常州市北郊中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
江苏省常州市2019年高三上学期期中数学试卷(理科)C卷
江苏省常州市2019年高三上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合若，则实数a的取值范围（）A .B .C .D .2. （2分）下列四个命题中，真命题是（）A . 和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线B . 和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线C . 和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线D . 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线3. （2分） (2017高二下·伊春期末) 若，则角的终边在第几象限（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）(2018·石嘴山模拟) 已知向量，且，则实数（）A . 3B . 1C . 4D . 25. （2分） (2016高三上·莆田期中) 若f（x）= ，且f（f（e））=10，则m的值为（）A . 2B . ﹣1C . 1D . ﹣26. （2分）在等差数列中，，则等差数列的前13项的和为（）A . 24B . 39C . 52D . 1047. （2分）在等差数列3,7,11 …中,第5项为（）A . 15B . 18C . 19D . 238. （2分） (2017高三上·定州开学考) 已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A . （1，10）B . （5，6）C . （10，12）D . （20，24）9. （2分）(2015·岳阳模拟) 若变量x，y满足不等式组，且z=3x﹣y的最大值为7，则实数a 的值为（）A . 1B . 7C . ﹣1D . ﹣710. （2分）当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是（）A .B .C .D .11. （2分）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（）A . 不能作出这样的三角形B . 作出一个锐角三角形C . 作出一个直角三角形D . 作出一个钝角三角形12. （2分）(2018·台州模拟) 已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·临沂模拟) 设，则二项式展开式中x2项的系数为________ （用数字作答）．14. （1分） (2018高二下·泰州月考) 定义在上的函数满足 ,当时,，则函数在上的零点个数是________.15. （1分）函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为________16. （1分）(2017·石景山模拟) 如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=________三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分） (2018高二下·长春月考) 已知：实数满足，其中，：实数满足（1）当，且为真时，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18. （5分）在△A BC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA+bsinB﹣csinC=bsinA．（Ⅰ）求∠C的度数；（Ⅱ）若c=2，求AB边上的高CD的最大值．19. （5分） (2017高三上·石景山期末) 2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量频数频率0至5个006至10个300.311至15个300.316至20个a c20个以上5b合计1001（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．20. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．21. （10分） (2018高二下·中山月考) 已知函数（为常数，且），当时有极大值.（1）求的值；（2）若曲线有斜率为的切线，求此切线方程.22. （5分） (2017高二上·临淄期末) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0．（Ⅰ）说明C是哪种曲线？并将C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与C交于A，B两点，|AB|= ，求l的斜率．23. （10分） (2018高二下·定远期末) 已知函数 .（1）若函数的最小值是，且，，求的值；（2）若，且在区间上恒成立，试求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、第11 页共11 页。
江苏省常州市2019届高三数学期中试卷(理)
常州市2019届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1．设集合}{2A x x =≤，2{1}y y B x ==-，则A B ⋂= ▲ ． 2．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，若a b ⊥，则实数x 的值为 ▲ ． 3．设x ∈R ，则38x >是2x >的 ▲ 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23108a a a ++=，则9S = ▲ ． 5．已知()f x '是函数()sin cos f x x x =-的导函数，实数α满足()()3f f αα'= ，则tan 2α的值为 ▲ ．6．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则实数λ的值为 ▲ ．7．已知函数()(1)()f x x px q =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为 ▲ ．8．在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是 ▲ ．9．函数()log 31a y x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为 ▲ ．10．已知λ∈R ，函数()245,1,xx x x f x e x λλ⎧--<=⎨-≥⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则实数λ的取值范围是 ▲ ．11．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，若3BC CE =，AF AB λ=，且1AE DF ⋅=-，则实数λ的值为 ▲ ．12．已知不等边ABC ∆（三条边都不相等的三角形）的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若()()221cos cos 2a b B c C b c -=-，则A ∠的弧度数为 ▲ ．13．已知定义在R 上的函数()xf x =若存在实数a ，使得对任意实数x 都有()f x a k -<成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．14．若正实数x 、y 满足229x xy y -+=，且229x y -<，则xy 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()sin A B C +=8sin sin sin 7B C A +=，7=a .⑴ 求角A 的值； ⑵ 求ABC ∆的面积．16．（本题满分14分）已知O 为坐标原点，()cos ,1OA x =，()2cos 2OB x x=，R x ∈，若()f x OA OB =⋅.⑴ 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；⑵ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．17．（本题满分14分）常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大18．（本题满分16分）已知函数22()ln f x x ax a x =--． ⑴ 讨论()f x 的单调性；⑵ 若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分16分）设函数()()()3f x x t m x t =---，其中t ，R m ∈．⑴ 若1t =，0m =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； ⑵ 若9m =，求()f x 的极值； ⑶ 若曲线()y f x =与直线()y x t =---求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为nS ．已知()()*623N n n S n a n n =++∈，设()()412121n n a c n n -=-+.⑴ 求证：当2n ≥时，1n n c c --为常数； ⑵ 求数列{}n a 的通项公式；⑶ 设数列{}n b 是正项等比数列，满足：11b a =，32b a =，求数列{}n n a b 的前n 项的和n T ．2019届第一学期期中考试 高三理科数学试题参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1． {} -21x x ≤≤ 2．2 3．充分不必要 4．24 5． 43- 6．1 7． (,2)(4,)-∞+∞ 8． EF9．3+． (]()1,05,-+∞ 11． 1412．23π 13．1214．