立体几何练习题
立体几何练习题
立体几何小题专练1．设,,l m n 是空间三条不同的直线，,αβ是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若l 与m 异面，m ∥n ，则l 与n 异面；②若l ∥α，α∥β，则l ∥β；③若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥；④若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α. 其中正确命题的序号有 ．（请将你认为正确命题的序号都填上） 2．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成角的大小是 .3．下列说法中，错误的个数有________个：①平行于同一条直线的两个平面平行． ②平行于同一个平面的两个平面平行．③一个平面与两个平行平面相交，交线平行．④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且BE ⊥PC 于E ，PA=a ，，点F 在线段AB 上，并有EF ∥平面PAD ．则= ．5．设α、β、γ是三个不同的平面，l 、m 、n 是三条不同的直线，则β⊥m 的一个充分条件为 ．①l m l ⊥=⊥,,βαβα ； ②αβα⊥⊥⊥m n n ,,；③βγβαγα⊥⊥=,,m ； ④γβγαα⊥⊥⊥,,m ．6．如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ；⑤PBC PAC ⊥平面平面．其中正确命题的序号是 ．7．底面边长为2，高为1的正三棱锥的表面积为__________.8．已知直三棱柱111ABC A B C -的各项点都在同一球面上，若012,90AB AC AA BAC ===∠=，则该球的体积等于___________．9．在正三棱锥V —ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．10．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 。
立体几何练习题
E立体几何练习题1．在直四棱住1111D C B A ABCD -中，12AA =，底面是边长为1的正方形，E 、F 、G 分别是棱B B 1、D D 1、DA 的中点.(Ⅰ)求证：平面E AD 1//平面BGF ; (Ⅱ)求证：1D E ⊥面AEC .2．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (1)求证： 1BDD AC 平面⊥（2）求点B 到平面EC A 1的距离.3.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,90ABCACB ∠=，2AB =1BC =1AA =． （Ⅰ）求三棱锥111A AB C -的体积；（Ⅱ）若D 是棱1CC 的中点，棱AB 的中点为E ， 证明:11//C AB DE 平面4．如图，在棱长均为2的三棱柱ABC DEF -中，设侧面四边形FEBC 的两对角线相交于O ，若BF ⊥平面AEC ，AB AE =.(1) 求证：AO ⊥平面FEBC ； (2) 求三棱锥B DEF -的体积.FEABD CG 1C 1A1B 1D 1B 1C ED CBA1D 1A5.如图，在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB AC ⊥， 11==AA AC ，E 为线段AB 上的动点.（Ⅰ）求证： CA 1C CA 11⊥C 1E ；（2）线段AB 上是否存在一点E ，使四面体E-AB 1C 1的体积为61若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.6．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB 1A 1A 和侧视图A 1ACC 1均为矩形，其中AA 1=4。
俯视图ΔA 1B 1C 1中，B 1C 1=4，A 1C 1=3，A 1B 1=5，D 是AB 的中点。
（1）求证：AC ⊥BC 1； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1；（3）求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值。
立体几何大题练习题集答案解析
立体几何大题专练1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MNP ABC -,E F ,AC BC //EF PAB PAC ⊥ABC PA PC =90ABC ∠=︒PEF ⊥PBCEF Q E F AC BC //EF AB ∴ ……………………2分 又⊄EF 平面PAB ，⊆AB 平面PAB ，∴ EF ∥平面PAB . ……………………5分（2）PA PC =Q ，E 为AC 的中点，PE AC ∴⊥ ……………………6分 又Q 平面PAC ⊥平面ABCPE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分PAC EBF又因为F 为BC 的中点，//EF AB ∴090,BC EF ABC ⊥∠=∴Q ……………………10分EF PE E =Q IBC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ⊂Q 面PBC∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。
（1）求证：BC 1PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，矩形⊥PAD MN 平面//CD MN ⊥图，正方形ABCD 所在的平面与三角形ＡD Ｅ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD 设线段BC 、AE 的中点分别为F 、M ，求证：（1）FM ∥ECD 平面； （2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．（1）证明：取AD 的中点N,连结FN,MN,则MN ∥ED ，FN ∥CD∴平面FMN ∥平面ECD. ∵ MF 在平面FMN 内,∴ FM ∥平面ECD ......5分 （2）连接EN, ∵AE=ED ，N 为AD 的中点，NMPDCBA∴ EN⊥AD.又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD.作NP⊥BD,连接EP,则EP⊥BD，∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，设AD=a,∵ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形，∴EN=12a,NP=24a.∴tan∠EPN=2. ......10分7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大.19.（1）解：设所求的圆柱的底面半径为r则有662xr-=,即32xr-=.∴2324)32(22xxxxrxSππππ-=-==圆柱侧.......5分（2）由（1）知当3)32(24=--=ππx时，这个二次函数有最大值为π6所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为26cmπ......10分8．（10分）如图，在三棱锥P ABC-中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 o.（1）证明：AB⊥PC；（2）若4PC=，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P ABC-体积.解：（1）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =。
