2021年高三上学期8月月考(数学文)
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合(){}ln 1A y y x ==-，{B y y ==，则A B =（ ）A ．[)0,2B ．()0,2C ．[]0,2D ．[)0,1【答案】A【解析】先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合,A B ，注意集合中的代表元素，再利用集合的交集运算求解即可. 【详解】∵(){}ln 1A y y x R ==-=，{[)0,2B y y ===，∴[)0,2AB =.故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题.2．设a ，()0,b ∈+∞，A =，B =，则A ，B 的大小关系是（ ）A ．AB < B ．A B >C ．A B ≤D ．A B ≥【答案】B【解析】根据题意计算做差可得22A B >，得到答案. 【详解】由a ，()0,b ∈+∞，得0A =>，0B =>22220A B -=-=>，∴22A B >，故A B >， 故选：B. 【点睛】本题考查了做差法比较大小，意在考查学生的计算能力和推断能力.3．已知直线l 是曲线2y x =的切线，则l 的方程不可能是（ ）A ．5210x y -+=B ．4210x y -+=C ．13690x y -+=D ．9440x y -+=【答案】B【解析】利用导数求出曲线2y x =的切线的斜率的取值范围，然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是否为曲线2y x =的切线，由此可得出结论.【详解】对于函数2y x =，定义域为[)0,+∞，则22y '=+>，所以，曲线2y x =的切线l 的斜率的取值范围是()2,+∞.对于A 选项，直线5210x y -+=的斜率为52，令522y '=+=，解得1x =，此时3y =，点()1,3在直线5210x y -+=上，则直线5210x y -+=与曲线2y x =相切；对于B 选项，直线4210x y -+=的斜率为2，该直线不是曲线2y x =的切线；对于C 选项，直线13690x y -+=的斜率为1326>， 令1326y '=+=，解得9x =，此时21y =，点()9,21在直线13690x y -+=上，所以，直线13690x y -+=与曲线2y x=相切；对于D 选项，直线9440x y -+=的斜率为924>， 令924y '==，解得4x =，此时10y =，点()4,10在直线9440x y -+=上，所以，直线9440x y -+=与曲线2y x =相切. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程，考查计算能力，属于中等题. 4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．(35)π-B．(51)πC．51)πD．52)π【答案】A【解析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】1S与2S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S与2S所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ=，又2αβπ+=，解得(35)απ=-故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：21122S r lrα==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l是扇形的弧长．5．若函数()(),2log2,xaa x af xx x a⎧<<⎪=⎨->⎪⎩（其中0a>，1a≠）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．()1,11,32⎛⎫⋃⎪⎝⎭B．(]1,3C．()2,3D．(]2,3【答案】C【解析】根据题中所给的函数有零点，结合解析式的特征，求得函数的零点，再根据分段函数的意义再结合式子的特征求得结果.【详解】因为x a>时，()log(2)af x x=-，所以2a>，若函数若有零点，则()log 20a x -=，解得3x =， 故3a >，又2a >，∴实数a 的取值范围是()2,3． 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据分段函数有零点求参数的取值范围，属于简单题目.6．已知02ω<≤，函数()sin f x x x ωω=，对任意R x ∈，都有()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ω的值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】化简函数()y f x =的解析式为()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意可知，点,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，结合02ω<≤可求得ω的值. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据()3f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，得,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，则2sin 0663f ππωπ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 063πωπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 02ω<≤，0363ππωπ∴-<-≤，所以063πωπ-=，解得2ω=.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．函数()2cos sin 2f x x x =+的一个单调减区间是（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用导数求得函数()y f x =的单调递减区间，利用赋值法可得出结果. 【详解】()2cos sin 2f x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()222sin 2cos2212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x '=-+=--=-+-()()2sin 12sin 1x x =-+-，1sin 1x -≤≤，可得sin 10x +≥，令()0f x '<，可得2sin 10x ->，即1sin 2x >，解得()52266k x k k Z ππππ+<<+∈. 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()52,266k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 当0k =时，函数()y f x =的一个单调递减区间为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 5,,4266ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 对任意的k Z ∈，50,2,2666k k πππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5,2,2266k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，55,2,2666k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()y f x =的一个单调递减区间为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（ ）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项. 【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>， 故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ． 【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.二、多选题9．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin sin B A C =，则角B 的值不可能是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°【答案】CD【解析】先利用正弦定理得到2b ac =，再利用余弦定理和基本不等式得到0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可判断. 【详解】∵2sin sin sin B A C =， 由正弦定理得： ∴2b ac =，∴2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时取等号， 又0B π<<，故0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：CD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.属于较易题. 10．下列说法正确的是（ ） A ．“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件B ．命题:p “若a b >，则22am bm >”的否定是真命题C ．命题“0R x ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“R x ∀∈，12x x+>” D ．将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的图象关于点0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD【解析】解方程tan 1x =，利用集合的包含关系可判断A 选项的正误；判断命题p 的真假，可判断出该命题的否定的真假，进而可判断B 选项的正误；利用特称命题的否定可判断C 选项的正误；利用图象平移得出函数()y g x =的解析式，利用对称性的定义可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，解方程tan 1x =，可得()4x k k Z ππ=+∈，4π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，所以，“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件， A 选项正确；对于B 选项，当0m =时，22am bm =，则命题p 为假命题，它的否定为真命题，B 选项正确；对于C 选项，命题“0R x ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“R x ∀∈，12x x+<”，C 选项错误；对于D 选项，将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移4π个单位长度， 得到()cos 2sin 2444g x x x x x πππ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭， ()()sin 2sin 244g x x x x x ππ-=---+=-+，则()()2g x g x π+-=，故函数()y g x =的图象关于点0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 选项正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了充分不必要条件、命题的否定的真假、特称命题的否定的判断，同时也考查了函数对称性的验证，考查推理能力，属于中等题.