2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_2_3第2课时两条直线垂直的条件学案新人教B版必修2

2.2.3 第2课时 两条直线垂直的条件学习目标 1.掌握两条直线垂直的条件.2.会利用两条直线的垂直关系，求参数或直线方程.3.能解决一些简单的对称问题．知识点 两条直线垂直的条件思考 直线l 1：y ＝－3x ＋1，直线l 2：y ＝33x ＋1，那么l 1与l 2相互垂直吗？为什么？梳理 两条直线垂直对坐标平面内的任意两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，有l 1⊥l 2⇔__________________.如果B 1B 2≠0，则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1，l 2的斜率k 2＝－A 2B 2.又可以得出l 1⊥l 2⇔________________.类型一 两条直线垂直的判定 例1 分别判断下列两直线是否垂直．(1)直线l 1经过点A (3,4)，B (3,7)，直线l 2经过点P (－2,4)，Q (2,4)； (2)直线l 1的斜率为13，直线l 2与直线2x ＋3y ＋1＝0平行．反思与感悟 (1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0判断．(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1判断．(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断． 跟踪训练1 (1)下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的是( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋12y －1＝0(2)已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A ，B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．类型二 两条直线垂直关系的应用例2 (1)与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4 B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4(2)直线(2－m )x ＋my ＋3＝0与直线x －my －3＝0垂直，则m 的值为________．反思与感悟 (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0(m 为参数)． (2)与直线y ＝kx ＋m 平行的直线方程可设为y ＝kx ＋b (b ≠m )；与它垂直的直线方程可设为y ＝－1kx ＋n (k ≠0)．跟踪训练2 求与直线4x －3y ＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB 的面积为3的直线方程．类型三 对称问题命题角度1 中心对称问题 例3 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程． =反思与感悟 (1)点关于点的对称问题若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.(2)直线关于点的对称问题若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则：①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上；②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等；③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点． 跟踪训练3 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0命题角度2 轴对称问题例4 点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3) 反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题求P (x 0，y 0)关于Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P ′(x ，y )，利用⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·－AB＝－1，A ·x 0＋x 2＋B ·y 0＋y2＋C ＝0可以求点P ′的坐标． (2)直线关于直线的对称问题若两条直线l 1，l 2关于直线l 对称，则：①l 1上任意一点关于直线l 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于直线l 的对称点必在l 1上；②过直线l 上的一点P 且垂直于直线l 作一直线与l 1，l 2分别交于点A ，B ，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练4 求直线m ：2x ＋y －4＝0关于直线n ：3x ＋4y －1＝0对称直线b 的方程．1．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a的值为( )A ．1B ．3C ．0或1D ．1或32．直线(m ＋1)x ＋my ＋1＝0与直线(m －1)x ＋(m ＋1)y －10＝0垂直，则m 的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－13D ．－1或123．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝04．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．5．一条光线从点A (3,2)发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点B (－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为__________．1．判断两直线垂直：(1)如果斜率都存在，只判断k 1k 2＝－1；如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上面的两种情况；(2)利用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断．