（6题图） C A D （ 12题图）
7、57.36°= 度 分 秒；27°18′24″= 度。
8、若∠α=35°45′24″,则∠α的余角为 ，补角为 。
9、计算：14°54′×3 = ；157°45′÷5= 。
10、一个角的余角是它补角的5
2，则这个角是 。
11、同一平面内的两条直线按公共点个数来分类有三种：
（1）、两条直线没有公共点，则称这两条直线 。
（2）、两条直线只有一个公共点，则称它们 。
（3）、两条直线有两个公共点，根据 可知，这两条直线互相重合，则它们有无数个公共点，我们把它们当作一条直线。
12、如图，AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD,则∠AOD 的对顶角是 ，∠BOE 的邻补角是 ，∠BOE 的余角是 。
13、如图，∠B 的同位角是 ，∠DEF 的内错角是 ，两条直线被AC 所截且与∠A 是同旁内角的角共有 个，它们是 。
A D
A
F E E F
B C
B D C
（13题图） (14题图）
14、如图，△ABC 平移到△DEF ，平移的距离等于线段 的长度，图中相等的线段有 ，相等的角有 ，平行的线段有 。
15、如图，AB∥CD,∠CAD=9O°，CA平分∠BCD，若∠BCA=25°，则∠BCD= ，∠B= ，∠DAB= ，∠D= 。
A B C D
D C A B E
（15题图）(16题图）
16、如图，AB∥CD,BC∥DE，那么∠B+∠D= 。
17、如图，直线AB、CD、EF相交于O，且AB⊥CD,若∠COE=35°，则∠AOE= ，∠BOE= ，∠AOF= 。
E C
A O B
(17题图） D F
18、两条直线相交成的四个角中有一个角是角时，就说这两条直线垂直。
19、过平面内任意一点作已知直线的垂线有条。
20、点P为直线m外一点，点A、B、C为直线m上三点，且PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm,则点P到m的距离为。
21、设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为3cm，求a与c的距离。
22、如图，∠CDA=∠CBA,DE平分∠ADC，BF平分∠ABC,且∠ADE=∠AED,试说明DE∥FB。
D F C
A E B
(22题图）
23、如图，直线AB,CD和EF相交于点O，OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°求∠DOG 的度数。
E
D
A O B
C
G
(23题图） F
24、如图，AD⊥BC,EF⊥BC,∠BEF=∠ADG,AB与DC平行吗？为什么？
A
E
G
B F D C
（24题图）。