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）A ．()2xf x x =+B ．()23g x x x =--C ．()21,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()ln 1f x x =-【答案】BC【解析】只要解方程00()f x x =，观察它有没有实解即可得， 【详解】选项A ，若()00f x x =，则020x =，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若()00g x x =，则200230x x --=，解得03x =或-1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若()00f x x =，则01x ≤，0021xx -=，或01x >，002x x -=，解得01x =，故C 中函数是：“不动点”函数；选项D ，若()00f x x =，则00ln 1x x -=，该方程无解，故D 中函数不是“不动点”函数. 故选：BC. 【点睛】本题考查新定义“不动点”，解题关键是根据新定义把问题转化为方程有无实数解． 12．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论，正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是非奇非偶函数C ．()f x 在(0,)π单调递减D ．()f x【答案】ABD【解析】先根据周期函数定义判断选项A ，再根据[]y x =函数的意义，转化()f x 为分段函数判断B 选项，结合三角函数的图象与性质判断C ，D 选项. 【详解】[][]()2sin co (cos in )s s f x x x f x π+=+=，()f x ∴的一个周期是2π，故A 正确；sin11,01,0,2cos1,21sin1,,2()3cos1sin1,,23cos1,,22cos1,,02x x x x f x x x x πππππππππ+=⎧⎪⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎛⎤⎪-∈ ⎪⎥=⎝⎦⎨⎪⎛⎫⎪-∈ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎛⎫⎪∈- ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x ∴是非奇非偶函数，B 正确；对于C ，(0,)2x π∈时，()1f x =，不增不减，所以C 错误；对于D ，[0,)2x π∈，()sin11sin11 1.742f x π=+>+=+>>D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题.三、填空题13．若幂函数()f x 过点()2,8,则满足不等式(3)(1)f a f a -≤-的实数a 的取值范围是______. 【答案】(,2]-∞【解析】先求得幂函数()f x 的解析式，在根据()f x 的单调性求得不等式(3)(1)f a f a -≤-的解集.【详解】设()f x x α=，代入点()2,8，得28,3αα==，所以()3f x x =，所以()f x 在R 上递增，所以(3)(1)31f a f a a a -≤-⇒-≤-，解得2a ≤，所以实数a 的取值范围是(,2]-∞.故答案为：(,2]-∞ 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，属于基础题. 14．已知1a >，1b >，则log log 216a b b a +的最小值是______. 【答案】8【解析】利用换底公式可得log log 1a b b a ⨯=，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为1a >，1b >，所以log 0,log 0b a a b >>，因为lg log lg log log 1lg log lg aa b bb b a b a a a b ⎧=⎪⎪⇒⨯=⎨⎪=⎪⎩，所以，log log 2168a b b a +≥==，当log 2a b =时取“=”. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查指数式的运算、考查了换底公式与基本不等式的应用，属于中档题. 15．4cos50tan40-=______．【解析】【详解】4sin 40cos40sin 404cos50tan 40cos 40--=2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40--=,1cos10sin1022cos 40⎫-⎪⎝⎭=403cos 40==【考点】三角函数诱导公式、切割化弦思想.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，()cos25cos 3A B C ++=-，点P 是ABC 的重心，且27AP =，则c =______.【答案】4【解析】首先根据余弦二倍角公式得到1cos 2A =，设BC 边上的中线为AD ，得到7AD =，从而得到()12AD AB AC =+，再平方解方程即可得到答案. 【详解】因为()cos25cos 3A B C +-＋＝，所以22cos 5cos 20A A -+=， 所以1cos 2A =或cos 2A =（舍去）. 设BC 边上的中线为AD ，如图所示：因为27AP =，所以7AD = 又因为()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AC AB AC =++⋅， 所以()22172cos 4c b bc A =++，2211722242⎛⎫=++⨯⨯ ⎪⎝⎭c c ，化简得22240c c +-=，解得4c =或6c =-（舍去）. 故答案为：4 【点睛】本题主要平面向量数量积的应用，同时考查了余弦二倍角公式，属于简单题.四、解答题17．已知点()2,1P -在角α的终边上，且02απ≤< .（1）求值：2sin cos 4sin cos αααα-+；（2）若32ππβ<<，且sin 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2αβ+的值.【答案】（1）2；（2）724απβ+=. 【解析】先利用同角三角函数的基本关系得到sin ,cos ,tan ααα；（1）原式分子分母同除cos α得到正切，代入已知量即可得出结果；（2）先利用已知角的范围求得5224παπβ<-<，求出cos 2αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用22ααββα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，最后利用两角和的余弦公式求解即可得出结果. 【详解】由题意：sin α=，cos α=， 1tan 2α=-，且2παπ<<，（1）2sin cos 2tan 124sin cos 4tan 1αααααα--==++；（2）∵32ππβ<<，224παπ-<-<-，∴5224παπβ<-<，∴cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴cos cos cos cos sin sin 2222ααααββαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5521010⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎭=⎝-， ∵5242παβπ<+<， ∴724απβ+=. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式.属于中档题.18．已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）是否存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上单调递增？若存在，求出t 的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）()[]2,3f x ∈；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）求出函数的单调区间，由2在减区间内部，得结论． 【详解】解：（1）∵()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 21sin 212sin 223x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22633x πππ≤-≤，即212sin 233π⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭x ， ∴()[]2,3f x ∈； （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈得51212k x ππππ-+≤≤+()k Z ∈， 所以()f x 的递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，递减区间是511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，令0k =，函数在511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而5112,1212ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即函数在112,12π⎛⎫⎪⎝⎭上是递减的，故不存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上递增. 【点睛】本题考查正弦型函数的值域，考查正弦型函数的单调性，解题方法由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解． 19．已知R a ∈，函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的最大值. 【答案】（1）函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；（2）211e -. 【解析】（1）首先对函数求导，根据函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值，得到()110f a '=-=，求得1a =，根据导数的符号求得其单调区间； （2）将不等式转化为1ln 1x b x x +-≥，之后构造新函数()1ln 1xg x x x=+-，利用导数求得其最小值，进而求得最值，得到结果. 【详解】()11ax f x a x x-'=-=，由()110f a '=-=得1a =，()1ln =--f x x x ， （1）()1x f x x-'=，由0f x 得1x >，由0f x 得01x <<，故函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增.（2）()1ln 21x f x bx b x x≥-⇒+-≥， 令()1ln 1x g x x x =+-，则()2ln 2x g x x -'=，由0g x，得2x e >，由0g x ，得20x e <<，故()g x 在()20,e上递减，在()2e ,+∞上递增，∴()()22min 1e1eg x g ==-，即211e b ≤-， 故实数b 的最大值是211e-.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值点求参数的值，利用导数求函数的单调区间，利用导数求参数的取值范围，属于中档题目. 20．已知函数()1f x x ax =-，其中0a >. （1）求关于x 的不等式()2f x a>的解集； （2）若12a =，求[]0,x m ∈时，函数()f x 的最大值.