北京市石景山区2017届高三上学期期末数学试卷(理科)
北京市石景山区2017届高三上学期期末考试数学(理科)试题
石景山区2016—2017学年第一学期高三年级期末试卷数 学（理）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|01}B x x =≤≤,那么A B 等于（ ） A ．{0} B ．{1}C ．{0,1}D ．[0,1] 2．若34iz i+=，则||z =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A ．5B ．3C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)+∞A ．x y e -=B ．ln()y x =-C ．3y x =D ．1y x=5．由直线10x y -+=，50x y +-=和1x =所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（ ）A ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩B ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩C ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩D ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．67．将函数2(3)y x =-图象上的点2(,(3))P t t -向左平移m (m >0)个单位长度得到 点Q ．若Q 位于函数2y x =的图象上，则以下说法正确的是（ ） A ．当2t =时，m 的最小值为3 B ．当3t =时，m 一定为3 C ．当4t =时，m 的最大值为3D ．t ∀∈R ，m 一定为38．六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是 （结果用数值表示）．10．已知ABC △中，AB =1BC ，sin C C ，则ABC △的面积为．11．若双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是 ．12．等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．侧视图正视图 俯视图13．有以下4个条件：①a b = ；②||||a b = ；③a 与b 的方向相反；④a 与b都是单位向量．其中a //b的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）． 14．已知函数11,1,()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，①方程()f x x =-有________个根；②若方程()f x ax =恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数π()2sin()sin 22f x x x x =-⋅． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126-上的最大值． 16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市．．大学生．．．中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==． 沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC '； （Ⅱ）求二面角A P D C '--的余弦值；（Ⅲ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1图218．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）已知函数2()11x f x x =++，2()(0)a xg x x e a =<． BCAPDB ACP′ABCD（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n 的一个子集族D 满足如下条件：若,A D B A ∈⊆，则B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的． （Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AA D∈-∑的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0φ=；A D∈∑表示对子集族D 中所有成员A求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对A D ∀∈,记max k A =，()max (1)AA Df k ∈=-∑（其中max 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．石景山区2016—2017学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()2cos sin 2f x x x x =⋅ ……1分sin 22x x =+ ……2分π2sin(2)3x =+， ……4分因此)(x f 的最小正周期为π． …………6分 （Ⅱ）当ππ[,]126x ∈-时，ππ2π2633x ≤+≤， ………8分 当ππ232x +=，πsin(2)3x +有最大值1． ………10分即π12x =时，()f x 的最大值为2． ……………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）030305100a ++++=解得35a =，5110020b ==，35710020c ==．…………………3分 （Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则114060210016()33C C P A C ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． ……………7分 （Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0，1，2，3． ……………8分则()0033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=， ()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．其分布列如下：所以，01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为90PAD '∠=︒，所以P A '⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP '． 又AD AB A ⋂=，所以P A '⊥面ABCD ． 因为CD ⊂面ABCD ，所以P A '⊥CD ．……3分因为等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==． 所以AC =CD 2AD =．所以222AC CD AD +=．所以AC ⊥CD ．因为P A '⋂AC =A , 所以CD ⊥平面P AC '． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，P A '⊥面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系，A ()0,0,0，B ()1,0,0，C (1D ()0,2,0，P '()0,0,1．所以(1,0,0)AB = ，(1,1,P C '=由（Ⅰ）知，平面P AD '的法向量为(1,0,0)AB =，设(,,)n x y z = 为平面P CD '的一个法向量，则00n CD n P C ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即00x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩， 再令1y =，得(1,1,2)n = ．cos ,AB n =AB n AB n⋅⋅所以二面角A P D C '--的余弦值为6…………9分 （Ⅲ）若线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．依题意可设AM AP λ'= ,其中01λ≤≤．所以(0,0,)M λ，(1,0,)BM λ=-．由（Ⅱ）知，平面P CD '的一个法向量(1,1,2)n =． 因为BM ∥平面P CD '，所以BM n ⊥，所以120BM n λ⋅=-+= ，解得12λ=．所以，线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '…………………14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1． …………5分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =． 所以应满足max ()1g x ≤．………………………………………………7分 因为2()e axg x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=．………8分 因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a=-． （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时， 在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增， 所以函数2max ()(2)4e a g x g ==． 由24e1a≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分（ⅱ）当202a <-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a-上单调递减，所以max 2224()()e g x g a a =-=． 由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-． ……………13分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-． ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D φ= ……2分 此时0112(1)(1)(1)(1)(1)0A A D ∈-=-+-+-+-=∑ …………4分（Ⅱ）设{1,2,3}n 的所有不超过k 个元素的子集族为k D（ⅰ）易知当2D D =时，(1)AA D∈-∑达到最大值， 所以201122(1)32(2)(1)(1)(1)122n nn n n n f C C n --+=-+-+-=-+= …6分 （ⅱ）设D 是使得max k A =的任一个“向下封闭”的子集族，记'''D D D = ，其中'D 为不超过2k -元的子集族，''D 为1k -元或k 元的子集 则(1)A A D ∈-∑= '''''(1)(1)(2)(1)A A A A D A D A D f k ∈∈∈-+-≤-+-∑∑∑ ………8 分 现设''D 有l （k n l C ≤）个{1,2,3}n 的k 元子集，由于一个1k -元子集至多出现在1n k -+个{1,2,3}n 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k k C -个1k -元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC n k --+个不同的1k -元子集． ''11(1)(1)(1)111k Ak k k k n n n A D lC k k l l C C C n k n k n k --∈-≤-=-≤-=--+-+-+∑ 1(1)(2)()Ak k n n A D f k C C f k -∈-≤--+=∑ 由（ⅰ）得 011221()(1)(1)(1)(1)(1)k k k i i n n nn i f k C C C C ==-+-+-++-=-∑ …13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
石景山区2017--2018学年第一学期高三期末考试试卷
石景山区2017--2018学年第一学期高三期末考试试卷物理则在1s内发射的重离子个数为（e=1.6×10-19 C）A．3.0×1012 B．1.5×1013C．7.5×1013D．3.75×10145．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个初速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。
初速度较大的球越过球网，初速度较小的球没有越过球网。
其原因是A．初速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大B．初速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少C．初速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大D．初速度较小的球下降相同距离所用的时间较多9．如图所示，直线a 、b 和c 、d 是处于匀强电场中的两组平行线，M 、N 、P 和Q 是它们的交点，四点处的电势分别为M ϕ、N ϕ、P ϕ和Q ϕ。
一带正电的粒子由M 点分别运BA C Da第Ⅱ卷（共64分）二、本题共2小题，共18分。
13．（6分）现用频闪照相方法来研究物块的变速运动。
在一小物块沿斜面向下运动的过程中，用频闪相机拍摄的不同时刻物块的位置如图所示。
拍摄时频闪频率是10 Hz ；通过斜面上固定的刻度尺读取A 、B 、C 、D 和 E 5个连续影像间的距离依次为R R mAab A BCDE（3）若电阻1R 和2R 中有一个被短路，利用图（3）的电路可以判断出被短路的电阻，图（3）中R 为保护电阻。
