北京各区初三一模压轴题汇编(且全)

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2020年北京市各区一模测试九年级数学选择压轴题及答案

2020一模选择压轴题1、（朝阳）8．生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．表中3≤x ＜4组的频率a 满足0.20≤a ≤0.30．下面有四个推断： ① 中m 的值为20； ②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x ＜5组；④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．所有合理推断的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③④ （D ）①③④2、（房山）8. 在关于n 的函数bn an S +=2中，n 为自然数. 当n=9时，S < 0；当n=10时，S > 0. 则当S 的值最小时，n 的值为（）A ．3 B ．4 C ．5 D ．63、（丰台）8. 图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i 出现在书B j 中时，元素ij a =1，否则ij a =0（i ,j 为正整数）.例如：当关键词A 1出现在书B 4中时，a 14=1，否则a 14=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时．．有关键词“A 2，A 5，A 6”的书，则下列相关表述错误的是（A ）当a 21+a 51+a 61=3时，选择B 1这本书（B ）当a 22+a 52+a 62<3时，不选择B 2这本书（C ）当a 2j ，a 5j ，a 6j 全是1时，选择B j 这本书（D ）只有当a 2j +a 5j +a 6j =0时，才不能选择B j 这本书 4、（海淀）8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ，CD ，EF ，GH 是正方形OPQR边上的线段，点M 在其中某条线段上，若射线OM 与x 轴正半轴的夹角为α，且sin cos αα>，则点M 所在的线段可以是A ．AB 和CD B ．AB 和EFC ．CD 和GH D ．EF 和GH5、（密云）8. 据统计表明，2019年中国电影总票房高达642.7亿元，其中动画电影发展优势逐渐显现出来．下面的统计表反映了六年来中国上映的动画电影的相关数据：（以上数据摘自《中国电影产业市场前瞻与投资战略规划分析报告》）根据上表数据得出以下推断，其中结论不正确．．．的是（）A．2017年至2019年，国产动画影片数量均低于进口动画影片数量B．2019年与2018年相比，中国动画电影的数量增加了50%以上C．2014年至2019年，中国动画电影的总票房逐年增加D．2019年，中国动画电影的总票房占中国电影总票房的比例不足20%6、（平谷）8.某校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织同学开展植树造林活动，为了了解同学的植树情况，学校抽查了初一年级所有同学的植树情况（初一年级共有两个班），并将调查数据整理绘制成如下所示的部分数据尚不完整的统计图表．下面有四个推断：初一年级植树情况统计表棵树/棵12345人数733a123① a的值为20；① 初一年级共有80人；① 一班植树棵树的众数是3；①二班植树棵树的是中位数2．其中合理的是（A）①①（B）①① （C）①①（D）①①①7、(顺义)8．小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．图1 图2根据图中信息，有下面四个推断：①这5期的集训共有56天；②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是（A）①③（B）②④（C）②③（D）①④8、（西城）8．设m 是非零实数，给出下列四个命题：① 若10m -<<，则21m m m <<； ② 若1m >，则21m m m<<； ③ 若21m m m <<，则0m <； ④若21m m m<<，则01m <<．其中命题成立的序号是（A ）①③（B ）①④ （C ）②③（D ）③④9、(延庆) 8.如图，在①O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿直线BC 折叠后刚好经过弦AB 的中点D ．若①O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是 A ．32B ．23C ．235 D ．265 10、（燕山）8．为了解高校学生对5G 移动通信网络的消费意愿，从在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，下面是大学生用户分类情况统计表和大学生愿意为5G 套餐多支付的费用情况统计图（例如，早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付10元的人数占所有早期体验用户的50%）．用户分类人数A ：早期体验用户（目前已升级为5G 用户）260人B ：中期跟随用户（一年内将升级为5G 用户）540人C ：后期用户（一年后才升级为5G 用户）200人下列推断中，不合理的是A ．早期体验用户中，愿意为5G 套餐多支付10元，20元，30元的人数依次递减B ．后期用户中，愿意为5G 套餐多支付20元的人数最多C ．愿意为5G 套餐多支付10元的用户中，中期跟随用户人数最多D ．愿意为5G 套餐多支付20元的用户中，后期用户人数最多11、（通州）8.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一，为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 种支付方式和仅使用B 种支付方式的学生的支付金额a (元)的分布情况如下:支付金额a （元）支付方式0<a ≤10001000<a ≤2000a >2000仅使用A 18人 9人 3人仅使用B10人14人1人下面有四个推断:①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A 支付方式的概率大于他使用B 支付方式的概CB 15%5%4%35%56%40%40%55%50%30%A 人数占比O10%率;②根据样本数据估计，全校1000名学生中。

2022北京中考数学一模分类《几何综合压轴题》含答案解析

2022北京中考一模数学分类——几何综合压轴题一、倍长八字共5小题1.（2022朝阳一模27题）在ABC △中，D 是BC 的中点，且90BAD ∠≠︒，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '，作//CE AB 交直线AB '于点E ．（1）如图，若AB AC >， ①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；（2）若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．2.（2022顺义一模27题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，连接DE ，DF ．（1）求∠EDF 的度数；（2）用等式表示线段AE ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．3.（2022平谷一模27题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ,点D 为AB 边上一点（不与点A ，B 重合），作射线C D ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，在线段AE 上截取EF=EC ，连接BF 交CD 于G.(1)依题意补全图形； (2)求证：∠CAE=∠BCD(3)判断线段BG 与GF 之间的数量关系，并证明.4.（2022丰台一模27题）如图，在△ABC 中，∠BAC=α,点D 在边BC 上（不与B,C 重合），连接AD,以点A 为中心，将线段AD 逆时针旋转180°-α得到线段AE,连接BE. （1）∠BAC+∠DAE= °（2）取CD 的中点F ，连接AF ，用等式表示线段AF 与BE 的数量关系，并证明。

5.（2022石景山一模27题）如图，△ACB 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为边BC 上一点（不与点C 重合），CD ＜BD ，点E 在AD 的延长线上，且ED =AD ，连接BE ，过点B 作BE 的垂线，交边AC 于点F ．（1）依题意补全图形；（2）求证：BE =BF ；（3）用等式表示线段AF 与CD 的数量关系，并证明．ABCDABCD二、一线三垂直共1小题6.（2022通州一模27题）如图，在Rt ACB △中， 90ACB ∠=︒ ，AC BC =．点D 是BC 延长线上一点，连接AD ．将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ．过点E 作//EF BD ，交AB 于点F ．（1）①直接写出AFE ∠的度数是____________；②求证：DAC E ∠=∠；（2）用等式表示线段AF 与DC 的数量关系，并证明．三、三线合一共1小题7.（2022大兴一模27题）已知：如图，OB =BA ，∠OBA =150°，线段BA 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC .连接BC ，OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D .（1）依题意补全图形；（2）求∠DOC 的度数.四、手拉手共5小题8.（2022燕山一模27题）如图，在三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC <60°，AD 是BC 边的高线，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ．（1）依题意补全图形，写出∠CAE= ° （2）求∠BAF+∠ABF 和∠FBC 的度数；（3）用等式表示线段AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．9.（2022门头沟一模27题）如图，在等边△ABC 中，将线段AC 绕点A 顺时针旋转(060)αα<<，得到线段AD ，连接CD ，作∠BAD 的平分线AE ，交BC 于E ．（1）① 根据题意，补全图形；② 请用等式写出∠BAD 与∠BCD 的数量关系，并证明．（2）分别延长CD 和AE 交于点F ，用等式表示线段AF ，CF ，DF 的数量关系，并证明．AB C A B C AB C10.（2022房山一模27题）已知：等边ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点,A B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；∠=∠；①求证：BDP PCBBC BD BP之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段,,BC BD BP之间的数量关系．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段,,11.（2022海淀一模27题）27．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，D 为边BC 上一动点，点E 在边AC 上， C E CD =．点D 关于点B 的对称点为点F ，连接AD ，P 为AD 的中点，连接,,PE PF EF ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，写出线段PE 与PF 之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点D 与点,B C 不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。

