湖南省长沙市天心区长郡教育集团初中课程中心2019-2020学年八年级(上)期末数学试卷 含解析

2019-2020学年八年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列代数式中，分式有（）个．，，，﹣，，，+3，A．5 B．4 C．3 D．23．与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．4．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 5．下列运算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．（a3）2＝a5C．（3a2）3＝27a6D．a6÷a3＝a26．如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D，若△AEC的周长是11，则AB＝（）A．28 B．18 C．10 D．77．矩形的面积为18，一边长为，则另一边长为（）A．B．C．D．248．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．9．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）10．已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（）A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）11．若关于x的分式方程无解，则m的值是（）A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 12．设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①a*b＝0，则a＝0或b＝0；②不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝8，则（10ab3）÷（5b2）＝4其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④二．填空题（共6小题）13．在实数范围内，使得有意义的x的取值范围为．14．今年我国发生的猪瘟疫情是由一种病毒引起的，这种病的直径为0.000000085米．数据0.000000085用科学记数法表示为米．15．如图，在△ABC中，已知AD⊥BC于点D，BD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C的度数为．16．若分式的值为0，则x的值为．17．计算：（﹣4）2020×0.252019＝．18．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S n．设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：（1）S1＝；（2）通过探究，用含n的代数式表示S n，则S n＝．三．解答题（共8小题）19．因式分解（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）a（3a﹣2）+b（2﹣3a）20．计算（1）（2）21．化简求值（1）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x＝2，y＝1（2）求的值，其中x＝+1．22．如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．23．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．25．今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．（1）求购买一个A型垃圾桶、B型垃圾桶各需多少元？（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进A型和B型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，A型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%，B型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买A型和B型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个B 型垃圾桶？26．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是命题（填“真”或“假”）；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC 是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC 内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：B．2．下列代数式中，分式有（）个．，，，﹣，，，+3，A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据分式的定义逐个判断即可．【解答】解：分式有：，，﹣，，共4个，故选：B．3．与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义进行解答．【解答】解：的被开方数是2．A、原式＝3，其被开方数是3，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．B、该二次根式的被开方数是6，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．C、原式＝，其被开方数是3，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．D、原式＝2，其被开方数是2，与的被开方数相同，它们是同类二次根式，故本选项符合题意．故选：D．4．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选：A．5．下列运算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．（a3）2＝a5C．（3a2）3＝27a6D．a6÷a3＝a2【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3•a4＝a7，故本选项不合题意；B．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；C．（3a2）3＝27a6，正确，故选项C符合题意；D．a6÷a3＝a4，故本选项不合题意．故选：C．6．如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D，若△AEC的周长是11，则AB＝（）A．28 B．18 C．10 D．7【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算．【解答】解：∵DE是BC的中垂线，∴BE＝EC，则AB＝EB+AE＝CE+EA，又∵△ACE的周长为11，故AB＝11﹣4＝7，故选：D．7．矩形的面积为18，一边长为，则另一边长为（）A．B．C．D．24【分析】根据矩形的面积得出另一边为，再根据二次根式的运算法则进行化简即可．【解答】解：∵矩形的面积为18，一边长为，∴另一边长为＝3，故选：C．8．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据圆的性质，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得AC＝＝，AM＝AC＝，M点的坐标是﹣1，故选：A．9．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．【解答】解：由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a ﹣b，即平行四边形的高为a﹣b，∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2﹣b2，乙的面积＝（a+b）（a﹣b）．即：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．所以验证成立的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：D．10．已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（）A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知根号和绝对值里数的取值．【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0∴+|a+b﹣c|＝b+c﹣a+a+b﹣c＝2b．故选：B．11．若关于x的分式方程无解，则m的值是（）A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：﹣x﹣m+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），由分式方程无解，得到x＝2或x＝﹣2，把x＝2代入整式方程得：m＝6；把x＝﹣2代入整式方程得：m＝2．故选：A．12．设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①a*b＝0，则a＝0或b＝0；②不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝8，则（10ab3）÷（5b2）＝4其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【分析】根据新定义的运算，一一判断即可得出结论．【解答】解：①∵a*b＝0，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，a2+2ab+a2﹣a2﹣b2+2ab＝0，4ab＝0，∴a＝0或b＝0，故①正确；②∵a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，又a*b＝a2+4b2，∴a2+4b2＝4ab，∴a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b时，满足条件，∴存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；故②错误，③∵a*（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac，又∵a*b+a*c＝4ab+4ac∴a*（b+c）＝a*b+a*c；故③正确．