高等数学3-3

f ′′(0) 2 f (n) (0) n x +L+ f (x) ≈ f (0) + f ′(0)x + x 2! n! M n+1 x 误差 Rn (x) ≤ (n +1) !
(n+1) (x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界. M为 f
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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2. 余项估计 令 Rn (x) = f (x) − pn (x)(称为余项) , 则有
( ′ (x0 ) =L= Rnn) (x0 ) = 0 Rn (x0 ) = Rn
可以证明
Rn (x) =
f
(n+1)
(ξ )
(n +1) !
(x − x0 )
(n+1)
n+1
(ξ 在x0 与x 之 ) 间
当在 x0 的某邻域内 f (x) ≤ M 时 M n+1 Rn (x) ≤ x − x0 (n +1)! ∴ Rn (x) = o((x − x0 )n ) (x → x0 )
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泰勒(Taylor)中值定理 : 中值定理 泰勒 时, 有 f ′′(x0 ) f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2+L 2! f (n) (x0 ) + (x − x0 )n + Rn (x) ① n! n! f (n+1) (ξ ) 其中 Rn (x) = (x − x0 )n+1 (ξ 在x0 与x 之 ) ② 间 (n +1) ! 阶的导数 , 则当
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(0 <θ <1)
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π Q f (x) = sin(x +k ⋅ ) 2 k = 2m π 0, (k) (m =1, 2,L ) f (0) = sin k = 2 (−1)m−1 , k = 2m−1
(k )
x2m−1 x3 x5 ∴ sin x = x − + −L + (−1)m−1 + R2m(x) (x (2m−1) ! 3! 5!
Rn (x) = o[(x − x0 )n ]
公式 ② 称为n 阶泰勒公式①的拉格朗日余项 . 拉格朗日余项 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式①的佩亚诺余项 . 佩亚诺余项
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③
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f ′′(x0 ) 2 f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) +L 2! f (n) (x0 ) f (n+1) (ξ ) n+1 + (x − x0 )n + (x − x0 ) n! (n +1) ! (ξ 在x0 与x 之 ) 间 特例: 特例 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) = f (x0 ) + f ′(ξ )(x − x0 ) (ξ 在x0与x 之 ) 间
3 < <10−6 Rn (1) (n +1) ! 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 1 1 e ≈1+1+ +L+ ≈ 2.718282 2! 9! = 2.718281828459045L e
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2. 利用利用多项式逼近函数 泰勒多项式逼近 sin x
(−1)n−1 2n−1 3 1 5 1 7 1 9 1 sin x = x − 3! x + 5! x − 7! x + 9! x +L+ (2n−1)! x + o(x2n ) x3 + x5 − x7 y = x − 3! 5! 7! 3 y y = x − x! 4 3 x3 x5
f ′′(ξ ) 2 ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) f (x) = f (x0 ) + f 2! (ξ 在x0与x 之 ) 间 可见
误差 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
(ξ 在x0 与x 之 ) 间
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在泰勒公式中若取 x0 = 0, 记ξ =θ x (0 <θ <1) , 则有 f ′′(0) 2 f (n) (0) n x +L + x f (0) + f ′(0)x + 2! n!
其中
3
(−1)n xn+1 Rn (x) = n +1 (1+θ x)n+1
(0 <θ <1)
麦克劳林公式
f ′′(0) 2 f (n) (0) n x +L + x f (0) + f ′(0)x + 2! n! (0 <θ <1)
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三、泰勒公式的应用＊
1. 在近似计算中的应用
称为麦克劳林 Maclaurin )公式 . 麦克劳林( 麦克劳林 公式 由此得近似公式 f ′′(0) 2 f (n) (0) n f (x) ≈ f (0) + f ′(0)x + x′ +L+ x f ′ (x0 ) n2 x 2! f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x −+10 ) + (x − x0 )! +L 若在公式成立的区间上 f (n ) (x) ≤ 2! , 则有误差估计式 M (n) f (x0 ) f (n+1) (ξ ) + (x − x0 )n + (x − x0 )n+1 M n+1 n ! Rn (x) ≤ (n +1) ! x (ξ 在x0 与x 之 ) 间 (n +1) !
sin(θ x + 2θ+1)π) 2m+1 (−1)m cos(m x 2 (0 <θ <1) x 其中 R2m(x) = (2m +1) !
麦克劳林公式
f ′′(0) 2 f (n) (0) n x +L + x f (0) + f ′(0)x + 2! n! (0 <θ <1)
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n+1
其中余项
Rn (x) =
= o((x − x0) )
n
(ξ 在x0 与x 之 ) 间
当 x0 = 0 时为麦克劳林公式 . 麦克劳林公式
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2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 )
e , ln(1+ x), sinx, cos x, (1+ x)
x
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(0 <θ <1)
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Q f (k) (x) =α(α −1)L(α − k +1)(1+ x)α−k
麦克劳林公式
(k =1, 2,L ) f (k) (0) =α(α −1)L(α − k +1) α(α −1) 2 α ∴ (1+ x) =1+α x+ x +L 2! + α(α −1)L(α − n +1) xn + Rn (x) n! α(α −1)L(α − n) (1+θ x)α−n−1 xn+1 其中 Rn (x) = (n +1) ! (0 <θ <1)
9 11
y
4 2
x3 + x5 y = x − 3! 5! x7 + x9 − 7! 9!
6
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 2 4
O
2
4
6
x
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3. 利用泰勒公式求极限 例3. 求
用洛必达法则 不方便 !
解: 用泰勒公式将分子展到 x2 项, 由于
1 ⋅ (3 x) + 1 ⋅ 1 (1 −1 (3 x)2+ o(x2) ] = 2[ 1+ ) 4 2 4 2! 2 2 + 3 x − 1 ⋅ 9 x2 + o(x2) =2 4 4 16 = 2 − 3 x − 1 ⋅ 9 x2 + o(x2) 4− 3x 4 4 16 − 1α9 n) + o(x2)−n−1 n+1 ⋅16 x2 α(α −1)L( − (0 <θ <1) + = lim 2 (1+θ x)α = − 9 x ∴原 式 2 32 (n ) x→0 +1 ! x
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二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (0) =1 (k =1, 2,L ) (x) = e ,
x
Q f
(k)
x x3 xn ∴ ex =1 + x + + +L+ + Rn (x) 2! 3! n!
其中
麦克劳林公式
2
f ′′(0) 2 f (n) (0) n x +L + x f (0) + f ′(0)x + n! 2!
y=x
y = x − 3! + 5!
2
6
4
2 2 4
O
2
4
6
x
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