则图中的d 点应和接线柱 （填“b ”或“c ”）相连。
判断依据是： 。
三、本题共5小题，共46分。
解答应写出必要的文字说明、方程和重要步骤。
只写出最后答案的不能得分。
有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
15．（8分）如图所示，某台式弹簧秤的秤盘水平，一物块放在秤盘中处于静止状态。
试证明物块对秤盘的压力大小等于物块所受的重力大小。
16．（9分）有一辆质量为800 kg 的小汽车驶上圆弧半径为50 m 的拱桥。
石景山区2016-2017学年第一学期高三期末数学试题
石景山区2016-2017学年度第一学期初三期末试卷数 学学校姓名 准考证号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．在Rt △ACB 中，90C ∠=︒，1AC =，2BC =，则sin B 的值为A ．5B ．5C ．3D ．122．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，=65ABC ∠°，则D ∠的度数为A ．130︒B ．65︒C ．35︒D ．25︒3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A 错误！未指定书签。
，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC 错误！未指定书签。
，CD ⊥BC 错误！未指定书签。
，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得30BE =m 错误！未指定书签。
，15EC =m 错误！未指定书签。
错误！未指定书签。
错误！未指定书签。
，30CD =m 错误！未指定书签。
，错误！未指定书签。
则河的宽度AB 长为A ．90mB ．60mC ．45mD ．30m4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数4y xx=(＜)图象上任意一点，过点P作PA⊥x错误！未指定书签。
轴于点A错误！未指定书签。
，则△PAO的面积是A．8B．4C．2D．2-5要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为(1,0)，点(,0)B m在⊙A内，则m的取值范围是A．4m<C．24m-<<B．2m>-D．2m<-或4m>7．如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AC的长为A．6πC．2πB．3πD．π8．若将抛物线25y x=先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为A．2521y x=-+（）B．25+21y x=+（）C．2521y x=--（）D．25+21y x=-（）9．若抛物线22y x x m=-+与x轴有交点，则m的取值范围是A．1m>B．1m≥C．1m<D．1m≤10．如右图，在Rt△ACB中，90C∠=︒，60A∠=︒，8AB=.点P是AB边上的一个动点，过点P作PD⊥AB交直角边于点D，设AP为x，△APD的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请写出一个反比例函数的表达式，满足条件：在各自象限内，y 的值随x 值的增大而增大.此反比例函数的表达式可以是（写出一个即可）： ． 12．某农场引进一批新稻种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800粒稻种进行实验.实验的结果如下表所示：在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的稻种发芽的概率为 （精确到0.01）；如果该农场播种了此稻种2万粒，那么能发芽的大约有 万粒. 13．如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点B ，点C 是优弧AB 上一点，若=35ACB ∠︒，则P ∠的度数是 ︒.14于点G ，交AB 于点F ，则BF 的长为 .15．如图，抛物线1C ：212y x =经过平移得到抛物线2C ：2122y x x =+，抛物线2C 的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是 . 16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…，n A在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 在二次函数2y x =位于第一象限的图象上，若△11OB A ，△122A B A ，△233A B A ，…，△1n n n A B A -都是等腰直角三角形，其中123B B B ∠=∠=∠=…90n B =∠=︒，则：点1B 的坐标为 ； 线段12A A 的长为 ； △1nn n A BA -的面积为 .三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：0tan 454cos30︒+-︒2016）．18．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且AED B ∠=∠，若3AE =，1EC =，2AD =求AB 的长．19．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，8CD =，2BE =.求⊙O 的半径．20．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：（1）求这个二次函数的表达式； （2）在右图中画出此二次函数的图象的示意图；（3）结合图象，直接写出当0y >时，自变量x 的取值范围．21．如图，在△ABC 中，30A ∠=︒，4cos 5B =，AC =求AB 的长.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线 (0)ky k x=≠的一个交点为点(1,C m （1）求双曲线的表达式；（2）过点B 作直线BD ∥x 轴，交双曲线于点D ，在x 轴上存在点P ，使得以点A ，B ，D ，P 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D 和点P 的 坐标．23．数学综合与实践活动中，某小组测量公园里广场附近古塔的高度．如图，他们先在点D 用高1.5米的测角仪DA 测得塔顶M 的仰角为30︒，然后沿DF 方向前行40m到达点E 处，在E 处测得塔顶M 的仰角为60︒．请根据他们的测量数据求古塔MF 的高（结果精确到0.1m ）．1.414≈ 1.732≈）24．某超市按每件30元的价格购进某种商品.在销售的过程中发现，该种商品每天的销售量w （件）与销售单价x （元）之间满足关系3150w x =-+（30≤x ≤50）.如果销售这种商品每天的利润为y （元），那么销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？25．如图，以△ABC 的AB 边为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线 DE ，交AC 于点E ，且DE ⊥AC ，连接EO . （1）求证：AB AC =；（2）若5AB =，1AE =，求tan AEO ∠的值．26．有这样一个问题：探究函数2y x x=-的图象和性质. 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x 的取值范围是 ； （2求m 的值；（3）如右图，在平面直角坐标系xOy 上表中各对对应值为坐标的点.画出此函数的图象；（4 性质（一条即可）： .27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：2(3)y x m x =+-经过点(1,0)A -. （1）求抛物线C 的表达式；（2）将抛物线C 沿直线1=y 翻折，得到的新抛物线记为1C ，求抛物线1C 的顶点坐标；（3）将抛物线C 沿直线y n =翻折，得到的图象记为2C ，设C 与2C 围成的封闭图形为M ，在图形M 上内接一个面积．．为4的正方形（四个顶点均在M 上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行.求n 的值.28．已知△ABC 是等边三角形，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，点M 是射线EC 上的一个动点，作等边△DMN ，使△DMN 与△ABC 在BC 边同 侧，连接NF .（1）如图1，当点M 与点C 重合时，直接写出线段FN 与线段EM 的数量关系； （2）当点M 在线段EC 上（点M 与点E ，C 不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）连接DF ，直线DM 与直线AC 相交于点G ，若△DNF 的面积是△GMC 面积的9倍，8AB =，请直接写出线段CM 的长.29．已知⊙C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重 合的点，点P 关于⊙C 的反演点的定义如下： 若点P '在射线CP 上，满足2CP CP r '⋅=， 则称点P '是点P 关于⊙C 的反演点.图1为 点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图.（1）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为6，⊙O 与x 轴的正半轴交于点A .① 如图2，135AOB ∠=︒，18OB =，若点A '，B '分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，则点A '的坐标是 ， 点B '的坐标是 ； ② 如图3，点P 关于⊙O 的反演点为点P '，点P '在正比例函数y =位于 第一象限内的图象上，△P OA '的面积为P 的坐标；（2）点P 是二次函数22 3 14y x x x =---(≤≤)的图象上的动点，以O 为圆心，12OP 为半径作圆，若点P 关于⊙O 的反演点P '的坐标是(,)m n ，请直接 写出n 的取值范围.图1图1 图2 备用图备用图。
北京市石景山区高三数学上学期期末考试(理) 新人教版
石景山区2009—2010学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．已知全集U R =，{22}M x x =-≤≤，{1}N x x =<，那么MN =（ ）A ．{1}x x <B ．{21}x x -<<C ．{2}x x <-D ．{21}x x -≤<2．复数11ii=－＋（ ） A ． B ．C ．iD ． i -3．幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)，那么函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ． (2,)-+∞B ． [1,)-+∞C ． [0,)+∞D ． (,2)-∞-4．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ） A ． π3 B ． π2 C ． π23 D ． π45．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）4题图主视图俯视图左视图A ． 65B ． 64C ． 63D ． 626．六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（ ） A ．130B ．110C ．140D ．1207．在ABC ∆中，AB 3=，BC 1=， cos cos AC B BC A =，则AC AB ⋅=（ ）A ．32或2 B ．32C ． 2D ．2 8．如果对于函数()y f x =的定义域内的任意x ，都有()N f x M ≤≤（,M N 为常数）成立，那么称)(x f 为可界定函数，M 为上界值，N 为下界值．设上界值中的最小值为m ，下界值中的最大值为n ．给出函数2()2f x x x =+，1(,2)2x ∈，那么n m +的值（ ） A ．大于9B ．等于9C ．小于9D ．不存在二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知向量=(1,3)a ,=(3,)b n ，如果a 与b 共线，那么实数n 的值是______．10．阅读右面程序框图，如果输入的5n =，那么输出的S 的值为______．11．函数sin (0)y x x π=≤≤的图象与x 轴围成图形的面积为 ．甲 乙 3 1 8 6 3 2 4 59 7 3 2 6 7145 75题图12．二元一次不等式组2,0,20,x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为 ， x y +的最大值为 ．13．已知函数()31x f x x =+， 对于数列{}n a 有1()n n a f a -=（n N *∈，且2n ≥）， 如果11a =，那么2a = ，n a = ．14．给出下列四个命题：①命题“x x R x 31,2>+∈∃”的否定是“2,13x R x x ∀∈+>”；②在空间中，m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，那么m β⊥；③将函数x y 2cos =的图象向右平移3π个单位，得到函数sin(2)6y x π=-的图象； ④函数()f x 的定义域为R ，且21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩,若方程()f x x a =+有两个不同实根，则a 的取值范围为(,1)-∞. 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数22()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值，并写出x 相应的取值.16．