(]6,9 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解：（1）由A B C π++=，故A C B cos )cos(-=+，得sin A A -=，----------------------------------------------------------------------------2分即2sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin 32A π⎛⎫-=⎪⎝⎭------------------------------------------------4分又2333A πππ-<-<，∴33A ππ-=， 即23A π=；-----------------------------------------------------------------------------------------------7分 （2）由已知8sin sin sin 7B C A +=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得87b c a +=， 7a =，8b c ∴+=，----------------------------------------------9分由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 得bc bc bc c b -=+-+=642)(492，解得15=bc ，-------------------------------------------------------------------------------------------12分∴ABC∆的面积为4315sin 21=A bc ．---------------------------------------------------------14分16． 解： (1)由题意()cos ,1OA x =，()2cos ,3sin 2OB x x =， 所以()22cos 3sin2cos23sin212sin(2)16f x x x x x x π=+=++=++，----------------3分 ∴的最小正周期为2ππ2T ==，---------------------------------4分令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以的单调递增区间为[,],36k k k Zππππ-+∈.--------------------------------------------6分 (2)由(1)得()2sin(2)16f x x π=++，所以将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数2sin()16y x π=++；---------------------------------------------------------------------------8分再将得到的图象向左平移4π个单位，得到()52sin()12sin()14612g x x x πππ=+++=++，-----------------------------------------10分5,1212x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣∈⎦，5,35612x πππ⎡+∴∈⎤⎢⎥⎣⎦，当51256x ππ+=即512x π=时，()min 552sin 12126g x g ππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，----------------------13分 即函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2． ---------------------14分17．解（1）由题意知()2120010,210()1200,1020k t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，N t ∈，（k 为常数），---------2分()2(2)1200102560p k =--=，10k ∴=，-----------------------------------------3分()22200200,21012001010,210()1200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧-++≤<--≤<⎪∴==⎨⎨≤≤≤≤⎪⎩⎩，----------------5分()2(6)1200101061040p ∴=-⨯-=，-----------------------------------------6分（2）由6()3360360p t Q t-=-，可得 ()212001010560660,2103840360,1020t t t Q t t ⎧⎡⎤---⎪-≤<⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦=⎨⎪-≤≤⎪⎩，-----------------------------------------8分当210t ≤<时，()3661401061401012120Q t t ⎡⎤⎛⎫=-+≤⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当且仅当6t =时等号成立；-----------------------------------------10分当1020t ≤≤时，7200336036038436024Q t-=-≤-=，当10t =时等号成立，------12分 ∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.- ----- 14分18．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()222'222x a x a a x ax a f x x a x x x +---=--==，------------------------------2分①若0a =，则2()f x x =，在()0,+∞单调递增；-----------------------------------------3分②若0a >，则由()0f x '=得x a =．当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增；-----------------------------------------5分③若0a <，则由()0f x '=得2ax =-． 当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当,2ax ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增．---------------------------------------7分（2）①若0a =，则2()f x x =，所以()0f x ≥．-----------------------------------------8分 ②若0a >，则由（1）得， 2min ()()ln f x f a a a ==-，从而当且仅当2ln 0a a -≥即1a ≤时，()0f x ≥，01a ∴<≤.-----------------------------------------11分③若0a <，则由（1）得， 2min 3()()ln 242a a f x f a ⎡⎤⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，-------------13分 从而当且仅当23ln 042a a ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即342a e ≥-时，()0f x ≥，3420e a ∴-≤<.-----------------------------------------15分 综上，实数a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.-----------------------------------------16分 19．解：（1）函数()()()3f x x t m x t =---，1t =，0m =时，()()31f x x =-，()()2'31f x x ∴=-，()01f ∴=-，()'03f =，-----------------------------------------2分∴()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为31y x =-；-----------------------------------------3分（2）当9m =时，()()()39f x x t x t =---，()()(2'393f x x t x t x t =--=--，-----------------------------------------4分 令()'0f x =，解得3x t =+或3x t =-；当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表； x （﹣∞， 3t -） 3t - （t 2﹣，t 2+）3t +（3t ++∞）()'f x + 0 ﹣ 0 + ()f x 单调增 极大值 单调减 极小值单调增 ----------------------------------------6分 ∴()y f x =的极大值为(((333933f t -=--=， 极小值为((333363f t +=-=-；-----------------------------------------8分（3）令u x t =-，可得()31420u m u +-+=；设函数()()31g x x m x =+-+，则曲线()y f x =与直线()y x t =---()y g x =有三个不同的零点；-----------------------------------------9分 又()()'231g x x m =+-，当1m ≤时，()'0g x ≥恒成立，此时()g x 在R 上单调递增，不合题意； ----------------10分当1m >时，令()'0g x =，解得1x =2x = ∴()g x 在()1,x -∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上也单调递增；∴()g x 的极大值为())321109m g x g ⎛-==+> ⎝；极小值为())32219m g x g --==+；-----------------------------------------12分 若()20g x ≥，由()g x 的单调性可知，函数()g x 至多有两个零点，不合题意；若()20g x <，即()321m ->，解得7m >，-----------------------------------------13分2x >，0g =>，且1x -<； ((610g m -=--<，-----------------------------------------15分 从而由()g x 的单调性可知，()y g x ∴=在区间()1x -，()12,x x ，(2x 内各有一个零点，符合题意；∴m 的取值范围是()7,+∞．-----------------------------------------16分20．