北京市初三各区模拟数学压轴题

29. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1,y1)，点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”。

下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图。

（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⨀O的半径为√2，点M的坐标为（m,3）。

若在⨀O上存在一点N，使得点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围。

29．定义：点P 为△ABC 内部或边上的点，若满足△P AB ，△PBC ，△P AC 至少有一个三角形与△ABC 相似（点P 不与△ABC 顶点重合），则称点P 为△ABC 的自相似点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC =∠A ，∠PCB =∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的自相似点．在平面直角坐标系xOy 中，（1）点A 坐标为(2，， AB ⊥x 轴于B 点，在E (2，1)，F (32，2)，G (122这三个点中，其中是△AOB 的自相似点的是（填字母）；（2）若点M 是曲线C ：k y x=（0k >，0x >）上的一个动点，N 为x 轴正半轴上一个动点；① 如图2，k =M 点横坐标为3，且NM = NO ，若点P 是△MON 的自相似点，求点P 的坐标；② 若1k =，点N 为(2，0)，且△MON 的自相似点有2个，则曲线C 上满足这样条件的点M 共有个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．PB CA图1图2图3yxN1234512345O29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点．P．关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线．．l．关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y = 2，直接写出直线y = 2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①点C的坐标为（1，2），直线l: y=kx+b（k > 0）经过点D（231-+，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y 33C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．备用图29．在平面直角坐标系xOy 中，有如下定义：若直线l 和图形W 相交于两点，且这两点的距离不小于定值k ，则称直线l 与图形W 成“k 相关”，此时称直线与图形W 的相关系数为k .（1）若图形W 是由()12--，A ，()1,2-B ，()12，C ，()12-，D 顺次连线而成的矩形： ○1l 1：y =x +2，l 2：y =x +1，l 3：y = -x -3这三条直线中，与图形W 成“2相关”的直线有________;○2画出一条经过()10，的直线，使得这条直线与W 成“5相关”；○3若存在直线与图形W 成“2相关”，且该直线与直线y =平行，与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标Q y 的取值范围；（2）若图形W 为一个半径为2的圆，其圆心K 位于x 轴上.若直线333+=x y 与图形 W 成“3相关”，请直接写出圆心K 的横坐标K x 的取值范围.备用图29．在平面直角坐标系xOy 中，e C 的半径为r （r ＞1），P 是圆内与圆心C 不重合的点，e C 的“完美点”的定义如下：若直线．．CP 与e C 交于点A ，B ，满足2PA PB -=，则称点P 为e C 的“完美点”，下图为e C 及其“完美点”P 的示意图.(1) 当O e 的半径为2时， ①在点M (32,0)，N (0,1)，31(,)2T --中， O e 的“完美点”是； ② 若O e 的“完美点”P 在直线3y x =上，求PO 的长及点P 的坐标；(2) C e 的圆心在直线31y x =+上，半径为2，若y 轴上存在e C 的“完美点”，求圆心C 的纵坐标t 的取值范围.yx11ABCOP29. 如图，对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定义：如果线段AB上存在两个点M ，N ，使得∠MPN =30°，那么称点P 为线段AB 的伴随点．（1）已知点A （-1⎪⎭⎫⎝-325 , ，F （0，32+），①在点D ，E ，F 中，线段AB 的伴随点是_________；②作直线AF ，若直线AF 上的点P （m ，n ）是线段AB 的伴随点，求m 的取值范围；（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a 的伴随点，请直接写出这条线段a 的长度的范围．29．已知⊙C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反演点的定义如下：若点P '在射线CP 上，满足2CP CP r '⋅=，则称点P '是点P 关于⊙C 的反演点.图1为点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图.（1）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为6，⊙O 与x 轴的正半轴交于点A .① 如图2，135AOB ∠=︒，18OB =，若点A '，B '分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，则点A '的坐标是，点B '的坐标是； ② 如图3，点P 关于⊙O 的反演点为点P '，点P '在正比例函数y =位于第一象限内的图象上，△P OA '的面积为，求点P 的坐标；（212OP 为半径作圆，若点P 关于⊙O 的反演点P '的坐标是(,)m n ，请直接写出n 的取值范围.备用图图129．在平面直角坐标系xOy 中，A （t ，0），B （0），对于线段AB 和x 轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P 为AB 的“等角点”．（1）若302C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,12D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭中，线段AB 的“等角点”是；（2）直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB 的“等角点”P 在直线MN 上，且∠ABP =90°，求点P 的坐标； ②在①的条件下，过点B 作BQ ⊥P A ，交MN 于点Q ，求∠AQB 的度数； ③若线段AB 的所有“等角点”都在△MON 内部，则t 的取值范围是．t +t =-。