（本小题满分13分）已知数列}{n a ，其前n 项和为237()22n S n n n N *=+∈.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n a 是等差数列；（Ⅱ）如果数列}{n b 满足n n b a 2log =，请证明数列}{n b 是等比数列，并求其前n 项和； （Ⅲ）设9(27)(21)n n n c a a =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T > 对一切n N *∈都成立的最大正整数k 的值.17．（本小题满分14分）-的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且如图，四棱锥P ABCD==，,,2PA ADPA PD AB的中点．E F H分别是线段,,（Ⅰ）求证：PB//平面EFH；（Ⅱ）求证：PD⊥平面AHF；--的大小．（Ⅲ）求二面角H EF A18．（本小题满分13分）某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销.（Ⅰ）试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；（Ⅱ）该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每．次．中奖都获得m 元奖金.假设顾客每次．．抽奖时获奖与否的概率都是21，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ，请写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？19．（本小题满分13分）将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比（强度系数为k ，0k >）．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应是多少？ 20．（本小题满分14分）已知函数21()22f x ax x =+，()g x lnx =. （Ⅰ）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，求a 的取值范围；dx横梁断面图（Ⅱ）是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．石景山区2009—2010学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 22()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+cos 2sin 2x x =+ ………………………………4分)4x π=+ ………………………………6分所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. …………………………8分 （Ⅱ）44x ππ-≤≤， ∴32444x πππ-≤+≤， ………………………………9分∴1)4x π-≤+≤ ………………………………11分∴当242x ππ+=，即8x π=时，()f x …………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1n =时，115a S ==， ……………………………1分当2n ≥时，22137[(1)][(1)]22n n n a S S n n n n -=-=--+-- 37(21)3222n n =-+=+． ……………………………2分 又15a =满足32n a n =+， ……………………………3分 32()n a n n N *∴=+∈． ………………………………4分 ∵132[3(1)2]3n n a a n n --=+--+= (2,)n n N *≥∈，∴数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列． ………………5分（Ⅱ）由已知得2n an b = ()n N *∈， ………………………………6分∵+1+13+12==2=2=82n n n n a a -a n a n b b ()n N *∈， ……………………7分 又11232ab ==，∴数列}{n b 是以32为首项，8为公比的等比数列. ………………8分∴数列}{n b 前n 项和为32(18)32(81)187n n-=--. ……………9分 （Ⅲ）91111()(27)(21)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ===----+-+ ……10分∴1111111[()()()]213352121n T n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ 11(1)22121nn n =-=++． ……………………11分∵110(23)(21)n n T T n n +-=>++ ()n N *∈，∴n T 单调递增． ∴min 11()3n T T ==． …………………12分 ∴1357k >，解得19k <，因为k 是正整数， ∴max 18k =． ………………13分17．（本小题满分14分） 解法一：（Ⅰ）证明：∵E ，H 分别是线段PA ，AB 的中点，∴EH //PB ． ………………………2分又∵⊂EH 平面EFH ，⊄PB 平面EFH ，∴PB //平面EFH ． ……………………………4分（Ⅱ）解：F 为PD 的中点，且PA AD =，PD AF ∴⊥，又PA ⊥底面ABCD ，BA ⊂底面ABCD ， AB PA ∴⊥． 又四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴⊥．又PA AD A = ，AB ∴⊥平面PAD ． ……………………………………7分 又PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥ ． ……………………………………8分 又AB AF A = ，PD ∴⊥平面AHF ． ……………………………………9分（Ⅲ）PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，平面PAB平面ABCD AB =，AD AB ⊥，AD ∴⊥平面PAB ，E ，F 分别是线段PA ，PD 的中点， EF ∴//AD ， EF ∴⊥平面PAB ．EH ⊂平面PAB ，EA ⊂平面PAB ，EF ∴⊥EH ，EF ∴⊥EA ， ……………………10分 HEA ∴∠就是二面角H EF A --的平面角． ……………………12分在Rt HAE ∆中，111,1,22AE PA AH AB ==== 45AEH ∴∠=，所以二面角H EF A --的大小为45. ………14分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A B C D ∴, )2,0,0(P ，)1,0,0(E ，)1,1,0(F ，(1,0,0)H .………………2分 （Ⅰ）证明：∵(2,0,2)PB =-，(1,0,1)EH =-，∴2PB EH =,∵⊄PB 平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ， ……………………4分 ∴PB //平面EFH . ……………………5分 （Ⅱ）解：(0,2,2)PD =-，(1,0,0)AH =， (0,1,1)AF =， ……………………6分0021(2)10,0120(2)00.PD AF PD AH ⋅=⨯+⨯+-⨯=⋅=⨯+⨯+-⨯= ……………………8分,PD AF PD AH ∴⊥⊥， 又AF AH A =，PD ∴⊥平面AHF . ………………………9分（Ⅲ）设平面HEF 的法向量为),,(z y x n =,因为(0,1,0)EF =，(1,0,1)EH =-，则0,0,n EF y n EH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩取).1,0,1(= ………………………………12分 又因为平面AEF 的法向量为),0,0,1(=所以cos ,,2||||2m n m n m n ⋅<>====…………………13分 ,45,m n ∴<>=所以二面角H EF A --的大小为45． …………………14分18．（本小题满分13分）解: (Ⅰ) 从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有37C 种选法. ……………………………2分 选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有34C 种， ………………………4分 所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为353113734=-=C C P .………………………5分（Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，m ，2m ，3m . ……………………6分0X =时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,所以(),81212103003=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ……………………7分同理可得(),8321212113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P ……………………8分 (),83212121223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P…………………9分 ().81212130333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P…………………10分m m m m EX 5.181383283810=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………11分（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5150m <，所以100m <. ………………… 12分 故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利. …… 13分19．（本小题满分13分）解： 设断面高为h ，则222h d x =-．横梁的强度函数2()f x k xh =⋅，所以22()()f x kx d x =⋅- ，0x d <<． ……………………………5分 当()0,x d ∈时，令22()(3)0f x k d x '=-=． ……………………………7分解得3x d =±（舍负）． ……………………………8分当0 x <<时，()0f x '>； ……………………………9分x d <<时，()0f x '<． ……………………………10分因此，函数()f x 在定义域(0,)d 内只有一个极大值点3x d =．所以()f x 在x =处取最大值，就是横梁强度的最大值． ……………12分时，横梁的强度最大． ……………………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a =时，()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意．………1分当0a >时，()y f x =的对称轴方程为2x a=-， 由于()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数， 所以21a-≤，解得2a ≤-或0a >， 所以0a >． ……………………3分当0a <时，不符合题意．综上，a 的取值范围是0a ≥． ……………………4分（Ⅱ）把方程()()(21)g x f x a x '=-+整理为2(21)lnxax a x=+-+， 即为方程2(12)0ax a x lnx +--=. ……………………5分设2()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >，原方程在区间(1,e e )内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数()H x 在区间(1,e e)内有且只有两个零点. ……………………6分1()2(12)H x ax a x'=+--22(12)1(21)(1)ax a x ax x x x+--+-== …………………7分令()0H x '=，因为0a >，解得1x =或12x a=-（舍） …………………8分 当(0,1)x ∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数；当(1,)x ∈+∞时, ()0H x '>，()H x 是增函数. …………………10分()H x 在(1,e e)内有且只有两个不相等的零点, 只需min 1()0,()0,()0,H e H x H e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩…………………13分 即2222212(12)10,(1)(12)10,(12)1(2)(1)0,a a a e a e e e e H a a a ae a e e e a e ⎧--++++=>⎪⎪⎪=+-=-<⎨⎪+--=-+->⎪⎪⎩∴22,211,1,2e ea e a e a e e ⎧+<⎪-⎪⎪>⎨⎪-⎪>-⎪⎩解得2121e e a e +<<-, 所以a 的取值范围是(21,21e ee +-) ． …………………14分注：若有其它解法，请酌情给分．。
北京市石景山区2016-2017学年度高三第一学期期末考试数学(理科)试题及答案(word版)