解：（1）由题意：n =1时，111651,1S a a =+∴=；--------------------------------------1分当2n ≥时，116(21)1n n S n a n --=++-，16(23)(21)1n n n a n a n a -∴=+-++，1(23)(21)1,n n n a n a -∴-=+-1(21)123n n n a a n -+-∴=-， -----------------------------------3分()()()()()()()()1111(21)141414141232121232121212321n n n n n n n a a a a n c c n n n n n n n n ----+------∴-=-=--+---+--()()()()114141023212321n n a a n n n n ----=-=----，--------------------------------------5分 ∴当2n ≥时，1n n c c --为常数0. --------------------------------------6分（2）由（1）得，{}n c 是常数列. 1141113a c -==⨯，11n c c ∴==，----------------------------------8分()()4112121n a n n -∴=-+，∴ 2n a n =.--------------------------------------10分（3）由（2）知：131,4b b ==，数列{}n b 是正项等比数列，所以，公比为2，12n n b -=，2321142921622n n T n -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯……③，2322242922n n T n =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯……④，③-④得：23121325272(21)22n n n T n n --=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+--⨯，-------------------------------------12分设2311325272(21)2n n P n -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-……⑤， 2312123252(23)2(21)2n n n P n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-……⑥， ⑤-⑥得：231122222222(21)2n n n P n --=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--，--------------------------------------14分 12(22)(21)2,(23)23n n n n n P n =+---∴=-+，2(23)23n n T n n ∴=-+-.-----------------------------------------16分。
常州高级中学2019年-2020年第一学期高三年级数学期中模拟试卷
江苏省常州高级中学高三年级第一学期期中测试卷1. 已知集合}{4321、、、=A ，}{6420、、、=B ,则=⋂B A2. 若复数z 满足i*z=1+2i(其中i 为虚数单位),则z 的模为3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ,若11S =13，3086=+a a ，则1a 的值为4. 上图是一个算法的流程图，则输出的n 为5. 如图，已知长方体棱长为1，点P 在1AA 上任意一点，则四棱锥P -11B BDD 的体积为6. 已知实数0,>y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则z=y x +2的最大值为 7. 在平行四边形ABCD 中，AB=3,AD=1,∠BAD=60°，若CE ⋅则2的值为 8. k ,4,9)2(3122则实数两点，若相交于）圆（直线==-+-+=AB B A y x kx y9. []_______2121-,4)()()32sin(2)(的最大值为，则π，π且，若π已知x x x f x f x x f -∈-=⋅-=10. _____2201010)6,0(程为切于原点的圆的标准方且与圆：过点=+++y x y x A11. ___________2a )()()()(=-+==则只有一个零点，上单调函数，若函数是已知奇函数x a f x f x g R x f y12. 的最大值为，则若的对边分别为中，在△A C b a c b a C B A ABC tan 0cos 3,,,,,=+,,,0442:13_______22成等比数列，则满足：内的点圆的中点为轴截得的弦被、已知圆PB PN PA P C N AB x y x y x C ⋅=-+-+的取值范围个不同实数解，则实数有且仅有的方程、若关于3)2(22142x x e x ae x a x -=---二、解答题1、(本题满分14分)的值求为垂足，若）设（的大小求角且的对边分别为中，在△AC AD c b D BC AD A B b c A b c b a C B A ABC ⋅==⊥-=,3,2,2).1(.tan )2(tan ,,,,,16、(本题满分14分)ABCCEF CC BB EF AB C A F E AC A C C AA ABC C C AA ABC C B A 平面平面平面的中点，求证、分别是，是菱形，侧面底面中，侧面如图，斜三棱柱⊥︒=∠⊥-)2(//)1(;.60,11111111111117、(本题满分14分)如图，某市有一天东西走向的公路l 现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ，在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路，l 、m 欲在建一条公路PQ ，Q P ,分别在公路的l 、m 上（点Q P ,分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切。
江苏省常州高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
江苏省常州高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）A ．3)43sin(2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=πx x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πx x g【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 2． 函数f （x ）＝kx ＋b x ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．43． 已知集合2{|20}A x R x x =∈+-<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+，则A B =（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．[1,1)- D ．(1,1]-4． 自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）A ．86210x y --=B ．86210x y +-=C ．68210x y +-=D ．68210x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．5． 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ） A.61B.31C. 1D.34意在考查学生空间想象能力和计算能B=（）3b=（）)，则loga.）C．80 D．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.N=，则输出的S的值是（）9．在下面程序框图中，输入44A．251B．253C．255D．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 10．两个随机变量x，y的取值表为若x，y具有线性相关关系，且y^＝bx＋2.6，则下列四个结论错误的是（）A．x与y是正相关B．当y的估计值为8.3时，x＝6C．随机误差e的均值为0D．样本点（3，4.8）的残差为0.6511．设集合A＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，B＝{x|（x＋2）（x－3）＜0}，则A∩B＝（）A．{－1，0，1，2}B．{－1，1}C．{1} D．{1，3}12．已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 14．函数的最小值为_________.15．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3π，则|2|+=a b ．16．已知集合{}5,4,3,2,1=A ，{}6,4,2=B ，则)(B A C A =_____________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。
最新精品江苏省常州市2019届高三上学期期中教学质量调研数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年江苏省常州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由命题“，是真命题，利用判别式不大于零，即可求出实数的取值范围．【详解】因为命题“，”是真命题，所以，即．即所求的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查的知识点是全称命题的真假判断与应用，以及一元二次不等式恒成立问题，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题．2.已知集合m，，1，，若，则______．【答案】【解析】【分析】由集合，，，求出，，由此能求出．【详解】集合，，，，，．故答案为．【点睛】本题主要考查交集定义，是基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.3.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，0的指数幂的底数不为0，联立不等式组求解．【详解】要使函数有意义，则，解得且．函数的定义域为．故答案为．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属于简单题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.函数的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期．【详解】函数的最小正周期是，故答案为．