④∵a*b＝8，∴4ab＝8，∴ab＝2，∴（10ab3）÷（5b2）＝2ab＝4；故④正确．故选：B．二．填空题（共6小题）13．在实数范围内，使得有意义的x的取值范围为x≥﹣3 ．【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：在实数范围内，使得有意义则3+x≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．14．今年我国发生的猪瘟疫情是由一种病毒引起的，这种病的直径为0.000000085米．数据0.000000085用科学记数法表示为8.5×10﹣8米．【分析】根据科学记数法的表示方法，a×10 n，1＜a＜10，确定住a以后，从小数点往前有几位数就是10的几次方，即可得出答案．【解答】解：根据科学记数法的表示方法，0.000000085＝8.5×10﹣8．故答案为：8.5×10﹣815．如图，在△ABC中，已知AD⊥BC于点D，BD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C的度数为70°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AD⊥BC于点D，BD＝DC，∴AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C＝70°，故答案为：70°．16．若分式的值为0，则x的值为 2 ．【分析】根据分式的值为0的条件和分式有意义条件得出4﹣x2＝0且x+2≠0，再求出即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴4﹣x2＝0且x+2≠0，解得：x＝2，故答案为：2．17．计算：（﹣4）2020×0.252019＝ 4 ．【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．【解答】解：原式＝42019×0.252019×4＝＝12019×4＝1×4＝4．故答案为：418．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S n．设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：（1）S1＝1+；（2）通过探究，用含n的代数式表示S n，则S n＝（）•（n为整数）．【分析】根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．【解答】解：（1）∵第一个正方形的边长为1，∴正方形的面积为1，又∵直角三角形一个角为30°，∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是＝，∴三角形的面积为÷2＝，∴S1＝1+；（2）∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，∴S2＝（1+）•，依此类推，S3＝（1+）••，即S3＝（1+）•，S n＝（）•（n为整数）．三．解答题（共8小题）19．因式分解（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）a（3a﹣2）+b（2﹣3a）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式即可．【解答】解：（1）原式＝5m（x2﹣2xy+y2）＝5m（x﹣y）2；（2）原式＝（3a﹣2）（a﹣b）．20．计算（1）（2）【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算和零指数幂的意义计算；（2）利用完全平方公式、负整数指数幂和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：（1）原式＝++1＝2++1＝3+1；（2）原式＝2﹣2+1+2+2＝5．21．化简求值（1）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x＝2，y＝1（2）求的值，其中x＝+1．【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；（2）原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝4x2﹣y2﹣4y2+x2＝5x2﹣5y2，当x＝2，y＝1时，原式＝20﹣5＝15；（2）原式＝•﹣＝﹣＝＝﹣，当x＝+1时，原式＝﹣＝﹣（﹣1）＝1﹣．22．如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．【分析】设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2＝（4﹣x）2即可求解．【解答】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，即：22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，答：弯折点B与地面的距离为米．23．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．【分析】由△ABC是等边三角形和DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求出∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，推出∠D＝∠E＝∠F＝60°，推出DF＝DE＝EF，即可得出△DEF等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形，24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．【分析】（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE．（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．25．今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．（1）求购买一个A型垃圾桶、B型垃圾桶各需多少元？（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进A型和B型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，A型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%，B型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买A型和B型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个B 型垃圾桶？【分析】（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x+30）元，根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；（2）设此次可购买a个B型垃圾桶，则购进A型垃圾桶（50﹣a）个，根据购买A、B 两种垃圾桶的总费用不超过3240元，列出不等式解决问题．【解答】解：（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x+30）元，由题意得：＝×2解得：x＝50经检验x＝50是原方程的解，x+30＝80答：一个A型垃圾桶需50元，则一个B型垃圾桶需80元．（2）设此次可购买a个B型垃圾桶，则购进A型垃圾桶（50﹣a）个，由题意得50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3240解得a≤30∵a是整数，∴a最大等于30，答：该学校此次最多可购买30个B型垃圾桶．26．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题（填“真”或“假”）；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC 是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC 内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．【分析】（1）设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，即可得出结论；（2）由勾股定理得出a2+b2＝c2①，由Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，得出a2+c2＝2b2②，由①②得出b＝a，c＝a，即可得出结论；（3）①由勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，由已知得出2AD2＝AB2，AC2+CE2＝2AE2，即可得出△ACE是奇异三角形；②由△ACE是奇异三角形，得出AC2+CE2＝2AE2，分两种情况，由直角三角形和奇异三角形的性质即可得出答案．【解答】（1）解：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题，理由如下：设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，符合“奇异三角形”的定义，∴“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题；故答案为：真；（2）解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2＝2b2②，由①②得：b＝a，c＝a，∴a：b：c＝1：：；（3）①证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，∵AD＝BD，∴2AD2＝AB2，∵AE＝AD，CB＝CE，∴AC2+CE2＝2AE2，∴△ACE是奇异三角形；②解：由①得：△ACE是奇异三角形，∴AC2+CE2＝2AE2，当△ACE是直角三角形时，由（2）得：AC：AE：CE＝1：：，或AC：AE：CE＝：：1，当AC：AE：CE＝1：：时，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝75°；当AC：AE：CE＝：：1时，AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝105°；综上所述，∠DBC的度数为75°或105°．。