石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共 6 页，150 分．考试时长 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试 结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则M N = （ ）． A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D {1,2}2．若变量,x y 满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）．A ． 0B ．2C ．3D ．4 3．右面的程序框图表示算法的运行结果是（ ）．A ．-2B ．2C ．-1D ．14．已知数列{}n a 是等差数列，348,4a a ==，则前n 项和n S 中最大的是（ ）． A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ． 6S5．“ 4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若曲线22(0)y px p =>上只有一个点到其焦点的距离为1，则p 的值为（）．A ． 4B ． 3C ． 2D ．17．如图，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影不可能．．．是（ ）． A． B ．C ．D ．EF OD'B'C'A'DC BA8．如图，在等腰梯形ABCD 中，12A B C D =，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起，使得面BEFC 面ADFE ，若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面A D F E 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）．若12θθ=，则动点P的轨迹为（ ）． A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为________． 10．51x ⎫⎪⎭的二项展开式中x 项的系数为_________．（用数字作答）11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．15,10,60a b A ===︒，则cos B =________． 12．在极坐标系中，设曲线2ρ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则||AB =________．13．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________种．（用数字作答）14．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注： 当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为_______元，能够成交的股数为________．FD三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共 13 分）已知函数2()cos 2sin ,f x x x x x =-∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．16．（本小题共 13 分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：成绩88776680625267895根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良． （Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形， //AB CD ，90ADC ∠=︒，1AB AD PD ===，2CD =． （Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45︒？若存在，求PQPC的值；若不存在，请述明理由． 18．（本小题共13分） 已知函数()1e xaf x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值． 19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点,P Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）C给定一个数列{}n a ，在这个数列里，任取(3,)m m m *≥∈N 项，并且不改变它们在数列{}n a 中的先后次 序，得到的数列称为数列{}n a 的一个m 阶子数列． 已知数列{}n a 的通项公式为1n a n a=+（,n a *∈N 为常数），等差数列236,,a a a 是数列{}n a 的一个3阶子数列． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）等差数列12,,,m b b b ⋅⋅⋅是{}n a 的一个(3,)m m m *≥∈N 阶子数列，且11b k=（k 为常数，,2k k *∈≥N ） ，求证：1m k ≤+；（Ⅲ）等比数列12,,,m c c c ⋅⋅⋅是{}n a 的一个(3,)m m m *≥∈N 阶子数列，求证：121122m m c c c -++⋅⋅⋅+≤-．石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试 高三数学（理科）参考答案 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．三、解答题共 6 小题，共 80 分． 15．（本小题共 13 分）解：()cos21f x x x =+-122cos 212x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭π2sin 216x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. 令πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ， 解得ππππ36k x k -+≤≤+所以函数()f x 的单调区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z （Ⅱ）因为π04x ≤≤，所以ππ2π2663x ≤+≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭. 于是π12sin(2)26x ≤+≤，所以0()1f x ≤≤. 当且仅当0x =时，()f x 取最小值min ()(0)0f x f ==. 当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值max π()()16f x f ==.16．（本小题共 13 分） 解：（Ⅰ）这组数据的众数为86，中位数为86；（Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良” 的频率为34， 故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为34，设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A ，则3033163()1C 1146464P A ⎛⎫=-⨯-=-= ⎪⎝⎭;（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为 0 ，1， 2 ， 3 ．33312C 1(0)C 220P ξ===,1293312C C 27(1)C 220P ξ===, 2193312C C 27(2)C 55P ξ===,39312C 21(3)C 55P ξ===,所以ξ的分布列为所以12727219012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.17．（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且112EF CD ==，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =， 所以//EF AB ,EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形， 所以//BE AF ， 因为BE ⊄PAD ，AF ⊂平面PAD ， BE ∥平面PAD ．（Ⅱ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD AD ⊥．如图，D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -． 则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C P(1,1,0)DB = ,(1,1,0)BC =-所以0BC DB ⋅=，BC DB ⊥，所以BC ⊥平面PBD .（Ⅲ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =- ，(0,2,1)PC =-设,(0,1)PQ PC λλ=∈所以(0,2,1)Q λλ-，设平面QBD 的法向量为(,,)a b c =n ，(1,1,0)DB = ，(0,2,1)DQ λλ=-由0,0DB DQ ⋅=⋅=n n ，得 02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩， 令1b =所以21,1,1λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭n ， 所以cos45BCBC⋅︒=⋅ nn ==注意到(0,1)λ∈，得1λ=.所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45°，此时1PQPC=. 18．（本小题共 13 分） 解：（Ⅰ）由()1e x a f x x =-+，得()1e xaf x '=-.又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，得(1)0f '=，即10e a-=，解得e a = （Ⅱ）()1ex af x '=-①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(,)-∞+∞上的增函数， 所以函数()f x 无极值.②当0a >时， ()0f x '=，得e xa =，ln x a =.(,ln )x a ∈-∞,()0f x '<；(ln ,)x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增,所以()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为(ln )ln f a a =，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值.(Ⅲ)当1a =时，1()1ex f x x =-+， 令1()()(1)(1)ex g x f x kx k x =--=-+则直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时(0)10g =>，1111()101e k g k -=-+<-， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解， 与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤. 又1k =时，1()0e xg x =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1. 解法二： （Ⅰ）（Ⅱ）和上一解法一致 (Ⅲ)当1a =时，1()1ex f x x =-+. 直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于关于x 的方程111ex kx x -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程： 1(1)ex k x -=（※） 在R 上没有实数解.①当1k =时，方程（※）可化为10e x =，在R 上没有实数解. ②当1k ≠时，方程（※）化为1e 1x x k =-. 令()e xg x x =，则有()(1)e xg x x '=+. 令()0g x '=，得1x =-，当1x =-时，min 1()eg x =-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞， ()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.所以当11,1e k ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程（※）无实数解，解得k 的取值范围是(1e,1)-. 综上，得k 的最大值为1.19．（本小题共 14 分）（Ⅰ）解：由已知可得224b c ===⎪⎩，解得226,2a b ==所以椭圆C 的标准方程是22162x y +=. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，F 的坐标是(2,0)-，设M 点的坐标为(3,)m -，则直线MF 的斜率03(2)MF m k m -==----.当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=.直线PQ 的方程是2x my =-. 当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x ， 得22(3)420m y my +--=，所以12243m y y m +=+，12223y y m -=+， 1212212()43x x m y y m -+=+-=+. 设N 为PQ 的中点，则N 点的坐标为2262(,)33m m m -++. 所以直线ON 的斜率3ON m k =-，又直线OM 的斜率3OM m k =-， 所以点N 在直线OM 上，即OM 经过线段PQ 的中点N .20．（本小题共 13 分）解：（1）因为236,,a a a 成等差数列，所以2336a a a a -=-. 又因为212a a =+，313a a =+，616a a=+， 代入得11112336a a a a -=-++++，解得0a =. （2）设等差数列12,,,m a a a ⋅⋅⋅的公差为d . 因为11b k=，所以211b k ≤+， 从而211111(1)d b b k k k k =-≤-=-++. 所以111+(1)(1)m m b b m d k k k -=-≤-+. 又因为0m b >，所以110(1)m k k k -->+. 即11m k -<+，所以2m k <+.又因为,m k *∈N ，所以1m k ≤+.(3)设11()c t t *=∈N ，等比数列123,,,,m c c c c ⋅⋅⋅的公比为q . 因为211c t ≤+，所以211c t q c t =≤+. 从而1111(1,)1n n n t c c q n m n t t --*⎛⎫=≤≤≤∈ ⎪+⎝⎭N .所以123m c c c c +++⋅⋅⋅+1211111+++1+1+1m t t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111m t t t t ⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111m t t t t -+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 设函数11()m f x x x -=-，(3,)m m *≥∈N .当(0,)x ∈+∞时，函数11()m f x x x -=-为单调递增函数. 因为当t *∈N ，所以112t t +<≤.所以111()22m t f t -+≤-. 即1231122m m c c c c -+++⋅⋅⋅+≤-.【注：若有其它解法，请酌情给分】。