2．求点关于直线的对称点：(1)设P (x 0，y 0)，l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，若点P 关于l 的对称点为Q (x ，y )，则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·x ＋x2＋B ·y ＋y2＋C ＝0可得出点Q 的坐标．(2)点A (x ，y )关于直线x ＋y ＋C ＝0的对称点A ′的坐标为(－y －C ，－x －C )，关于直线x －y ＋C ＝0的对称点A ″的坐标为(y －C ，x ＋C )．答案精析问题导学 知识点思考 如图，∵l 1的倾斜角为120°，l 2的倾斜角为30°，∴l 1⊥l 2.梳理 A 1A 2＋B 1B 2＝0 k 1k 2＝－1 题型探究例1 解 (1)直线l 1的斜率不存在，故直线l 1与x 轴垂直， 直线l 2的斜率为0，故直线l 2与x 轴平行， 所以l 1与l 2垂直．(2)直线l 1的斜率为k 1＝13，直线l 2的斜率为k 2＝－23，k 1×k 2＝13×(－23)＝－29≠－1，所以直线l 1与l 2不垂直．跟踪训练1 (1)B [由斜率之积为－1得B 正确．] (2)解 设C (x,0)，由题意知CA ⊥CB ， 则k CA ×k CB ＝－1， 即3－0－1－x ×2－04－x＝－1， 解得x ＝1或2， ∴C (1,0)或C (2,0)． 例2 (1)D (2)－2或1解析 (1)因为所求直线与y ＝2x ＋1垂直，所以设直线方程为y ＝－12x ＋b .又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的斜截式方程为y ＝－12x ＋4.(2)由直线方程可知，当一条直线的斜率不存在时，不存在m 使两直线垂直，所以两直线的斜率都存在．由k 1·k 2＝－1，可得(－2－m m )·1m＝－1，解得m ＝－2或m ＝1.跟踪训练2 解 设与直线4x －3y ＋5＝0垂直的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 令x ＝0，得y ＝－m 4，则A (0，－m4)；令y ＝0，得x ＝－m 3，则B (－m3，0)．因为S △AOB ＝3， 所以12|OA |·|OB |＝12|－m 4|·|－m3|＝3. 所以m 2＝72，所以m ＝±6 2.故所求直线方程为3x ＋4y ＋62＝0或3x ＋4y －62＝0. 例3 解 (1)根据题意可知点A (a ，b )为PP ′的中点， 设点P ′的坐标为(x ，y )，则根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x02，b ＝y ＋y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 0，y ＝2b －y 0.所以点P ′的坐标为(2a －x 0,2b －y 0)．(2)方法一 设直线l 上任意一点M 的坐标为(x ，y )， 则此点关于点(2，－1)的对称点为M 1(4－x ，－2－y )， 且M 1在直线3x －y －4＝0上， 所以3(4－x )－(－2－y )－4＝0， 即3x －y －10＝0.所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.方法二 在直线3x －y －4＝0上取两点A (0，－4)，B (1，－1)， 则点A (0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A 1(4,2)， 点B (1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B 1(3，－1)． 可得直线A 1B 1的方程为3x －y －10＝0， 即所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.跟踪训练3 D [由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)， 关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)， 则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8.∴所求直线方程是2x ＋3y ＋8＝0.]例4 B [设对称点的坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．]跟踪训练4 解 方法一 设直线b 上的动点P (x ，y )，直线m 上的点Q (x 0,4－2x 0)，且P ，Q 两点关于直线n ：3x ＋4y －1＝0对称，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02×3＋4－2x 0＋y2×4－1＝0，y －4－2x 0x －x 0＝43，消去x 0，得2x ＋11y ＋16＝0. 方法二 由直线m ：2x ＋y －4＝0知A (2,0)，B (0,4)为直线m 上的点，设A ，B 关于直线n 的对称点为A ′(a ，b )， B ′(a ′，b ′)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧3×a ＋22＋4×b2－1＝0，b a －2＝43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－85，即A ′(45，－85)．⎩⎪⎨⎪⎧3×a ′＋02＋4×b ′＋42－1＝0，b ′－4a ′＝43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ′＝－185，b ′＝－45，即B ′(－185，－45)．∴k b ＝－45－－85－185－45＝－211，∴所求直线b 的方程为y ＋85＝－211(x －45)，即2x ＋11y －16＝0. 当堂训练 1．D 2.D 3.A 4．x －y ＋1＝0解析 线段PQ 的垂直平分线就是直线l ， 则k l ·k PQ ＝k l ·4－21－3＝－1，得k l ＝1又PQ 的中点坐标为(2,3)， ∴直线l 的方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0. 5．－2解析 如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，所以点A ′在直线MB 上． 由对称性可知A ′(3，－2)，所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝6－－2－1－3＝－2.故反射光线所在直线的斜率为－2.。