2012年全国高考数学试题及答案-安徽卷(理科)(带解析)(已校)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）参考公式：如果事件A 与B 互斥；则()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立；则()()()P AB P A P B =如果A 与B 是事件，且()0P B >；则()()()P AB P A B P B =第Ⅰ卷（答案:择题 共50分）一、答案:择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案:项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ） A.22i -- B.22i -+ C.i 2-2 D.i 2+2答案:D解析:55(2)()(2)5222(2)(2)i z i i z i z i i ii i +--=⇔-=⇔=+=+--+（2）下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是（ ） A.()f x x = B.()f x x x =- C.()f x x =+1 D.()f x x =-答案:C解析:()f x kx =与()f x k x =均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.3B.4C.5D.8 答案:B 解析:4.{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 答案:B解析:29311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 答案:C 11(45678)6,(5369)655x x =++++==⨯++=乙甲解析:甲的成绩的方差为221(2212)25⨯+⨯=，乙的成绩的方差为221(1331) 2.45⨯+⨯=（6）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥ 则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 即不充分不必要条件答案:A解析:①,b m b b a αβα⊥⊥⇒⊥⇒⊥ ②如果//a m ；则a b ⊥与b m ⊥条件相同 （7）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ）A.3-B.2-C.2D.3 答案:D解析:第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-=第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-= （8）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量O Q则点Q 的坐标是（ ）A.(-B. (-C. (2)--D.(2)- 答案:A解析:【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55O P θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44O Q ππθθ=++=- 【方法二】将向量(6,8)O P = 按逆时针旋转32π后得(8,6)O M =-则)(OQ OP OM =-+=-（9）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =；则A O B ∆的面积为（ ）A.22D.答案:C解析:设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3 得：1323cos cos 3θθ=+⇔=又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+A OB ∆的面积为113sin 1(3)22232S O F AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4 答案:D解析:261315132C -=-=①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人第II 卷（非答案:择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. （11）若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_________.答案：[3,0]-解析:约束条件对应A B C ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C则[3,0]t x y =-∈-（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_________. 答案：92解析:该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的表面积是12(25)4(2544922S =⨯⨯+⨯++++⨯=（13）在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是_________.解析:圆224sin (2)4x y ρθ=↔+-=的圆心(0,2)C直线:()06l R x πθρ=∈↔-=；点C 到直线l2=（14）若平面向量,a b满足：23a b -≤ ；则a b 的最小值是_________.答案：98-解析:22222349494449448a b a b a ba b a b a b a b a b a b -≤⇔+≤++≥≥-⇒+≥-⇔≥-（15）设A B C ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_________. ①若2ab c >；则3C π<； ②若2a b c +>；则3C π<；③若333a b c +=；则2C π<； ④若()2a b c ab +<；则2C π>；⑤若22222()2a b c a b +<,则3C π>.答案：①②③解析:①222221cos 2223a b cab ab ab c C C ababπ+-->⇒=>=⇒<②2222224()()12cos 2823a b ca b a b a b c C C ababπ+-+-++>⇒=>≥⇒<③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分12分)设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++（I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-；求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.