【全国市级联考】北京市石景山区2017届高三3月统一练习理数(原卷版)
北京市石景山区2017届高三3月统一练习理数试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，那么等于（）A. B.C. D.2. 已知实数满足，则的最大值是（）A. 4B. 6C. 10D. 123. 直线被圆所截得的弦长为（）A. 1B.C. 2D. 44. 设，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年）给出了求次多项式当时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：之后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A.B.C.D.6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A. B. C. D. 57. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是（）A. B. 1 C. D. 28. 如图，将正三角形分割成个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成个边长为1的小正三角形．若，则三角形的边长是（）A. 10B. 11C. 12D. 13第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 若复数是纯虚数，则实数__________．10. 在数列中，，，那么等于__________．11. 若抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则__________．12. 如果将函数的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么__________．13. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是__________．（用数字做答）14. 已知．①当时，，则___________；②当时，若有三个不等实数根，且它们成等差数列，则__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15. 已知分别是的三个内角的三条对边，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值．16. 某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按，，，，分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为，求的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间中的个数．17. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，为中点，点在上，且平面，连接，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知，，求二面角的余弦值．18. 已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）若对任意恒成立，求实数的最大值．19. 已知椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20. 已知集合．对于，，定义与之间的距离为．（Ⅰ）写出中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合满足：，且任意两元素间的距离均为2，求集合中元素个数的最大值并写出此时的集合；（Ⅲ）设集合，中有个元素，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明．。
北京市石景山区2017届高三第一学期期末考试数学(理)试卷(含答案)word版
北京市石景山区2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U （ ）A ． }3{B ． }2{C ．}4,2,1{D ．}4,1{2．已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为（ ） A ． 2B ．2C ．1D ． 03．在极坐标系中，圆θρcos 2-=的圆心的极坐标是（ ）A ． )2,1(π B ． )2,1(π-C ．)0,1(D ．),1(π4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为（ ）A ．38 B ．34 C ．4 D ．25．执行右面的框图，若输出结果为21， 则输入的实数x 的值是（ ） A ．23 B ．41 C ．22 D ．2正视图侧视图俯视图6.设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．127.以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”； ②若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题；③命题p ：存在R x ∈,使得012<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x ；④在ABC ∆中,B A <是B A sin sin <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（ ） A ．92B ．92-C ．41 D ．-4第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．在ABC ∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ． 10．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知22PA =，4PC =，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为 ．11．已知向量)1,3(=a ，)1,0(=b ，)3,(k c =，若b a 2+与c 垂直，则=k ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ． 13．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种． 14.已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当2131<<a 且43<<b 时， 函数)(x f 的零点*0),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．PABCO•三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲 乙 1 8 6 0 02 4 4 23（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y 的分布列和数学期望． （注：方差[]222212)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数）MEFCD BA17．（本小题满分14分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，A D C D ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点． （Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BEC ； （Ⅲ）若3=DE ，求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分） 已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值； 若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点N （2，0）的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 倾斜角的取值范围.20．（本小题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数q p 、,使得1n n c pc q+=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “κ类数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32nn b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“κ类数列”？若是，指出它对应的实常数q p 、，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则数列}{1++n n a a 也是“κ类数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2012项的和．并判断{}n a 是否为“κ类数列”，说明理由．石景山区2016—2017学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDBDBCB二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2122cos 13)(++=232sin 212cos 23++=x x 23)32sin(++=πx ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x …………9分当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+,………11分当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23. ………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数24430242418=+++=x ； ……………………2分[]18)2430()2424()2424()2418(4122222=-+-+-+-=s ……5分题号 9 10 11 1213 14 答案 6π 2 -3 72 112（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：（18，20）（18，20）（18，26）（18，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………8分 得分和可能的结果有：38,44,50,56,62 …………9分 得分和Y 的分布列为：Y3844505662p81165 165 163 161 …………11分 数学期望161621635616550165448138⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EY 5.48= ………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形． ………2分所以BM ∥AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ． ………………………………4分 （Ⅱ）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．AxyMCNEFDBz 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………………………5分 在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得22BC =． 在△BCD 中，22,4BD BC CD ===， 因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE ．………………………7分 又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．…………………………………………8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥．以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系． (2,2,0),(0,4,0),(0,0,3)B C E ． …………………………………9分易知平面DEC 的一个法向量为m )0,0,1(=．…………………………10分 设(,,)x y z =n 为平面BEC 的一个法向量，因为(2,2,0),BC =- (0,4,3)CE =-所以220430x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得41,3y z ==． 所以4(1,1,)3=n 为平面BEC 的一个法向量． …………………………12分 设平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角为θ． 则22213cos 34||||3441113||θ⋅===⋅⎛⎫⋅++ ⎪⎝⎭m n m n ． 所以平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为33434．………14分3．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，， 因为()ln f x ax x =-，所以'1()f x a x =-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f = 因为'1 ()2f x x =-，所以'1 (1)211f =-=……………………2分 所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+= …………………………4分 （Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=， 由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值． …………………………6分 所以()ln f x x x =-，令'1()10f x x=->解得10x x ><或；因为)(x f 的定义域为(0)+∞，，所以'()0f x >的解集为(1)+∞，， 即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，. …………………………………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， ① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. …………………………10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增，3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件. ………………………12分③ 当e a≥1时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. ……………14分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………4分 （Ⅱ） 设),(),,(2211y x B y x A ，则),(OB ),,(OA 2211y x y x ==. ①当221==x x 时，不妨令)362,2(OB ),362,2(OA -==034384OB OA >=-=⋅，当斜率不存在时，AOB ∠为锐角成立 ………………6分 ②当21x x ≠时，设直线l 的方程为：)2(-=x k y 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)2(141222x k y y x 得12)2(3222=-+x k x即0121212)31(2222=-+-+k x k x k . 所以22212221311212,3112kk x x k k x x +-=⋅+=+， ………………8分 ]4)(2[()2)(2(2121221221++-=--=⋅x x x x k x x k y y 22424224314123124311212k k k k k k k k ++++-+-= 22318kk +-= ………………10分 2121OB OA y y x x +=⋅03112422>+-=kk 解得33-<>k k 或. ……………………12分 综上，直线l 倾斜角的取值范围是)32,3(ππ . …………………13分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,2 …………… 1分因为32n n b =⋅，则有12n n b b +=，*n N ∈. 故数列{}n b 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. …………… 3分 （Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 故数列{}1n n a a ++也是“κ类数列”．对应的实常数分别为,2p q ． ……………6分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a a t +=⋅ ，20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅故数列{}n a 前2012项的和2012S =()12a a ++()34a a ++ +()20092010a a ++()20112012a a +()320092011201232323232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=- ……………9分 若数列{}n a 是 “κ类数列”， 则存在实常数q p 、使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(23*121N n t a a n n n ∈⋅=++++，则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==， 当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件. 当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件. 因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}n a 是“κ类数列”.对应的实常数分别为2,0或1,0-． ………………… 13分。
石景山区2017年数学高三统一练习一模理科(完美版)
石景山区2017年高三统一练习数 学（理）试 卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|210}A x x =-<，{|01}B x x =≤≤，那么等于（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．1{|0}2x x <<D ．1{|0}2x x <≤2．已知实数,x y 满足06,,0,x y x y x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩2,≤≤≥≥则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4 B ．6 C ．10 D ．123．直线1cos 2ρθ=被圆1ρ=所截得的弦长为（ ） A ．1BC ．2D ．44．设∈R θ,“sin cos θθ=”是“cos 20θ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A B侧（左）视图5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年） 给出了求*()n n ∈N次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九 韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：3232103210(())a x a x a x a a x a x a x a +++=+++之后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值． A ．432234x x x x ++++ B ．4322345x x x x ++++ C ．3223x x x +++ D ．32234x x x +++6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A ．2B ．2+C ． 4D ． 57．如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==， 点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF ⋅=则AE BF ⋅的值是（）A ．2B．1 C ．28．如图，将正三角形ABC 分割成m 个边长为1的 小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以 分割成n 个边长为1的小正三角形．若:47:25m n =，则三角形ABC 的边长是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数i1ia +-是纯虚数，则实数a = ． 10．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +⋅=-(123)n = ，，，，那么8a 等于 ．11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =． 12．如果将函数()sin(3)(π0)f x x ϕϕ=+-<<的图象向左平移π12个单位所得到的图象关于原点对称，那么ϕ= ．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 ．（用数字做答）14．已知42(),,()4,.a x x a x f x x x a x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≥ ①当1a =时，()3f x =，则x =；②当1a -≤时，若()3f x =有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a =．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知c b a ,,分别是△ABC 的三个内角,,A B C 的三条对边，且222c a b ab =+-． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求B A cos cos +的最大值．16．（本小题共13分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间(0,50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按(0,10]，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a 的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间(0,20]的数据样本中抽取3个，记在(0,10]内的数据个数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间(0,10]中的个数．/箱日销售量/箱 图乙《九章算术》中，将底面为长方形且有一条 侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都 为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào ）．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ， 且PD CD =，E 为PC 中点，点F 在PB 上， 且PB ⊥平面DEF ，连接BD ，BE ． （Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ； （Ⅱ）试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （Ⅲ）已知2,AD CD ==F AD B --的余弦值．18．（本小题共13分）已知函数()ln f x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当0x >时，1()1f x -≥； （Ⅲ）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点（0，1）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．ABCDEPF已知集合12{(,,,),{0,1},1,2,,}(2)nn i R X X x x x x i n n ==∈=≥ ．对于12(,,,),n n A a a a R =∈ 12(,,,),n n B b b b R =∈ 定义A 与B 之间的距离为11221(,)nn n i i i d A B a b a b a b a b ==-+-+-=-∑ ．（Ⅰ）写出2R 中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：3M R ⊆，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合n P R ⊆，P 中有(2)m m ≥个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为()d P ，证明()2(1)mnd P m ≤-．