【答案】（1）2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）2max 2,0121,1212,212m m m y m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤+⎨⎪⎪->+⎪⎩. 【解析】（1）根据分段函数定义域解不等式可求得答案； （2）画出函数()f x 的图象，数形结合可求得()f x 的最大值 【详解】（1）()()()11,11,x ax x af x x x x a α⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，(0)a >当1x a ≥时，由()2>f x a ，得(12)x ax a ->，1(2)()0ax x a-+>，20ax ->，2x a>， 当1x a <时，由()2>f x a ，即(1)2x ax a ->，220ax x a -+<，令220ax x a-+=，180∆=-<，方程无解，而0a >，所以220ax x a-+<无解，综上所述，2x a >，所以不等式()2f x a >的解集为2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）12a =时()22,21212,22x x x f x x x x x x ⎧-≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩，∵()112f =，由1122x x -=得另一个根21x =，由()f x 的图像可知，当01m <<时，函数的最大值为()2122m m f m m m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当121m ≤≤+时，函数的最大值为12； 当21m >+时，函数的最大值为()22m f m m =-综上所述，函数的最大值为2max2,0121,1212,212m m m y m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤+⎨⎪⎪->+⎪⎩. 【点睛】本题考查了解分段函数不等式的问题，分段函数求最值的问题，考查了数形结合的思想. 21．重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π（即AOB ∠）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长23AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？ 【答案】（1）43OA θ=；436OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当632OB OA ==时，OM 取最大值.【解析】（1）在OAB 中，利用正弦定理即可将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来； （2）在OMB △中，由余弦定理得出2OM 21632283πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可得出OM 的最大值，再求出,OA OB 的长度即可. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可知sin sin 6OA ABπθ=，则OA θ=；同理由正弦定理可得sin sin 6OB ABOABπ=∠，则6OB OAB πθ⎛⎫=∠=+⎪⎝⎭， （2）∵AB =6MAB MBA π∠=∠=，∴2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理可知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭248sin 4cos 666πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭241cos 24233ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2823cos 228228333πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦， ∵50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴2sin 21,32πθ⎡⎫⎛⎫+=-⎪⎢⎪⎪⎝⎭⎣⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即512πθ=时， OM4=+，此时5sin cos cos sin 124646OA πππππ⎫==+=⎪⎭，5551261212OB πππππ⎛⎫⎛⎫=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即当OB OA ==OM 取最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题. 22．已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.（1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围； （2）若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.【答案】（1）(0,25sin 4)a ∈-；（2）()f x 有3个零点. 【解析】（1）先求导得2sin )(1)(ag x x x '=--+，求出2()0(1)a g ππ'=-<+()4sin 425a g '=--，再由sin 4025a --≤和sin 4025a-->两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(,)b π-时零点的个数情况，再分(,),(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可. 【详解】解：（1）当1b =时，si ()(l )n 1n f x a x x =++，cos 1()()x x ag f x x '==++， 2sin )(1)(a g x x x '=--+()0a >在(),4π是增函数，2()0(1)ag ππ'=-<+，(4)sin 425ag '=--， 当(4)sin 4025ag '=--≤时，()g x 在(,4)π是减函数，无极值； 当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得00()g x '=， 从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点，所以()0,25sin 4a ∈-（2）当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,)2b e π∈-，可知，（i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-，1()cos f x x x b'=-+，（ii ）(,)2x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减， ()1ln()1ln()02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<，存在唯一的(,)2s ππ∈，()0f s =；（iii ）当(,)2x b π∈-，21()sin ()f x x x b ''=-++是减函数，且21(0)00f b ''=+>，21()102()2f b ππ''=-+<+ 则1(0,)2x π∃∈，1()0f x ''=，()f x '在1(,)b x -是增函数，1()2x π，是减函数，并且 lim ()0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1()022f b ππ'=-<+， 所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=；3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知()f x()f x 在()2,b x -减，在()23,x x 增，在3(,)2x π减，又因为()lim 0x b x f +→->，()00ln 0f b =-<，()02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =， (0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2021年高三4月月考(数学文)
2021年高三4月月考（数学文）参考公式：锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知x∈R，i为虚数单位，若（1-2i）（x+i）=4-3i，则x的值等于（） A. -6 B. -2 C. 2 D. 6x≥1｝,那么2．已知全集U=R,集合P=｛x︱log2A. B. C. D.3．四边形ABCD中，，且∙=0，则四边ABCD是（）A. 矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形4．不等式2x2-x-1<0成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C.（1，+） D.（-1，1）5．已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（）A． B．C． D．6．已知函数，直线方程为，与曲线相切，则实数的值是（）A． B． C．6 D．97．若，则二次曲线的焦点坐标是（）A.（0，±1）B.（±1，0）C.（±，0）D.与k的取值有关8．已知函数，其中≥1，≤2，且在[1，+）上有解。
向量=（1，1），=（a，b），则∙的最大值是（）A. 4B. 3C. 2D. 19．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p的值是（）A. 120B. 720C. 1440D.504010．某多面体的一条棱的正视图是一条长为的线段，它的俯视图和侧视图是两条长度都等于的线段，那么这条棱长为（）A. B. C. D.3二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（11～13题）11．数列中,=1，时，=2+1，则的通项公式是= ； 12．函数=在（-1，1）内有零点，则实数的范围是；13．直线与圆的公共点的个数是；（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算前一题得分）14．（坐标系与参数方程选做题）化参数方程，，为普通方程为；15．（几何证明选讲选做题）如右图：已知AC=BD，过C点的圆的切线与BA的延长线E点，若=，则= 。