北京市各区中考数学一模试卷精选汇编压轴题专题

压轴题专题东城区28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.（1）如图2，22M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，22N⎛-⎝⎭.在A（1，0），B（1，1），)C三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是；（2）如图3， M（0，1），N122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，点D是线段MN关于点O的关联点.①∠MDN的大小为°；②在第一象限内有一点E),m，点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；③点F在直线23y x=-+上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标Fx的取值范围．28. 解：（1）C ； --------------2分（2）① 60°；② △MNE 是等边三角形，点E 的坐标为)；--------------5分③ 直线2y x =+交 y 轴于点K （0，2），交x 轴于点()T 0.∴2OK =，OT =∴60OKT ∠=︒.作OG ⊥KT 于点G ,连接MG . ∵()M 0，1， ∴OM =1. ∴M 为OK 中点 . ∴ MG =MK =OM =1.∴∠MGO =∠MOG =30°，OG ∴3.2G ⎫⎪⎪⎝⎭， ∵120MON ∠=︒, ∴ 90GON ∠=︒.又OG =1ON =， ∴30OGN ∠=︒. ∴60MGN ∠=︒.∴G 是线段MN 关于点O 的关联点.经验证，点)E在直线2y =+上. 结合图象可知，当点F 在线段GE 上时，符合题意. ∵G F E x x x ≤≤，∴F x .--------------8分西城区28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）．已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C附点”，直接写出b 的取值范围．x【解析】（1．②是．（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，x∵(1,0)Q -，(1,0)C ，1r =， ∴2CQ =，1CM =， ∴MQ =，此时2MQk CQ== ②如图，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，x∴()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=， ∵2CQ =， ∴2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===，∴当k DQ= 此时1CD =，假设⊙C 经过点Q ，此时2r =， ∵点Q 早⊙C 外，∴r 的取值范围是12r <≤．（3）b <．海淀区28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，给出如下定义：若C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C 上，则称P 为C 的反射点．下图为C的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C 的反射点，直接写出圆心C的横坐标x 的取值范围．28．解（1）①A 的反射点是M ，N ． ………………1分②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图．可求得点D 的横坐标为．同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为2，2，2．点P 是A 的反射点，则A 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在A 上，则'OP OP =.∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ．反之，若13≤≤OP ，A 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的垂直平分线经过原点，且与A 相交．因此点P 是A 的反射点．∴点P 的横坐标x 的取值范围是≤x x 分（2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是44≤≤x -． ………………7分丰台区28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．28．解：（2分（2）点A 和⊙G 的“中立点”在以点O 为圆心、半径为1的圆上运动. 因为点K 在直线y =- x +1上，设点K 的坐标为（x ，- x +1），则x 2+（- x +1）2=12，解得x 1=0，x 2=1.所以点K 的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分（3）（说明：点N 与⊙C 的“中立点”在以线段NC 的中点P 为圆心、半径为1的圆上运动.圆P 与y 轴相切时，符合题意.）所以点N 的横坐标的取值范围为-6≤x N ≤-2. ………8分石景山区28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． xy xy（1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)，则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y x = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．28．解：（1）25π； ………………… 2分（2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积为9π，∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．①当0b >时，则点B 在第二象限．过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =，∴2BE AE ==．∴22B-（，）． ②当0b <时，则点'B 在第四象限．同理可得'22B -（．综上所述，点B 的坐标为22-（，或22-（． ………………… 6分（3）5m -≤或11m ≥． ………………… 8分朝阳区28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为线段AB 的伴随点．（1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是；②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ，且MN =b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．28. 解：（1）①线段AB 的伴随点是: 23,P P . …………………2分②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.…………………………………………4分如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值.……………………………………………5分∴b的取值范围是3≤b≤5. ……………………………………6分（2）t的取值范围是-12.2t≤≤…………………………………………8分燕山区28．在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD是AB边的中线，DE⊥BC于E, 连结CD，点P在射线CB 上（与B，C不重合）．（1）如果∠A=30°①如图1，∠DCB= °②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF,连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；( 2 )如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α（0°<α<90°），连结DP, 将线段DP绕点逆时针旋转α2得到线段DF,连结BF, 请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．图1图228.解：(1) ①∠DCB=60°…………………………………1′②补全图形CP=BF …………………………………3′△ DCP ≌△ DBF …………………………………6′（2）BF-BP=2DE ⋅tan α…………………………………8′门头沟区28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使M N P ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”. （1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径r 的取值范围.备用图1 备用图228．（本小题满分8分）解： (1)①)5,3()5,1(21C C 或. ……………………………………………2分②由图可知，B )3,5( ∵A (1,3) ∴AB =4∵ABC ∆为等腰直角三角形 ∴BC =4∴)1,5()7,5(21-C C 或设直线AC 的表达式为(0)y kx b k =+≠ 当)7,5(1C 时，⎩⎨⎧=+=+753b k b k ⎩⎨⎧==∴21b k 2+=∴x y …………………………………3分当)1,5(2-C 时，⎩⎨⎧-=+=+153b k b k ⎩⎨⎧=-=∴41b k4+-=∴x y …………………………………4分 ∴综上所述，直线AC 的表达式是2+=x y 或4+-=x y (2)当点F 在点E 左侧时：大兴区28.在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E 在线段OA 上，E 不与点O 重合），则称∠DPE 为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图1为点D ，P ,E 的“平横纵直角”的示意图.图图2如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N .（1）点N 的横坐标为；（2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．28.（1）9 ………………………………………………………………… 1分（2）方法一:MK ⊥MN ，∴要使线段OC 上存在不同的两点M1、M 2，使相应的点K 1、K 2都与点F 重合，也就是使以FN 为直径的圆与OC 有两个交点，即m r >．29=r ， 29<∴m ．又0>m ， 290<<∴m ． ………………………………………………4分方法二：0>m ，∴点K 在x 轴的上方．过N 作NW ⊥OC 于点W ，设OM x =，OK y =，则 CW ＝OC －OW ＝3，WM ＝9x -．由△MOK ∽△NWM ，得，∴9y x x m=-． ∴x mx m y 912+-=．当m y =时，219m x x m m=-+，化为0922=+-m x x ．当△=0，即22940m -=，解得92m =时，线段OC 上有且只有一点M ，使相应的点K 与点F 重合．0>m ，∴ 线段OC 上存在不同的两点M 1、M 2，使相应的点K 1、K 2都与点F 重合时，m 的取值范围为290<<m ． ………………………………………………………………………………4分（3）设抛物线的表达式为：)12)(3(-+=x x a y (a ≠0)，又抛物线过点F （0，m ），a m 36-=∴．m a 361-=∴．m x m x x m y 1625)29(361)12)(3(3612+--=-+-=∴．…………………………………5分过点Q 做QG ⊥x 轴与FN 交于点RFN ∥x 轴 ∴∠QRH =90°tan BG BQG QG∠=，2516QG m =，152BG =∴，又4560QHN ︒≤∠≤︒，∴3045BQG ︒≤∠≤︒∴当30BQG ∠=︒时，可求出3524=m ，………………………………… 6分当45BQG ∠=︒时，可求出524=m ． ……………………………………7分m ∴的取值范围为245m ≤≤． …………………………………8分平谷区28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （，则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O ，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．28．解：（1）60； ····························· 1 （2）∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°．过点C 作CE ⊥DE 于E ．∴D （4,5）或()2,5-． ............. 3 ∴直线CD 的表达式为1y x =+或3y x =-+． (5)（3）15m ≤≤或51m -≤≤-． (7)怀柔区28. P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PAPB≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（2,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是； ②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．yx–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O28.(1)①P 1（2,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2分②如图，在y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点P ，点O 到直线y=x+b 的距离m≤2. 直线y=x+b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y=x+b 1于点H. 因为OH=2，在Rt△DOE 中，可知OE=22. 可得b 1=22.同理可得b 2=-22.∴b 的取值范围是:22-≤b ≤22. …………………………………………………6分 (2)x>3或 3-<x . …………………………………………………………………………8分延庆区28．平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中，与点C 互为反等点； D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4）（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围；（3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取值范围．28．(1)F ……1分(2) -3≤p x ≤3 且p x ≠0 ……4分(3)4 < r≤5 ……7分顺义区点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．图228．（1）是．。

北京各区一模压轴题分类整理

27．在平面直角坐标系中，抛物线（0m ≠）的顶点为A ，与 x 轴交于B ，C 两点（点B在点C 左侧），与y 轴交于点D ．（1）求点A 的坐标；（2）若BC =4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C ，D 之间的部分记为图象G （包含C ，D 两点）．若过点A 的直线与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21C y x bx c ++：＝经过点()2,3A -，且与x 轴的一个交点为()30B ，．（1）求抛物线1C 的表达式；（2）D 是抛物线1C 与x 轴的另一个交点，点E 的坐标为()0m ，，其中0m >，ADE V 的面积为214． ①求m 的值；②将抛物线1C 向上平移n 个单位，得到抛物线2C ，若当0x m ≤≤时，抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n 的取值范围．xOy 224y mx mx m =-+-+(0)y kx b k =≠28．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以 AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G ．（1）若点D 在线段BC 上，如图1.① 依题意补全图1；② 判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D 在线段BC 的延长线上，且G 为CF 中点，连接GE ，AB，则GE 的长为_______，并简述求GE 长的思路．28．在等腰三角形ABC 中， AC =BC ，点P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连接P A ，以P 为旋转中心，将线段P A 顺时针旋转，旋转角与∠C 相等，得到线段PD ，连接DB ．（1）当∠C =90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA 的度数；（2）如图2，若∠C =α，求∠DBA 的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD ，若∠C =30º，AC =2，∠APC =135º，请写出求AD 长的思路．（可以不写出计算结果）90 图1 P C B A P C B A图2新定义（29）29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”．（1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是；②线段11//A B AB ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为；（2）如图2，已知点(C ，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E 在直线l y =+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT ∆的“阴影点”，直接写出NQT ∆的周长的最小值．29. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线.（1）当⊙O 的半径为1时，○1分别判断在点D （，14），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有__________；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程.○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x =+x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。