【点睛】本题主要二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.5.已知函数，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出的值，即可得结果．【详解】因为当时，，所以，因为时，，所以，则，故答案为．【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现的形式时，应从内到外依次求值．6.已知，，若向量与共线，则实数的值为______．【答案】1【解析】【分析】先求出的坐标，然后根据向量的共线得到的值．【详解】因为，，所以.又向量与共线，所以，解得．故答案为1．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量共线的充要条件，解题的关键是熟知向量运算的坐标表示．7.底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为______．【答案】【解析】【分析】利用底面半径都是3且高都是4，直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．【详解】圆柱与圆锥的底面半径，圆柱与圆锥的高，可得圆锥的母线长为，则圆锥的全面积为：；圆柱的全面积为：．圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．故答案为．【点睛】本题主要考查圆锥与圆柱的性质，以及圆锥、圆柱的全面积，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．8.设不等式组表示的平面区域为D，是区域D上任意一点，则的最大值与最小值之和是______．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，表示可行域内的点到原点的距离，由可行域求出最大值与最小值，从而可得到结果．【详解】做出不等式组表示的平面区域，如图，的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，由图可知，的最小值为原点到直线的距离，为，由，解得的最大值为．则的最大值与最小值之和．故答案为．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.定义在R上的偶函数其中a、b为常数的最小值为2，则______．【答案】2【解析】【分析】由偶函数的定义可得，运用绝对值不等式的性质可得最小值为，可得的值，进而得到所求和．【详解】定义在上的偶函数，可得，即，且，恒成立，可得，由，可得的最小值为，且，从而得，，则，故答案为2．【点睛】本题考查绝对值函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的性质，考查偶函数的定义,意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．10.在等腰梯形中，∥，，，，若，，且，则实数的值为______．【答案】【解析】依题意得∥,，.∵∴∴∵∴∵∴∴故答案为.11.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的、有，则______．【答案】【解析】【分析】函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象．若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，讨论，与，两种情况，分别求出值，检验是否符合条件即可.．【详解】因为函数的周期为，函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象．满足的可知，一个取最大值一个取最小值因为，若，，在取最大值，在取得最小值，，此时，不合题意，，，在取最小值，在，取得最大值，，此时，满足题意．故答案为．【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，三角函数的最值以及三角函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12.在等比数列中，已知，若，则的最小值是______．【答案】12【解析】【分析】利用等比数列的通项公式化简，可得根据可判断将变形为，利用基本不等式的性质即可得出结果．【详解】在等比数列中，，，化为：．若，则，当且仅当时取等号．若，则，与矛盾，不合题意综上可得，的最小值是，故答案为12．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 13.在中，，，当角A最大时，则的面积为______．【答案】3【解析】【分析】建立坐标系，设，，，，，根据向量的几何意义可得，分别求出，，根据两角和的正切公式，利用基本不等式求出的最大值，即可求出的面积．【详解】中，，，，即，过作，垂足为，可得，设，，，，，，，，当且仅当即时去等号当时，角即最大，此时边上的高，的面积,故答案为3.【点睛】本题考查了向量的几何意义，以及解三角形和正切函数的和差公式，基本不等式的应用，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14.已知函数，若关于x的函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据的图象判断的解的情况，从而得出关于的方程根的分布情况，根据二次函数的性质列不等式组可解出的范围．【详解】作出的函数图象如右：设，则当或时，方程只有1解，当或时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．关于的函数有6个不同的零点，关于的方程在上有两解，，解得．故答案为【点睛】本题考查了方程根的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，属于难题．函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知向量，，其中，且．求的值；若，且，求角．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由得，从而，进而，由此能求出；由，，得，，由，且，；利用两角差的正弦公式化简可得，结合平方关系，可得，由此能求出的值．【详解】向量，，其中，且．，，，．，，，，，且，，，，，解得或舍，，．【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.16.如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形，为边的中点，底面.（1）求证：平面；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由图得到四边形为平行四边形，所以，所以平面；（2），，所以平面，所以平面平面 .试题解析：证明：因为四棱柱为四棱柱，所以且，又为边的中点，所以，即，又，所以，即，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.(2)由（1）知四边形为平行四边形，且，所以四边形为菱形，所以，又底面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面 .17.如图，在海岸线l一侧P处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便登岛游客，在l上设立了M，N两个报名接待点，P，M，N三点满足任意两点间的距离为公司拟按以下思路运作：先将M，N两处游客分别乘车集中到MN之间的中转点Q处点Q异于M，N两点，然后乘同一艘游轮由Q处前往P岛据统计，每批游客报名接待点M处需发车2辆，N处需发车4辆，每辆汽车的运费为20元，游轮的运费为120元设，每批游客从各自报名点到P岛所需的运输总成本为T元．写出T关于的函数表达式，并指出的取值范围；问：中转点Q距离M处多远时，T最小？【答案】（1），其中；（2）【解析】【分析】利用正弦定理求得，，则，由利润与运费的关系可求出函数的解析式；由（1）可得，其中，通过函数的导数判断函数的单调性，利用单调性求解函数的最值即可．【详解】由题知在中，，，，，由正弦定理知，即，，则，由题意可得，，其中，由，其中得，，令解得，，存在唯一的，使得，当时，，即函数S在区间上为单调递减，当时，，即函数S在区间上为单调递增，故当即时，T最小，则，答：当中转点Q距离M处时，S最小.【点睛】本题考查函数与导数的实际应用，考查利用导数求函数的最值的求法，属于难题．利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可求得函数的最值.18.已知函数．若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；当时，若函数在上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】求出函数的导数，得到极值点，当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性，利用函数的极值结合函数的零点推出函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数有两个极值点，推出，.若，由可得的值；若，由可得，不符合题意舍去，通过若；若，转化求解即得到实数的值．【详解】，由，得到，，当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，又因为函数的图象过点，即，所以函数在内没有零点，不合题意，当时，由得，即函数在区间上单调递增，由得，即函数在区间在上单调递减，且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，即，解得，综上可得函数在内有且只有一个零点时，此时函数的单调递增区间为，，单调递减区间为当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，且，，，若，即，也即时，此时，又，由可得，即，符合题意若，即，也即时，此时，，由可得，即，不符合题意舍去，又，若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去，综上所述可知所求实数a的值为【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19.在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．求证：是等比数列；设m是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．【答案】（1）详见解析；（2），；【解析】试题分析：（1）由已知条件构造数列的递推关系，从而根据定义证得等比数列；（2）由已知构造数列的递推关系，从而求得通项公式，结合数列的通项公式求得数列的通项公式，代入已知关系式化简为形如的不定方程，由的范围得的范围，从而得到可能的取值；试题解析：（1）由，，成等差数列可得，，①由，，成等差数列可得，，②①+②得，，所以是以6为首项、为公比的等比数列．