2021-2022学年吉林省白城市洮南一中高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2021-2022学年吉林省白城市洮南一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，，则A∪∁R B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x＜3}D．{x|2＜x＜3} 2．下列等式正确的是（）A．0•＝0B．）＝（）•C．a•＝0D．＝03．已知向量＝（2，6），＝（1，λ），若，则λ等于（）A．2B．﹣3C．3D．﹣24．如果a，b为非0实数，则不等式＞成立的充要条件是（）A．a＞b且ab＜0B．a＜b且ab＞0C．a＞b，ab＜0或ab＜0D．a2b﹣ab2＜05．已知向量、，•＝﹣40，||＝10，||＝8，则向量与的夹角为（）A．60°B．﹣60°C．120°D．﹣120°6．已知＝3，则tanα等于（）A．﹣2B．2C．﹣1D．17．已知定义在R上的偶函数f（x）＝|x﹣m+1|﹣2，若正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，则+的最小值为（）A．B．C．D．8．已知实数x，y满足：，若z＝x+2y的最小值为﹣4，则实数a＝（）A．1B．2C．4D．89．已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0]上单调递增，若实数a满足f（a）﹣f（1﹣a）≤0，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，）10．如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，则（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为B．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴C．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心D．函数为奇函数11．已知函数f（x）＝﹣，则函数具有下列性质（）A．函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称B．函数f（x）在定义域内是减函数C．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称D．函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）12．关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间（，π）单调递减；③f（x）在[﹣π，π]有4个零点；④f（x）的最大值为2．其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知平面向量＝（2，﹣1），＝（m，2），且⊥，则|+|＝．14．设函数f（x）＝，若函数f（x）在（a，a+1）递增，则a的取值范围是．15．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＜f（5）的x的取值范围是．16．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3个极值点，则ω的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知tanα＝，α∈（0，），1﹣sinβ＝cos2β，β∈（，π）．（1）求tan（+α）及sinβ的值；（2）求cos（α﹣β）的值．18．已知命题p：关于x的不等式a≥1（a＞0且a≠1）的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}；命题q：函数f（x）＝lg（a2x2﹣2x+2）的定义域为R．（Ⅰ）若命题￢q为假命题，求a的取值范围；（Ⅱ）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A+a sin C cos B+b sin C cos A＝b sin B+c sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，c＝3点D满足＝+，求△ABD的面积．20．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．（1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）；（2）求广告牌的面积的最小值．21．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）﹣f（x2），且当x ＞1时，f（x）＜0．（1）证明：f（x）为单调递减函数．（2）若f（3）＝﹣1，求f（x）在[2，9]上的最小值．22．已知向量＝（cosωx，﹣1），＝（sinωx，cos2ωx）（ω＞0），函数f（x）＝•图象相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）若x0∈[，]且f（x0）＝﹣，求cos2x0的值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，，则A∪∁R B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】先求出∁R B＝{x|x＞2}，由此能求出A∪∁R B．解：集合A＝{x|0＜x＜3}，＝{x|x≤2}，∴∁R B＝{x|x＞2}，∴A∪∁R B＝{x|x＞0}．故选：A．2．下列等式正确的是（）A．0•＝0B．）＝（）•C．a•＝0D．＝0【分析】利用向量的基本性质逐一进行判断即可．解：对A：0乘以任何向量等于零向量，故A错误；对B：表示与共线的向量，（）•表示与共线的向量，故B错误；对C：零向量乘一个实数等于零向量，故C错误；对D：零向量乘任意向量的数量积等于0，故D正确；故选：D．3．已知向量＝（2，6），＝（1，λ），若，则λ等于（）A．2B．﹣3C．3D．﹣2【分析】根据平面向量共线的坐标表示列方程求出λ的值．解：向量＝（2，6），＝（1，λ），因为，所以2λ﹣6×1＝0，解得λ＝3．故选：C．4．如果a，b为非0实数，则不等式＞成立的充要条件是（）A．a＞b且ab＜0B．a＜b且ab＞0C．a＞b，ab＜0或ab＜0D．a2b﹣ab2＜0【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解：由＞两边同乘以a2b2，得ab2＞a2b，即a2b﹣ab2＜0，反之由a2b﹣ab2＜0得a2b＜ab2，两边同除以a2b2，得＞．故不等式＞成立的充要条件是a2b﹣ab2＜0，故选：D．5．已知向量、，•＝﹣40，||＝10，||＝8，则向量与的夹角为（）A．60°B．﹣60°C．120°D．﹣120°【分析】利用数量积的定义即可得出．解：∵•＝﹣40，||＝10，||＝8，∴﹣40＝＝，∴＝﹣．∴＝120°．故选：C．6．已知＝3，则tanα等于（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．解：因为＝＝＝3，所以解得tanα＝2．故选：B．7．已知定义在R上的偶函数f（x）＝|x﹣m+1|﹣2，若正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，则+的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据偶函数，代入特殊值求出参数，再代入化简f（a）+f（2b）＝m，合理构造，再使用均值不等式可得．解：∵定义在R上的偶函数f（x）＝|x﹣m+1|﹣2，∴f（﹣1）＝|﹣1﹣m+1|﹣2＝f（1）＝|1﹣m+1|﹣2，∴|m|＝|2﹣m|，∴m＝1，∴f（x）＝|x|﹣2，∵正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，∴f（a）+f（2b）＝a﹣2+2b﹣2＝1，即a+2b＝5，∴+＝（+）（）＝+≥＝，当且仅当4b2＝3a2时，即a＝，b＝取等号故选：B．8．已知实数x，y满足：，若z＝x+2y的最小值为﹣4，则实数a＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z＝x+2y的最小值为﹣4，即可确定a的值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵z＝x+2y的最小值为﹣4，∴x+2y＝﹣4，且平面区域在直线x+2y＝﹣4的上方，由图象可知当z＝x+2y过x+3y+5＝0与x+a＝0的交点时，z取得最小值．由，，解得，即A（﹣2，﹣1），点A也在直线x+a＝0上，则﹣2+a＝0，解得a＝2，故选：B．9．已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0]上单调递增，若实数a满足f（a）﹣f（1﹣a）≤0，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，）【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则有f（a）﹣f（1﹣a）≤0⇒f（a）≤f（1﹣a）⇒，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0]上单调递增，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数，f（a）﹣f（1﹣a）≤0⇒f（a）≤f（1﹣a）⇒，解可得：0＜a≤，即a的取值范围为（0，]故选：C．10．如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，则（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为B．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴C．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心D．函数为奇函数【分析】由题意根据函数的图象写出函数的解析式，结合函数的解析式判断选项中的命题是否正确．解：对于A，由题意知，根据图像得到，A＝2，，所以选项A错误；对于B，，又，解得，k∈Z，所以，k∈Z，即，计算，所以直线不是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，选项B错误；对于C，，所以点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心，选项C正确；对于D，不是奇函数，所以选项D 错误．故选：C．11．已知函数f（x）＝﹣，则函数具有下列性质（）A．函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称B．函数f（x）在定义域内是减函数C．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称D．函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）【分析】根据题意，分析可得f（x）的图象由函数y＝向左平移一个单位，向下平移一个单位得到，结合反比例函数的图象分析选项，综合可得答案．解：根据题意，f（x）＝﹣＝﹣＝﹣1，可以由函数y＝向左平移一个单位，向下平移一个单位得到，而y＝是奇函数，其图象关于点（0，0）对称，则函数f（x）的图像关于点（﹣1，﹣1）对称，故A、C错误；y＝在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上为奇函数，则函数f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递减，在定义域无单调性，故B错误；y＝的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），故D正确；故选：D．12．关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间（，π）单调递减；③f（x）在[﹣π，π]有4个零点；④f（x）的最大值为2．其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②正确，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①②④，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知平面向量＝（2，﹣1），＝（m，2），且⊥，则|+|＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值，可得+的坐标，从而求得它的模．解：∵平面向量＝（2，﹣1），＝（m，2），且⊥，∴＝2m﹣2＝0，∴m＝1，∴+＝（3，1），则|+|＝＝，故答案为：．14．设函数f（x）＝，若函数f（x）在（a，a+1）递增，则a的取值范围是（﹣∞，1]∪[4，+∞）．【分析】求出分段函数各段的单调性，再由条件可得a+1≤2或a≥4，解出即可．