北京市各区九年级中考一模数学试卷精选汇编：压轴题专题(含答案）

北京市各区九年级中考一模数学试卷精选汇编压轴题专题东城区28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O 在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点P是线段MN关于点O 的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.（1）如图2，2222M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2222N⎛-⎝⎭.在A（1，0），B（1，1），)2,0C三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是；（2）如图3，M（0，1），N3122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，点D是线段MN关于点O的关联点.①∠MDN的大小为°；②在第一象限内有一点E)3,m m，点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；③点F在直线32y x=+上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标Fx的取值范围．28. 解：（1）C ； --------------2分（2）① 60°；② △MNE 是等边三角形，点E 的坐标为)31，；--------------5分③ 直线32y x =+交 y 轴于点K （0，2），交x 轴于点()23T ，0. ∴2OK =，23OT =∴60OKT ∠=︒.作OG ⊥KT 于点G ,连接MG . ∵()M 0，1， ∴OM =1. ∴M 为OK 中点 . ∴ MG =MK =OM =1.∴∠MGO =∠MOG =30°，OG 3∴33.2G ⎫⎪⎪⎝⎭， ∵120MON ∠=︒, ∴ 90GON ∠=︒. 又3OG =1ON =， ∴30OGN ∠=︒. ∴60MGN ∠=︒.∴G 是线段MN 关于点O 的关联点. 经验证，点)31E，在直线32y =+上. 结合图象可知，当点F 在线段GE 上时，符合题意. ∵G F E x x x ≤≤， ∴33F x ≤分西城区28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）．已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图，当2r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(12,0)A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值． ②当3k r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的3附点”，直接写出b 的取值范围．备用图CyO Q图1CyxO A 1A 2Q【解析】（12．②是．（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，2QO xyCM∵(1,0)Q -，(1,0)C ，1r =， ∴2CQ =，1CM =， ∴3MQ =，此时23MQk CQ== ②如图，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，N 2QO xyCM D∴()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=， ∵2CQ =， ∴2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===，∴当3k 3DQ = 此时221CD CQ DQ -=，假设⊙C 经过点Q ，此时2r =， ∵点Q 早⊙C 外，∴r 的取值范围是12r <≤．（3）333b -<．海淀区28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，给出如下定义：若C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C 上，则称P 为C 的反射点．下图为C的反射点P 的示意图．yxPOC T P’（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C 的反射点，直接写出圆心C的横坐标x 的取值范围．28．解（1）①A 的反射点是M ，N ． ………………1分②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图．可求得点D 的横坐标为32．同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为2232 点P 是A 的反射点，则A 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在A 上，则'OP OP =.∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ．反之，若13≤≤OP ，A 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的垂直平分线经过原点，且与A 相交．因此点P 是A 的反射点．∴点P 的横坐标x 的取值范围是322≤x 232x ．………………4分（2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是44≤≤x -． ………………7分丰台区28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．54411231213xOy687654327654326528．解：（1）点A 和线段BC 的“中立点”的是点D ，点F ； ………2分（2）点A 和⊙G 的“中立点”在以点O 为圆心、半径为1的圆上运动. 因为点K 在直线y =- x +1上，设点K 的坐标为（x ，- x +1），则x 2+（- x +1）2=12，解得x 1=0，x 2=1.所以点K 的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分（3）（说明：点N 与⊙C 的“中立点”在以线段NC 的中点P 为圆心、半径为1的圆上运动.圆P 与y 轴相切时，符合题意.）所以点N 的横坐标的取值范围为-6≤x N ≤-2. ………8分石景山区28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． xy xyAB（1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)，则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线33y = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．28．解：（1）25π； ………………… 2分（2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积为9π，∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．①当0b >时，则点B 在第二象限．过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴322BE AE ==．y xl'lECD BB'3A∴323222B-（，）． ②当0b <时，则点'B 在第四象限．同理可得3232'22B -（．综上所述，点B 的坐标为323222-（，或323222-（． ………………… 6分（3）5m -≤或11m ≥． ………………… 8分朝阳区28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为线段AB 的伴随点．（1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是； ②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ，且MN 5=b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．28. 解：（1）①线段AB 的伴随点是: 23,P P . …………………2分②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.…………………………………………4分如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值.……………………………………………5分∴b的取值范围是3≤b≤5. ……………………………………6分（2）t的取值范围是-12.2t≤≤…………………………………………8分燕山区28．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边的中线，DE⊥BC于E, 连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）．（1）如果∠A=30°①如图1，∠DCB= °②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF,连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；( 2 )如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α（0°<α<90°），连结DP, 将线段DP绕点逆时针旋转α2得到线段DF,连结BF, 请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．图1图228.解：(1) ①∠DCB=60°…………………………………1′②补全图形CP=BF …………………………………3′△ DCP ≌△ DBF …………………………………6′（2）BF-BP=2DE ⋅tan α…………………………………8′门头沟区28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”. （1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图．．．直接．．写出半径r 的取值范围.备用图1 备用图228．（本小题满分8分）解： (1)①)5,3()5,1(21C C 或. ……………………………………………2分②由图可知，B )3,5( ∵A (1,3) ∴AB =4∵ABC ∆为等腰直角三角形 ∴BC =4∴)1,5()7,5(21-C C 或设直线AC 的表达式为(0)y kx b k =+≠ 当)7,5(1C 时，⎩⎨⎧=+=+753b k b k ⎩⎨⎧==∴21b k 2+=∴x y …………………………………3分当)1,5(2-C 时，⎩⎨⎧-=+=+153b k b k ⎩⎨⎧=-=∴41b k4+-=∴x y …………………………………4分 ∴综上所述，直线AC 的表达式是2+=x y 或4+-=x y (2)当点F 在点E 左侧时：xyOxyO大兴区28.在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E 在线段OA 上，E 不与点O 重合），∠DPE 则称为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图1为点D ，P ,E 的“平横纵直角”的示意图.图1 图2如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N .（1）点N 的横坐标为；（2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．28.（1）9 ………………………………………………………………… 1分（2）方法一:MK ⊥MN ，∴要使线段OC 上存在不同的两点M 1、M 2，使相应的点K 1、K 2都与点F 重合，也就是使以FN 为直径的圆与OC 有两个交点，即m r >．29=r ， 29<∴m ．又0>m ， 290<<∴m ． ………………………………………………4分方法二：0>m ，∴点K 在x 轴的上方．过N 作NW ⊥OC 于点W ，设OM x =，OK y =，则 CW ＝OC －OW ＝3，WM ＝9x -．由△MOK ∽△NWM ，得，∴9y x x m=-． ∴x mx m y 912+-=．当m y =时，219m x x m m=-+，化为0922=+-m x x ．当△=0，即22940m -=，解得92m =时，线段OC 上有且只有一点M ，使相应的点K 与点F 重合．0>m ，∴ 线段OC 上存在不同的两点M 1、M 2，使相应的点K 1、K 2都与点F 重合时，m 的取值范围为290<<m ． ………………………………………………………………………………4分（3）设抛物线的表达式为：)12)(3(-+=x x a y (a ≠0)，又抛物线过点F （0，m ），a m 36-=∴．m a 361-=∴．m x m x x m y 1625)29(361)12)(3(3612+--=-+-=∴．…………………………………5分过点Q 做QG ⊥x 轴与FN 交于点RFN ∥x 轴 ∴∠QRH =90°tan BG BQG QG∠=，2516QG m =，152BG =∴，又4560QHN ︒≤∠≤︒，∴3045BQG ︒≤∠≤︒∴当30BQG ∠=︒时，可求出3524=m ，………………………………… 6分当45BQG ∠=︒时，可求出524=m ． ……………………………………7分m ∴的取值范围为2424355m ≤≤． …………………………………8分平谷区28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （0,23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．28．解：（1）60； ·························································································· 1 （2）∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°．过点C 作CE ⊥DE 于E ．∴D （4,5）或()2,5-． ........................................ 3 ∴直线CD 的表达式为1y x =+或3y x =-+． (5)（3）15m ≤≤或51m -≤≤-． (7)怀柔区28. P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PAPB≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（2,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是； ②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．yx–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O28.(1)①P 1（2,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2分yxE Hy=x+b 2y=x+b–1–2–3–41234–1–2–3–41234OD②如图，在y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点P ，点O 到直线y=x+b 的距离m≤2. 直线y=x+b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y=x+b 1于点H. 因为OH=2，在Rt △DOE 中，可知OE=22. 可得b 1=22.同理可得b 2=-22.∴b 的取值范围是:22-≤b ≤22. …………………………………………………6分 (2)x>3或 3-<x . …………………………………………………………………………8分延庆区28．平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中，与点C 互为反等点； D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4）（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围；（3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取值范围．-1-2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-1y123456x654321O28．(1)F ……1分 (2) -3≤p x ≤3 且p x ≠0 ……4分(3)4 < r≤5 ……7分顺义区点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3图2C 2C 1NMO'所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．28．（1）是．21 / 21。

2021北京各区中考一模分类汇编-填空题压轴题(学生版)