石景山区2017年高三统一练习数学（理）试卷答案及评分参考三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为222c a b ab =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==． ……3分 又因为(0,π)C ∈， 所以π3C =． …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =， 又πA B C++=， 所以2π3B A =-且2π(0,)3A ∈， 故2πcos cos cos cos()3A B A A +=+-2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++ 1πcos sin()26A A A =+=+． 又2π(0,)3A ∈，5π(,)666A ππ+∈， 所以当ππ62A +=即π3A =时，coscos A B +的最大值为1． …13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由图（乙）知，10(0.020.030.0250.015)1a ++++=解得0.01a =，2212s s >． ………………… 3分 （Ⅱ）X 的所有可能取值1，2，3．则()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===， 其分布列如下：…………………8分（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2345620++++=个，其中有4个数据在区间(0,10]内．又因为分层抽样共抽取了12005%60⨯=个数据， 乙种酸奶的数据共抽取602040-=个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间(0,10]内的频率为0.1， 故乙种酸奶的日销售量数据在区间(0,10]内有400.14⨯=个． 故抽取的60个数据，共有448+=个数据在区间(0,10]内． 所以，在1200个数据中，在区间(0,10]内的数据有160个．……………13分（Ⅰ）因为PD ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以BC PD ⊥.因为四边形ABCD 为矩形，所以BC DC ⊥. PD DC D = , 所以BC ⊥面PDC .DE ⊂面PDC ,DE BC ⊥,在PDC ∆中，PD DC =，E 为PC 中点 所以DE PC ⊥. PC BC C = ,所以DE ⊥面PBC .……………………………………4分（Ⅱ）四面体DBEF 是鳖臑，其中π2BED FED ∠=∠=， π2BFE BFD ∠=∠=． ……………………………………9分 （Ⅲ）以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(0,0,0),(2,0,0),D A C P B ．设PF PB λ=，则(2)F λ．DF PB ⊥得0DF PB = 解得14λ=．所以1(,244F ． ………11分设平面FDA 的法向量(,,)n x y z =，1024420n DF x y z n DA x ⎧⎧⊥++=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩=⎩ 令1z =得0,3x y ==-． 平面FDA 的法向量(0,3,1)n =-， 平面BDA的法向量DP =，cos ,n DP n DP n DP<>=== ． 二面角F AD B --． ………………14分解：（Ⅰ）1()f x x'=,(1)1f '=， 又(1)0f =，所以切线方程为1y x =-; ……3分 （Ⅱ）由题意知0x >，令11()()(1)ln 1g x f x x xx=--=-+． 22111'()x g x x x x -=-= ………5分 令21'()0x g x x -==，解得1x =． ………6分易知当1>x 时，'()0g x >，易知当01x <<时，'()0g x <．即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 ………7分 所以min ()(1)0g x g ==，()(1)0g x g ≥=即1()()(1)0g x f x x =--≥，即1()(1)f x x≥-． ……8分（Ⅲ）设()1ln (1)h x x a x x =--≥，依题意，对于任意1,>x ()0h x >恒成立．'()1a x ah x x x-=-=， ………9分 1≤a 时，'(),h x >0()h x 在[1,)+∞上单调增，当1>x 时，()(1)0h x h >=，满足题意． ………11分1>a 时，随x 变化，'()h x ，()h x 的变化情况如下表：()h x 在(,)a 1上单调递减，所以()()<=g a g 10即当 1>a 时，总存在()0<g a ，不合题意． ………12分 综上所述，实数a 的最大值为1． ………13分解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为2c e a ==，所以c =2a =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分 （Ⅱ） 设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ．联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=．由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m <.所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分 所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC === ………10分又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN == ……12分 所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=．所以B 、N ……14分解：（Ⅰ）2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}R =，2,A B R ∈，max (,)2d A B =． ………………3分 （Ⅱ）3R 中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M 中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}M =或{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}M =，集合M 中元素个数最大值为4． ………………8分 （Ⅲ）2,1()(,)A B P m d P d A B C ∈=∑，其中,(,)A B Pd A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和．设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0，则 ,1(,)()ni i A B P i d A B t m t ∈==-∑∑ 由于2()(1,2,,)4i i m t m t i n -≤= 所以2,1(,)()4ni i A B P i nm d A B t m t ∈==-≤∑∑ 从而222,1()(,)42(1)A B Pmm nm nm d P d A B C C m ∈=≤=-∑ …………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】。
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2016-2017学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．[0，1]2．若，则|z|=（）A．2 B．3 C．4 D．53．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．5 B．3 C．9 D．74．下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x） C．y=x3 D．5．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A． B．C． D．6．一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．67．将函数y=（x﹣3）2图象上的点P（t，（t﹣3）2）向左平移m（m＞0）个单位长度得到点Q．若Q位于函数y=x2的图象上，则以下说法正确的是（）A．当t=2时，m的最小值为3 B．当t=3时，m一定为3C．当t=4时，m的最大值为3 D．∀t∈R，m一定为38．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在（x﹣3）7的展开式中，x5的系数是（结果用数值表示）．10．已知△ABC中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则△ABC的面积为．11．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是．12．等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．13．有以下4个条件：①；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中∥的充分不必要条件有．（填正确的序号）．14．已知函数，①方程f（x）=﹣x有个根；②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值．16．2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P'AD=90°．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P'AC；（Ⅱ）求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆的离心率为，点（2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B'．直线AB'与x轴的交点Q是否为定点？请说明理由．19．已知函数，g（x）=x2e ax（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．20．集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0；表示对子集族D中所有成员A求和）；（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对∀A∈D，记k=max|A|，（其中max表示最大值），（ⅰ）求f（2）；（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．2016-2017学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．[0，1]【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，∴A∩B={0，1}，故选：C．2．若，则|z|=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：=，则|z|=．故选：D．3．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．5 B．3 C．9 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，a，b的值，可得当a=32，b=25时满足条件a＞b，退出循环，输出k的值为5．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，k=3，a=8，b=9不满足条件a＞b，执行循环体，k=5，a=32，b=25满足条件a＞b，退出循环，输出k的值为5．故选：A．4．下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x） C．y=x3 D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】对选项根据函数的奇偶性和单调性，一一加以判断，即可得到既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数．【解答】解：由于函数y=e﹣x是减函数，但不是奇函数，故不满足条件．由于函数y=ln（﹣x）不是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，故不满足条件．由于函数y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，故不满足条件．由于函数y=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，故满足条件，故选D．5．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A． B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．6．一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于h的方程，解得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，故底面面积S=3×4=12，高为h，故这个几何体的体积为V=×12×h=8，解得：h=2，故选：B．7．将函数y=（x﹣3）2图象上的点P（t，（t﹣3）2）向左平移m（m＞0）个单位长度得到点Q．