解：当x≤4时，y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，则在（﹣∞，2]上递增，（2，4]上递减；当x＞4时，y＝log2x在（4，+∞）上递增．由于函数f（x）在（a，a+1）递增，则a+1≤2或a≥4，解得a≥4或a≤1，故答案为：（﹣∞，1]∪[4，+∞）．15．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＜f（5）的x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【分析】直接根据函数的奇偶性和单调性建立不等式|2x﹣1|＞5，进一步解绝对值不等式即可．解：已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则：f（2x﹣1）＜f（5），整理得：|2x﹣1|＞5，解得：x＞3或x＜﹣2故不等式的解集为：x∈（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）16．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3个极值点，则ω的取值范围是[）．【分析】由题意利用正弦函数的极值点和周期性，求得ω的范围．解：∵函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3个极值点，而ωx+∈[，3ωπ+]，∴≤3ωπ+＜，求得≤ω＜，则ω的取值范围是[），故答案为：[）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知tanα＝，α∈（0，），1﹣sinβ＝cos2β，β∈（，π）．（1）求tan（+α）及sinβ的值；（2）求cos（α﹣β）的值．【分析】（1）根据已知条件，结合正切函数的两角和公式，以及二倍角公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．解：（1）∵tanα＝，∴＝，∵1﹣sinβ＝cos2β＝1﹣2sin2β，β∈（，π），∴．（2）∵，∴cosα＝3sinα，又∵sin2α+cos2α＝1，α∈（0，），∴，，∵，β∈（，π），∴，∴cos（α﹣β）＝cosα•cosβ+sinα•sinβ＝．18．已知命题p：关于x的不等式a≥1（a＞0且a≠1）的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}；命题q：函数f（x）＝lg（a2x2﹣2x+2）的定义域为R．（Ⅰ）若命题￢q为假命题，求a的取值范围；（Ⅱ）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．【分析】先求出命题p，q为真命题时a的范围，然后根据题意构造不等式（组）求解．解：不等式a≥1可化为：，则当a＞1时，不等式化为x2﹣2x﹣3≥0，其解集为{x|x≤﹣1或x≥3}，故若p为真命题，则a＞1；若q为真，则a2x2﹣2x+2＞0在R上恒成立，只需，解得，或．（Ⅰ）若命题￢q为假命题，则q为真，故由上可知，；（Ⅱ）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假，若p真q假，则，无解；若p假q真，则，解得，故a的范围为（）．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A+a sin C cos B+b sin C cos A＝b sin B+c sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，c＝3点D满足＝+，求△ABD的面积．【分析】（1）由正弦定理进行边角转化，将角化成边，可得余弦定理的展开式，即可得到角B的余弦值．（2）先由余弦定理求得a，后边利用向量运算找到BD与BC关系，代入三角形面积公式计算．【解答】（1）因为a sin A+a sin C cos B+b sin C cos A＝b sin B+c sin A，所以由正弦定理和余弦定理得：，化简得：a2+c2−b2＝ac，所以由余弦定理得：，因为B∈（0，π），所以．（2）由余弦定理得：b2＝a2+c2−2ax cos B，所以有：，即：，所以：，因为a＞0，所以．因为，所以所以△ABD的面积为：．20．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．（1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）；（2）求广告牌的面积的最小值．【分析】（1）依题意广告牌的高为tm，则（x﹣1）（t﹣1.25）＝45，整理即可求解；（2）由（1）知，s（x）＝tx＝，分离后利用基本不等式可求．解：（1）依题意广告牌的高为tm，则（x﹣1）（t﹣1.25）＝45，所以，且x＞1，所以广告牌的面积s（x）＝tx＝（x＞1）．（2）由（1）知，s（x）＝tx＝＝+46.25＝61.25，当且仅当，即x＝7号成立．所以s（x）min＝s（7）＝61.25m2，广告牌的面积的最小值为61.25m2．21．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）﹣f（x2），且当x ＞1时，f（x）＜0．（1）证明：f（x）为单调递减函数．（2）若f（3）＝﹣1，求f（x）在[2，9]上的最小值．【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．（2）通过f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，直接求解函数的最小值即可．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．（2）解：因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，所以f（x）在[2，9]上的最小值为f（9）．由f（）＝f（x1）﹣f（x2）得，f（）＝f（9）﹣f（3），而f（3）＝﹣1，所以f（9）＝﹣2．所以f（x）在[2，9]上的最小值为﹣2．22．已知向量＝（cosωx，﹣1），＝（sinωx，cos2ωx）（ω＞0），函数f（x）＝•图象相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）若x0∈[，]且f（x0）＝﹣，求cos2x0的值．【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）＝sin（2ωx ﹣）﹣，由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式（2）由f（x0）＝﹣，可得sin（2x0﹣）＝．cos（2x0﹣）＝﹣．由cos2x0＝cos[（2x0﹣）+即可计算得解．解：（1）sinωx﹣．＝sin（2ωx﹣）﹣，…∵T＝π，∴ω＝1，即…（2）∵f（x0）＝﹣，∴sin（2x0﹣）＝．∵x0∈[，]，∴2x0﹣∈[，π]，…∴sin（2x0﹣）＝．∴2x0﹣∈[，π]，∴cos（2x0﹣）＝﹣．…∴cos2x0＝cos[（2x0﹣）+]＝cos（2x0﹣）cos﹣sin（2x0﹣）sin＝…。
长安区一中2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题及答案
长安一中2020～2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级 数学（文科）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间100分钟．2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3.选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（ ）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的 ( ) A 充要条件. B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（ ）A.2B.2C.21+D. 21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.24π+B.28π+C.44π+D.48π+ 5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 ( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 6. 从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（ ）A. 240万元B. 540万元C. 720万元D. 900万元7. 函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（ ） A.1009 B.1010 C.2019 D.2020 8. 函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )2006419832109. 数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为( ) A. 2 B. -6 C. 3 D. 110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（ ）A.1-B. 4-C. 14-D. 116- 11. 已知中 ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高， 以下结论: ① ；② 为锐角三角形；③ ；④其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为( )A ．54 B ．57 C ．59 D ．511第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案
江西省贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案贵溪市实验中学高中部2019-2020学年第一学期第一次月考高三(文科）数学试卷考试时间：120分钟 总分：150 命题人：第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}31|<<-=x x A ，(){}1lg |-==x y x B ，则()=⋂B C A R （ ）A 。
()3,1B 。
()3,1- C.()1,1- D.(]1,1-2．已知命题:p x R ∀∈,1sin x e x ≥+。
则命题p ⌝为( ） A ．x R ∀∈，1sin x e x <+ B ．x R ∀∈，1sin x e x ≤+ C ．0x R∃∈，001sin x e x ≤+D ．0x R∃∈，001sin x e x <+3．下列哪一组函数相等（ ） A 。
()()xx x g x x f 2==与B.()()()42x x g x x f ==与C.()()()2x x g x x f ==与D.()()362x x g x x f ==与 4. = 255tan （ ）A ．3-2- B ．32-+C ．3-2D ．32+5．设a ，b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的(） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．()的图像为函数R x x y x ∈-=22（ ） A.B.C 。
D 。
7．已知定义在R 上的函数f （x ),其导函数f ′(x ）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）①f （b )＞f （a ）＞f （c ）；②函数f （x )在x ＝c 处取得极小值在x ＝e 处取得极大值;③函数f （x ）在x ＝c 处取得极大值在x ＝e 处取得极小值;④函数f （x ）的最小值为f （d ）．A.③ B 。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
B
ABFP
轴的垂线交抛物线于点，记
P
，则的值为（
）
2
4
8
A.
B.
C.6
D.