1．（2021•平谷区一模）某种预防病虫害的农药即将于三月上旬喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月上旬天气预报，请你结合气温图给出一条合理建议，药剂喷洒可以安排在日开始进行.2．（2021•延庆区一模）把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为．3.（2021•门头沟区一模）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要________分钟.准备时间（分钟）加工时间（分钟）米饭 3 30炒菜1 5 6炒菜2 5 8汤 5 15图2图1用时种类4. （2021•燕山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l: y =x -1，双曲线 y =x1-，在l 上取一点A 1，过A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2 ,请继续操作并探究:过A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，… 记点A n 的横坐标为a n ，若a 1=－2，则a 2021= ；若要将上述操作无限次地进行下去，则a 1不能取的值是 .5．（2021•通州区一模）某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品.一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比.例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔订单的生产时间(单位：小时)依次为,,a b c ，其中a b c >>，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是a b c >>，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是___________________6．（2021•大兴区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＞AB ，E ，F 分别为边AD ，BC 上的点（E ，F 不与端点重合），对于任意平行四边形ABCD ，下面四个结论中：①存在无数个四边形ABFE ，使得四边形ABFE 是平行四边形； ②至少存在一个四边形ABFE ，使得四边形ABFE 菱形； ③至少存在一个四边形ABFE ，使得四边形ABFE 矩形；④存在无数个四边形ABFE ，使得四边形ABFE 的面积是平行四边形ABCD 面积的一半．所有正确结论的序号是．7﹒（2021•顺义区一模）标有1-25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列相邻的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③不重复选座．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，此时四人所选的座位号数字之和为124．如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为．8﹒（2021•石景山区一模）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要_________分钟．9﹒（2021•房山区一模）甲，乙，丙，丁，戊，己六人，将在“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者，三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，仅有一位演讲者处在甲和乙之间，丁在第一位或在第三位发言．如果戊是第四位演讲者，那么第三位演讲者是__________．10﹒（2021•朝阳区一模）某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示：若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为4:3，则还没有体检的班级可能是。