初中数学立体几何题库
初中数学立体几何题库1. 正方体题目 1: 一个正方体的边长为5厘米，求其表面积和体积。
解答：正方体的表面积可以通过计算每个面的面积然后求和得到。
每个面的面积都是边长的平方，所以正方体的表面积为：6 × 5² = 150平方厘米。
正方体的体积则是边长的立方，所以正方体的体积为：5³ = 125立方厘米。
题目 2: 一个正方体的体积为216立方厘米，求其边长。
解答：设正方体的边长为a，根据题意可得方程a³ = 216。
解这个立方方程可以得到a = 6。
所以正方体的边长为6厘米。
2. 直方体题目 3: 一个直方体的三个相邻棱长为3厘米、4厘米和5厘米，求其表面积和体积。
解答：直方体的表面积可以通过计算每个面的面积然后求和得到。
由题意可知，直方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米和3厘米。
每个面的面积都是对应边长的乘积，所以直方体的表面积为：2 ×(5×4 + 5×3 + 4×3) = 94平方厘米。
直方体的体积则是长、宽、高的乘积，所以直方体的体积为：5 × 4 × 3 = 60立方厘米。
题目 4: 一个直方体的体积为360立方厘米，其中长比宽多2厘米，宽比高多1厘米，求其三个边长。
解答：设直方体的长、宽、高分别为a、b、c，根据题意可得方程abc = 360，且a = b + 2，b = c + 1。
将这两个方程代入前一个方程中，得到(c+1)(c+3)c = 360。
解这个三次方程可以得到c ≈ 6.47。
由b = c + 1，可以得到b ≈ 7.47。
再由a = b + 2，可以得到a ≈ 9.47。
所以这个直方体的长约为9.47厘米，宽约为7.47厘米，高约为6.47厘米。
3. 圆锥体题目 5: 一个圆锥的底面半径为4厘米，高为6厘米，求其侧面积和体积。
解答：圆锥的侧面积可以通过计算侧面的面积得到。
高中数学立体几何练习题目
高中数学立体几何练习题目
1. 金字塔
(1) 已知直角三角形斜边长 $a$，所在面高度为 $h$，金字塔的高度为 $H$，求 $H$。
(2) 已知金字塔底边边长为 $a$，侧棱长为 $s$，求金字塔的体积和表面积。
2. 球
(1) 球的表面积公式为$4πR^2$，求一直径为 $d$ 的钢球的表面积，保留到小数点后两位。
(2) 有一球心角为 $120\degree$ 的球缺，它的半径为 $R$，求球缺的体积和表面积。
3. 圆柱体
(1) 已知一个圆柱的底边直径为 $d$，高为 $h$，求圆柱的体积和表面积。
（保留 $\pi$）
(2) 已知一个圆柱的体积为 $V$，高为 $h$，求底边半径 $r$。
4. 圆锥
(1) 已知一圆锥的高为 $H$，底边半径为 $r$，侧面积为 $S$，求圆锥的体积。
（保留 $\pi$）
(2) 已知一圆锥的高为 $H$，底边半径为 $r_1$，上底边半径为$r_2$，求圆锥的侧面积。
（保留 $\pi$）
5. 球台
(1) 已知一个半径为 $R$ 的球和一个半径为 $r$（$r < R$）的球缺组成一个球台，求球台的体积和表面积。
(2) 已知一个半径为 $R$ 的球和一个底面半径为 $r$（$r < R$）的圆锥组成一个球台，求球台的髀长。
（保留 $\pi$）。
高中立体几何典型50题及解析
高中立体几何典型500题及解析(一)1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则（A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。
根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面．的一个图是PPQQRSSPPPQQRR RSSSPP PQQQ R RS SS PP Q QR RRSS（A ） （B ） （C ） （D ） D解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形B 项：如图C 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。
3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。
B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。
C 项：如图4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为1111C解析：11B C ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：点到定点B 的距离与到定直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。
5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是（A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）10条C解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。
立体几何练习题
立体几何题型一、平行与垂直的证明例1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）证明PA //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD例2．四棱锥S A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SB C ⊥底面ABCD ，已知45A B C ∠=︒，2A B =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA B C ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小． 变式：已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA =AD =DC =21AB =1，M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.ACDBCASOE A DCBNM EP题型二、空间角与距离例3．如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的 菱形，4A B C π∠=， OA ABCD ⊥底面， 2O A =，M 为O A 的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。