二、多项选择题(本题共小题，每小题分，共分)
4520
9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男
4
3
女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有
10
当进行到第次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X，求X的数学期望.(精确到小数点后1
位)
9
4
9
4
11
k1
k1
k
k
9
10
1.80
2.05
，
参考数据：
，
10
5
10
5
k2
k2
11
9
4
11
9
4
k
k
k
k
9
10
10.79
13.32.
k
k
，
10
5
10
5
k2
k2
一、选择题(本题共小题，每题分，共分)
8540
n
2a12a13
n
a
n
n
n
C,D
19.在如图所示的圆柱OO
中，为圆O的直径，
AB
是AB
的两个三等分点，，，都是圆柱
EAFCGB
1
1
2
OO
1
的母线．
2
的
FO//
（1）求证：
平面ADE；
1
（2）设BC=1，已知直线
2021届湖南省长沙市第一中学高三下学期第八次月考数学(文)试题
C． D．
8．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则 的最大值是（）
A．3B． C．6D．9
10．执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （）（其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ）
A． B．6C．15D．
160
173
178
169
158
173
体重
57
58
53
61
66
57
50
66
根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为 .利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字） ；
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
体重
57
58
53
61
66
57
50
66
残差
故选：C.
14．某中学开展了丰富多彩的社团文化活动，甲，乙，丙三位同学在被问到是否参加过①街舞社，②动漫社，③器乐社这三个社团时，甲说：我参加过的社团比乙多，但没有参加过动漫社；乙说：我没有参加过器乐社；丙说：我们三个人都参加过同一个社团，由此判断乙参加过的社团序号为_____.
15．在 中，角 所对的边长分别为 ，面积为 ，且 为钝角，则 的取值范围是______.
3．B
【分析】
由已知条件先计算出 的值，然后再计算
【详解】
由已知 ，
则
,
故选B
【点睛】
本题考查了求复数的模，还要运用复数的乘、除法运算，较为基础．
安徽省黄山市田家炳实验中学2021届高三上学期第一次月考数学(文)试卷 Word版含解析
2022-2021学年安徽省黄山市田家炳试验中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）2．若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A． y=|x| B． y=sinx C． y=e x+e﹣x D． y=﹣x34．若函数f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（） A． [，1） B．（0，] C．（1，） D． [）5．奇函数f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（1﹣x），则在（﹣∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A． f（x）=﹣x（1﹣x） B． f（x）=x（1+x） C． f（x）=﹣x（1+x） D． f（x）=x（x﹣1）6．函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B． 9 C．﹣3 D． 07．定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（）函数． A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A． B． C ． D．9．若log a（a2+1）＜log a2a＜0，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D．（0，1）∪（1，+∞）10．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．（1，） D．（，2）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m 的取值范围是．12．函数f（x）=lg|x+m|关于直线x=1对称，则m= ．13．已知函数f（x）=的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是．14．定义在R上的偶函数y=f（x），当x＞0时，y=f（x）是单调递增的，f（1）•f（2）＜0．则函数y=f （x）的图象与x轴的交点个数是．15．已知函数f（x）=（a∈R），若对于任意的X∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（2）若A⊇B，求m的取值范围．17．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．18．某单位用2160万元购得一块空地，方案在该地块上建筑一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）19．已知函数（a为常数）．（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．20．定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证f（x）为奇函数；（2）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．21．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，也称f（x）在区间D上有不动点．（1）证明f（x）=2x﹣2x﹣3在区间（1，4）上有不动点；（2）若函数在区间[1，4]上有不动点，求常数a的取值范围．2022-2021学年安徽省黄山市田家炳试验中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规章解出A∩（∁R B）即可得出正确选项解答：解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，娴熟把握运算规章是解解题的关键2．若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断；不等关系与不等式．专题：简易规律．分析：由于“0＜ab＜1”⇒“a ＜”或“b ＞”．“a ＜”或“b ＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的充分而不必要条件．解答：解：∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a ＜”或“0＞b ＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a ＜”或“b ＞”．“a ＜”或“b ＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要留意基本不等式的合理运用．3．下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A． y=|x| B． y=sinx C． y=e x+e﹣x D． y=﹣x3考点：奇偶性与单调性的综合．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：对于A，C均是偶函数；对于B，C均是减函数，B在区间（﹣1，1）上是增函数，D在区间（﹣1，1）上是减函数．解答：解：对于A，C均是偶函数，故不满足题意对于B，C均是减函数，B在区间（﹣1，1）上是增函数，D在区间（﹣1，1）上是减函数所以B满足题意故选B．点评：本题考查函数的奇偶性与函数的单调性，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．4．若函数f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（） A． [，1） B．（0，] C．（1，） D． [）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先将函数f（x）=log a（2﹣ax）转化为y=log a t，t=2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数求解．解答：解：令y=log a t，t=2﹣ax，∵a＞0∴t=2﹣ax在（1，3）上单调递减∵f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增∴函数y=log a t是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立∴∴0＜a ≤故选B．点评：本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论争辩其单调性，再求参数的范围．本题简洁忽视t=2﹣ax＞0的状况导致出错．5．奇函数f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（1﹣x），则在（﹣∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A． f（x）=﹣x（1﹣x） B． f（x）=x（1+x） C． f（x）=﹣x（1+x） D． f（x）=x（x﹣1）考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：把x∈（﹣∞，0）的函数解析式通过函数是奇函数的性质转化求出函数f（x）在（0，+∞）上的解析式．解答：解：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），由于函数f（x）是奇函数，故f（x）=﹣f（﹣x）=x（1+x）．故选B点评：已知函数的奇偶性和函数在一个区间上的解析式求这个函数在其关于坐标原点对称的区间上的函数解析式，就是依据函数的奇偶性进行转化的，这类试题重点考查化归转化思想是运用．6．函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B． 9 C．﹣3 D． 0考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x﹣1）是奇函数、f（x）是偶函数，可得f（x）=f（x﹣4），从而求得f（8.5）=f（0.5），即可得到答案．解答：解：∵f（x﹣1）是奇函数，故有f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（﹣x）=﹣f（x﹣2）．又∵f（x）是偶函数，得f（x）=﹣f（x﹣2），f（x﹣4）=f（x）对任意x∈R恒成立，可得f（x）的最小正周期为4，∴f（0.5）=f（8.5）=9．故选：B．点评：本题综合考查抽象的函数奇偶性、周期性的应用，属于基础题．7．定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（）函数． A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数考点：函数奇偶性的推断；进行简洁的合情推理．