（2）由（1）知，，③①-②得，，④③④得，，代入，得，所以，整理得，，所以，由是不超过100的正整数，可得，所以或，当时，，此时，则，符合题意；当时，，此时，则，符合题意．故使成立的所有数对为，．考点：1.等比数列的概念及通项公式；2.不定方程的整数解问题；20.已知函数，．若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围；设m，n为正实数，且，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】求出导函数，得到函数的极值点，解得，求出切线的斜率为，切点为，然后利用点斜式求解切线方程；由知，利用函数在区间上为单调递减函数，得到在区间上恒成立，推出，设，，，利用基本不等式，再求出函数的最大值，可得实数的取值范围；利用分析法证明，要证，只需证，设，，利用导数研究函数的单调性，可得,从而可得结论．【详解】，．是函数的极值点，，解得，经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意此时切线的斜率为，切点为，则所求切线的方程为由知因为函数在区间上为单调递减函数，所以不等式在区间上恒成立即在区间上恒成立，当时，由可得，设，，，当且仅当时，即时，，又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，且，，所以当时，恒成立，即，也即则所求实数a的取值范围是，n为正实数，且，要证，只需证即证只需证设，，则在上恒成立，即函数在上是单调递增，又，，即成立，也即成立.【点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围绕性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．。
常州市北郊中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
常州市北郊中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如由2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 2． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1 C D3． 若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）A ．(]0,2016B ．[]0,2015C ．(]1,2016D ．[]1,20173.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥4． 将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移4π个单位长度，所得的图象经过点 )0,43(π，则ω的最小值是（ ） A ．31 B ． C ．35D ．5． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.6． 已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭等于（ ） A ．15- B ．15C ．-5D ．57． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ）A ．14B ．18C ．23D ．1128． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）AB ． C． D．9． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则s i n :s i n C A =（ ） A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．10．圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2213y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ） AB ．2 CD．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．11．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ） A ．2 B ．73 C.83D ．312．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22ABC AA BC BAC π=∠=，，,此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）A ．323π B ．16π C.253π D ．312π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 14．已知x ，y满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．15．已知,a b 为常数，若()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，,则5a b -=_________.16．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。
届常州市高三数学模拟试卷及答案
届常州市高三数学模拟试卷及答案2018届常州市高三数学模拟试卷及答案如何做到准确地把握高考数学的考点，那就是多做一些高考数学的模拟试卷，以下是店铺为你整理的2018届常州市高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届常州市高三数学模拟试卷题目一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= .2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .3.函数f(x)= 的定义域为.4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为.6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为.7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为.8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为.10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2 ，则直线l 的方程为.11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足= + ，且• =1，则实数λ的值为.12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )=.13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为.14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为.二.解答题：本大题共6小题，共计90分15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=(1)求边c的长;(2)求角B的大小.16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且O E∥平面BCC1B1(1)求证：E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成α的函数l=f(α);(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程：(2)过点D( ，﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=(1)求证：数列{ }为等比数列;(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.[选修4-5：不等式选讲]24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.四.必做题：每小题0分，共计20分25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1)tannθ;(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ]. 2018届常州市高三数学模拟试卷答案一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= {6，7} .【考点】补集及其运算.【分析】解不等式化简集合M，根据补集的`定义写出运算结果即可.【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁UM={6，7}.故答案为：{6，7}.2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由z+i= ，得 = ，则|z|= .故答案为： .3.函数f(x)= 的定义域为{x|x> 且x≠1}.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可.【解答】解：由题意得：，解得：x> 且x≠1，故函数的定义域是{x|x> 且x≠1}，故答案为：{x|x> 且x≠1}.4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码.【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案.【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3;当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4;当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5;当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24.故答案为：24.5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300 .【考点】分层抽样方法.【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数.【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是 =∴该校高二年级学生人数为 =300，故答案为：300.6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积.