2021-2023北京初三一模数学汇编：全等三角形

2021-2023北京初三一模数学汇编全等三角形2．（2023北京朝阳初三一模）如图，在△13cm，则△ABC的周长为6．（2021北京初三一模）如图，点△条件，使得ABC甲的方法：∠的平分线交证明：作BAC10．（2023北京门头沟初三一模）等腰三角形的两个底角相等”这个性质定理时，添加的辅助线以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．法一证明：如图，做11．（2023北京朝阳初三一模）下面是证明等腰三角形的两个底角相等中一种，完成证明．已知：如图，在∠=∠求证：B C方法一证明：如图，作12．（2023北京西城初三一模）如图，直线AB ，CD 交于点别是射线OA ，NE ．(1)求证：MEN AOC ∠=∠；(2)点F 在线段NO 上，点G 在线段NO 延长线上，连接表示线段NF ，OG ，OM 之间的数量关系，并证明．13．（2022北京石景山初三一模）如图，△ACB 中，AC 重合），CD BD <，点E 在AD 的延长线上，且ED AD =(1)依题意补全图形；(2)求证：BE BF =；(3)用等式表示线段AF 与CD 的数量关系，并证明．14．（2022北京平谷初三一模）如图，在△ABC 中，∠A ，B 重合），作射线CD ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，在线段(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE ＝∠BCD ；(3)判断线段BG 与GF 之间的数量关系，并证明．15．（2021北京房山初三一模）如图，AB 与CD 交于点E ，点E 是AB 的中点，∠A ＝∠B ．试说明：AC ＝BD ．16．（2021北京初三一模）已知：如图1，在ABC 中，60CAB ∠=︒．求作：射线CP ，使得//CP AB ．下面是小明设计的尺规作图过程．作法：如图2，①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点；②以点C 为圆心，AD 长为半径作弧，交AC 的延长线于点F ；③以点F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧在FCB ∠内部交于点P ；④作射线CP ．所以射线CP 就是所求作的射线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接FP ，DE ．CF AD = ，CP AE =，FP DE =．ADE ∴V V ≌__________，DAE ∴∠=∠__________，//CP AB ∴（__________）（填推理的依据）．18．（2021北京通州初三一模）已知：如图，在参考答案1．5【分析】根据垂直平分线的性质可得DA DC =，进而根据已知以及三角形的周长公式即可求解．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴DA DC =，∵AB AC =，2AC =，∴2AB =∴ABD 的周长是235AB BD AD AB BD DC AB BC ++=++=+=+=，故答案为：5．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．2．19cm/19厘米【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA ＝DC ，结合△ABD 的周长从而得到结论．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，∵△ABD 的周长为13cm ，∴AB +BD +AD =AB +BD +CD =13cm ，∵AC =6cm ，∴△ABC 的周长=AB +BD +CD +AC =13+6=19cm ，故答案为：19cm ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．3．AB =DE （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理结合图形即可得出结果．【详解】解：添加条件为AB =DE ，在△ABC 与△DEF 中，AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，△ABC ≌△DEF （SAS ），故答案为AB =DE （答案不唯一）．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．4．见解析（只要画出一种即可）【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等进行作图即可．【详解】解：∵DE =AB ，∴分两种情况：135DEF ABC ∠=∠=︒或135EDF ABC ∠=∠=︒，找出点F 的位置，连接DF 、EF ，BC =EF 或FD =CB ，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）或△ABC ≌△EDF （SAS ），即为要求作的DEF ，如图所示：故答案为：见解析（只要画出其中一种即可）【点睛】本题主要考查了在方格纸中作一个三角形与已知三角形全等，解题的关键是确定点F 的位置．5．AB AD =或BC CD =或BAC DAC ∠=∠或ACB ACD∠=∠【分析】根据题意直接由全等三角形的判定定理进行分析即可求解．【详解】解：若添加AB AD =，且AC AC =，由“HL ”可证RtΔRtΔABC ADC ≅；若添加BC CD =，且AC AC =，由“HL ”可证RtΔRtΔABC ADC ≅；若添加BAC DAC ∠=∠，且AC AC =，由“AAS ”可证RtΔRtΔABC ADC ≅；若添加BCA DCA ∠=∠，且AC AC =，由“AAS ”可证RtΔRtΔABC ADC ≅；故答案为：AB AD =或BC CD =或BAC DAC ∠=∠或ACB ACD ∠=∠（答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．6．BC EF =或B E ∠=∠或A D ∠=∠（答案不唯一）【分析】由全等三角形的判定定理可求解．【详解】解：//BC EF ，BCA EFD ∴∠=∠，若添加BC EF =，且AC FD =，由“SAS ”可证ABC DEF ≌△△；若添加B E ∠=∠，且AC FD =，由“AAS ”可证ABC DEF ≌△△；若添加A D ∠=∠，且AC FD =，由“ASA ”可证ABC DEF ≌△△；故答案为：BC EF =或B E ∠=∠或A D ∠=∠（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．7．AD =BC 或∠D =∠C 或∠DBA =∠CAB 等（答案不唯一，填一个即可）．【分析】根据三角形全等的判定定理，添加边相等或角相等即可．【详解】解：添加AD =BC ，可用SAS 判断ABC BAD ≌；添加∠D =∠C ，可用AAS 判断ABC BAD ≌；添加∠DBA =∠CAB ，可用ASA 判断ABC BAD ≌；故答案为：AD =BC 或∠D =∠C 或∠DBA =∠CAB 等（答案不唯一，填一个即可）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟记全等三角形的判定定理，准确添加正确条件．8．AC =AD 或C D ∠=∠或CBA DBA ∠=∠．【分析】由AE 平分∠CAD ，可得∠CAB =∠DAB ，由AB 共用从边上考虑，只能添加AC =AD ，可证()ABC ABD SAS △≌△，从角上考虑，可添加C D ∠=∠或CBA DBA ∠=∠()ABC ABD AAS △≌△，()ABC ABD ASA △≌△即可．【详解】解：因为AE 平分∠CAD ，所以∠CAB =∠DAB ，又∵AB=AB ，已具备一边一角，从边上考虑，只能添加AC =AD ，在△ABC 和△ABD 中，AC AD CAB DAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ABD SAS △≌△，从角上考虑，可添加C D ∠=∠或CBA DBA ∠=∠，添加,C D ∠=∠在△ABC 和△ABD 中，C D CAB DAB AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ABD AAS △≌△，添加CBA DBA ∠=∠，在△ABC 和△ABD 中，CBA DBA AB AB CAB DAB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC ABD ASA △≌△，故答案为：AC =AD 或C D ∠=∠或CBA DBA ∠=∠．【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等判定定理是解题关键．9．选择甲的方法，证明见解析．【分析】选择甲的方法，作BAC ∠的平分线交BC 于点D ，得BAD CAD ∠=∠，结合已知即可证明ABD ACD △≌△()AAS 从而得到结论．【详解】解：选择甲的方法：证明：作BAC ∠的平分线交BC 于点D ．∴BAD CAD ∠=∠．在ABD △与ACD 中，B C BAD CAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACD △≌△()AAS ∴AB AC =．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的证明方法．10．见解析【分析】方法一：根据“SAS ”证明ABD ACD △≌△即可得出结论；方法二：根据“SSS ”证明ABD ACD △≌△即可得出结论．【详解】方法一：AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠.AB AC =，AD AD =，∴ABD CAD ≌△△，∴B C ∠=∠.方法二：D 为BC 中点，∴BD CD =.AB AC =，AD AD =，∴ABD CAD≌△△∴B C ∠=∠.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．11．见解析【分析】方法一：取BC 中点D ，连接AD ．利用SSS 证明ABD ACD △≌△，由全等三角形的性质可得出结论；方法二：作BAC ∠的角平分线，交BC 于点D ．利用SAS 证明ABD ACD △≌△，由全等三角形的性质可得出结论．【详解】解：方法一，证明：如图，取BC 中点D ，连接AD ，则BD CD =，在ABD △和ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(SSS)ABD ACD ∴ ≌，B C ∴∠=∠；方法二：证明：如图，作BAC ∠的角平分线，交BC 于点D ．BAD CAD ∴∠=∠，在ABD △和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ABD ACD ∴△≌△()，B C ∴∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明ABD ACD △≌△是解题的关键．12．(1)见解析(2)OM NF OG ＝＋，理由见解析【分析】（1）先根据角的平分线的性质，过点E 作EH CD ⊥，EK AB ⊥，垂足分别是H ，K ，得EH EK ＝，再根据三角形全等的判定，证明Rt EHN Rt EKM ≌即可得结论．（2）作辅助线，在线段OM 上截取1OG OG ＝，连接EG 1，先证明1EOG EOG ≌，得1EG EG =，1EG O EGF ∠=∠，再证明1ENF EMG ≌，得1NF MG ＝，再推导得出结论．【详解】（1）（1）证明：作EH CD ⊥，EK AB ⊥，垂足分别是H ，K ，如图．∵OE 是BOC ∠的平分线，∴EH EK ＝．∵ME NE ＝，∴Rt EHN Rt EKM ≌．∴ENH EMK ∠∠＝．记ME 与OC 的交点为P ，∴EPN OPM ∠∠＝．∴MEN AOC ∠∠＝．（2）（2）OM NF OG ＝＋．证明：在线段OM 上截取1OG OG ＝，连接EG 1，如图．∵OE 是BOC ∠的平分线，∴EON EOB ∠∠＝．∵MOF DOB ∠∠＝，∴EOM EOD ∠∠＝．∵OE OE =，∴1EOG EOG ≌．∴1EG EG =，1EG O EGF ∠=∠．∵EF EG ＝，∴1EF EG =，EFG EGF ∠=∠．∴1EFG EG O ∠=∠．∴1EFN EG M ∠=∠．∵1ENF EMG ∠=∠．∴1ENF EMG ≌．∴1NF MG ＝．∵11OM MG OG ＝＋，∴OM NF OG ＝＋．【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．13．(1)见解析(2)见解析(3)2AF CD =，证明见解析【分析】（1）根据题目步骤作图即可；（2）过E 作EM ⊥BC 于M ，先由中线倍长证明ADC EDM ≅ ，得到AC EM BC ==，再证明BCF EMB ≅ ，得到BF BE =；（3）由（2）中全等可得到,FC BM CD DM ==，即可推理出2AF CM CD ==．【详解】（1）依题意补全图形如下：（2）过E 作EM ⊥BC 于M在ADC △和EDM △中ACD EMD ADC EDM AD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC EDM ≅ (AAS )∴AC EM=∵AC BC=∴AC EM BC==∵BE ⊥BF∴90FBC BEM MBE∠=∠=︒-∠在FBC 和EBM △中FBC BEM BC EM C EMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BCF EMB ≅ (ASA )，∴BF BE=（3）2AF CD =，证明如下：由（2）得ADC EDM ≅ ，BCF EMB≅ ∴,FC BM CD DM ==，∴AC FC BC BM -=-，2CM CD=∴2AF CM CD ==．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等．14．(1)见解析(2)见解析(3)BG GF =，证明见解析【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据垂线的定义，等角的余角相等即可证明；（3）过点B 作BH AD ⊥于点H ，则90CHB ∠=︒，证明ACE CBH ≌，结合已知条件EF ＝EC ，证明EFG HBG ≌，即可得到FG BG =．【详解】（1）如图所示，（2） AE CD ⊥，90AEC ∴∠=︒，90ACE CAE ∴∠+∠=︒．90ACB ∠=︒ ，90ACE ECB ∴∠+∠=︒，CAE ECB ∠=∠∴，即∠CAE ＝∠BCD ．（3）FG BG =，理由如下，如图，过点B 作BH AD ⊥于点H ，则90CHB ∠=︒，由（2）可知CAE BCD ∠=∠，CAE BCH ∴∠=∠，90AEC =︒∠ ，AEC CHB ∴∠=∠．又AC CB = ，ACE CBH ∴ ≌，BH CE ∴=．CE EF = ，BH EF ∴=，又90,BHG FEG EGF HGB ∠=∠=︒∠=∠ ，∴EFG HBG ≌，FG BG ∴=．【点睛】本题考查了画垂线，线段，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．15．见解析【分析】证明△AEC ≌△BED （ASA ），可得AC =B D ．【详解】解：证明：∵E 是AB 的中点，∴AE =BE ，在△AEC 和△BED 中，A B AE BE AEC BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC ≌△BED （ASA ），∴AC =B D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．16．（1）见解析；（2）CFP ，FCP ，同位角相等两直线平行【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用全等三角形的性质证明即可．【详解】解：（1）如图，射线CP 即为所求作．（2）连接FP ，DE ．CF AD = ，CP AE =，FP DE =．ADE CFP ∴V V ≌，DAE FCP ∴∠=∠，CP AB ∴‖（同位角相等两直线平行）．故答案为：CFP ，FCP ，同位角相等两直线平行．【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．证明见解析【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF ≌△△即可．【详解】证明：∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠．∵BE CF =，∴BE EC CF EC +=+．∴BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF ≌△△．∴A D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．18．见解析【分析】由BE CF =，得到BC EF =，根据SAS 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：∵BE CF=∴BC EF=在ABC 与DEF 中AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABC DEF SAS ≌【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．。