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最终看f（x）与f（﹣x）的关系得结论．解答：解：由定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，所以f（x）==，则f（﹣x）==﹣（）=﹣f（x），故f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函数．故选 A．点评：本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查，关于新定义的题，关键在于理解新定义，并会用新定义解题，属于易错题题．8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A． B． C． D．考点：指数函数的图像变换．专题：数形结合．分析：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象，我们易推断出a，b与0，±1的关系，依据指数函数的图象的性质及指数函数图象的平移变换，我们分析四个答案中函数的图象，即可得到结论．解答：解：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象可得b＜﹣1＜0＜a＜1则函数g（x）=a x+b为减函数，即函数的图象从左到右是下降的且与Y轴的交点在X轴下方分析四个答案只有A符合故选A点评：本题考查的学问点是指数函数的图象变换，其中依据已知推断出a，b与0，±1的关系，进而分析出函数图象的单调性及特殊点是解答本题的关键．9．若log a（a2+1）＜log a2a＜0，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D．（0，1）∪（1，+∞）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；转化思想；对应思想．分析：由题意，可得出a2+1＞1，结合log a（a2+1）＜0，可得出a∈（0，1），再由log a2a＜0得出2a＞1，即可解出a的取值范围，选出正确选项解答：解：∵log a（a2+1）＜log a2a＜0，a2+1＞1∴a∈（0，1），且2a＞1∴a ∈（，1）故选C点评：本题考查对数函数的单调性，考察了对数数符合与真数及底数取值范围的关系，解题的关键是确定出a2+1＞1，由此打开解题的突破口，本题考察了观看推理的力量，题目虽简，考查学问的方式很奇妙．10．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．（1，） D．（，2）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：作出在区间（﹣2，6]内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∵对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x）是周期函数，且周期为4；∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴其在区间（﹣2，6]内的图象如右图，∴在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f （x）的图象与y=log a（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，则log a（2+2）＜3，且log a（6+2）＞3解得，a ∈（，2）．故选D．点评：本题通过分析可得函数f（x）的性质，并由这些性质依据图象变换作出其图象，将方程问题化为图象交点问题，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m 的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．考点：命题的真假推断与应用．专题：综合题；转化思想．分析：写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分别出﹣m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．解答：解：∵命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，∴命题“∀x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4＜0”是真命题，∴在（1，2）上恒成立令x∈（1，2）∵∴f（x）＜f（1）=5，∴﹣m≥5，∴m≤﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5]点评：将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．12．函数f（x）=lg|x+m|关于直线x=1对称，则m= ﹣1 ．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：计算题；转化思想．分析：本题争辩的是一个对数型的函数，其可以看作是由函数g（x）=lg|x|图象向右平移了一个单位而得到，由同一性的思想方法就可以求出m的值．解答：解：由于函数g（x）=lg|x|图象关于直线x=0对称，函数g（x）=lg|x|图象向右平移一个单位后所得函数为r（x）=lg|x﹣1|，其对称轴方程为x=1由题设条件知f（x）=r（x）=lg|x﹣1|，故m=﹣1故答案为﹣1点评：本题考点是函数图象的对称性，考查函数图象本身的对称性及图象变换后所得函数图象的对称性，及利用变换规章求参数，本题旧考点新考法，较好．13．已知函数f（x）=的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是[0，1]∪[9，+∞）．考点：函数的值域；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：当m=0时，检验合适； m＜0时，不满足条件； m＞0时，由△≥0，求出实数m的取值范围，然后把m的取值范围取并集．解答：解：当m=0时，f（x）=，值域是[0，+∞），满足条件；当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，即（m﹣3）2﹣4m≥0，∴m≤1或 m≥9，综上，0≤m≤1或 m≥9，∴实数m的取值范围是：[0，1]∪[9，+∞）；故答案为[0，1]∪[9，+∞）．点评：本题考查函数的值域及一元二次不等式的应用．14．定义在R上的偶函数y=f（x），当x＞0时，y=f（x）是单调递增的，f（1）•f（2）＜0．则函数y=f （x）的图象与x 轴的交点个数是 2 ．考点：函数零点的判定定理；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：函数的单调性和奇偶性、函数零点的判定定理，可得函数y=f（x）在（0，+∞）上有唯一零点，在（﹣∞，0）上有唯一零点，可得函数f（x）在R上有2个零点，从而得出结论．解答：解：依据当x＞0时，y=f（x ）是单调递增的，f（1）•f（2）＜0，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上有唯一零点．又∵函数f（x）时R 上的偶函数，图象关于y轴对称，∴函数y=f（x）在（﹣∞，0）上有唯一零点．综上可得，函数f（x）在R上有2个零点，即函数y=f（x）的图象与x轴的交点个数是2．故答案为：2．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，函数零点的判定定理、函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．15．已知函数f（x）=（a∈R ），若对于任意的X∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是a ≥﹣．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；综合题．分析：由于x∈N *，可将f（x）=≥3转化为a≥﹣﹣x+3，再令g（x）=﹣﹣x+3（x∈N*），利用其单调性可求得g（x）max，从而可得答案．解答：解：∵x∈N *，∴f（x）=≥3恒成立⇔x2+ax+11≥3x+3恒成立，∴ax≥﹣x2﹣8+3x，又x∈N*，∴a≥﹣﹣x+3恒成立，∴a≥g（x）max，令g（x）=﹣﹣x+3（x∈N*），再令h（x）=x+（x∈N*），∵h（x）=x+在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，而x∈N*，∴h（x）在x取距离2较近的整数值时达到最小，而距离2较近的整数为2和3，∵h（2）=6，h（3）=，h（2）＞h（3），∴当x∈N*时，h（x）min=．又g （x）=﹣﹣x+3=﹣h（x）+3，∴g（x）max=﹣+3=﹣．∴a≥﹣．点评：本题考查函数恒成立问题，依题意得到a≥﹣﹣x+3是关键，考查转化思想，构造函数的思想，考查函数的单调性的应用，综合性强，思维度深，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（2）若A⊇B，求m的取值范围．考点：子集与真子集；集合的包含关系推断及应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由x∈Z，知={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}．由此能求出A的非空真子集的个数．（2）由A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}={x|（x﹣2m﹣1）（x﹣m+1）=0}．A⊇B，知，或，由此能求出m的取值范围．解答：解：（1）∵={x|﹣2≤x≤5}，∵x∈Z，∴A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}．∴A的非空真子集的个数为28﹣2=254．（2）∵A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}={x|（x﹣2m﹣1）（x﹣m+1）=0}．A⊇B，∴，或，解得﹣1≤m≤2，或m不存在．故m的取值范围{m|﹣1≤m≤2}．点评：本题考查集合的真子集个数的求数，考查满足条件的实数的取值范围的求法，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．17．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．考点：确定值不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；分类争辩．分析：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，由线段的中点公式解出 x0和y0 的解析式，代入函数y=f（x）可得g（x）的解析式．（Ⅱ）不等式可化为 2x2﹣|x﹣1|≤0，分类争辩，去掉确定值，求出不等式的解集．解答：解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g （x）的图象上，且，即∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上，∴﹣y=x2﹣2x，即y=﹣x2+2x，故，g（x）=﹣x2+2x．（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得﹣1≤x ≤．因此，原不等式的解集为[﹣1，]．点评：本题考查求函数的解析式的方法以及解确定值不等式的方法，体现了分类争辩的数学思想，属于基础题．18．某单位用2160万元购得一块空地，方案在该地块上建筑一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；实际问题中导数的意义．