【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO= AC= .在直角三角形POA中，PO= = =1.所以VP﹣ABCD= •SABCD•PO= ×4×1= .故答案为： .7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率.【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n= =6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1，2)，(2，4)，共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p= .故答案为： .8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为 2 .【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值.【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，则双曲线﹣ =l的右焦点为(2，0)，即有c= =2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e= =2.故答案为：2.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为 2 .【考点】等比数列的通项公式.【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值.【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，∴ ，解得，∴a8= =(a1q)(q3)2=8× =2.故答案为：2.10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2 ，则直线l 的方程为x﹣y﹣1=0 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论.【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得(m2+1)y2+2my﹣4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0.11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足= + ，且• =1，则实数λ的值为﹣或1 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求• 即可.【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足= + ，∴ ﹣=λ ，∴ =λ ;又 = ﹣=( +λ )﹣= +(λ﹣1) ，∴ • =λ •[ +(λ﹣1) ]=λ • +λ(λ﹣1)=λ×2×1×cos60°+λ(λ﹣1)×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1.故答案为：﹣或1.12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )= 2 ﹣4 .【考点】两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数.【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan 的值，可得tan(α+ )的值.【解答】解：sinα=3sin(α+ )=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα，∴tanα= .又tan =tan( ﹣ )= = =2﹣，∴tan(α+ )= = = =﹣ =2 ﹣4，故答案为：2 ﹣4.13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为 4 .【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x<1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可.【解答】解：当x≥1时， = ，即lnx= ，令g(x)=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g(1)=﹣ <0，g(2)=ln2﹣ =ln >0，g(4)=ln4﹣2<0，由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx﹣，有2个零点.(结合函数y= 与y= 可知函数的图象由2个交点.)当x<1时，y= ，函数的图象与y= 的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f(x)|﹣的零点个数为：4个.故答案为：4.14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1 .【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】由题意可得x> ，y>0，又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y= 时取得等号，设f(x)=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22>0，则x> ，y>0，又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，其中y3﹣y2+ y=y(y2﹣y+ )=y(y﹣)2≥0，即y3﹣y2≥﹣ y，当且仅当y= 时取得等号，设f(x)=x3﹣x2，f(x)的导数为f′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2)，当x= 时，f(x)的导数为×( ﹣2)= ，可得f(x)在x= 处的切线方程为y= x﹣ .由x3﹣x2≥ x﹣⇔(x﹣)2(x+2)≥0，当x= 时，取得等号.则x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)≥ x﹣﹣y≥ ﹣ =1.当且仅当x= ，y= 时，取得最小值1.故答案为：1.二.解答题：本大题共6小题，共计90分15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=(1)求边c的长;(2)求角B的大小.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.相加即可得出c.(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A﹣B= ，可得A=B+ ，C= ，可得sinC=sin .代入可得﹣16sin2B= ，化简即可得出.【解答】解：(1)∵acosB=3，bcosA=l，∴a× =3，b× =1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.相加可得：2c2=8c，解得c=4.(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A﹣B= ，∴A=B+ ，C=π﹣(A+B)= ，可得sinC=sin .∴a= ，b= .∴ ﹣16sin2B= ，∴1﹣﹣(1﹣cos2B)= ，即cos2B﹣ = ，∴﹣2 ═ ，∴ =0或 =1，B∈ .解得：B= .16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1(1)求证：E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的性质.【分析】(1)利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论.(2)利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.【解答】证明：(1)连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1;∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点;(2)∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC.17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f(α);(2)求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小?并求最小值.【解答】解：(1)设上底长为a，则S= ，∴a= ﹣，∴l= ﹣+ (0<α< );(2)l′=h ，∴0<α< ，l′<0，<α< ，l′>0，∴ 时，l取得最小值 m.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程：(2)过点D( ，﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)由题意可知2c=2，c=1，离心率e= ，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：(2)则直线PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值.