解析:2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =-（I ）函数()f x 的最小正周期22T ππ==（II ）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=-当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得：函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩（17）（本小题满分12分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用 的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道 试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试 题库中A 类试题的数量. （Ⅰ）求2X n =+的概率；（Ⅱ）设m n =，求X 的分布列和均值（数学期望）. 解析:（I ）2X n =+表示两次调题均为A 类型试题，概率为12n n m nm n +⨯+++（Ⅱ）m n =时，每次调用的是A 类型试题的概率为12p =随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)P X n p ==-=，1(1)2(1)P X n p p =+=-=，21(2)4P X n p =+==111(1)(2)1424E X n n n n =⨯++⨯++⨯=+答：（Ⅰ）2X n =+的概率为12nn m n m n +⨯+++（Ⅱ）求X 的均值为1n +（18）（本小题满分12分）平面图形111ABB A C C 如图4所示，其中11BB C C 是矩形，12,4BC BB ==，AB AC ==，1111A B A C ==现将该平面图形分别沿B C 和11B C 折叠，使A B C ∆与111A B C ∆所在平面都与平面11BB C C 垂直，再分别连接111,,AA BA C A ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（Ⅰ）证明：1AA BC ⊥； （Ⅱ）求1AA 的长；（Ⅲ）求二面角1A BC A --的余弦值.解析:（I ）取11,B C B C 的中点为点1,O O ，连接111,,,A O O O A O A O则AB AC AO BC =⇒⊥，面A B C ⊥面11BB C C A O ⇒⊥面11BB C C同理：11A O ⊥面11BB C C 得：1111//,,,AO A O A O A O ⇒共面 又11,OO BC OO AO O ⊥=⇒ B C ⊥面111AO O A AA BC ⇒⊥ （Ⅱ）延长11A O 到D ，使1O D O A = 得：11////O D O A AD O O ⇒1O O BC ⊥，面111A B C ⊥面11BB C C 1O O ⇒⊥面111A B C ⇒AD ⊥面111A B C15AA ===（Ⅲ）11,AO BC A O BC AOA ⊥⊥⇒∠是二面角1A BC A --的平面角在11Rt OO A ∆中，1A O ===在1Rt OAA ∆中，2221111cos 25AO A O AA AO A AO A O+-∠==-⨯得：二面角1A BC A --的余弦值为5-（19）（本小题满分13分） 设1()(0)x xf x ae b a ae=++>（I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值. 解析:（I ）设(1)xt e t =≥；则2222111a t y at b y a atatat-'=++⇒=-=①当1a ≥时，0y '>⇒1y at b at=++在1t ≥上是增函数得：当1(0)t x ==时，()f x 的最小值为1a b a ++②当01a <<时，12y at b b at=++≥+当且仅当11(,ln )xat t e x a a====-时，()f x 的最小值为2b +（II ）11()()xxxxf x ae b f x ae aeae'=++⇒=-由题意得：2222212(2)333131(2)222f ae b a ae ef ae b ae ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨'=⎪⎪⎪-==⎩⎪⎪⎩⎩（20）（本小题满分13分）如图，12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的左，右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2P F 的垂线交直线2ax c=于点Q ；（I ）若点Q 的坐标为(4,4)；求椭圆C 的方程；（II ）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.解析:（I ）点11(,)(0)P c y y ->代入22221x y ab+=得：21by a=21204014ba PF Q F c c c--⊥⇔⨯=---- ①又24ac= ② 222(,,0)c a b a b c =->③由①②③得：2,1,a c b ===既椭圆C 的方程为22143xy+=（II ）设22(,)aQ y c；则221222012by a PF Q F y a a c c c c--⊥⇔⨯=-⇔=--- 得：222PQba c a k a a c c-==+2222221b xx y y y a b -'+=⇒=⇒=过点P 与椭圆C 相切的直线斜率x cP Q c k y k a=-'===得：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.（21）（本小题满分13分）数列{}n x 满足：2*110,()n n n x x x x c n N +==-++∈（I ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < （II ）求c 的取值范围，使数列{}n x 是单调递增数列. 解析:（I ）必要条件当0c <时，21n n n n x x x c x +=-++<⇒数列{}n x 是单调递减数列充分条件数列{}n x 是单调递减数列22121110x x x x c c x ⇒>=-++⇔<=得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <（II ）由（I ）得：0C ≥①当0c =时，10n a a ==，不合题意②当0c >时，22132,201x c x x c c x c c =>=-+>=⇔<<2211010n n n n n x x c x x c x x +-=->⇔<<⇔=≤<22211111()()()(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++++++-=--+-=--+-当14c ≤时，1211102n n n n n x x x x x +++<≤⇒+-<⇔-与1n n x x +-同号，由212100n n n n x x c x x x x ++-=>⇒->⇔>21lim lim ()lim n n n n n n n x x x c x +→∞→∞→∞=-++⇔=当14c >时，存在N ，使121112N N N N N x x x x x +++>⇒+>⇒-与1N N x x +-异号与数列{}n x 是单调递减数列矛盾 得：当104c <≤时，数列{}n x 是单调递增数列.。