专题：计算题；应用题．分析：先设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，依据题意写出综合费f（x）关于x的函数解析式，再利用导数争辩此函数的单调性，进而得出它的最小值即可．解答：解：方法1：导数法设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则（x≥10，x∈Z+），令f'（x）=0得x=15当x＞15时，f'（x）＞0；当0＜x＜15时，f'（x）＜0因此当x=15时，f（x）取最小值f（15）=2000；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．方法2：（本题也可以使用基本不等式求解）设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则，当且进行，即x=15时取等号．答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：本小题主要考查应用所学导数的学问、思想和方法解决实际问题的力量，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础学问．19．已知函数（a为常数）．（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．考点：对数函数的定义域；函数单调性的性质．专题：计算题；综合题．分析：（1）由对数函数的性质知其真数必需大于0，对字母a进行分类争辩：当0＜a＜2时，当a＜0时，即可求得求f（x）的定义域；（2）由题意知函数f（x）是由y=和复合而来，由复合函数单调性结论，只要u（x）在区间在（2，4）上为增且为正即可．解答：解：（1）由，当0＜a＜2时，解得x＜1或，当a＜0时，解得．故当0＜a＜2时，f（x）的定义域为{x|x＜1或}当a＜0时，f（x）的定义域为{x|}．（2）令，由于为减函数，故要使f（x）在（2，4）上是减函数，则在（2，4）上为增且为正．故有．故a∈[1，2）．点评：本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，整体思想是解决本类问题的根本．20．定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证f（x）为奇函数；（2）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的推断．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证f（x）为奇函数即要证对任意x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=﹣x可得f（0）=f（x）+f（﹣x）于是又提出新的问题，求f（0）的值．令x=y=0可得f （0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，f（x）是奇函数得到证明．（2）先将不等关系f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0转化成f（k•3x）＜f（﹣3x+9x+2），再结合函数的单调性去掉“f”符号，转化为整式不等关系，最终利用分别系数法即可求实数k的取值范围．解答：解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．（2）解：f（3）=log23＞0，即f（3）＞f（0），又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数．f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），k•3x＜﹣3x+9x+2，令t=3x＞0，分别系数得：，问题等价于，对任意t＞0恒成立．∵，∴．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的力量，属于中档题．说明：问题（2）本题解法：是依据函数的性质．f（x）是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f（t）=t2﹣（1+k）t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f（t）进行争辩求解．21．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，也称f（x）在区间D上有不动点．（1）证明f（x）=2x﹣2x﹣3在区间（1，4）上有不动点；（2）若函数在区间[1，4]上有不动点，求常数a的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数零点的判定定理；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）依据“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）﹣x在区间D上有零点”，令F （x）=f（x）﹣x=2x﹣3x﹣3在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线，利用F（1）•F（4）＜0可确定函数F （x）=f（x）﹣x在区间（1，4）内有零点，从而得到结论；（2）依题意，存在x∈[1，4]，使，争辩将a分别出来，利用导数争辩出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．解答：解：（1）依题意，“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）﹣x在区间D上有零点”（2分），F（x）=f（x）﹣x=2x﹣3x﹣3在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线（3分），F（1）•F（4）=﹣4×1＜0（4分），所以函数F（x）=f（x）﹣x在区间（1，4）内有零点，f（x）=2x﹣2x﹣3在区间（1，4）上有不动点（5分）．（2）依题意，存在x∈[1，4]，使当x=1时，使（6分）；当x≠1时，解得（8分），由（9分），得x=2或（，舍去）（10分），x （1，2） 2 （2，4）a′ + 0 ﹣a ↗最大值↘（12分），当x=2时，（13分），所以常数a 的取值范围是（14分）．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数争辩最值等有关学问，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年高三上学期8月月考（数学文）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x、y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
2．设，不等式的解集是，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
3．已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )
A．{－1,2} B．{－1,0}
C．{0,1} D．{1,2}
【答案】A
4．已知设函数，则的最大值为（）
A．1 B． 2 C．D．4
【答案】C
5．设，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
6．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
【答案】D
7．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”
分别为，，，那么，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】D
8．设函数，对于任意不相等的实数，代数式的值等于（）A．B．
C．、中较小的数 D．、中较大的数
【答案】D
9．函数在区间（）内单调递增，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
10．设函数，对任意的实数x、y，有，且当时，，则在区间[a，b]上（）A．有最大值B．有最小值
C．有最大值D．有最小值
【答案】C
11．已知函数，的零点分别为，则的大小关系是( ）A．B．C．D．
【答案】A
12．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}且B≠，若A∪B＝A，则m的取值范围是_________．
【答案】(2，4]
14．下列五个函数中：①；②；③；④；⑤，当时，使恒成立的函数是 (将正确的序号都填上）.
【答案】②③
15．函数的值域为,则实数的取值范围是____.
【答案】
16．已知函数，其中，则= .
【答案】7
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知集合，
(1）若，求实数的值；
(2）若，求实数的取值范围。
【答案】 ，
(1）∵，∴
(2）
∵，∴，或 ∴，或
18． 作出函数y ＝1－|x ||1－x |的图象． 答案】函数的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠1}．
当x <0时，有y ＝1－|x ||1－x |＝1＋x 1－x ＝(1－x )－2x －1＝－1－2x －1
； 当0≤x <1时，
有y ＝
1－|x ||1－x |＝1－x 1－x ＝1； 当x >1时，y ＝－1.
综上，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1－2x －1
，x <0，1，0≤x <1，－1，x >1.
函数的图象由三部分组成：当x <0时函数的图象由函数y ＝－2x
的图象向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度得到；当0≤x <1时，函数的图象是线段y ＝1(0≤x <1)，不含点(1,1)；当x >1时，函数的图象是射线y ＝－1(x >1)，不含射线的端点(1，－1)．
19．已知函数f(x)在R 上为奇函数，当。
(1）求f(x)的解析式，并写出f(x)的单调区间(不用证明)；
(2）若，求实数的取值范围。
【答案】(1) 单调递增区间是
(2)
20．已知函数在定义域上为增函数，且满足, .
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 解不等式
【答案】（1）()()()()()()9332,27933f f f f f f =+==+=
(2）()()()()889f x f x f x x f +-=-<⎡⎤⎣⎦
而函数f(x)是定义在上为增函数
即原不等式的解集为
21．已知函数有最小值．
(1）求实常数的取值范围；
(2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式．
【答案】（1）
所以，当时，有最小值，
(2）由为奇函数，有，得．
设，则，由为奇函数，得．
所以，
22．已知函数在定义域上为增函数，且满足, .
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 解不等式
【答案】（1）()()()()()()9332,27933f f f f f f =+==+= (2）()()()()889f x f x f x x f +-=-<⎡⎤⎣⎦
而函数f(x)是定义在上为增函数
即原不等式的解集为
21921 55A1 喡34508 86CC 蛌29234 7232 爲40228 9D24 鴤 26109 65FD 旽27448 6B38 欸24154 5E5A 幚39250 9952 饒S25662 643E 搾23430 5B86 宆+35763 8BB3 讳23876 5D44 嵄。