【解答】解：(1)由题意可知：椭圆 + =l (a>b>0)，焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程： ;(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A( ，0)，由题意PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣，则，整理得：(2k2+1)x2﹣(4 k2+4 k)x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，则y1+y2=k(x1+x2)﹣2 k﹣2 = ，则kAP+kAQ= + = ，由y1x2+y2x1=[k(x1﹣)﹣]x2+[k(x2﹣)﹣]x1=2kx1x2﹣( k+ )(x1+x2)=﹣，kAP+kAQ= = =1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数f(x)的导数，问题转化为a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，根据函数的单调性求出a的范围即可;(2)问题转化为(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解：(1)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a，f′(x)=lnx+ +1﹣a，若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，g′(x)= ，令g′(x)>0，解得：x>1，令g′(x)<0，解得：0故g(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增，故g(x)min=g(1)=2，故0(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，即(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤(x+1)lnx恒成立，令m(x)=(x+1)lnx，(x≥1)，则m′(x)=lnx+ +1，由(1)得：m′(x)≥2，故m(x)在[1，+∞)递增，m(x)≥m(1)=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意;②0令n(x)=(x+1)lnx，(0则n′(x)=lnx+ +1，由(1)n′(x)在(0，1)递减，故n′(x)>n(1)=2，故n(x)在(0，1)递增，故n(x)故a≥0，而a为正实数，故a>0.20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=(1)求证：数列{ }为等比数列;(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.【分析】(1)数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，化为：=2× ，即可证明.(2)由(1)可得：= ，可得=n •4n﹣1.数列{bn}满足bn= ，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t.(3)根据(2)的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1.【解答】(1)证明：数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，∴ = an+1，即 =2 ，∴数列{ }是以a1为首项，以2为公比的等比数列.(2)解：由(1)可得： = ，∴ =n •4n﹣1.∵bn= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，∵数列{bn}是等差数列，∴2× = + ，∴ = + ，化为：16t=t2+48，解得t=12或4.(3)解：数列{bn}是等差数列，由(2)可得：t=12或4.①t=12时，bn= = ，Sn= ，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，∴ × ﹣a14n2=16× ，∴ = ，n=1时，化为：﹣ = >0，无解，舍去.②t=4时，bn= = ，Sn= ，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm 成立，∴ × ﹣a14n2=16× ，∴n =4m，∴a1= .∵a1为正整数，∴ = k，k∈N*.∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且= k，k∈N*}.四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.【考点】弦切角.【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小;考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长.【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°;又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是 .[选修4-2：矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值.【考点】特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换.【分析】(1)先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)换成(﹣2，4).得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M;(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2.【解答】解：(1)设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，则 =8 = ，故，由于矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)换成(﹣2，4).则 = ，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= .(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【考点】简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程.【分析】(1)先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程.(2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可.【解答】解：(1)ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4;因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即 .[选修4-5：不等式选讲]24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.【考点】二维形式的柯西不等式.【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得+ + 的最大值.【解答】解：由柯西不等式可得( + + )2≤[12+12+12][( )2+( )2+( )2]=3×12∴ + + ≤3 ，当且仅当 = = 时取等号.∴ + + 的最大值是6，故最大值为6.四.必做题：每小题0分，共计20分25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.【分析】(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角.(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值.【解答】解：(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz.则A(1，﹣1，0)，B(1，1，0)，C(﹣1，1，0)，D(﹣1，﹣1，0)，…设P(0，0，p)，则 =(﹣1，1，p)，又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p= ，∵ = = =( )，=( )，∴ =(﹣1，1，﹣ )， =(0，，﹣ )，设异面直线MN与PC所成角为θ，则c osθ= = = .θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°.(2) =(﹣1，1，﹣ )， =(1，1，﹣ )， =( ，﹣ )，设平面PBC的法向量 =(x，y，z)，则，取z=1，得 =(0，，1)，设平面PNC的法向量 =(a，b，c)，则，取c=1，得 =( ，2 ，1)，设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ= = = .∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为 .26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1) tannθ;(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].【考点】数列的求和.【分析】(1)利用sin = ，即可得出.(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.利用等比数列的求和公式即可得出.【解答】证明：(1)an=sin tannθ，当n=2k(k∈N*)为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0;当n=2k﹣1为奇函数时，an= •tannθ=(﹣1)k﹣1tannθ=(﹣1) tannθ.(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ.∴S2n= = sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].【2018届常州市高三数学模拟试卷及答案】。
常州市北郊中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