若Q位于函数y=x2的图象上，则以下说法正确的是（）A．当t=2时，m的最小值为3 B．当t=3时，m一定为3C．当t=4时，m的最大值为3 D．∀t∈R，m一定为3【考点】函数的图象与图象变化．【分析】函数y=（x﹣3）2图象上，向左平移3个单位得到函数y=x2的图象，即可得出结论．【解答】解：函数y=（x﹣3）2图象上，向左平移3个单位得到函数y=x2的图象，∴∀t∈R，m一定为3，故选D．8．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局．【解答】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，所以与D赛过的是A、C、E、F四人；与C赛过的是B、D、E、F四人；又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局，所以与A赛过的是D、B、F；而与B赛过的是A、C、F；所以F共赛了4局．故选D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在（x﹣3）7的展开式中，x5的系数是189（结果用数值表示）．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，使得x的次数为5，然后求出x5项的系数．=C7r x7﹣r（﹣3）r，当r=2【解答】解：因为（x﹣3）7的展开式的通项公式为：T r+1时，T3=C72x5（﹣3）2=189x5．所以（x﹣3）7的展开式中，x5项的系数为：189．故答案为：189．10．已知△ABC中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则△ABC的面积为．【考点】正弦定理；三角形的面积公式．【分析】由已知及tanC=可求tanC，进而可求C，然后由余弦定理可得，可求AC，代入可求【解答】解：∵sinC=cosC，∴tanC==∵C∈（0，π）∴∵AB=，BC=1，由余弦定理可得，=∴∴AC=2，==故答案为：11．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，m=3．由此可以求出双曲线的焦点坐标．【解答】解：由题意知，∴m=3．∴c2=4+3=7，∴双曲线的焦点坐标是（）．故答案：（）．12．等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于4．【考点】等比数列的性质．【分析】设a1，a3，a11成等比，公比为q，则可用q分别表示a3和a11，代入a11=a1+5（a3﹣a1）中进而求得q．【解答】解：设a1，a3，a11成等比，公比为q，则a3=a1•q=2q，a11=a1•q2=2q2．又{a n}是等差数列，∴a11=a1+5（a3﹣a1），∴q=4．故答案为413．有以下4个条件：①；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中∥的充分不必要条件有①③．（填正确的序号）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平行向量与共线向量．【分析】根据共线向量的定义判断即可．【解答】解：若①=；则∥，但反之不一定成立，若③与的方向相反；则∥，但反之不一定成立，由此知①③为∥的充分不必要条件；故答案为：①③．14．已知函数，①方程f（x）=﹣x有1个根；②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】①画出函数的图形，即可得到解的个数；②由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：①函数，与y=﹣x的图象如图：可知方程f（x）=﹣x有1个根．②函数，∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故答案为：①1，②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）根据三角函数的辅助角公式进行化简结合三角函数的性质进行求解即可．（2）求出角的范围结合三角函数的单调性和最值之间的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）…=…=，…因此f（x）的最小正周期为π．…（Ⅱ）当时，，…当，有最大值1．…即时，f（x）的最大值为2．…16．2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频率分布列的性质及，能求出a，b，c的值．（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率．（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为．X的所有可能取值0，1，2，3，由此能求出X的分布列和数学期望EX．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由已知得：0+30+30+a+5=100，解得a=35，∴，．…（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则．所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为．…（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为．X的所有可能取值0，1，2，3．…则，，，．其分布列如下：所以，．…17．如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P'AD=90°．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P'AC；（Ⅱ）求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出P'A⊥AD，AB⊥AP'，从而P'A⊥面ABCD，进而P'A⊥CD，再推导出AC⊥CD，由此能求出CD⊥平面P'AC．（Ⅱ）推导出P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，从而建立空间直角坐标系，求出平面P'AD 的法向量和平面P'CD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A﹣P'D﹣C的余弦值．（Ⅲ）设，利用向量法能求出线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为∠P'AD=90°，所以P'A⊥AD．因为在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱锥中，AB⊥AP'．又AD∩AB=A，所以P'A⊥面ABCD．因为CD⊂面ABCD，所以P'A⊥CD．…因为等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC，且AB=BC=1．所以，，AD=2．所以AC2+CD2=AD2．所以AC⊥CD．因为P'A∩AC=A，所以CD⊥平面P'AC．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，如图，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P'（0，0，1）．…所以，．由（Ⅰ）知，平面P'AD的法向量为，设为平面P'CD的一个法向量，则，即，再令y=1，得．==．所以二面角A﹣P'D﹣C的余弦值为．…（Ⅲ）线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD．依题意可设，其中0≤λ≤1．所以M（0，0，λ），．由（Ⅱ）知，平面P'CD的一个法向量．因为BM∥平面P'CD，所以，所以，解得．所以，线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD…18．已知椭圆的离心率为，点（2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B'．直线AB'与x轴的交点Q是否为定点？请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由点（2，0）在椭圆C上，可得a=2，又，b=，解出即可得出．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），B'（x2，﹣y2），Q（n，0）．设直线AB：y=k （x﹣1）（k≠0）．与椭圆方程联立得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．直线AB'的方程为，令y=0，解得n，又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆C上，所以a=2．又因为，所以．所以．所以椭圆C的标准方程为：．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），B'（x2，﹣y2），Q（n，0）．设直线AB ：y=k （x ﹣1）（k ≠0）．…联立y=k （x ﹣1）和x 2+4y 2﹣4=0，得：（1+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣4=0． 所以，．…直线AB'的方程为，…令y=0，解得…又y 1=k （x 1﹣1），y 2=k （x 2﹣1）， 所以．…所以直线AB'与x 轴的交点Q 是定点，坐标为Q （4，0）．…19．已知函数，g （x ）=x 2e ax （a ＜0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x 1，x 2∈[0，2]，f （x 1）≥g （x 2）恒成立，求a 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于“对于任意x ∈[0，2]，f （x ）min ≥g （x ）max 成立”，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为R ，．… 当x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表：所以，函数f （x ）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．…（Ⅱ）依题意，“对于任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”．由（Ⅰ）知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，因为f（0）=1，，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．所以应满足g（x）max≤1．…因为g（x）=x2e ax，所以g'（x）=（ax2+2x）e ax．…因为a＜0，令g'（x）=0得，x1=0，．（ⅰ）当，即﹣1≤a＜0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以函数g（x）在[0，2]上单调递增，所以函数．由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．…（ⅱ）当，即a＜﹣1时，在上g'（x）≥0，在上g'（x）＜0，所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减，所以．由得，，所以a＜﹣1．…综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．…20．集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0；表示对子集族D中所有成员A求和）；（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对∀A∈D，记k=max|A|，（其中max表示最大值），（ⅰ）求f（2）；（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．【考点】子集与真子集．【分析】（Ⅰ）求出含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D，并计算此时的值；（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为D k，（ⅰ）易知当D=D2时，达到最大值，求出f（2）的值即可；（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D''，其中D′为不超过k﹣2元的子集族，D''为k﹣1元或k元的子集，则求出，设D''有l（）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k﹣1元子集至多出现在n﹣k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有个k﹣1元子集，故l个k元子集至少产生个不同的k﹣1元子集，求出f（k）即可．【解答】解：（Ⅰ）含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D={ϕ，{1}，{2}，{1，2}}…此时…（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为D k，（ⅰ）易知当D=D2时，达到最大值，∴…（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D''，其中D′为不超过k﹣2元的子集族，D''为k﹣1元或k元的子集，则= (8)分现设D''有l（）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k﹣1元子集至多出现在n﹣k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有个k﹣1元子集，故l个k元子集至少产生个不同的k﹣1元子集．由（ⅰ）得…2017年2月10日。