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2013年5月份北京各区中考一模数学压轴题汇编（35页全）(2013年平谷一模)如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线k yx =(k≠0)与ABC∆有交点，则k的取值范围是A．12k<< B．13k≤≤C．14k≤≤D．14k<≤(2013年平谷一模)12．如图1、图2、图3，在ABC△中，分别以AB AC、为边，向ABC△外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD、相交于点O．如图4，AB AD、是以AB 为边向ABC△外所作正n边形的一组邻边；AC AE、是以AC为边向ABC△外所作正n(n为正整数)边形的一组邻边．BE CD、的延长相交于点O．图1中BOC∠=o；图4中BOC∠=o（用含n的式子表示）．(2013年平谷一模)19．已知：如图，四边形ABCD中，90A∠=︒，120D∠=︒，E是AD 上一点，∠BED=135°，22BE=，23DC=,23DE=-．求(1)点C到直线AD的距离；y1 xOA BC（2）线段BC的长．ADE(2013年平谷一模)20. 如图，AB是O⊙的直径，点C在O⊙上，CAB∠的平分线交O⊙于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.（1）求证：ED是O⊙的切线；（2）若108AB AD==，，求CF的长.(2013年平谷一模)23. 已知关于m的一元二次方程221x mx+-=0.（1）判定方程根的情况；（2）设m为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．(2013年平谷一模)24．（1）如图(1)，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD CE=，连接AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出∠APD的度数；=（2）如图（2）,Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且,AM BC=BM CN=，连接AN、CM相交于点P. 请你猜想∠APM= °，并写出你的推理过程.图1P图2(2013年平谷一模)25．如图1，在直角坐标系中，已知直线112yx=+与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段BC为边向上作正方形ABCD.（1）点C的坐标为（），点D的坐标为（）；（2）若抛物线22(0)y ax bx a=++≠经过C、D两点，求该抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线BA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时，正方形停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围.(2013年延庆一模)8．在如图所示的棱长为1的正方体中，A、B、C、D、E是正方体的顶点，M是棱CD的中点.动点P从点D出发，沿着D→A→B的路线在正方体的棱上运动，运动到点B停止运动. 设点P运动的路程是x，y=PM＋PE，则y关于x的函数图象大致为（）A B C D(2013年延庆一模)12．观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，…，则它的第2013个数是.第n个数是_________ ．(2013年延庆一模)22. 操作与探究：（本题满分5分）阅读下面材料：将正方形ABCD（如图1）作如下划分：图1第1次划分：分别联结正方形ABCD 对边的中点（如图2），得线段HF 和EG ，它们交于点M ，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH 按上述方法再作划分，得图3，则图3中共有_______个正方形；若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有_______个正方形；继续划分下去，能否将正方形ABCD 划分成有2013个正方形的图形？需说明理由.图3图2图1MGHEMFGHEABABABDCCDCD(2013年延庆一模)23. （本题满分7分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 是它的两条切线，CO 平分∠ACD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AC=2，BD=3，求AB 的长．(2013年延庆一模)24. （本题满分7分）如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.(2013年延庆一模25. （本题满分8分）如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．）问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论．问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明．(2013年房山一模)12．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y x =和y x =-分别交于1A ，2A ，3A ，4A ，…，则点31A 的坐标是．(2013年房山一模)20. 如图，BC 为半⊙O 的直径，点A ，E 是半圆周上的三等分点，AD BC ，垂足为D ，联结BE 交AD 于F ，过A 作AG ∥BE 交CB 的延长线于G ．（1）判断直线AG 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若直径BC =2，求线段AF 的长．(2013年房山一模)22.已知，矩形纸片ABCD 中，AB=8cm ，AD=6cm ，按下列步骤进行操作：如图①，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；如图②，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；如图③，将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180°，使线段GB 与GE 重合，将MN第12题图xy y =-xy =xA 4A 3A 2A 11234o 第20题图FGEA C右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180°，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) （1）通过操作，最后拼成的四边形为（2）拼成的这个四边形的周长的最小值为_______________________________cm,最大值为___________________________cm ．(2013年房山一模)23.已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.（3）设平行于y 轴的直线x=t 和x=t+2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G. ①求t 的取值范围②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由.(2013年房山一模)24（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE相交于点P ，求证： BE = AD .（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是（只填序号即可）①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CP A =60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .P PFDCAECB第24题图1第24题图2PDECADB(2013年房山一模)25. 已知：半径为1的⊙O1与x 轴交A 、B 两点，圆心O1的坐标为（2,0)，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A 、B 两点，与y 轴交于点C （1）求这个二次函数的解析式；（2）经过坐标原点O 的直线l 与⊙O1相切，求直线l 的解析式；（3）若M 为二次函数2y x bx c =-++的图象上一点，且横坐标为2，点P 是x 轴上的任意一点，分别联结BC 、BM ．试判断PC PM -与BC BM -的大小关系，并说明理由.(2013年顺义一模)8．如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 和PB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为A ．B ．C ．D ．(2013年顺义一模)12．如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，则菱形ABCD 的面积是，连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠=°；……，按此规律所作的第n 个菱形的面积为___________．(2013年顺义一模)20．如图，已知ABC △，以AC 为直径的O e 交AB 于点D ，点E为»AD 的中点，连结CE 交AB 于点F ，且BF BC =. （1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若O e 的半为2,3cos 5B =,求CE 的长.F OEDC BA(2013年顺义一模)22．如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）．小明的思路是：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．问题：如图2，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明．OyxFE DCB A(2013年顺义一模)23．已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.(2013年顺义一模)24．如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G （1）求证：EF EG =；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =，BC b =，求EFEG的值．(2013年顺义一模)25．如图，已知抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点A ，且经过(1,0)(5,8)B C 、两点，点D 是抛物线顶点，E 是对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于点D 对称．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：AFE CFE ∠=∠；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使AFP ∆与FDC ∆相似．若有，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若没有，请说明理由．（2013年通州一模）8．如图，在直角坐标系xoy 中，已知()01A ，，)B，以线段AB为边向上作菱形ABCD ，且点D 在y 轴上.若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为第8题图（1）第8题图（2）（2013年通州一模）12．定义一种对正整数n ；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使得k n2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次 ……，若1n =，则第2次“F 运算”的结果是；若13n =，则第2013次“F 运算”的结果是 .（2013年通州一模）21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；（2）连接EO ，交AD 于点F ，若5AC =3AB ，求EOFO的值．（2013年通州一模）22. 如图所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成B图形的顶点均落在格点上．第22题图（矩形）（等腰梯形）（直角三角形）（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；（2）若所拼成的直角三角形、等腰梯形、矩形的面积分别记为S 1、S 2、S 3，周长分别记为l 1、l 2、3l ，判断所拼成的三种图形的面积、周长的大小关系（用“=”、“＞”、“＜”、“≤”或“≥”连接）：面积关系是；周长关系是．（2013年通州一模）23. 已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-．（1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.（2013年通州一模）24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应∠ADB 的大小.第22题图（2013年通州一模）25．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，AB 为半圆直径，半圆圆心为点M ,半圆与y 轴的正半轴交于点C .（1）求经过点C 的“蛋圆”的切线的表达式；（2）求经过点D 的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E 是“蛋圆”上一点（不与点A 、点B 重合），点E 关于x 轴的对称点是F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 的坐标.（2013年密云一模）（2013年密云一模）y CMA OB x DA DB C（2013年密云一模）（2013年密云一模）（2013年密云一模）（2013年密云一模）（2013年密云一模）(2013海淀一模)8.如图，△ABC 是等边三角形，6AB =厘米，点P 从点B 出发,沿BC 以每秒1厘米的速度运动到点C 停止；同时点M 从点B 出发,沿折线BA -AC 以每秒3厘米的速度运动到点C 停止.如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P 的运动时间为t 秒，P 、M 两点之间的距离为y 厘米，则表示y 与t 的函数关系的图象大致是(2013海淀一模)12. 如图1所示，圆上均匀分布着11个点12311,,,,A A A A L .从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k +1阶正十一角星”，其中18k ≤≤（k 为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么1211A A A ∠+∠++∠=L °；当1211A A A ∠+∠++∠=L 900°时，k = .图1 图2(2013海淀一模)19.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ,BD 相交于点E ,DAB ∠=CDB ∠=90︒,ABD ∠=45︒,∠DCA =30︒,6AB =.求AE 的长和△ADE的面积．(2013海淀一模)20.已知：如图，在△ABC 中，AB AC =．以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)延长DE 交BA 的延长线于点F .若6AB =，sin B =5,5求线段AF 的长.(2013海淀一模)22.问题：如图1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD ，使它的顶点A 、B 、C 、D 分别在直线a 、b 、d 、c 上，并计算它的边长.