常州市北郊中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0e kt P P -=（0P，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时.A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.2． 二项式(1)(N )n x n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．3． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④4． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）A ．5A ∈B ．1.5A ∉C ．1A -∉D ．0A ∈5． 已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）A ．6B ．0C ．2D ．2 6． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMCE -的体积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=21V V （ ）1111] A ．41 B ．31 C ．21 D ．不是定值，随点M 的变化而变化7． 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数， Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若2PQ QF =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=8． 在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.9． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．D ．10．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）ABCD11．一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）A.4πB.C. 5πD. 2π+ 【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．12．已知集合{}{}2|10,,|03,A x x x R B x x x R =-≥∈=≤<∈，则A B =（ ）A ．{}|13,x x x R <<∈B ．{}|13,x x x R ≤≤∈C ．{}|13,x x x R ≤<∈D ．{}|03,x x x R <<∈二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知直线：043=++m y x （0>m ）被圆C ：062222=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的距离的2倍，则=m .14．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________. 15．若函数63e ()()32ex x b f x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．16．已知函数()ln a f x x x =+，(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12k ≤恒 成立，则实数的取值范围是 ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常州市北郊中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ） A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度2． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）A.32- B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 3． 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则74S a =（ ） A ．74 B ．145C ．7D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.4． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 5． 函数2(44)xy a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．16． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．C ．D ．37． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-8． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 9． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.10．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．711．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（ ）A ．3B ．72 C ． D ．92【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力． 12．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(||)0(log )(2x x x x x f ，函数)(x g 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有1()(2)2g x g x =+；③当]1,1[-∈x 时，()g x 则函数)()(x g x f y -=在区间]4,4[-上零点的个数为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．3C ．2D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．14．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若37116a a a ++=，则13S 等于_________.15．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 16．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且数列{}n n b a -是等比 数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前项和.18．（本题满分12分）已知向量(sin cos ))a x x x =+，)cos sin ,(cos x x x b -=，R x ∈，记函数 x f ⋅=)(.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且满足C a c b cos 22=-，求)(B f 的取值范围.【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，但突出了基础知识的考查，仍属于容易题.19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F ． （1）求证：BDCE ；（2）若AB 是圆的直径，4AB =，1DE =，求AD 长20．（本题满分12分）设向量))cos (sin 23,(sin x x x a -=，)cos sin ,(cos x x x b +=，R x ∈，记函数 b a x f ⋅=)(.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若21)(=A f ，2=a ，求ABC ∆面积的最大值.21．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）(不等式选做题)设，且，则的最小值为（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则22．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知k sin B ＝sin A ＋sin C （k 为正常数），a ＝4c .（1）当k ＝54时，求cos B ；（2）若△ABC 面积为3，B ＝60°，求k 的值．常州市北郊中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 【答案】A 【解析】试题分析：由()f x 的最小正周期是π，得2ω=，即()sin(2)4f x x π=+sin 2()8x π=+，因此它的图象可由()sin 2g x x =的图象向左平移8π个单位得到．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：2． 【答案】D【解析】易知周期112()1212T π5π=-=π，∴22T ωπ==.由52212k ϕπ⨯+=π（k ∈Z ），得526k ϕπ=-+π（k Z ∈），可得56ϕπ=-，所以5()2cos(2)6f x x π=-，则5(0)2cos()6f π=-=，故选D. 3． 【答案】C.【解析】根据等差数列的性质，4231112()32(2)a a a a d a d a d=+⇒+=+++，化简得1a d =-，∴1741767142732a dS d a a d d⋅+===+，故选C.4． 【答案】D.第Ⅱ卷（共110分）5． 【答案】C 【解析】考点：指数函数的概念． 6． 【答案】C解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ． 7． 【答案】C【解析】解析： 当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2y ax x =+图象相切时，916a =-，切点横坐标为83，函数2y ax x =+图象经过点(2,0)时，12a =-，观察图象可得12a ≤-，选C ．8． 【答案】D 【解析】9． 【答案】C10．【答案】A解析：模拟执行程序框图，可得 S=0，n=0满足条，0≤k ，S=3，n=1 满足条件1≤k ，S=7，n=2 满足条件2≤k ，S=13，n=3 满足条件3≤k ，S=23，n=4 满足条件4≤k ，S=41，n=5满足条件5≤k ，S=75，n=6 …若使输出的结果S 不大于50，则输入的整数k 不满足条件5≤k ，即k ＜5， 则输入的整数k 的最大值为4． 故选： 11．【答案】B【解析】连结,AC BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则O EP A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 球心，均为12PC ==可得34243316ππ=，解得72PA =，故选B ．12．【答案】D第Ⅱ卷（共100分）[．Com]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．【答案】A 【解析】14．【答案】26 【解析】试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得371177362a a a a a ++==⇒=，由等差数列的求和11313713()13262a a S a +===．考点：等差数列的性质和等差数列的和．15．【答案】32π 【解析】由4)3()(=-⋅+b a b a 得，4||2322=-⋅+，即422432=-⋅+⨯，得2-=⋅.∴21222||||,cos -=⨯-=>=<b a ，∴>=<b a ,32π. 16．【答案】（02x ＃，02y ＃）上的点(,)x y 到定点(2,2)2，故MN 的取值范围为．22yxB三、解答题（本大共6小题，共70分。