例4. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离. 变式：如图，正三棱锥O A B C -的三条侧棱O A 、O B 、O C 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是A B 、A C 的中点，H 是E F 的中点，过E F 的平面与侧棱O A 、O B 、O C 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132O A =．（1）求证：11B C ⊥面O A H ； （2）求二面角111O A BC --的大小．1C 1A题型三、探索性问题例5.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，⊥EF 平面PCD ？变式：如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ，BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形 (1)求证：AD ⊥BC(2)求二面角B －AC －D 的大小(3)在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30︒角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.DC题型四、折叠、展开问题例6．已知正方形A B C D E 、F 分别是A B 、C D 的中点，将AD E 沿D E 折起，如图所示，记二面角A D E C --的大小为(0)θθπ<< (1) 证明//B F 平面ADE ；(2)若A C D 为正三角形，试判断点A 在平面B C D E 内的射影G 是否在直线E F 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值。
小学数学立体几何练习题
小学数学立体几何练习题题目：小学数学立体几何练习题一、选择题。
根据题意，选择最恰当的答案填入括号内。
1. 下列哪个是立方体？A. 棱长相等的长方体B. 所有面都是正方形的长方体C. 所有棱长相等的正方体D. 所有面都是等边三角形的长方体2. 在正方体中，以下哪组是对脊线、棱对、面对的定义？A. 相交的线段、相交的线段、两个平行的面B. 相交的线段、相对的线段、相交的面C. 相对的线段、相对的线段、相对的面D. 相对的线段、相交的线段、相对的面3. 在一个长方体中，以下哪条理论成立？A. 面对面相对的棱相交B. 平行的脊线相交C. 面对面的对角线相交D. 平行的棱相交二、填空题。
根据题意，在横线上填入适当的数或字母。
1. 又称为长方体的特殊立方体是_________。
2. 所有面都是正方形的立方体的棱长是2 cm，则立方体的体积是__________ cm³。
3. 一个正方体的边长为3 cm，它的表面积是_________ cm²。
4. 一个长方体的长、宽、高分别为5 m、3 m、2 m，它的体积是_________ m³。
三、解答题。
根据题意，写出完整型答案。
1. 证明：一个长方体的面对面相对的棱都是共线的。
解答：设长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面为ABCD和ADCB1。
假设AB和AA1两条棱不共线，则可得到更短的直线段连接A和A1，即可构成一个更短的棱AA1。
与AB和AA1不共线的假设矛盾，因此假设不成立，所以AB和AA1两条棱共线。
2. 一个立方体的长、宽、高分别为5 cm，它的表面积和体积分别是多少？解答：由于立方体的六个面都是正方形，所以每个面的面积为5 cm * 5 cm = 25 cm²。
所以立方体的表面积为6 * 25 cm² = 150 cm²。
立方体的体积等于一个面的面积乘以它的高度，即25 cm² * 5 cm = 125 cm³。
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立体几何练习题
一、选择题
1、(08、10）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．
13
B ．
23
C ．
33
D ．
23
2、（文08、8）正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．18 3、（08、12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
4、（09、5）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB
=，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为
A.
10
10
B.
15
C.
310
10
D.
35
5、（09、12）文纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。
现
在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是
（A ）南 （B ）北 （C ）西 （D ）下
6、（10、9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
（A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）3
△
上
东
7、（10、11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱
AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点
（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个
8、（文10、8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直
于底面ABC ，SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 （A ）34 （B ）54 （C ）7
4
（D ） 34
二、填空题
9、（08、16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件） 10、（09、15）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。
若圆C 的面积等于
74
π
，则球O 的表面积等于 _________. 11、（09、文15）已知圆O ：52
2
=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
12、（文、09、16）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球
O 的表面得到圆C 。
若圆C 的面积等于4
7π
，则球O 的表面积等于 13、（10、16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．
三、解答题
14、（08、19）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点
E 在1CC 上且EC E C 31=．
（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．
A
B
C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1
15、（09、19）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，D E 、分别为11AA B C 、的中点，DE ⊥平面1BCC （Ⅰ）证明：AB AC =
（Ⅱ）设二面角A BD C --为60°,求1B C 与平面BCD 所成的角的大小
16、（10、19）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，
D 为1BB 的中点，
E 为1AB 上的一点，13AE EB =．
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．
A
C
B
A 1
B 1
C 1
D
E。