图1 图2小明的思考过程：他利用图1中的等距平行线构造了33⨯的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH ，如图2所示, 再分别找到它的四条边的三等分点A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60︒，边长为1）中，画出一个等边△ABC ，使它的顶点A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线a 、b 、c 上；（3）如图4，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行线，1l 、2l 之间的距离是215，2l 、3l之间的距离是2110，等边△ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，直接写出△ABC 的边长.图3 图4(2013海淀一模)23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标；（2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是．(2013海淀一模)24．在△ABC 中，∠ACB ＝90︒．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ．（1）若45ABC ∠=︒，CD =1（如图），则AE 的长为；（2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明；（3）若直线CE 、AB 交于点F ， 56CF EF =，CD =4，求BD 的长．(2013海淀一模)25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C . (1) 求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；(2) 直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧.若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积；②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q，使得'2QB QB的值最小，则这个最小值为 .（2013年东城一模）8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2．E 、F 分别是射线AC 、CB 上的动点，且AE ＝BF ，EF 与AB 交于点G ，EH ⊥AB 于点H ，设AE ＝x ，GH ＝y ，下面能够反映y 与x 之间函数关系的图象是(（2013年东城一模）12．如图，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ―1在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ―1B n ―1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ―1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ―1A n B n ―1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．（2013年东城一模）20．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝CD ＝2，∠C ＝60°，M 是BC 的中点．（1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD ′)与AB 交于一点E ，MC (即MC ′)同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．DCBAACEO 1 23 4 5ACEC'CBM（2013年东城一模）21．如图，已知ABC △，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE 交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且AD BE ⊥，垂足为点H ．（1）求证：AB 是半圆O 的切线；（2）若3AB =，4BC =，求BE 的长．（2013年东城一模）22．已知：如图1，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 四条边上的点(且不与各边顶点重合)，设m ＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ，探索m 的取值范围．（1）如图2，当E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 四边中点时，m ＝________．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD 为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m 的取值范围．①请在图1中补全小贝同学翻折后的图形；②m 的取值范围是__________．H GF ECDBA 图1图2H GF E CD BA 图3ABDCE FGH（2013年东城一模）23．已知一元二次方程x 2＋ax ＋a －2＝0．（1）求证：不论a 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设a ＜0，当二次函数y ＝x 2＋ax ＋a －2的图象与x 时，求出此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB P 点坐标，若不存在请说明理由．（2013年东城一模）24．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠B ＝∠DAC ＝45°．（1）如图1，当∠C ＝45°时，请写出图中一对相等的线段；_________________A A A（2）如图2，若BD ＝2，BAAD 的长及△ACD 的面积．图1CD BA图2AB D C（2013年东城一模）25．巳知二次函数y ＝a (x 2－6x ＋8)(a ＞0)的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边HG 位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．“若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标l 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．（2013年石景山区一模）8．已知：如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别为AB 、AD 的中点， G 为线段CE 上的一个动点，设x CECG=，y S GDF =∆，则y 与x 的函数关系图象大致是GD EFAB C第8题图（2013年石景山区一模）12．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_______；第n 行（n ≥3）从左到右的第3个数为．（用含n的代数式表示）（2013年石景山区一模）19. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD DC ⊥，△DBC 是等边三角形，︒=∠45ABD ，2=AD .求四边形ABCD 的周长. DCBA（2013年石景山区一模）20．如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =1，ED =2.(1)求证：∠ABC =∠ADB ； (2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接F A ，试判断直线F A 与⊙O 的位置关系，并说明理由．CBE AOD（2013年石景山区一模）22．问题解决：已知：如图，D 为AB 上一动点，分别过点A 、B 作AB CA ⊥于点A ，AB EB ⊥于点B ，联结CD 、DE .（1）请问：点D 满足什么条件时，DE CD +的值最小？（2）若8=AB ，4=AC ，2=BE ，设x AD =.用含x 的代数式表示DE CD +的长（直接写出结果）.A B C D拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式()22144x x++-+的最小值A BCDE（2013年石景山区一模）23. 如图，直线33y x=-+交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线1C交x轴于另一点M（-3,0）.(1)求抛物线1C的解析式；(2)直接写出抛物线1C关于y轴的对称图形2C的解析式；(3)如果点'A是点A关于原点的对称点，点D是图形2C的顶点，那么在x轴上是否存在点P，使得△PAD与△'A BO是相似三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.（2013年石景山区一模）24．如图，△ABC中，∠90ACB=︒,2=AC，以AC为边向右侧作等边三角形ACD．（1）如图24-1,将线段AB绕点A逆时针旋转︒60，得到线段1AB，联结1DB，则与1DB长度相等的线段为（直接写出结论）；（2）如图24-2，若P是线段BC上任意一点（不与点C重合），点P绕点A逆时针旋转︒60得到点Q,求ADQ∠的度数；（3）画图并探究：若P是直线BC上任意一点（不与点C重合），点P绕点A逆时针旋转︒60得到点Q,是否存在点P，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P的位置，并求出PC的长；若不存在，请说明理由．（2013年石景山区一模）25．如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △ECD 分别置于平面直角坐标系xOy 中，使点E 与点B 重合，直角边OB 、BC 在y 轴上．已知点D (4，2)，过A 、D 两点的直线交y 轴于点F ．若△ECD 沿DA 方向以每秒2个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t （秒），记△ECD 在平移过程中某时刻为△'''E C D ， ''E D 与AB 交于点M ，与y 轴交于点N ， ''C D与AB 交于点Q ，与y 轴交于点P (注：平移过程中，点'D 始终在线段DA 上，且不与点A 重合). （1）求直线AD 的函数解析式；（2）试探究在△ECD 平移过程中，四边形MNPQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t 的取值；若不存在，请说明理由；（3）以MN 为边，在''E D 的下方作正方形MNRH ，求正方形MNRH 与坐标轴有两个公共点时t 的取值范围．备用图 ABD备用图ABD图24-1 图24-2 B 1ABCD（2013年朝阳一模）8．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠BOC=120°，AB=3，一动点P 以1cm/s 的速度延折线OB —BA 运动，那么点P 的运动时间x （s ）与点C 、O 、P 围成的三角形的面积y 之间的函数图象为A B C D（2013年朝阳一模）20．（本小题5分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 是弦，OE ⊥BC ，垂足为F ，且与⊙O 相交于点E ，连接CE 、AE ，延长OE 到点D ，使∠ODB=∠AEC. (1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若cosD=54，BC=8,求AB 的长. (1)证明：（2013年朝阳一模）21.（本小题6分）如图，抛物线c x y +-=243与x 轴分别交于点A 、B ，直线2343+-=x y 过点B ，与y 轴交于点E ，并与抛物线c x y +-=243相交于点C ．（1）求抛物线c x y +-=243的解析式；OP6（2）直接写出点C的坐标；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动（不与点A、B 重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动．设点M△的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间的运动时间为t秒，请写出MNB△的面积最大，最大面积是多少？时，MNB（2013年朝阳一模）22.（本小题7分）在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，求AB的长.（2013年丰台一模）（2013年丰台一模）（2013年丰台一模）（2013年丰台一模）（2013年丰台一模）（2013年丰台一模）（2013年丰台一模）（2013年丰台一模）（2013年西城一模）8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC-CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF-FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是A B C D（2013年西城一模）12．在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；……依此规律进行，点A6的坐标为；若点A n的坐标为（2013，2012），则n= ．（2013年西城一模）19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3．(1) 求AC的长；(2) 求△AOD的面积．（2013年西城一模）20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．(1) 求证：EF与⊙O相切；(2) 若AE=6，sin∠CFD=35，求EB的长．（2013年西城一模）22．先阅读材料，再解答问题：同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均为⊙O上的点，则有∠C=∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB则有∠D>∠E．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(3,0)．①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB =∠ADB，则点D的坐标为；(2) 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m)，点B的坐标为(0,n)，其中m>n>0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．（2013年西城一模）23．已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=．(1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a ，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物线2C 的解析式； (3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式33222m mn n -+的值．（2013年西城一模）24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的内部．(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而P A =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积；(3) 若P A =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．（2013年西城一模）25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B (0,-1)，抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C (4,n )．(1) 求n 的值和抛物线的解析式； (2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0< t <4）．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；(3) M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．．．．图1。